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सीमा रेखा बनाने के लिए असमानता के चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले रेखा बनाएं फिर क्षेत्र चुनें। / For a boundary line, replace the inequality sign by equality. In exams, draw the line first and then choose the region.
असमानता \(3x-2y\ge 12\) की सीमा रेखा \(3x-2y=12\) होगी। क्योंकि \(\ge\) में बराबरी भी शामिल है, इसलिए सीमा रेखा के सभी बिंदु हल-क्षेत्र में आते हैं और इसे ठोस रेखा से दर्शाते हैं। टूटी रेखा केवल \(>\) या \(<\) वाली असमानताओं के लिए प्रयोग होती है। परीक्षा टिप: \(\le\) और \(\ge\) के लिए ठोस रेखा, जबकि \(<\) और \(>\) के लिए टूटी रेखा बनाइए। / The boundary line for \(3x-2y\ge 12\) is \(3x-2y=12\). Since \(\ge\) includes equality, every point on the boundary is part of the solution region, so the line is drawn solid. A dashed line is used only for strict inequalities such as \(>\) or \(<\). Exam tip: use a solid line for \(\le\) and \(\ge\), and a dashed line for \(<\) and \(>\).
C. रेखा \(2x+3y=6\) को बिंदीदार खींचकर मूलबिंदु के विपरीत अर्धतल को छायांकित करना/Draw \(2x+3y=6\) as a dashed line and shade the half-plane not containing the origin
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(>\) होने पर सीमा रेखा \(2x+3y=6\) हल में शामिल नहीं होती, इसलिए वह बिंदीदार होती है। मूलबिंदु रखने पर \(0>6\) असत्य है, अतः उसके विपरीत अर्धतल छायांकित होगा। परीक्षा टिप: पहले सीमा रेखा का प्रकार तय करें। / Since the sign is \(>\), the boundary \(2x+3y=6\) is not included, so it is dashed. Testing the origin gives \(0>6\), which is false; hence shade the opposite half-plane. Exam tip: decide the boundary style before choosing the region.
B. नहीं क्योंकि \(9\le 8\) असत्य है/no because \(9\le 8\) is false
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (1+8=9) मिलता है जो (8) से बड़ा है। बिंदु जांच में दोनों निर्देशांक सही जगह रखें। / Substituting ((1,4)) gives (1+8=9), which is greater than (8). In point testing, place both coordinates carefully.
x-अवरोध वह बिंदु है जहाँ रेखा x-अक्ष को काटती है, इसलिए वहाँ \(y=0\) होता है। समीकरण \(x+3y=6\) में \(y=0\) रखने पर \(x=6\) मिलता है। अतः x-अवरोध \(6\) है। \(3\) y-अवरोध से संबंधित है, x-अवरोध से नहीं। परीक्षा टिप: किसी रेखा का x-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / The x-intercept is the point where the line meets the x-axis, so \(y=0\) there. Substituting \(y=0\) in \(x+3y=6\) gives \(x=6\). Therefore, the x-intercept is \(6\). The value \(3\) is related to the y-intercept, not the x-intercept. Exam tip: To find an x-intercept, always put \(y=0\).
\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं। रेखा \(4x+y=8\) में रखने पर \(4(0)+y=8\), अतः \(y=8\) प्राप्त होता है। इसलिए रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,8)\) पर काटती है और सही विकल्प \(8\) है। \(4\) केवल \(x\) के गुणांक से लिया गया भ्रामक विकल्प है, अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, set \(x=0\). Substituting in \(4x+y=8\) gives \(4(0)+y=8\), so \(y=8\). Hence, the line meets the \(y\)-axis at \((0,8)\), and \(8\) is correct. \(4\) is only the coefficient of \(x\), not an intercept. Exam tip: always put \(x=0\) to find the \(y\)-intercept.
\(y\ge 2x+1\) में (y) रेखा से बड़ा या बराबर है। इसलिए रेखा के ऊपर का अर्ध-समतल लिया जाता है। / In \(y\ge 2x+1\), (y) is greater than or equal to the line value. Hence the half-plane above the line is taken.
A. पहला चतुर्थांश सहित अक्ष/first quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
दोनों निर्देशांक ऋणात्मक नहीं हैं इसलिए क्षेत्र पहला चतुर्थांश और अक्ष हैं। गैर-ऋणात्मक शर्तों को हमेशा पहले पहचानें। / Both coordinates are non-negative, so the region is the first quadrant including axes. Always identify non-negativity conditions first.
B. रेखा \(x=4\) के बाईं ओर, रेखा सहित/left of \(x=4\), including the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x\le 4\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 4 या 4 से कम हो। सीमा रेखा \(x=4\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है और \(\le\) होने के कारण यह रेखा भी हल-क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए रेखा के बाईं ओर का अर्धतल, रेखा सहित, सही है। दाईं ओर का क्षेत्र \(x>4\) को दर्शाता है। परीक्षा टिप: \(x\) वाली असमानता के लिए सीमा रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। / The inequality \(x\le 4\) means that the \(x\)-coordinate of every point is 4 or less. The boundary \(x=4\) is a vertical line, and it is included because the inequality contains \(\le\). Therefore, the required region is the half-plane to the left of the line, including the line. The region on the right represents \(x>4\). Exam tip: an inequality involving \(x\) has a vertical boundary line.
A. रेखा (y=3) के ऊपर पर रेखा शामिल नहीं/above (y=3) excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(y>3) में (y) का मान (3) से बड़ा है और सीमा रेखा शामिल नहीं है। इसलिए टूटी क्षैतिज रेखा के ऊपर शेड करें। / In (y>3), (y) is greater than (3) and the boundary is excluded. Shade above the dashed horizontal line.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=8) इसलिए (x=4) और (y=2)। प्रतिच्छेद बिंदु feasible region के कोने बनाते हैं। / Adding the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=2). Intersection points form corners of a feasible region.
पहली रेखा से y=10-2x प्राप्त होता है। इसे दूसरी रेखा x+2y=8 में रखने पर x+2(10-2x)=8 मिलता है, जिससे -3x=-12 और x=4 आता है। तब y=10-2(4)=2। अतः दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (4, 2) है। (2, 4) जैसे बिंदु पर पहली समीकरण का मान 2(2)+4=8 होता है, 10 नहीं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों रैखिक समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / From the first line, y=10-2x. Substituting this in x+2y=8 gives x+2(10-2x)=8, so -3x=-12 and x=4. Then y=10-2(4)=2. Hence, the intersection point is (4, 2). For example, (2, 4) does not satisfy the first equation because 2(2)+4=8, not 10. Exam tip: Verify an intersection point by substituting it into both linear equations.
अक्षों और रेखा (x+2y=10) से बंद त्रिभुज बनता है। प्रथम चतुर्थांश की शर्तें क्षेत्र को सीमित कर सकती हैं। / The axes and the line (x+2y=10) form a closed triangle. First-quadrant conditions can make the region bounded.
(x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद ((1,2)) है और यह \(x+y\le 7\) को संतुष्ट करता है। शीर्ष खोजते समय सीमा रेखाओं को जोड़ी में काटें। / The intersection of (x=1) and (y=2) is ((1,2)), and it satisfies \(x+y\le 7\). To find vertices, intersect boundary lines pairwise.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=4) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक जाता है। इसलिए क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=4) extends infinitely. Hence the region is unbounded.
((2,2)) पर (x+y=4) है जो (3) से बड़ा है। विकल्पों को असमानताओं में रखकर जांचें। / At ((2,2)), (x+y=4), which is greater than (3). Test options by substituting them into the inequalities.
B. मूल बिंदु के विपरीत ओर/side opposite the origin
Explanation
Simple Explanation
यदि परीक्षण बिंदु असत्य देता है तो हल क्षेत्र उस ओर नहीं होगा। इसलिए विपरीत अर्ध-समतल चुनते हैं। / If the test point gives false, the solution region is not on that side. Hence choose the opposite half-plane.
मूल बिंदु परीक्षण में \(x=0\) और \(y=0\) रखने पर \(x-2y\ge 6\) से \(0\ge 6\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। अतः मूल बिंदु उस अर्ध-तल में नहीं है जो असमानता को संतुष्ट करता है; रेखा \(x-2y=6\) के मूल बिंदु के विपरीत वाले भाग को छायांकित किया जाता है। विकल्प A में वही असमानता दी है, पर उसे सत्य कहना गलत है। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु रखने के बाद असमानता को सही या गलत अवश्य जाँचें। / For the origin test, put \(x=0\) and \(y=0\). The inequality \(x-2y\ge 6\) becomes \(0\ge 6\), which is false. Therefore, the origin does not lie in the solution half-plane, so the region on the side of the line \(x-2y=6\) opposite to the origin is selected. Option A uses the same inequality but incorrectly calls it true. Exam tip: after substituting a test point, always check whether the resulting inequality is true or false.
(y=0) पर (x=10) और (x=0) पर (y=4) मिलता है। सीमा रेखा खींचने में ये दो बिंदु पर्याप्त हैं। / At (y=0), (x=10), and at (x=0), (y=4). These two points are enough to draw the boundary line.
रेखा के अवरोध ((8,0)) और ((0,6)) हैं तथा अक्षों का प्रतिच्छेद ((0,0)) है। प्रथम चतुर्थांश में ये त्रिभुज के शीर्ष हैं। / The line intercepts are ((8,0)) and ((0,6)), and the axes meet at ((0,0)). These are the triangle vertices in the first quadrant.
A. रेखा (x=5) के बाईं और (y=3) के नीचे का क्षेत्र/left of (x=5) and below (y=3)
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 5\) बाईं ओर और \(y\le 3\) नीचे का भाग देता है। संयुक्त क्षेत्र दोनों शर्तों का ओवरलैप होता है। / \(x\le 5\) gives the left side and \(y\le 3\) gives the lower side. The common region is the overlap of both conditions.
चिन्ह (>) होने से बराबरी वाले बिंदु शामिल नहीं होते। इसलिए सीमा रेखा हल का हिस्सा नहीं है। / With the sign (>), equality points are not included. Therefore the boundary line is not part of the solution.
चिह्न \(\ge\) का अर्थ “बड़ा या बराबर” होता है। इसलिए जो भी बिंदु \(2x+3y=18\) को संतुष्ट करते हैं, वे असमानता \(2x+3y\ge 18\) को भी संतुष्ट करेंगे। अतः सीमा रेखा हल-क्षेत्र में शामिल होती है और उसे ठोस रेखा से दर्शाते हैं। \(>\) होने पर सीमा रेखा शामिल नहीं होती और उसे बिंदीदार रेखा से दिखाया जाता है। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) दिखे तो सीमा रेखा ठोस बनाइए। / The symbol \(\ge\) means “greater than or equal to.” Hence, every point satisfying \(2x+3y=18\) also satisfies \(2x+3y\ge 18\). Therefore, the boundary line belongs to the solution region and is drawn as a solid line. With \(>\), the boundary would not be included and would be drawn dashed. Exam tip: use a solid boundary line for \(\ge\) or \(\le\).
प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। x=0 को x+4y=12 में रखने पर 4y=12 मिलता है, अतः y=3। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु (0, 3) है। (3, 0) x-अवरोध है, जबकि यहाँ x=0 वाली y-अक्ष पर बिंदु चाहिए। परीक्षा टिप: किसी रेखा का y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। / At the point of intersection, both equations must be satisfied. Substituting x=0 into x+4y=12 gives 4y=12, so y=3. Hence, the intersection is (0, 3). The point (3, 0) is the x-intercept, whereas x=0 gives a point on the y-axis. Exam tip: To find the y-intercept of a line, put x=0.
रेखा y=0, x-अक्ष को दर्शाती है। इसलिए 5x+2y=20 में y=0 रखने पर 5x=20 मिलता है, अतः x=4। इसलिए दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (4, 0) है। (0, 10) उसी रेखा का y-अवरोध है, x-अक्ष पर स्थित बिंदु नहीं। परीक्षा टिप: x-अवरोध ज्ञात करने के लिए y=0 रखें। / The line y=0 represents the x-axis. Substituting y=0 in 5x+2y=20 gives 5x=20, so x=4. Hence, the intersection point is (4, 0). The point (0, 10) is the y-intercept of the line, not a point on the x-axis. Exam tip: To find an x-intercept, put y=0.
\(x-y\le 2\) से \(-y\le 2-x\) और चिन्ह बदलकर \(y\ge x-2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटना न भूलें। / From \(x-y\le 2\), \(-y\le 2-x\), and reversing the sign gives \(y\ge x-2\). Do not forget to reverse the sign when dividing by a negative.
\(2y-x\le 6\) के दोनों पक्षों में \(x\) जोड़ने पर \(2y\le x+6\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(y\le \frac{x+6}{2}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(x\) को जोड़ने के बजाय गलत चिह्न के साथ रखा गया है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Adding \(x\) to both sides of \(2y-x\le 6\) gives \(2y\le x+6\). Dividing both sides by the positive number \(2\) does not reverse the inequality sign, so \(y\le \frac{x+6}{2}\). Therefore, option A is correct. Option C incorrectly keeps \(x\) with a negative sign. Exam tip: reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
A. रेखा (y=x) के ऊपर और (y=4) के नीचे/above (y=x) and below (y=4)
Explanation
Simple Explanation
पहली असमानता ऊपर का क्षेत्र और दूसरी नीचे का क्षेत्र देती है। संयुक्त क्षेत्र दोनों के बीच का ओवरलैप है। / The first inequality gives the region above the line and the second gives the region below (y=4). The common region is their overlap.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों सीमा रेखाएं (x+y=5) और (x+y=2) समानांतर हैं। इनके बीच का क्षेत्र संयुक्त हल है। / The boundary lines (x+y=5) and (x+y=2) are parallel. The region between them is the common solution.
कोई संख्या एक साथ (1) से कम या बराबर और (4) से अधिक या बराबर नहीं हो सकती। इसलिए संयुक्त हल नहीं है। / No value can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4) at the same time. Hence there is no common solution.
((2,2)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। / Substituting ((2,2)) gives (2+4=6). Equality means the point lies on the boundary and is included.
B. सीमा रेखा पर लेकिन हल में शामिल नहीं/on boundary but not included
Explanation
Simple Explanation
((3,0)) पर (3x+y=9) है लेकिन असमानता (<) है। इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल में शामिल नहीं होते। / At ((3,0)), (3x+y=9), but the inequality is (<). Thus boundary points are not included in the solution.
(x-3y>0) से (-3y>-x) और चिन्ह पलटकर \(y<\frac{x}{3}\) मिलता है। इसलिए रेखा के नीचे का क्षेत्र होगा। / From (x-3y>0), (-3y>-x), and reversing the sign gives \(y<\frac{x}{3}\). So the region is below the line.
((3,3)) रखने पर \(12+3=15\le 16\) सत्य है। प्रत्येक विकल्प को जल्दी से असमानता में जांचें। / Substituting ((3,3)) gives \(12+3=15\le 16\), which is true. Quickly test each option in the inequality.
((3,1)) रखने पर \(6+5=11\ge 10\) सत्य है। सही विकल्प के लिए सीधे substitution करें। / Substituting ((3,1)) gives \(6+5=11\ge 10\), which is true. Use direct substitution to choose the correct option.
सीमा रेखा (y=-2x+7) है और (x) का गुणांक ढाल होता है। ढाल देखकर रेखा की दिशा समझें। / The boundary line is (y=-2x+7), and the coefficient of (x) is the slope. Use the slope to understand the line direction.
असमानता की सीमा रेखा पाने के लिए \(\ge\) को बराबर चिन्ह से बदलते हैं: \(y=\frac{1}{2}x-3\)। \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(y=-3\) मिलता है। अतः सही उत्तर \(-3\) है। \(\frac{1}{2}\) रेखा का ढाल है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) सीधे \(y\)-अवरोध होता है। / To obtain the boundary line, replace \(\ge\) with equality: \(y=\frac{1}{2}x-3\). For the \(y\)-intercept, put \(x=0\), giving \(y=-3\). Therefore, the correct answer is \(-3\). Here, \(\frac{1}{2}\) is the slope, not the \(y\)-intercept. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept.
दोनों तिरछी रेखाओं को हल करने पर \(x=y=\frac{8}{3}\) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का अंदरूनी शीर्ष है। / Solving the two oblique lines gives \(x=y=\frac{8}{3}\). This is an inner vertex of the common region.
B. एक-आयामी सीमित हल/one-dimensional bounded solution
Explanation
Simple Explanation
रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं लेकिन वह क्षेत्रफल वाला द्वि-आयामी भाग नहीं होता। इसे सीमित रैखिक हल माना जाता है। / A line segment has infinitely many points but not a two-dimensional area. It is considered a bounded linear solution.
दोनों शर्तें मिलकर (x=2) देती हैं। जब \(\ge\) और \(\le\) एक ही संख्या पर हों तो बराबरी मिलती है। / Both conditions together give (x=2). When \(\ge\) and \(\le\) occur at the same number, equality is obtained.
एक ही (y) मान (1) से बड़ा और छोटा दोनों नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है। / The same (y)-value cannot be both greater than and less than (1). Therefore there is no common solution.
\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं। तब \(3y=12\), अतः \(y=4\)। इसलिए रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,4)\) पर काटती है। \((4,0)\) \(x\)-अक्ष पर स्थित बिंदु है, इसलिए वह \(y\)-अवरोध नहीं है। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\). Then \(3y=12\), so \(y=4\). Therefore, the line meets the \(y\)-axis at \((0,4)\). The point \((4,0)\) lies on the \(x\)-axis, so it is not the \(y\)-intercept. Exam tip: always set \(x=0\) to find a \(y\)-intercept.
\(x\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए सीमा रेखा \(4x+y=20\) में \(y=0\) रखते हैं। तब \(4x=20\), अतः \(x=5\)। इसलिए \(x\)-अवरोध \((5,0)\) है। \((0,5)\) \(y\)-अक्ष पर है, इसलिए वह \(x\)-अवरोध नहीं है। परीक्षा टिप: \(x\)-अवरोध के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / To find the \(x\)-intercept, use the boundary line \(4x+y=20\) and put \(y=0\). This gives \(4x=20\), so \(x=5\). Hence, the \(x\)-intercept is \((5,0)\). The point \((0,5)\) lies on the \(y\)-axis, so it is not an \(x\)-intercept. Exam tip: for an \(x\)-intercept, always set \(y=0\).
A. हल में शामिल और सीमा पर/included in solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\le 0\) सत्य है और बराबरी भी है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर शामिल है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 0\), which is true with equality. So the origin is included on the boundary line.
पूरी असमानता को (2) से भाग देने पर (x+y<5) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (2) gives (x+y<5). Dividing by a positive number does not change the sign.
B. सीमा रेखा बिंदीदार होगी और हल क्षेत्र में शामिल नहीं होगी/The boundary line will be dashed and excluded from the solution region
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखा पाने के लिए \(2x+y=4\) लिखते हैं। क्योंकि \(>\) सख्त असमानता है, रेखा के बिंदु हल नहीं हैं; इसलिए रेखा बिंदीदार बनती है। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) में ठोस रेखा बनती है। / To obtain the boundary, write \(2x+y=4\). Since \(>\) is a strict inequality, points on the line are not solutions, so the boundary is dashed. Exam tip: use a solid line for \(\ge\) or \(\le\).
बिंदु \((5,0)\) के लिए \(x=5\) है, जो शर्त \(x\le 4\) को संतुष्ट नहीं करता। इसलिए यह बिंदु हल-क्षेत्र में नहीं है। \((4,1)\) के लिए \(x=4\) और \(x+y=5\) है, इसलिए वह सभी असमानताओं को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को जाँचते समय उसके \(x\) और \(y\) मान प्रत्येक असमानता में अलग-अलग रखिए। / For the point \((5,0)\), \(x=5\), which does not satisfy \(x\le 4\). Hence, this point is not in the solution region. For \((4,1)\), \(x=4\) and \(x+y=5\), so it satisfies all the inequalities. Exam tip: Substitute the coordinates of a point into every inequality separately.
रेखा (x+y=5) है और मूल बिंदु \(0\ge 5\) को संतुष्ट नहीं करता। ठोस रेखा होने से बराबरी शामिल होगी। / The line is (x+y=5), and the origin does not satisfy \(0\ge 5\). Since the line is solid, equality is included.
प्रथम चतुर्थांश में दोनों रेखाओं के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above both lines extends infinitely. Therefore the solution region is unbounded.
शीर्ष सीमारेखाओं के प्रतिच्छेद पर बनते हैं। \(y=0\) और \(y=x-2\) को साथ हल करने पर \(0=x-2\), अतः \(x=2\) मिलता है। इसलिए \((2,0)\) क्षेत्र का एक शीर्ष है। \((6,6)\) में \(y\le x-2\) असत्य है, क्योंकि \(6\le4\) नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक विकल्प को सभी असमिकाओं में रखकर भी जाँच सकते हैं। / Vertices occur at intersections of boundary lines. Solving \(y=0\) and \(y=x-2\) gives \(0=x-2\), so \(x=2\). Therefore, \((2,0)\) is a vertex of the region. For \((6,6)\), \(y\le x-2\) is false because \(6\le4\) is not true. Exam tip: Substitute each option into all the inequalities to check it quickly.
असमानता की सीमा रेखा \(3x+y=15\) होगी। \(x\)-अवरोध के लिए \(y=0\) रखने पर \(3x=15\), अतः \(x=5\) मिलता है। \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(y=15\) मिलता है। इसलिए अवरोध \((5,0)\) और \((0,15)\) हैं। विकल्प B में दोनों मान आपस में बदल गए हैं। परीक्षा टिप: किसी रेखा के अवरोध ज्ञात करने के लिए बारी-बारी से दूसरे चर को शून्य रखें। / The boundary line of the inequality is \(3x+y=15\). For the \(x\)-intercept, put \(y=0\): \(3x=15\), so \(x=5\). For the \(y\)-intercept, put \(x=0\): \(y=15\). Hence, the intercepts are \((5,0)\) and \((0,15)\). In option B, the two values are interchanged. Exam tip: To find intercepts of a line, set one variable to zero at a time.
B. मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी/side containing origin is shaded
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर (0<12) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर का अर्ध-समतल हल है। / Substituting ((0,0)) gives (0<12), which is true. Hence the half-plane containing the origin is the solution.
C. टूटी रेखा और मूल बिंदु के विपरीत ओर/dashed line and opposite to origin
Explanation
Simple Explanation
चिन्ह (>) होने से रेखा टूटी होगी। ((0,0)) रखने पर (0>8) असत्य है इसलिए विपरीत ओर शेड होगा। / The sign (>) makes the boundary dashed. Substituting ((0,0)) gives (0>8), false, so shade the opposite side.
बिंदु \((4,3)\) के लिए \(x+2y=4+2(3)=10\) प्राप्त होता है, इसलिए यह रेखा \(x+2y=10\) पर स्थित है। असमानता में \(\le\) होने के कारण सीमा रेखा के सभी बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल होते हैं। \((1,4)\) के लिए मान \(9\) है, इसलिए वह असमानता को संतुष्ट करता है, परंतु वह दी गई रेखा पर स्थित नहीं है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) में सीमा रेखा को हमेशा शामिल करें। / For \((4,3)\), \(x+2y=4+2(3)=10\), so the point lies on the line \(x+2y=10\). Since the inequality uses \(\le\), every point on the boundary line is included in the solution region. For \((1,4)\), the value is \(9\), so it satisfies the inequality but does not lie on the given line. Exam tip: Include the boundary line whenever the sign is \(\le\) or \(\ge\).
\(y\le -3x+9\) में (y) रेखा के मान से कम या बराबर है। इसलिए रेखा के नीचे का भाग सीमा सहित हल है। / In \(y\le -3x+9\), (y) is less than or equal to the line value. Therefore the region below the line including the boundary is the solution.
\(2y+x\ge 14\) में दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(2y\ge 14-x\) प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता, इसलिए \(y\ge \frac{14-x}{2}\) होगा। विकल्प C में अंश का चिह्न उलट गया है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Subtracting \(x\) from both sides of \(2y+x\ge 14\) gives \(2y\ge 14-x\). Dividing both sides by the positive number \(2\) does not reverse the inequality sign, so \(y\ge \frac{14-x}{2}\). In option C, the numerator has been written with the sign reversed. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
रेखा (2x+y=12) के अवरोध ((6,0)) और ((0,12)) हैं। अक्षों के साथ ((0,0)) तीसरा शीर्ष है। / The intercepts of (2x+y=12) are ((6,0)) and ((0,12)). With the axes, ((0,0)) is the third vertex.
((3,2)) सभी शर्तों को संतुष्ट करता है क्योंकि \(3\ge 2\), \(2\ge 1\) और \(3+2\le 7\)। हर शर्त अलग से जांचें। / The point ((3,2)) satisfies all conditions because \(3\ge 2\), \(2\ge 1\), and \(3+2\le 7\). Check each condition separately.
दोनों शर्तें मिलकर (x+y=6) देती हैं। विपरीत दिशाओं की बराबरी वाली असमानताएं समान रेखा देती हैं। / Both conditions together give (x+y=6). Opposite inequalities with equality give the same line.
D. ((2,3)) नहीं बल्कि ((2,3))/not ((2,3)) but ((2,3))
Explanation
Simple Explanation
(x+2y=8) और (3x-y=3) हल करने पर (x=2) और (y=3) मिलता है। प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में जांचें। / Solving (x+2y=8) and (3x-y=3) gives (x=2) and (y=3). Verify the intersection in both equations.
C. \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) के ऊपर/above \(y\ge \frac{5x-10}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(-2y\le 10-5x\) से चिन्ह पलटकर \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-2y\le 10-5x\), reversing the sign gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). The inequality sign changes when dividing by a negative.
दाईं ओर (x) के मान (3) से बड़े होते हैं और ठोस रेखा बराबरी शामिल करती है। इसलिए \(x\ge 3\) सही है। / To the right, (x)-values are greater than (3), and a solid line includes equality. Therefore \(x\ge 3\) is correct.
रेखा \(y=-2\) के ऊपर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए \(y\) का मान \(-2\) से बड़ा होता है। टूटी हुई सीमा रेखा बताती है कि रेखा के बिंदु समाधान में शामिल नहीं हैं, इसलिए बराबर का चिह्न नहीं लगेगा। अतः असमानता \(y>-2\) है। \(y\geq -2\) में रेखा भी शामिल होती, जिसके लिए ठोस रेखा बनाई जाती। परीक्षा टिप: शेडिंग ऊपर हो तो \(y\) बड़ा और नीचे हो तो \(y\) छोटा होता है। / For every point above the line \(y=-2\), the value of \(y\) is greater than \(-2\). A dashed boundary means that points on the line are not included, so equality is excluded. Therefore, the inequality is \(y>-2\). The option \(y\geq -2\) would include the boundary line and would be shown with a solid line. Exam tip: shading above a horizontal line means larger \(y\)-values; shading below means smaller \(y\)-values.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=9) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=9) extends infinitely. Hence the solution region is unbounded.
दिए गए प्रतिबंधों से \(0\le x\le 4\) और \(0\le y\le 3\) मिलता है। अतः क्षेत्र \(x\)-अक्ष के समानांतर 4 इकाई लंबाई और \(y\)-अक्ष के समानांतर 3 इकाई चौड़ाई वाला आयत है। इसका क्षेत्रफल \(4\times 3=12\) वर्ग इकाई है। 10 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब क्षेत्र को गलत आकार का माना जाए। परीक्षा टिप: पहले \(x\) और \(y\) की न्यूनतम तथा अधिकतम सीमाएँ लिखकर क्षेत्र का आकार पहचानें। / The constraints give \(0\le x\le 4\) and \(0\le y\le 3\). Therefore, the region is a rectangle with length 4 units parallel to the \(x\)-axis and width 3 units parallel to the \(y\)-axis. Its area is \(4\times 3=12\) square units. A value such as 10 may result from identifying the shape incorrectly. Exam tip: first write the minimum and maximum bounds of \(x\) and \(y\) to identify the region.
रेखा के अवरोध ((9,0)) और ((0,6)) हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\) है। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)). The area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\).
((1,2)) सीधे (x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए सीमाओं को जोड़ी में काटें। / The point ((1,2)) is the direct intersection of (x=1) and (y=2). To identify vertices, intersect boundary lines pairwise.
B. सीमा रेखा को छोड़कर एक खुला अर्धतल/An open half-plane excluding the boundary line
Explanation
Simple Explanation
\(ax+by=c\) सीमा रेखा है। चूँकि चिह्न \(<\) है, रेखा के बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करते; इसलिए रेखा के एक ओर का खुला अर्धतल हल होता है। परीक्षा में \(<\) या \(>\) के लिए बिंदीदार रेखा बनाइए। / \(ax+by=c\) is the boundary line. Since the sign is \(<\), points on this line do not satisfy the inequality, so the solution is an open half-plane on one side. Exam tip: draw a dashed boundary for \(<\) or \(>\).
असमानता \(4x+2y\le 16\) के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(2x+y\le 8\) मिलता है। ग्राफ बनाने के लिए असमानता की सीमा रेखा प्राप्त करने हेतु \(\le\) के स्थान पर \(=\) रखते हैं। इसलिए सीमा रेखा \(2x+y=8\) है। विकल्प B सरल की गई असमानता है, सीमा रेखा नहीं। परीक्षा टिप: सीमा रेखा ज्ञात करते समय असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न में बदलें। / Dividing both sides of \(4x+2y\le 16\) by 2 gives \(2x+y\le 8\). To draw the graph, replace the inequality sign with an equality sign to obtain the boundary line. Therefore, the boundary line is \(2x+y=8\). Option B is the simplified inequality, not its boundary line. Exam tip: For a boundary line, always replace the inequality sign with \(=\).
(x=2) और (y=3) का प्रतिच्छेद ((2,3)) है और यह \(x+y\le 10\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह एक शीर्ष है। / The intersection of (x=2) and (y=3) is ((2,3)), and it satisfies \(x+y\le 10\). Therefore it is a vertex.
A. सीमा-रेखा बिंदीदार होगी और उस पर स्थित बिंदु हल में शामिल नहीं होंगे/The boundary line will be dashed, and points on it will not be included in the solution.
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(<\) कठोर असमिका दर्शाता है, इसलिए \(x+2y=6\) वाले बिंदु हल का भाग नहीं हैं और रेखा बिंदीदार बनती है। \(\le\) होता तो रेखा ठोस होती। परीक्षा में पहले असमिका के चिह्न को ध्यान से देखें। / The symbol \(<\) represents a strict inequality, so points satisfying \(x+2y=6\) are excluded and the boundary is dashed. A solid line is used for \(\le\) or \(\ge\). Exam tip: decide the line style from the inequality sign first.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। \(y=2\) को \(2x+5y=20\) में रखने पर \(2x+5(2)=20\), अर्थात \(2x+10=20\) मिलता है। इसलिए \(2x=10\) और \(x=5\) है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((5,2)\) है। \((2,5)\) में \(y=5\) है, इसलिए वह \(y=2\) वाली रेखा पर नहीं है। परीक्षा टिप: एक समीकरण में दिया हुआ स्थिर चर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। / An intersection point must satisfy both line equations. Substituting \(y=2\) into \(2x+5y=20\) gives \(2x+5(2)=20\), or \(2x+10=20\). Thus \(2x=10\) and \(x=5\). Therefore, the intersection point is \((5,2)\). The point \((2,5)\) has \(y=5\), so it cannot lie on the line \(y=2\). Exam tip: Substitute the fixed variable from one equation into the other equation.
((2,4)) पर \(4\ge 3\) और \(4\le 5\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त क्षेत्र के लिए सभी असमानताएं जांचें। / At ((2,4)), both \(4\ge 3\) and \(4\le 5\) are true. For a common region, check all inequalities.
A. हल क्षेत्र में और सीमा पर/in solution region and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\ge\) के कारण शामिल है। / Substituting ((1,4)) gives (2+4=6). Equality puts the point on the boundary and it is included because of \(\ge\).
(x=6) और (y=0) मिलने पर ((6,0)) आता है और यह \(x+2y\le 8\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह क्षेत्र का शीर्ष है। / The intersection of (x=6) and (y=0) is ((6,0)), and it satisfies \(x+2y\le 8\). Hence it is a vertex of the region.
कोई (x) एक साथ (1) से छोटा या बराबर और (4) से बड़ा या बराबर नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है। / No (x) can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4). Therefore there is no common solution.
C. दो क्षैतिज रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two horizontal lines
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(2\le y\le 6\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 2 से 6 के बीच, दोनों सीमाओं सहित, होगा। \(y=2\) और \(y=6\) दोनों क्षैतिज रेखाएँ हैं, इसलिए इनके बीच की बंद पट्टी हल क्षेत्र है। \(y=2\) केवल निचली सीमा रेखा है, पूरा हल क्षेत्र नहीं। परीक्षा टिप: केवल \(y\) वाली असमानताएँ क्षैतिज सीमाएँ देती हैं। / The inequality \(2\le y\le 6\) means that the \(y\)-coordinate of every solution point lies from 2 to 6, including both boundaries. The lines \(y=2\) and \(y=6\) are horizontal, so the closed strip between them is the solution region. The line \(y=2\) alone is only the lower boundary, not the complete solution set. Exam tip: inequalities involving only \(y\) have horizontal boundary lines.
A. सीमा रेखा \(x-y=3\) बिंदीदार होगी और \((0,0)\) वाला अर्ध-समतल छायांकित होगा।/The boundary line \(x-y=3\) will be dashed, and the half-plane containing \((0,0)\) will be shaded.
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(<\) कठोर असमता है, इसलिए सीमा रेखा \(x-y=3\) समाधान में शामिल नहीं होती और बिंदीदार बनती है। जाँच बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0<3\) सत्य है, अतः उसी ओर छायांकन होगा। परीक्षा टिप: सीमा पर \(<,>\) के लिए हमेशा बिंदीदार रेखा बनाइए। / The sign \(<\) is strict, so the boundary \(x-y=3\) is not included and must be dashed. Testing \((0,0)\) gives \(0<3\), which is true; therefore, shade the side containing that point. Exam tip: use a dashed line for \(<\) or \(>\).
दिया है \(x-y=4\)। \(x\) को दूसरी ओर ले जाने पर \(-y=4-x\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर \(y=x-4\) प्राप्त होता है। इसलिए सीमा रेखा विकल्प D है। विकल्प A में स्थिरांक का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: \(y\) का गुणांक ऋणात्मक हो तो \(y\) को अकेला करते समय चिह्नों को सावधानी से बदलें। / Given \(x-y=4\), moving \(x\) to the other side gives \(-y=4-x\). Multiplying both sides by \(-1\) gives \(y=x-4\). Hence, option D is the boundary line. Option A has the wrong sign for the constant term. Exam tip: When isolating \(y\) with a negative coefficient, change the signs carefully.
असमानता \(y\ge -x+6\) की सीमा रेखा प्राप्त करने के लिए \(\ge\) के स्थान पर बराबर का चिह्न लेते हैं: \(y=-x+6\)। अब \(x=2\) रखने पर \(y=-2+6=4\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(4\) है। \(6\) केवल \(x=0\) पर \(y\) का मान है। परीक्षा टिप: किसी असमानता की सीमा रेखा के लिए असमानता-चिह्न को पहले \(=\) में बदलें। / To obtain the boundary line of \(y\ge -x+6\), replace \(\ge\) with equality: \(y=-x+6\). Substituting \(x=2\) gives \(y=-2+6=4\). Therefore, the correct answer is \(4\). Note that \(6\) is the value of \(y\) only when \(x=0\). Exam tip: For a boundary line, first replace the inequality sign with \(=\).
बिंदु \((4,0)\) को असमानता \(3x+y\le 9\) में रखने पर \(3(4)+0=12\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(12\le 9\) असत्य है, इसलिए यह बिंदु हल क्षेत्र के बाहर है। सीमा रेखा पर होने के लिए \(3x+y=9\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की स्थिति जाँचने के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर कथन को सत्य या असत्य जाँचें। / Substituting \((4,0)\) into \(3x+y\le 9\) gives \(3(4)+0=12\). Since \(12\le 9\) is false, the point lies outside the solution region. A point would lie on the boundary only if \(3x+y=9\), which is not true here. Exam tip: test a point by substituting its coordinates into the inequality.
D. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखाएं (x+2y=10) और (x+2y=4) समानांतर हैं। इनके बीच का बंद क्षेत्र संयुक्त हल है। / The boundary lines (x+2y=10) and (x+2y=4) are parallel. The closed region between them is the common solution.
प्रथम चतुर्थांश में (x) और (y) दोनों गैर-ऋणात्मक हैं। \(x+y\le 0\) तभी संभव है जब दोनों (0) हों। / In the first quadrant, both (x) and (y) are non-negative. The condition \(x+y\le 0\) is possible only when both are (0).
C. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) रखने पर \(3=2\times 2-1\) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\le\) के कारण हल में है। / Substituting ((2,3)) gives \(3=2\times 2-1\). Equality places the point on the boundary and it is included because of \(\le\).
((3,3)) में \(y\le 2\) असत्य है। संयुक्त हल में आने के लिए सभी शर्तें सत्य होनी चाहिए। / For ((3,3)), the condition \(y\le 2\) is false. To lie in the common solution, all conditions must be true.
पूरे समीकरण को (3) से भाग देने पर (2x+y=6) मिलता है। ग्राफ बनाने से पहले समीकरण सरल कर लेना चाहिए। / Dividing the whole equation by (3) gives (2x+y=6). Simplify the equation before drawing the graph.
((3,-3)) में (y=-3) है और (-3>-4) सत्य है। सख्त असमानता में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / For ((3,-3)), (y=-3), and (-3>-4) is true. In a strict inequality, boundary points are not included.
A. रेखा \(x=-2\) के बाईं ओर का क्षेत्र, रेखा शामिल नहीं/the region to the left of \(x=-2\), excluding the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x<-2\) में उन सभी बिंदुओं के \(x\)-निर्देशांक \(-2\) से छोटे होते हैं। इसलिए ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=-2\) के बाईं ओर का अर्ध-समतल लिया जाता है। चूँकि असमानता में \(<\) है, \(=\) नहीं, इसलिए सीमा रेखा समाधान में शामिल नहीं होती और उसे टूटी रेखा से दर्शाते हैं। विकल्प B में दायाँ क्षेत्र तथा रेखा दोनों शामिल हैं, जो \(x\ge -2\) के लिए होता। परीक्षा टिप: \(x\) वाली असमानता में बायाँ-दायाँ क्षेत्र देखें; \(<\) या \(>\) होने पर सीमा रेखा टूटी होती है। / In \(x<-2\), every solution point has an \(x\)-coordinate less than \(-2\). Hence, the required half-plane lies to the left of the vertical boundary line \(x=-2\). Since the inequality is strict, the boundary line is not included and is drawn as a dashed line. Option B includes the right side and the boundary, which would represent \(x\ge -2\). Exam tip: for inequalities involving \(x\), check left or right of the vertical line; use a dashed boundary for \(<\) or \(>\).
(x) दो ऊर्ध्वाधर सीमाओं और (y) दो क्षैतिज सीमाओं के बीच है। इसलिए बंद आयत बनता है। / (x) lies between two vertical boundaries and (y) lies between two horizontal boundaries. Hence a closed rectangle is formed.
B. मूल बिंदु हल में है क्योंकि \(0\le 5\) सत्य है/The origin is in the solution because \(0\le 5\) is true.
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(2(0)-0=0\) मिलता है। अतः असमानता \(0\le 5\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु हल-क्षेत्र में है और उसी ओर का अर्धतल छायांकित होगा। विकल्प C गलत है क्योंकि सीमा रेखा के लिए \(2x-y=5\) होना चाहिए, जबकि मूल बिंदु पर बायाँ पक्ष \(0\) है। परीक्षा टिप: यदि मूल बिंदु सीमा रेखा पर न हो, तो उसे रखकर सही छायांकित पक्ष तुरंत ज्ञात किया जा सकता है। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(2(0)-0=0\). Thus, \(0\le 5\) is true, so the origin lies in the solution region and the half-plane containing it is shaded. Option C is incorrect because a point lies on the boundary only if \(2x-y=5\); at the origin, the left-hand side is \(0\), not \(5\). Exam tip: If the origin is not on the boundary line, substitute it to identify the correct shaded side quickly.
समीकरण \(x-y=2\) से \(y=x-2\) प्राप्त होता है। इसे \(2x+y=7\) में रखने पर \(2x+x-2=7\), अर्थात \(3x=9\), इसलिए \(x=3\) मिलता है। तब \(y=3-2=1\) होगा। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,1)\) है। विकल्प \((4,1)\) में पहला समीकरण सही नहीं होता, क्योंकि \(2(4)+1=9\), 7 नहीं। परीक्षा टिप: प्राप्त बिंदु को दोनों रेखीय समीकरणों में रखकर उत्तर जाँचें। / From \(x-y=2\), we get \(y=x-2\). Substituting this in \(2x+y=7\) gives \(2x+x-2=7\), so \(3x=9\) and \(x=3\). Then \(y=3-2=1\). Therefore, the intersection point is \((3,1)\). Option \((4,1)\) does not satisfy the first equation because \(2(4)+1=9\), not 7. Exam tip: Verify an intersection point by substituting it into both equations.
एक ही बिंदु के लिए (x+y) एक साथ (4) से कम और (4) से अधिक नहीं हो सकता। इसलिए संयुक्त हल रिक्त है। / For the same point, (x+y) cannot be both less than (4) and greater than (4). Hence the common solution is empty.
पूरी असमानता को (3) से भाग देने पर \(x+y\ge 7\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (3) gives \(x+y\ge 7\). Dividing by a positive number does not change the sign.
B. सीमा रेखा बिंदीदार होगी और हल-क्षेत्र में मूलबिंदु नहीं होगा/The boundary line will be dashed and the solution region will not contain the origin.
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(>\) होने पर सीमा \(x+2y=4\) हल में शामिल नहीं होती, इसलिए रेखा बिंदीदार बनती है। मूलबिंदु रखने पर \(0+2(0)>4\), अर्थात \(0>4\), गलत है; अतः उसका पक्ष नहीं छायांकित होगा। परीक्षा टिप: सीमा शामिल हो तो ही ठोस रेखा बनाएं। / Since the sign is \(>\), the boundary \(x+2y=4\) is excluded, so it is dashed. Testing the origin gives \(0+2(0)>4\), or \(0>4\), which is false; hence its side is not shaded. Exam tip: use a solid line only when equality is included.
एक छात्र असमता \(2x-y\ge 3\) का आलेख बनाते समय सीमा रेखा को बिंदीदार खींचता है और \((0,0)\) वाले भाग को छायांकित करता है। उसके आलेख में कौन-सा सुधार आवश्यक है?
A. सीमा रेखा ठोस होनी चाहिए और \((0,0)\) के विपरीत भाग को छायांकित करना चाहिए/The boundary line should be solid, and the side opposite to \((0,0)\) should be shaded.
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में बराबरी शामिल होती है, इसलिए \(2x-y=3\) सीमा रेखा ठोस होगी। जाँच बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0\ge3\) असत्य है, अतः उसके विपरीत भाग को छायांकित करें। परीक्षा टिप: पहले सीमा की ठोस/बिंदीदार प्रकृति तय करें। / Since \(\ge\) includes equality, the boundary \(2x-y=3\) must be solid. Substituting \((0,0)\) gives \(0\ge3\), which is false, so shade the opposite side. Exam tip: decide solid or dashed before testing a point.
\(x\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखते हैं। तब सीमा रेखा \(x+3y=9\) से \(x=9\) प्राप्त होता है। अतः \(x\)-अक्ष पर बिंदु \((9,0)\) है। \((0,3)\) \(y\)-अवरोध है, \(x\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(x\)-अवरोध के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / To find the \(x\)-intercept, put \(y=0\). The boundary line \(x+3y=9\) then gives \(x=9\). Therefore, the point on the \(x\)-axis is \((9,0)\). \((0,3)\) is the \(y\)-intercept, not the \(x\)-intercept. Exam tip: for an \(x\)-intercept, always set \(y=0\).
((5,2)) रखने पर (5+10=15) मिलता है और \(\ge\) में बराबरी शामिल है। इसलिए यह हल क्षेत्र में है। / Substituting ((5,2)) gives (5+10=15), and equality is included in \(\ge\). Therefore it lies in the solution region.
जहां (y) का मान (x) से बड़ा या बराबर है वहां \(y\ge x\) होगा। सीमा रेखा (y=x) शामिल होने पर बराबरी भी आती है। / Where (y) is greater than or equal to (x), the inequality is \(y\ge x\). If the boundary (y=x) is included, equality is also used.
(x+2y=6) और (2x+y=6) हल करने पर (x=2) और (y=2) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का महत्वपूर्ण शीर्ष है। / Solving (x+2y=6) and (2x+y=6) gives (x=2) and (y=2). This is an important vertex of the common region.
C. \(\frac{15}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{15}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्र के शीर्ष ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), ((1,4)) हैं। समांतर भुजाओं (4) और (1) तथा दूरी (3) से क्षेत्रफल (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}) है। / The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), and ((1,4)). With parallel sides (4) and (1) and distance (3), the area is (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}).
\(0+0\le 6\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर छायांकित होगी। परीक्षा में हमेशा परीक्षण बिंदु लगाएं। / \(0+0\le 6\) is true, so the side containing origin is shaded. In exams, always use a test point.
क्योंकि असमिका में (>) है, सीमा रेखा शामिल नहीं होती। परीक्षा में (<) और (>) के लिए टूटी रेखा याद रखें। / Since the inequality has (>), the boundary line is not included. Remember dashed lines for (<) and (>).
सीमा रेखा पाने के लिए असमिका चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले boundary line बनाएं। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. First draw the boundary line in exams.
A. पहले चतुर्थांश में सीमित त्रिभुज/Bounded triangle in first quadrant
Explanation
Simple Explanation
दोनों अक्षों और रेखा (x+y=8) से सीमित त्रिभुज बनता है। परीक्षा में vertices पहचानना उपयोगी है। / The axes and the line (x+y=8) form a bounded triangle. Identifying vertices is useful in exams.
((3,1)) के लिए \(3+1\le 5\) और \(3\ge 1\) दोनों सत्य हैं। परीक्षा में विकल्पों को सीधे substitute करें। / For ((3,1)), both \(3+1\le 5\) and \(3\ge 1\) are true. Substitute options directly in exams.
नीचे का क्षेत्र (y<) देता है और रेखा शामिल नहीं होने से strict inequality होगी। परीक्षा में solid और dashed रेखा देखें। / Below the line gives (y<), and exclusion of the line makes it strict. Check solid or dashed boundary in exams.
(y=0) रखने पर (x=3) और (x=0) रखने पर (y=4) मिलता है। परीक्षा में intercept method graph के लिए तेज है। / Putting (y=0) gives (x=3), and putting (x=0) gives (y=4). The intercept method is quick for graphing.
A. क्योंकि \(0-0\ge 2\) असत्य है/Because \(0-0\ge 2\) is false
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर असमिका गलत हो जाती है। परीक्षा में test point से सही half-plane चुनें। / Substituting origin makes the inequality false. Use a test point to choose the correct half-plane.
A. पहला चतुर्थांश सहित अक्ष/First quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
(x) और (y) दोनों non-negative हैं, इसलिए क्षेत्र पहला चतुर्थांश है। परीक्षा में non-negative restrictions को न भूलें। / Both (x) and (y) are non-negative, so the region is the first quadrant. Do not miss non-negative restrictions in exams.
एक ही समय में (x+y) का (2) से कम और (5) से अधिक होना संभव नहीं है। परीक्षा में विरोधी conditions पहचानें। / It is impossible for (x+y) to be at most (2) and at least (5) at the same time. Identify contradictory conditions in exams.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=7) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक जाता है। परीक्षा में bounded और unbounded में अंतर करें। / In the first quadrant, the region above (x+y=7) extends infinitely. Distinguish bounded and unbounded regions in exams.
\(\le\) में boundary शामिल होती है, इसलिए रेखा पूर्ण बनेगी। परीक्षा में \(\le\) और \(\ge\) के लिए solid line बनाएं। / The boundary is included in \(\le\), so the line is solid. Draw solid lines for \(\le\) and \(\ge\).
A. हाँ, क्योंकि (2+2(3)\le 8)/Yes, because (2+2(3)\le 8)
Explanation
Simple Explanation
(2+6=8), इसलिए बिंदु boundary पर है और शामिल है। परीक्षा में equality आने पर भी \(\le\) में बिंदु मान्य होता है। / (2+6=8), so the point lies on the boundary and is included. Equality is allowed in \(\le\).
(x) और (y) दोनों सीमित intervals में हैं, इसलिए आयत बनता है। परीक्षा में ऐसी असमिकाओं को vertical और horizontal lines से बनाएं। / Both (x) and (y) lie in bounded intervals, so a rectangle is formed. Use vertical and horizontal lines for such inequalities.
दोनों रेखाओं (2x+y=6) और (x+2y=6) का प्रतिच्छेद ((2,2)) है। परीक्षा में vertices के लिए boundary lines solve करें। / The intersection of (2x+y=6) and (x+2y=6) is ((2,2)). Solve boundary lines to find vertices.
(x<4) में (x) का मान (4) से छोटा होता है, इसलिए बायां क्षेत्र चुना जाता है। परीक्षा में vertical line के लिए left-right सोचें। / In (x<4), (x) is less than (4), so the left side is chosen. For vertical lines, think left-right.
\(y\ge -2\) में boundary शामिल है और ऊपर का भाग लिया जाता है। परीक्षा में horizontal line के लिए above-below देखें। / For \(y\ge -2\), the boundary is included and the region above it is taken. For horizontal lines, check above-below.
(3y<9-x), इसलिए \(y<3-\frac{x}{3}\) होगा। परीक्षा में graph से पहले slope-intercept form मदद करता है। / Since (3y<9-x), we get \(y<3-\frac{x}{3}\). Slope-intercept form helps before graphing.
A. मूल बिंदु वाली ओर सही है/The side containing origin is correct
Explanation
Simple Explanation
\(-0+0\le 1\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर shading होगी। परीक्षा में सरल test point चुनें। / \(-0+0\le 1\) is true, so the side containing origin is shaded. Choose a simple test point in exams.
A. कोई ऐसा बिंदु जो रेखा पर न हो/Any point not lying on the line
Explanation
Simple Explanation
boundary पर स्थित बिंदु shading side नहीं बताता। परीक्षा में रेखा से बाहर का आसान बिंदु लें। / A point on the boundary does not identify the shaded side. Take an easy point away from the line.
किसी (x) के लिए (y) एक साथ (x+1) से कम और (x+4) से अधिक नहीं हो सकता। परीक्षा में parallel constraints check करें। / For any (x), (y) cannot be both below (x+1) and above (x+4). Check parallel constraints in exams.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/Strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं की slope समान है और क्षेत्र इनके बीच आता है। परीक्षा में समान slope से parallel lines पहचानें। / Both lines have the same slope and the region lies between them. Use equal slopes to identify parallel lines.
A. boundary पर और हल में/On boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
(2(5)+5(0)=10), इसलिए बिंदु boundary पर है और \(\ge\) में शामिल है। परीक्षा में equality को ध्यान से देखें। / (2(5)+5(0)=10), so the point is on the boundary and included for \(\ge\). Check equality carefully.
(y=mx+c) में (m) ढाल होता है, यहां \(m=-\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में boundary line का equation पढ़ें। / In (y=mx+c), (m) is the slope, here \(m=-\frac{1}{2}\). Read the boundary equation carefully.
\(y\ge\) के कारण रेखा के ऊपर का क्षेत्र लिया जाता है और रेखा शामिल होती है। परीक्षा में (y)-form में दिशा तुरंत दिखती है। / Because of \(y\ge\), the region above the line is taken and the line is included. The direction is clear in (y)-form.
रेखा (x+y=6) axes को ((6,0)) और ((0,6)) पर काटती है। परीक्षा में axes के साथ triangle vertices लिखें। / The line (x+y=6) cuts the axes at ((6,0)) and ((0,6)). Write triangle vertices with axes in exams.
((2,4)) में \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), और \(2+4\le 7\) सत्य हैं। परीक्षा में सभी असमिकाएं एक-एक करके जांचें। / For ((2,4)), \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), and \(2+4\le 7\) are true. Check all inequalities one by one.
मूल बिंदु रखने पर \(0\le 10\) सत्य है और solid line \(\le\) बताती है। परीक्षा में shading और line type दोनों मिलाएं। / At origin, \(0\le 10\) is true, and the solid line indicates \(\le\). Match both shading and line type.
असमिका \(2x-y<0\) से \(-y<-2x\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है, इसलिए \(y>2x\) प्राप्त होता है। \(y<2x\) लेने पर चिह्न गलत दिशा में होगा, जबकि \(y=2x\) केवल सीमा रेखा को दर्शाता है और कठोर असमिका में शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका का चिह्न अवश्य पलटें। / From \(2x-y<0\), we get \(-y<-2x\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, giving \(y>2x\). The form \(y<2x\) reverses the sign incorrectly, while \(y=2x\) represents only the boundary line and is not included in a strict inequality. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
A. सीमा रेखा \(2x+y=4\) को टूटी रेखा से खींचकर, मूलबिंदु वाले अर्ध-तल को छायांकित करना/Draw \(2x+y=4\) as a dashed line and shade the half-plane containing the origin
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(<\) होने से सीमा रेखा \(2x+y=4\) हल में शामिल नहीं होती, इसलिए उसे टूटी रेखा बनाते हैं। जाँच के लिए मूलबिंदु रखें: \(2(0)+0=0<4\), अतः मूलबिंदु वाला भाग छायांकित होगा। परीक्षा में सीमा शामिल है या नहीं, यह पहले तय करें। / Since the sign is \(<\), the boundary \(2x+y=4\) is not included, so it must be dashed. Testing the origin gives \(2(0)+0=0<4\); therefore, shade the side containing the origin. Exam tip: decide dashed versus solid before choosing the region.
A. (x=5) पूर्ण और (y=1) टूटी/(x=5) solid and (y=1) dashed
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में solid line और (>) में dashed line होती है। परीक्षा में हर inequality का boundary type अलग जांचें। / \(\le\) gives a solid line and (>) gives a dashed line. Check each boundary type separately.
ठोस सीमा रेखा का अर्थ है कि \(ax+by=c\) वाले बिंदु भी हल में शामिल हैं। छायांकित भाग में मान \(c\) से कम है, इसलिए \(ax+by\le c\) होगा। \(<\) के लिए रेखा बिंदीदार होती है। परीक्षा टिप: ठोस रेखा बराबरी दर्शाती है। / A solid boundary means points satisfying \(ax+by=c\) are included. The shaded side has smaller values, so the inequality is \(ax+by\le c\). With \(<\), the boundary would be dashed. Exam tip: a solid line indicates equality.
axes के साथ छोटा bounded region पहले चतुर्थांश में और रेखा के नीचे होता है। परीक्षा में origin test करें। / The small bounded region with axes is in the first quadrant and below the line. Use the origin test in exams.
\(3x-y\le 0\) में दोनों पक्षों में \(y\) जोड़ने पर \(3x\le y\) मिलता है, अर्थात \(y\ge 3x\)। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा \(y=3x\) के ऊपर तथा रेखा सहित होगा। \(y\le 3x\) वाला क्षेत्र रेखा के नीचे होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(y\) को एक ओर लाते समय असमिका को केवल जोड़-घटाव से बदलने पर चिह्न नहीं पलटता। / Adding \(y\) to both sides of \(3x-y\le 0\) gives \(3x\le y\), or \(y\ge 3x\). Hence, the solution is the region on and above the line \(y=3x\), including the line. The region \(y\le 3x\) lies below the line, so it is the closest but incorrect distractor. Exam tip: Adding or subtracting the same quantity does not reverse an inequality sign.
क्षेत्र \(2\times 3\) का आयत है, इसलिए क्षेत्रफल (6) है। परीक्षा में bounded rectangle को तुरंत पहचानें। / The region is a \(2\times 3\) rectangle, so its area is (6). Recognize bounded rectangles quickly.
त्रिभुज के intercepts (4) और (4) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 4\times 4=8\) है। परीक्षा में intercept triangle का formula याद रखें। / The intercepts are (4) and (4), so area is \(\frac{1}{2}\times 4\times 4=8\). Remember the intercept triangle formula.
A. मूल बिंदु वाली ओर/On the side containing origin
Explanation
Simple Explanation
सत्य test point जिस half-plane में होता है वही solution side होती है। परीक्षा में यह सबसे तेज graphical check है। / The half-plane containing the true test point is the solution side. This is the quickest graphical check.
मूल बिंदु पर (0) मिलता है, इसलिए origin वाली ओर \(\le 6\) है और विपरीत ओर \(\ge 6\) होगी। परीक्षा में boundary included हो तो equality वाला चिन्ह लें। / At origin the value is (0), so the origin side is \(\le 6\) and the opposite side is \(\ge 6\). Use equality signs when boundary is included.
boundary (x-2y=6) है, इससे (x=6) और (y=-3) मिलता है। परीक्षा में inequality से पहले equality line बनाएं। / The boundary is (x-2y=6), giving (x=6) and (y=-3). Draw the equality line before the inequality.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(4x\le 8\) और \(x\le 2\)। परीक्षा में axis पर दूसरे variable को (0) रखें। / On the (x)-axis, (y=0), so \(4x\le 8\) and \(x\le 2\). Put the other variable (0) on an axis.
\(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। अतः \(x+4y\le 12\) में \(x=0\) रखने पर \(4y\le 12\), इसलिए \(y\le 3\)। चूँकि \(y\ge 0\) भी है, \(y\)-अक्ष पर क्षेत्र का सबसे ऊपरी बिंदु \((0,3)\) है। इसलिए अधिकतम \(y\) 3 है। विकल्प 4 के लिए \(4(4)=16\), जो 12 से अधिक है। परीक्षा टिप: अक्ष पर अधिकतम मान निकालने के लिए दूसरे चर को 0 रखें। / At every point on the \(y\)-axis, \(x=0\). Substituting \(x=0\) in \(x+4y\le 12\) gives \(4y\le 12\), so \(y\le 3\). Since \(y\ge 0\), the highest point of the feasible region on the \(y\)-axis is \((0,3)\). Hence, the maximum value of \(y\) is 3. For option 4, \(4(4)=16\), which exceeds 12. Exam tip: to find a value on an axis, set the other variable equal to 0.
((5,0)) में \(5-0\le 2\) असत्य है। परीक्षा में एक भी असमिका false हो तो point feasible नहीं होता। / For ((5,0)), \(5-0\le 2\) is false. If even one inequality fails, the point is not feasible.
((2,1)) boundary पर है क्योंकि (2(2)+1=5), लेकिन strict असमिका boundary को शामिल नहीं करती। परीक्षा में (<) में equal point न लें। / ((2,1)) is on the boundary because (2(2)+1=5), but a strict inequality excludes the boundary. Do not include equal points for (<).
(x=2), (y=1), और (x+y=6) के प्रतिच्छेदों से ये तीन vertices मिलते हैं। परीक्षा में boundary lines pairwise solve करें। / Pairwise intersections of (x=2), (y=1), and (x+y=6) give these vertices. Solve boundary lines pairwise in exams.
नीचे का क्षेत्र \(y\le\) देता है और boundary शामिल होने से equality भी शामिल है। परीक्षा में नीचे के लिए \(y\le\) याद रखें। / Below the line gives \(y\le\), and including the boundary includes equality. Remember \(y\le\) for below the line.
क्षेत्र वर्ग \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) के भीतर और (x+y=4) के ऊपर है। परीक्षा में पहले बड़ा rectangle बनाकर कटे भाग पहचानें। / The region lies inside the square \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) and above (x+y=4). Draw the larger rectangle first in exams.
((6,0)) रखने पर \(12\le 10\) असत्य है, इसलिए बिंदु बाहर है। परीक्षा में point location के लिए substitution करें। / Substituting ((6,0)) gives \(12\le 10\), which is false, so the point is outside. Use substitution for point location.
boundary (x+y=3) है और ((1,2)) पर (1+2=3)। परीक्षा में boundary point equality satisfy करता है। / The boundary is (x+y=3), and for ((1,2)), (1+2=3). A boundary point satisfies equality.
((2,3)) में \(3\ge 0\) और \(3\le 4\) दोनों सत्य हैं। परीक्षा में common region के लिए दोनों conditions लगाएं। / For ((2,3)), both \(3\ge 0\) and \(3\le 4\) are true. Apply both conditions for common regions.
A. पहले सभी boundary lines बनाकर common shaded region लें/Draw all boundary lines first and take the common shaded region
Explanation
Simple Explanation
system का graph common shaded region से मिलता है। परीक्षा में हर inequality का half-plane काटकर intersection लें। / The graph of a system is the common shaded region. In exams, intersect the half-planes of all inequalities.
