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असमानता x + 4 < 9 में दोनों पक्षों से 4 घटाने पर x < 5 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत हो गई है; 4 घटाने से दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में याद रखें कि असमानता की दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। / Subtracting 4 from both sides of x + 4 < 9 gives x < 5, so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; subtracting 4 does not change its direction. Exam tip: the direction of an inequality changes only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
असमानता \(x-3\le 7\) के दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(x\le 10\) प्राप्त होता है। जोड़ने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प C में चिह्न की दिशा गलत है, जबकि विकल्प D में \(x=10\) को बिना कारण बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Adding 3 to both sides of \(x-3\le 7\) gives \(x\le 10\). The inequality sign does not change when the same number is added to both sides. Option C reverses the direction incorrectly, while option D wrongly excludes \(x=10\). Exam tip: the inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
असमानता 2x > 10 के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर x > 5 प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। परीक्षा-युक्ति: पहले चर के गुणांक से भाग दें और उसके चिह्न पर ध्यान दें। / Dividing both sides of 2x > 10 by the positive number 2 gives x > 5. The inequality sign does not reverse when dividing by a positive number; it reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: divide by the coefficient of the variable and check its sign.
असमानता \(3x\le 12\) में \(x=4\) रखने पर \(3\times4=12\), इसलिए \(12\le12\) सत्य है। जबकि \(x=5\) रखने पर \(15\le12\) असत्य होता है। परीक्षा में किसी विकल्प को जाँचने के लिए उसका मान सीधे असमानता में रखकर तुलना करें। / Substituting \(x=4\) gives \(3\times4=12\), so \(12\le12\) is true. In contrast, \(x=5\) gives \(15\le12\), which is false. In an exam, test each option by substituting its value directly into the inequality.
अस्मिकता \(2x+1>9\) को हल करने पर \(2x>8\), अर्थात् \(x>4\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=5\) इसे संतुष्ट करता है। ध्यान दें कि \(x=4\) सीमा मान है और इससे \(2x+1=9\) मिलता है, इसलिए सख्त असमिकता में यह सही नहीं है। परीक्षा में \(>\) और \(\geq\) के अंतर पर ध्यान दें। / Solving \(2x+1>9\) gives \(2x>8\), so \(x>4\). Therefore, \(x=5\) satisfies the inequality. Note that \(x=4\) gives \(2x+1=9\), so it is not valid for the strict inequality \(>\). In an exam, carefully distinguish between \(>\) and \(\geq\).
असमानता \(x+1\ge 6\) में दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। घटाने या जोड़ने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में चिह्न उलट गया है। परीक्षा में याद रखें: चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Subtracting 1 from both sides of \(x+1\ge 6\) gives \(x\ge 5\). The inequality sign remains unchanged when the same number is added or subtracted from both sides, so option A is correct. Option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: the sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
असमानता \(-2<x\) का अर्थ है कि \(-2\) शामिल नहीं है, जबकि \(x\le 2\) के कारण \(2\) शामिल है। इसलिए \(-2\) और \(2\) के बीच के पूर्णांक मान \(-1,0,1,2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(<\) या \(>\) में सीमा शामिल नहीं होती, जबकि \(\le\) या \(\ge\) में सीमा शामिल होती है। / The inequality \(-2<x\) excludes \(-2\), while \(x\le 2\) includes \(2\). Therefore, the integer values are \(-1,0,1,2\). Exam tip: a strict sign \(<\) or \(>\) excludes the endpoint, whereas \(\le\) or \(\ge\) includes it. Option A is incorrect because it includes \(-2\).
असमानता \(x+7>7\) के दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(x>0\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता का चिह्न गलत दिशा में है। परीक्षा-टिप: समान संख्या को दोनों पक्षों में जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 7 from both sides of \(x+7>7\) gives \(x>0\), so option A is correct. Option B reverses the inequality sign incorrectly. Exam tip: Adding or subtracting the same number on both sides does not reverse the inequality sign.
असमानता \(\frac{x}{3} \le 2\) के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(x \le 6\) प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प C में 3 से भाग देने की गलती हुई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides of \(\frac{x}{3} \le 2\) by the positive number 3 gives \(x \le 6\). The inequality sign remains unchanged when multiplying by a positive number, so option A is correct. Option C results from incorrectly dividing 2 by 3. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(x+6<14\) में दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x<8\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता का चिन्ह गलत दिशा में है, जबकि 20 वाले विकल्पों में 6 को गलत तरीके से जोड़ा गया है। परीक्षा-टिप: धनात्मक संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting 6 from both sides of \(x+6<14\) gives \(x<8\). Option B reverses the inequality sign incorrectly, while the options containing 20 result from adding 6 instead of subtracting it. Exam tip: Adding or subtracting a number does not reverse the inequality sign.
असमानता \(x-5\ge 1\) में दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(x\ge 1+5=6\) प्राप्त होता है। जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B में चिह्न की दिशा गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Adding 5 to both sides of \(x-5\ge 1\) gives \(x\ge 1+5=6\). The inequality sign does not change when the same number is added or subtracted from both sides. Therefore, option A is correct; option B reverses the sign incorrectly. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(3x<21\) में दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से भाग देने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में चिह्न बदलने का नियम केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर लागू होता है। / Dividing both sides of \(3x<21\) by the positive number 3 gives \(x<7\). The inequality sign remains unchanged when multiplying or dividing by a positive number. Remember that the sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को (-5) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है: x\le \frac{15}{-5}=-3। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में चिह्न उलटने की प्रक्रिया नहीं अपनाई गई है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Dividing both sides by (-5) reverses the inequality sign: x\le \frac{15}{-5}=-3. Therefore, option B is correct. Option A is wrong because it does not reverse the sign after division by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(x+2\ge 9\) में दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(x\ge 7\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा अनावश्यक रूप से बदल दी गई है। परीक्षा में ध्यान रखें कि जोड़ने या घटाने पर दिशा नहीं बदलती; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। / Subtracting 2 from both sides of \(x+2\ge 9\) gives \(x\ge 7\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign. Remember that adding or subtracting a number does not change the direction of an inequality; it changes only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता x + 9 > 9 में दोनों पक्षों से 9 घटाने पर x > 0 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर x > 0 है। विकल्प B में असमानता की दिशा और हल दोनों गलत हैं, जबकि 18 वाले विकल्पों में 9 घटाने के बजाय अनावश्यक रूप से संख्याएँ जोड़ी गई हैं। परीक्षा में किसी धनात्मक या ऋणात्मक संख्या को दोनों पक्षों से घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 9 from both sides of x + 9 > 9 gives x > 0. Therefore, x > 0 is the correct solution. Option B reverses the meaning of the inequality, while the options involving 18 result from incorrectly combining the constants. Exam tip: adding or subtracting the same number on both sides does not reverse the inequality sign.
असमता \(b\ge 10\) के दोनों पक्षों से समान संख्या \(6\) घटाने पर \(b-6\ge 10-6=4\) मिलता है। समान संख्या जोड़ने या घटाने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। इसलिए सही उत्तर A है; विकल्प B में चिह्न अनावश्यक रूप से पलट दिया गया है। परीक्षा-टिप: चिह्न तभी पलटता है जब दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए। / Subtracting the same number, \(6\), from both sides of \(b\ge 10\) gives \(b-6\ge 10-6=4\). The inequality sign does not reverse when the same number is added or subtracted from both sides. Thus, A is correct; option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: the sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
\(q>2\) में दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या \(-4\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। इसलिए \(-4q<-8\) प्राप्त होता है। विकल्प A में चिह्न नहीं पलटा गया है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय हमेशा चिह्न बदलें। / When both sides of \(q>2\) are multiplied by the negative number \(-4\), the inequality sign reverses. Thus, \(-4q<-8\) is obtained. Option A is incorrect because it keeps the original sign. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
दोनों पक्षों से 9 घटाने पर \\(x+9-9\le 15-9\\), अर्थात् \\(x\le 6\\) प्राप्त होता है। 9 घटाना धनात्मक संख्या से घटाना है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न अनावश्यक रूप से उलटा गया है, जबकि 24 जोड़ने से प्राप्त होता है। परीक्षा में असमानता के दोनों पक्षों पर किए गए समान जोड़ या घटाव को ध्यान से जाँचें। / Subtracting 9 from both sides gives \\(x+9-9\le 15-9\\), so \\(x\le 6\\). Since 9 is being subtracted, the inequality sign does not change. Option B incorrectly reverses the sign, while 24 would result from adding 9 instead of subtracting it. Exam tip: the sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(x-8>2\) में दोनों पक्षों में 8 जोड़ने पर \(x>10\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में 8 को गलत दिशा में घटाया गया है। याद रखें: किसी संख्या को जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। / Adding 8 to both sides of \(x-8>2\) gives \(x>10\), so option A is correct. Option C results from incorrectly subtracting 8 instead of adding it. Exam tip: the inequality sign does not change when the same number is added or subtracted from both sides; it reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
\(x=5\) रखने पर \(5(5)-1=24\) प्राप्त होता है, और \(24\ge24\) सत्य है। इसलिए \(x=5\) असमिका को संतुष्ट करता है। अन्य विकल्पों के लिए बायाँ पक्ष 24 से कम आता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) का अर्थ “बड़ा या बराबर” होता है, इसलिए बराबर वाला मान भी स्वीकार्य है। / Substituting \(x=5\) gives \(5(5)-1=24\), and \(24\ge24\) is true. Therefore, \(x=5\) satisfies the inequality. For the other values, the left-hand side is less than 24. Exam tip: \(\ge\) means “greater than or equal to,” so the boundary value is included.
असमानता \(x+4\ge 13\) में दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(x\ge 9\) प्राप्त होता है। 4 घटाना दिशा को नहीं बदलता, इसलिए 9 भी हल में शामिल है। विकल्प B में असमानता की दिशा अनावश्यक रूप से बदल दी गई है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 4 from both sides of \(x+4\ge 13\) gives \(x\ge 9\). The inequality sign does not change when the same number is added or subtracted from both sides, and 9 is included because the sign is \(\ge\). Option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(-4<x\le 1\) में \(-4\) से बड़ा और \(1\) से छोटा या उसके बराबर प्रत्येक पूर्णांक लेना है। इसलिए मान \(-3,-2,-1,0,1\) होंगे। विकल्प A में \(-4\) को शामिल करना गलत है, क्योंकि \(x\) उससे बड़ा होना चाहिए। परीक्षा युक्ति: \(<\) का अर्थ सीमा शामिल नहीं और \(\le\) का अर्थ सीमा शामिल है। / The inequality \(-4<x\le 1\) includes every integer greater than \(-4\) and less than or equal to \(1\). Thus, the possible values are \(-3,-2,-1,0,1\). Option A is incorrect because \(-4\) is excluded by the strict inequality \(x>-4\). Exam tip: a \(<\) or \(>\) sign excludes the endpoint, while \(\le\) or \(\ge\) includes it.
असमानता \\(x+11>11\\) के दोनों पक्षों से 11 घटाने पर \\(x>0\\) प्राप्त होता है। 11 घटाने से असमानता का चिह्न नहीं बदलता। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B में चिह्न उलटा है। परीक्षा-टिप: धनात्मक संख्या को दोनों पक्षों से घटाने पर असमानता की दिशा वही रहती है। / Subtracting 11 from both sides of \\(x+11>11\\) gives \\(x>0\\). The inequality sign does not change when the same number is subtracted from both sides. Therefore, option A is correct; option B reverses the sign incorrectly. Exam tip: The inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
दोनों पक्षों से (5) घटाने पर (x>7) मिलता है। परीक्षा में समान संख्या दोनों पक्षों पर लगाएं। / Subtracting (5) from both sides gives (x>7). In exams, apply the same operation on both sides.
दोनों पक्षों में (4) जोड़ने पर \(x\le 13\) मिलता है। चिह्न नहीं बदलता क्योंकि जोड़ किया गया है। / Adding (4) to both sides gives \(x\le 13\). The sign does not change because addition is used.
पहले (2) घटाएं और फिर (5) से भाग दें, तब \(x\ge 3\)। बराबरी वाला चिह्न अंत तक बनाए रखें। / First subtract (2), then divide by (5), giving \(x\ge 3\). Keep the equality part of the sign till the end.
दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x<16\) प्राप्त होता है। अब 4 से भाग देने पर \(x<4\) मिलता है, क्योंकि 4 धनात्मक है और असमानता का चिह्न नहीं बदलता। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान दें कि \(x\le4\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा में धनात्मक या ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न के परिवर्तन की जाँच अवश्य करें। / Adding 7 to both sides gives \(4x<16\). Dividing by 4 yields \(x<4\), and the inequality sign remains unchanged because 4 is positive. Therefore, option A is correct. The distractor \(x\le4\) is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. In an exam, always check whether division by a negative number requires reversing the inequality sign.
(7) घटाने पर \(-2x\le -6\), फिर (-2) से भाग देने पर चिह्न पलटकर \(x\ge 3\) होता है। ऋणात्मक गुणांक पर विशेष ध्यान दें। / Subtracting (7) gives \(-2x\le -6\), then division by (-2) reverses the sign to \(x\ge 3\). Be careful with a negative coefficient.
असमानता \(2x+3<x+8\) में दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(x+3<8\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से \(3\) घटाने पर \(x<5\) प्राप्त होता है, इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में असमानता का चिह्न उलट दिया गया है, जबकि ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / For the inequality \(2x+3<x+8\), subtracting \(x\) from both sides gives \(x+3<8\). Subtracting \(3\) from both sides then gives \(x<5\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; no multiplication or division by a negative number has occurred. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से \\(2x\\) घटाने पर \\(4x-1\ge 11\\) मिलता है। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \\(4x\ge 12\\), और 4 से भाग देने पर \\(x\ge 3\\) प्राप्त होता है। 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में ध्यान रखें कि \\(x=3\\) भी हल में शामिल है; इसलिए \\(x>3\\) गलत है। / Subtracting \\(2x\\) from both sides gives \\(4x-1\ge 11\\). Adding 1 to both sides gives \\(4x\ge 12\\), and dividing by 4 gives \\(x\ge 3\\). Since 4 is positive, the inequality sign does not change. Remember that \\(x=3\\) is also included, so \\(x>3\\) is incorrect.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से भाग देने पर \\(x+2>5\\) मिलता है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \\(x>3\\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता का चिह्न उलट गया है, जबकि धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: असमानता का चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Dividing both sides by the positive number 3 gives \\(x+2>5\\). Subtracting 2 from both sides gives \\(x>3\\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; division by a positive number does not reverse it. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
(2) से भाग देने पर \(x-5\le 4\), इसलिए \(x\le 9\)। धनात्मक गुणक से चिह्न वही रहता है। / Dividing by (2) gives \(x-5\le 4\), so \(x\le 9\). A positive multiplier keeps the sign unchanged.
दोनों पक्षों को (4) से गुणा करने पर \(x-1\ge 8\), इसलिए \(x\ge 9\)। धनात्मक हर चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides by (4) gives \(x-1\ge 8\), so \(x\ge 9\). A positive denominator does not change the sign.
दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर \(2x+1\le 15\) मिलता है। अतः \(2x\le 14\), इसलिए \(x\le 7\)। यहाँ 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न उलटा है और विकल्प C में \(x=7\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा में भिन्न हटाते समय गुणक के धनात्मक या ऋणात्मक होने की जाँच करें। / Multiplying both sides by 5 gives \(2x+1\le 15\). Thus, \(2x\le 14\), so \(x\le 7\). Since 5 is positive, the inequality sign remains unchanged. Option B reverses the sign incorrectly, while option C wrongly excludes \(x=7\). In an exam, check whether the multiplier is positive or negative before deciding whether to reverse the inequality sign.
दोनों पक्षों को (-4) से गुणा करने पर चिह्न पलटता है और (x>-8) मिलता है। ऋणात्मक से गुणा करते समय चिह्न बदलें। / Multiplying both sides by (-4) reverses the sign and gives (x>-8). Reverse the sign when multiplying by a negative number.
(9-3x>0) से (-3x>-9), इसलिए (-3) से भाग देने पर (x<3)। ऋणात्मक भाग में चिह्न पलटना जरूरी है। / From (9-3x>0), we get (-3x>-9), so division by (-3) gives (x<3). Reversing the sign is necessary in negative division.
दोनों पक्षों से (x) घटाने पर \(x+5\le 12\), इसलिए \(x\le 7\)। चर को अकेला करना मुख्य कदम है। / Subtracting (x) from both sides gives \(x+5\le 12\), so \(x\le 7\). Isolating the variable is the key step.
(10) घटाने पर (-x<-6), फिर (-1) से भाग देने पर (x>6)। (-x) को (x) बनाते समय चिह्न पलटता है। / Subtracting (10) gives (-x<-6), then dividing by (-1) gives (x>6). The sign reverses when changing (-x) to (x).
कोष्ठक खोलने पर \(4x+4\ge 2x+10\), इसलिए \(2x\ge 6\) और \(x\ge 3\)। पहले कोष्ठक सही खोलें। / Opening brackets gives \(4x+4\ge 2x+10\), so \(2x\ge 6\) and \(x\ge 3\). Open brackets correctly first.
(5x-10<3x+4) से (2x<14), इसलिए (x<7)। चर पदों को एक तरफ और संख्याओं को दूसरी तरफ रखें। / From (5x-10<3x+4), we get (2x<14), so (x<7). Keep variable terms on one side and numbers on the other.
असमानता से (x<4) मिलता है, इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक (3) है। सख्त चिह्न पर सीमा मान शामिल नहीं होता। / The inequality gives (x<4), so the greatest integer is (3). A strict sign does not include the boundary value.
(2) से भाग देने पर \(x\ge 5\), इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (5) है। बराबरी वाला चिह्न सीमा मान को शामिल करता है। / Dividing by (2) gives \(x\ge 5\), so the least integer is (5). The equality sign includes the boundary value.
हल (x>3) है, इसलिए अंतराल (\(3,\infty\)) होगा। सख्त असमानता में खुला कोष्ठक लगाएं। / The solution is (x>3), so the interval is (\(3,\infty\)). Use an open bracket for a strict inequality.
\(4x\le 8\) से \(x\le 2\) मिलता है, इसलिए (\(-\infty,2]\)। \(\le\) में सीमा मान शामिल होता है। / From \(4x\le 8\), we get \(x\le 2\), so (\(-\infty,2]\). The sign \(\le\) includes the boundary value.
हल \(x\le 3\) है, इसलिए (x=4) संतुष्ट नहीं करता। नकारात्मक (x) होने पर चिह्न पलटना न भूलें। / The solution is \(x\le 3\), so (x=4) does not satisfy it. Do not forget to reverse the sign with a negative (x).
A. दोनों पक्षों से (9) घटाएं/Subtract (9) from both sides
Explanation
Simple Explanation
(x) को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से (9) घटाते हैं। उल्टा ऑपरेशन चुनना परीक्षा में समय बचाता है। / To isolate (x), subtract (9) from both sides. Choosing the inverse operation saves time in exams.
A. (-5) से भाग देने पर चिह्न पलटेगा/Dividing by (-5) reverses the sign
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है। यही नियम \(-5x\le 20\) में मुख्य है। / Dividing by a negative number reverses the inequality sign. This is the key rule in \(-5x\le 20\).
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(4\le x\), अर्थात \(x\ge 4\)। उत्तर को सामान्य रूप में (x) से शुरू करके लिखें। / Dividing both sides by (3) gives \(4\le x\), that is \(x\ge 4\). Write the final answer starting with (x) in standard form.
(6) से भाग देने पर (3>x), अर्थात (x<3)। असमानता को पलटकर लिखते समय दिशा सही रखें। / Dividing by (6) gives (3>x), that is (x<3). Keep the direction correct when rewriting the inequality.
(7) घटाने पर \(2x\le -4\), इसलिए \(x\le -2\)। धनात्मक (2) से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting (7) gives \(2x\le -4\), so \(x\le -2\). Dividing by positive (2) does not change the sign.
(4) घटाने पर \(-3x\ge 9\), फिर (-3) से भाग देने पर \(x\le -3\)। ऋणात्मक भाग के बाद चिह्न पलटता है। / Subtracting (4) gives \(-3x\ge 9\), then division by (-3) gives \(x\le -3\). The sign reverses after negative division.
दोनों पक्षों से (x) घटाने पर (1<x-5), इसलिए (x>6)। अंतिम उत्तर में (x) की दिशा स्पष्ट लिखें। / Subtracting (x) from both sides gives (1<x-5), so (x>6). Write the final direction of (x) clearly.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(x-4>1\) मिलता है। अब दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(x>5\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि धनात्मक संख्या से जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलता है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(x-4>1\). Adding 4 to both sides yields \(x>5\), so option A is correct. Remember that adding or subtracting a positive number does not reverse the inequality sign; reversal occurs only when multiplying or dividing by a negative number.
(3) घटाने पर \(5\ge x\), अर्थात \(x\le 5\)। रूप बदलते समय चिह्न की दिशा सुरक्षित रखें। / Subtracting (3) gives \(5\ge x\), that is \(x\le 5\). Preserve the sign direction while changing form.
(1) घटाने पर (10<2x), इसलिए (5<x) यानी (x>5)। (x) को दाईं ओर से बाईं ओर लिखते समय चिह्न पलटकर पढ़ें। / Subtracting (1) gives (10<2x), so (5<x), meaning (x>5). Read the sign correctly when writing (x) on the left.
कोशिश करें दोनों ओर को सरल करने की: \(2(x+3)=2x+6\)। इसलिए \(2x+6\le x+10\)। अब दोनों ओर से \(x\) घटाएँ: \(x+6\le 10\)। फिर दोनों ओर से 6 घटाएँ: \(x\le 4\)। अतः सही उत्तर \(x\le 4\) है। निकटवर्ती दोषपूर्ण विकल्प पर टिप्पणी: \(x<4\) (विकल्प C) लगभग सही दिखता है पर उसमें \(4\) को शामिल नहीं किया गया जबकि बराबरी की स्थिति (\(x=4\)) भी समाधान में आती है। परीक्षा-सुझाव: बराबरी वाले चिह्न (\(\le\) या \(\ge\)) में हमेशा बराबरी (समानता) को शामिल करना न भूलें; केवल तब चिह्न उलटता है जब आप असमानता को नकारने के लिए नकारात्मक संख्या से गुणा/भाग करें। / Expand and simplify: \(2(x+3)=2x+6\), so \(2x+6\le x+10\). Subtract \(x\) from both sides to get \(x+6\le 10\). Subtract 6 to obtain \(x\le 4\). Thus the solution is \(x\le 4\). On the nearest distractor: option C \(x<4\) excludes \(x=4\) which is a valid solution because the inequality allows equality. Exam tip: adding or subtracting terms does not change the inequality direction; only multiply/divide by a negative number reverses the inequality sign.
कोष्ठक खोलने पर \(3x-3>x+5\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(2x-3>5\), और 3 जोड़ने पर \(2x>8\) प्राप्त होता है। 2 से भाग देने पर \(x>4\), इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता सख्त है और \(x=4\) को शामिल नहीं करती। परीक्षा टिप: \(>\) या \(<\) होने पर सीमा-बिंदु हल-समुच्चय में शामिल नहीं होता। / Expanding the bracket gives \(3x-3>x+5\). Subtracting \(x\) from both sides and adding 3 gives \(2x>8\). Dividing by 2 yields \(x>4\), so option A is correct. Option C is incorrect because the strict inequality does not include the boundary value \(x=4\). Exam tip: For \(>\) or \(<\), the boundary point is not included in the solution set.
(3) से गुणा करने पर (x+2<15), इसलिए (x<13)। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying by (3) gives (x+2<15), so (x<13). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
(2) से गुणा करने पर \(3x-2\ge 10\), इसलिए \(x\ge 4\)। भिन्न हटाकर सरल रैखिक असमानता बनाएं। / Multiplying by (2) gives \(3x-2\ge 10\), so \(x\ge 4\). Remove the fraction to form a simple linear inequality.
पूर्ण संख्याएं (0) से शुरू होती हैं, इसलिए (0,1,2,3) शामिल हैं। \(\le\) के कारण (3) भी शामिल है। / Whole numbers start from (0), so (0,1,2,3) are included. Because of \(\le\), (3) is also included.
दोनों पक्षों में (7) जोड़ने पर (x>5) मिलता है। जोड़ या घटाव में असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Adding (7) to both sides gives (x>5). Addition or subtraction does not change the inequality sign.
दोनों पक्षों से (6) घटाने पर \(x\le -7\)। ऋणात्मक उत्तर आने पर भी जोड़-घटाव से चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting (6) from both sides gives \(x\le -7\). Even with a negative answer, addition or subtraction does not change the sign.
(-4) से भाग देने पर चिह्न पलटता है और (x>-4) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक सबसे आम गलती है। / Dividing by (-4) reverses the sign and gives (x>-4). A negative coefficient is the most common mistake.
\(-2x\ge -6\), इसलिए (-2) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक से भाग देते समय चिह्न पलटें। / We get \(-2x\ge -6\), so division by (-2) gives \(x\le 3\). Reverse the sign while dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(4x+2<18\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से 2 घटाकर \(4x<16\), और 4 से भाग देने पर \(x<4\) प्राप्त होता है। 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता; अतः विकल्प B गलत दिशा बताता है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Subtracting \(3x\) from both sides gives \(4x+2<18\). Subtracting 2 and then dividing by the positive number 4 gives \(4x<16\), so \(x<4\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive; therefore, option B has the wrong direction. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
(4x) घटाने और (5) जोड़ने पर \(5x\ge 25\), इसलिए \(x\ge 5\)। बराबरी का चिह्न अंत में भी रखें। / Subtracting (4x) and adding (5) gives \(5x\ge 25\), so \(x\ge 5\). Keep the equality part till the end.
(15) घटाने पर \(x\ge 35\), इसलिए न्यूनतम मान (35) है। शब्द प्रश्न में भी पहले असमानता बनाएं। / Subtracting (15) gives \(x\ge 35\), so the minimum value is (35). In a word problem, form the inequality first.
दुगुना का अर्थ (2x) है और कम है का अर्थ (<) है, इसलिए (2x<14) और (x<7)। शब्दों को सही गणितीय चिह्न में बदलें। / Twice means (2x) and less than means (<), so (2x<14) and (x<7). Convert words into the correct mathematical sign.
दोनों पक्षों में (9) जोड़ने पर \(2x\ge 10\), इसलिए \(x\ge 5\)। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। / Adding (9) to both sides gives \(2x\ge 10\), so \(x\ge 5\). Dividing by a positive number does not change the sign.
दोनों पक्षों को (6) से गुणा करने पर \(x-4\le 12\), इसलिए \(x\le 16\)। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिह्न वही रहता है। / Multiplying both sides by (6) gives \(x-4\le 12\), so \(x\le 16\). Multiplying by a positive denominator keeps the sign unchanged.
असमानता से (3x<15), इसलिए (x<5) और सबसे बड़ा पूर्णांक (4) है। सख्त असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता। / The inequality gives (3x<15), so (x<5) and the greatest integer is (4). A strict inequality does not include the boundary value.
कोष्ठक खोलने पर (2x+8>x+13), इसलिए (x>5)। कोष्ठक खोलते समय प्रत्येक पद से गुणा करें। / Opening brackets gives (2x+8>x+13), so (x>5). Multiply each term correctly while opening brackets.
दोनों पक्षों से (2x) घटाने पर (2x+7<19), इसलिए (x<6)। चर पदों को एक तरफ रखने से हल जल्दी मिलता है। / Subtracting (2x) from both sides gives (2x+7<19), so (x<6). Keeping variable terms on one side makes the solution faster.
असमानता \\(x+8>20\\) में दोनों पक्षों से 8 घटाने पर \\(x>12\\) प्राप्त होता है। घटाने या जोड़ने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प C गलत है, क्योंकि \\(x=12\\) रखने पर मूल असमानता \\(20>20\\) बनती है, जो सत्य नहीं है। परीक्षा-टिप: धनात्मक संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / Subtracting 8 from both sides of \\(x+8>20\\) gives \\(x>12\\). The inequality sign does not change when the same number is added to or subtracted from both sides. Option C is incorrect because substituting \\(x=12\\) gives \\(20>20\\), which is false. Exam tip: The inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
असमानता \\(x-11\le 4\\) में दोनों पक्षों में 11 जोड़ने पर \\(x\le 15\\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि C और D में बराबरी की संभावना गलत रूप से हटा दी गई है। परीक्षा में किसी संख्या को जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Adding 11 to both sides of \\(x-11\le 4\\) gives \\(x\le 15\\), so option A is correct. Option B reverses the inequality without justification, while options C and D incorrectly remove the possibility of equality. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number, not when adding a number.
दोनों पक्षों को (6) से भाग देने पर (x<7) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न वही रहता है। / Dividing both sides by (6) gives (x<7). Dividing by a positive number keeps the sign unchanged.
(-3) से भाग देने पर चिह्न पलटता है और \(x\le -7\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देते समय चिह्न बदलें। / Dividing by (-3) reverses the sign and gives \(x\le -7\). Reverse the sign while dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से 6 घटाने पर 4x > 24 मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर x > 6 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता में 6 शामिल नहीं है। परीक्षा-टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, लेकिन धनात्मक 4 से भाग देने पर ऐसा नहीं होता। / Subtracting 6 from both sides gives 4x > 24. Dividing both sides by the positive number 4 gives x > 6, so option A is correct. Option C is incorrect because equality at x = 6 is not included in the original strict inequality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; division by positive 4 does not reverse it.
दोनों पक्षों में (5) जोड़ने पर \(9x\le 36\), इसलिए \(x\le 4\)। धनात्मक गुणांक से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। / Adding (5) to both sides gives \(9x\le 36\), so \(x\le 4\). Division by a positive coefficient does not change the sign.
(18) घटाने पर (-4x>-16), फिर (-4) से भाग देने पर (x<4)। ऋणात्मक भाग पर चिह्न पलटता है। / Subtracting (18) gives (-4x>-16), then dividing by (-4) gives (x<4). The sign reverses in negative division.
\(21-7x\le 0\) से \(-7x\le -21\), इसलिए \(x\ge 3\)। ऋणात्मक से भाग देने पर दिशा बदलती है। / From \(21-7x\le 0\), we get \(-7x\le -21\), so \(x\ge 3\). The direction changes when dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(2x+10<22\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से 10 घटाने पर \(2x<12\), और 2 से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि यहाँ किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलटता है; धनात्मक संख्या से भाग देने पर नहीं। / Subtracting \(x\) from both sides gives \(2x+10<22\). Subtracting 10 and then dividing by 2 gives \(2x<12\), so \(x<6\). Therefore, option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; no multiplication or division by a negative number occurs here. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(3x-3\ge 18\) मिलता है। दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(3x\ge 21\), और 3 से भाग देने पर \(x\ge 7\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है, क्योंकि किसी ऋणात्मक संख्या से भाग नहीं दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Subtracting \(5x\) from both sides gives \(3x-3\ge 18\). Adding 3 to both sides yields \(3x\ge 21\), and dividing by 3 gives \(x\ge 7\). Therefore, option A is correct. Option B reverses the inequality without justification; the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: Always check whether the number used for multiplication or division is negative.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 5 से भाग देने पर \(x+1>5\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में 1 घटाने पर \(x>4\), इसलिए सही उत्तर A है। चूँकि असमानता सख्त है, \(x=4\) मान्य नहीं है; अतः \(x\ge4\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Dividing both sides by the positive number 5 gives \(x+1>5\). Subtracting 1 from both sides yields \(x>4\), so option A is correct. Since the inequality is strict, \(x=4\) is not included; therefore, \(x\ge4\) is incorrect. Exam tip: The inequality sign does not change when multiplying or dividing by a positive number.
(3) से भाग देने पर \(x-6\le 4\), इसलिए \(x\le 10\)। कोष्ठक वाले प्रश्न में सरल भाग पहले करें। / Dividing by (3) gives \(x-6\le 4\), so \(x\le 10\). In bracket questions, do the easy division first.
कोष्ठक खोलने पर (7x-14<2x+13), इसलिए (5x<27) और \(x<\frac{27}{5}\)। भिन्न उत्तर भी सही हल हो सकता है। / Opening brackets gives (7x-14<2x+13), so (5x<27) and \(x<\frac{27}{5}\). A fractional answer can also be correct.
पहले कोष्ठक खोलें: \(4(x+3)=4x+12\)। अतः \(4x+12\ge 2x+20\)। दोनों ओर से \(2x\) घटाने पर \(2x+12\ge 20\) और फिर \(12\) घटाने पर \(2x\ge 8\)। दोनों ओर को \(2\) से भाग देने पर दिशा अपरिवर्तित रहती है क्योंकि भागकर्ता धनात्मक है: \(x\ge 4\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(x>4\) है, जो बराबरी की स्थिति \(x=4\) को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: अंतिम उत्तर में बराबरी का संकेत \(\ge\) या \(\le\) न भूलें; परीक्षण के लिए \(x=4\) को असमानता में लगाकर जाँच करें। / Expand the bracket: \(4(x+3)=4x+12\). So \(4x+12\ge 2x+20\). Subtracting \(2x\) gives \(2x+12\ge 20\); subtract 12 to get \(2x\ge 8\). Dividing by \(2\) (positive) preserves the inequality: \(x\ge 4\). The closest distractor \(x>4\) omits the equality case \(x=4\). Exam tip: always test the boundary value (here \(x=4\)) to confirm whether equality is allowed.
(3) घटाने पर \(\frac{x}{5}<6\), इसलिए (x<30)। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting (3) gives \(\frac{x}{5}<6\), so (x<30). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(x+5\ge 16\)। दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(x\ge 11\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=11\) भी हल में शामिल है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, लेकिन धनात्मक संख्या के लिए ऐसा नहीं होता। / Multiplying both sides by the positive number 2 does not reverse the inequality: \(x+5\ge 16\). Subtracting 5 from both sides gives \(x\ge 11\), so option A is correct. Option C is incorrect because \(x=11\) is also included in the solution set. Exam tip: the inequality sign reverses when both sides are multiplied or divided by a negative number, but not by a positive number.
दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर, क्योंकि 3 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(4x-1\le 15\)। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(4x\le 16\), और 4 से भाग देने पर \(x\le 4\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=4\) भी मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by 3 does not reverse the inequality because 3 is positive: \(4x-1\le 15\). Adding 1 to both sides gives \(4x\le 16\), and dividing by 4 gives \(x\le 4\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because \(x=4\) also satisfies the original inequality. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को (-6) से गुणा करने पर चिह्न पलटता है और \(x\le -18\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलें। / Multiplying both sides by (-6) reverses the sign and gives \(x\le -18\). Change the direction in negative multiplication.
(4) से गुणा करने पर (2x+7>24), इसलिए \(x>\frac{17}{2}\)। भिन्न रूप में उत्तर स्वीकार्य है। / Multiplying by (4) gives (2x+7>24), so \(x>\frac{17}{2}\). A fractional form of the answer is acceptable.
हल (x<5) है, इसलिए अंतराल (\(-\infty,5\)) होगा। सख्त असमानता में खुला कोष्ठक लगाएं। / The solution is (x<5), so the interval is (\(-\infty,5\)). Use an open bracket for a strict inequality.
(9) घटाने पर \(3\le x\), अर्थात \(x\ge 3\)। उत्तर को (x) से शुरू करके लिखना स्पष्ट रहता है। / Subtracting (9) gives \(3\le x\), that is \(x\ge 3\). Writing the answer starting with (x) is clearer.
(5) से भाग देने पर (6>x), अर्थात (x<6)। असमानता को पलटकर लिखते समय दिशा सही रखें। / Dividing by (5) gives (6>x), that is (x<6). Keep the direction correct when rewriting the inequality.
हल \(x\le 3\) है, इसलिए (x=4) संतुष्ट नहीं करता। ऋणात्मक गुणांक पर चिह्न पलटना याद रखें। / The solution is \(x\le 3\), so (x=4) does not satisfy it. Remember to reverse the sign with a negative coefficient.
असमानता से (x<5) मिलता है, इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक (4) है। सख्त चिह्न में सीमा शामिल नहीं होती। / The inequality gives (x<5), so the greatest integer is (4). A strict sign does not include the boundary.
(3) से भाग देने पर \(x\ge 8\), इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (8) है। \(\ge\) सीमा मान को शामिल करता है। / Dividing by (3) gives \(x\ge 8\), so the least integer is (8). The sign \(\ge\) includes the boundary value.
पूर्ण संख्याएं (0) से शुरू होती हैं और (x<4) में (4) शामिल नहीं है। इसलिए हल ({0,1,2,3}) है। / Whole numbers start from (0), and (4) is not included in (x<4). Therefore the solution is ({0,1,2,3}).
A. दोनों पक्षों से \(12\) घटाएँ/Subtract \(12\) from both sides
Explanation
Simple Explanation
\(x\) को अकेला करने के लिए दोनों पक्षों से \(12\) घटाना आवश्यक है: \(x+12-12\ge 25-12\), इसलिए \(x\ge 13\)। असमानता के दोनों पक्षों में समान संख्या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। \(12\) जोड़ना \(x\) को अलग नहीं करता। परीक्षा में पहले उस पद को हटाने के लिए उसका विपरीत संक्रिया चुनें जो चर के साथ जुड़ा हो। / To isolate \(x\), subtract \(12\) from both sides: \(x+12-12\ge 25-12\), giving \(x\ge 13\). The inequality sign remains unchanged when the same number is subtracted from both sides. Adding \(12\) does not isolate \(x\). Exam tip: use the inverse operation of the term added to or subtracted from the variable.
(x=6) रखने पर (12-3<9) यानी (9<9) गलत है। सख्त असमानता में बराबरी मान्य नहीं होती। / Putting (x=6) gives (12-3<9), that is (9<9), which is false. Equality is not allowed in a strict inequality.
(x=6) रखने पर \(36+4\le 40\) यानी \(40\le 40\) सही है। \(\le\) में बराबरी स्वीकार होती है। / Putting (x=6) gives \(36+4\le 40\), that is \(40\le 40\), which is true. Equality is allowed in \(\le\).
असमानता \(x-9>-4\) में दोनों पक्षों में \(9\) जोड़ने पर \(x>-4+9\), अर्थात् \(x>5\), प्राप्त होता है। किसी संख्या को दोनों पक्षों में जोड़ने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न उलट दिया गया है, जबकि विकल्प C और D में बराबरी का चिन्ह अनावश्यक रूप से जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Adding \(9\) to both sides of \(x-9>-4\) gives \(x>-4+9\), so \(x>5\). Adding the same number to both sides does not reverse the inequality sign. Option B incorrectly reverses the sign, while options C and D incorrectly include equality. Exam tip: the inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
दोनों पक्षों से (14) घटाने पर \(x\le -16\) मिलता है। ऋणात्मक उत्तर आने पर भी घटाव से चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting (14) from both sides gives \(x\le -16\). Even with a negative answer, subtraction does not change the sign.
दोनों पक्षों से 11 घटाने पर −2x < −6 प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को −2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए x > 3। विकल्प B में चिह्न उलटने की प्रक्रिया नहीं अपनाई गई है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अवश्य बदलें। / Subtracting 11 from both sides gives −2x < −6. Dividing both sides by −2 reverses the inequality sign, so x > 3. Option B incorrectly keeps the sign unchanged. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
(6) घटाने पर \(-5x\ge -15\), फिर (-5) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक से भाग में चिह्न पलटें। / Subtracting (6) gives \(-5x\ge -15\), then dividing by (-5) gives \(x\le 3\). Reverse the sign in negative division.
विकल्प A में दोनों पक्षों से \(2x+3\) घटाने पर \(0<0\) मिलता है, जो कभी सत्य नहीं होता। इसलिए इसका कोई वास्तविक हल नहीं है। विकल्प D में \(0\geq0\) सत्य है, अतः वहाँ सभी वास्तविक संख्याएँ हल हैं। परीक्षा टिप: समान पद हटाकर स्थिर कथन जाँचें। / In option A, subtracting \(2x+3\) from both sides gives \(0<0\), which is never true. Hence, it has no real solution. In option D, \(0\geq0\) is true, so every real number satisfies it. Exam tip: cancel identical terms and check the resulting statement.
\(2x+14\le 4x+6\) से \(8\le 2x\), इसलिए \(x\ge 4\)। दाईं ओर चर हो तो भी उत्तर (x) से लिखें। / From \(2x+14\le 4x+6\), we get \(8\le 2x\), so \(x\ge 4\). Even if the variable is on the right, write the answer with (x).
पहले कोष्ठक खोलें: \\(9x-9>6x+12\\)। दोनों पक्षों से \\(6x\\) घटाने पर \\(3x-9>12\\), और 9 जोड़ने पर \\(3x>21\\) मिलता है। 3 से भाग देने पर \\(x>7\\), इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है, जबकि विकल्प C और D में 7 को शामिल किया गया है, जो सख्त असमानता \\(>\\) में नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर ही दिशा बदलती है। / Expand the brackets first: \\(9x-9>6x+12\\). Subtracting \\(6x\\) from both sides gives \\(3x-9>12\\), and adding 9 gives \\(3x>21\\). Dividing by 3 yields \\(x>7\\), so option A is correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while options C and D include 7, which is not allowed in the strict inequality \\(>\\). Exam tip: the inequality sign changes direction only when dividing or multiplying by a negative number.
दिए गए कथन को असमानता में लिखने पर \(x+18>50\) मिलता है। दोनों पक्षों से 18 घटाने पर \(x>32\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। ‘50 से अधिक’ का अर्थ 50 से strictly बड़ा है, इसलिए \(x\ge 32\) सही नहीं हो सकता। परीक्षा में ‘से अधिक’ के लिए \(>\) और ‘से अधिक या बराबर’ के लिए \(\ge\) चिह्न का प्रयोग करें। / The statement translates to \(x+18>50\). Subtracting 18 from both sides gives \(x>32\), so option A is correct. ‘Greater than 50’ means strictly more than 50, so \(x\ge 32\) is not correct because it includes \(x=32\). In exams, use \(>\) for ‘greater than’ and \(\ge\) for ‘greater than or equal to.’
(12) घटाने पर \(x\ge 33\), इसलिए न्यूनतम मान (33) है। \(\ge\) में सीमा मान शामिल होता है। / Subtracting (12) gives \(x\ge 33\), so the minimum value is (33). The sign \(\ge\) includes the boundary value.
‘तीन गुना’ का अर्थ \(3x\) होता है, इसलिए दी गई शर्त \(3x<27\) है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से भाग देने पर \(x<9\) प्राप्त होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि ‘से कम’ में 9 शामिल नहीं होता। परीक्षा में याद रखें: केवल ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / ‘Three times’ means \(3x\), so the inequality is \(3x<27\). Dividing both sides by the positive number 3 gives \(x<9\). Option C is incorrect because ‘less than’ does not include 9. Exam tip: the inequality sign reverses only when dividing or multiplying by a negative number.
‘कम से कम’ का अर्थ \(\ge\) होता है, इसलिए पहली असमानता \(x-7\ge 20\) होगी। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(x\ge 27\) मिलता है। विकल्प B में ‘कम से कम’ को सख्त असमानता \(>\) माना गया है, जो गलत है क्योंकि \(x=27\) भी समाधान है। परीक्षा-युक्ति: ‘at least’ के लिए \(\ge\) और ‘at most’ के लिए \(\le\) याद रखें। / ‘At least’ means \(\ge\), so the inequality is \(x-7\ge 20\). Adding 7 to both sides gives \(x\ge 27\). Option B is incorrect because it uses the strict sign \(>\); in fact, \(x=27\) is also a valid solution. Exam tip: remember that ‘at least’ corresponds to \(\ge\), while ‘at most’ corresponds to \(\le\).
A. (3) घटाएं फिर (2) से भाग दें/Subtract (3) then divide by (2)
Explanation
Simple Explanation
पहले (3) घटाने पर \(2x\le 12\), फिर (2) से भाग देने पर \(x\le 6\)। उल्टे क्रम में ऑपरेशन करें। / First subtracting (3) gives \(2x\le 12\), then dividing by (2) gives \(x\le 6\). Use operations in reverse order.
(9) घटाने पर (-x>-8), इसलिए (-1) से भाग देने पर (x<8)। (-x) को (x) बनाते समय चिह्न पलटें। / Subtracting (9) gives (-x>-8), so dividing by (-1) gives (x<8). Reverse the sign when changing (-x) to (x).
(1) घटाने पर (12<3x), इसलिए (4<x) अर्थात (x>4)। दिशा बदलकर लिखते समय चिह्न सही पढ़ें। / Subtracting (1) gives (12<3x), so (4<x), meaning (x>4). Read the sign correctly when rewriting the direction.
(4) घटाने पर \(12\ge 2x\), इसलिए \(6\ge x\) यानी \(x\le 6\)। उत्तर को सामान्य रूप में लिखें। / Subtracting (4) gives \(12\ge 2x\), so \(6\ge x\), that is \(x\le 6\). Write the answer in standard form.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(5x-12<18\) मिलता है। दोनों पक्षों में 12 जोड़ने पर \(5x<30\), और 5 से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। क्योंकि 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय ही असमानता का चिह्न उलटना याद रखें। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(5x-12<18\). Adding 12 to both sides gives \(5x<30\), and dividing by 5 gives \(x<6\). Since 5 is positive, the inequality sign does not reverse. In exams, remember to reverse the sign only when multiplying or dividing by a negative number.
(5) घटाने पर \(-3x\le -15\), इसलिए (-3) से भाग देने पर \(x\ge 5\)। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न पलटता है। / Subtracting (5) gives \(-3x\le -15\), so division by (-3) gives \(x\ge 5\). Dividing by a negative number reverses the sign.
(5) से गुणा करने पर (x-3>20), इसलिए (x>23)। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying by (5) gives (x-3>20), so (x>23). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
असमानता से \(4x\le 16\), इसलिए \(x\le 4\) और सबसे बड़ा पूर्णांक (4) है। \(\le\) में सीमा मान शामिल होता है। / The inequality gives \(4x\le 16\), so \(x\le 4\) and the greatest integer is (4). The sign \(\le\) includes the boundary value.
(x+3>7) में दोनों पक्षों से (3) घटाने पर (x>4) मिलता है। परीक्षा में समान संख्या घटाने से चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting (3) from both sides of (x+3>7) gives (x>4). In exams remember that subtracting the same number does not change the sign.
\(x-5\le 2\) में दोनों पक्षों में (5) जोड़ने पर \(x\le 7\) मिलता है। जोड़ने पर असमानता का चिन्ह वही रहता है। / Adding (5) to both sides of \(x-5\le 2\) gives \(x\le 7\). Addition keeps the inequality sign unchanged.
\(3x\ge 18\) में (3) से भाग देने पर \(x\ge 6\) मिलता है। धनात्मक गुणांक हटाते समय चिन्ह वैसा ही रहता है। / Dividing \(3x\ge 18\) by (3) gives \(x\ge 6\). The sign stays the same when dividing by a positive coefficient.
\(-2x\le 8\) में (-2) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर \(x\ge -4\) मिलता है। यह आसान प्रश्नों में सबसे सामान्य गलती होती है। / Dividing \(-2x\le 8\) by (-2) reverses the sign and gives \(x\ge -4\). This sign reversal is a very common exam mistake.
पहले (1) घटाने पर (5x>15) और फिर (5) से भाग देने पर (x>3) मिलता है। पहले स्थिर पद हटाना आसान रहता है। / First subtract (1) to get (5x>15), then divide by (5) to get (x>3). Removing the constant term first makes solving easier.
(7) जोड़ने पर \(4x\le 16\) और (4) से भाग देने पर \(x\le 4\) मिलता है। धनात्मक (4) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Adding (7) gives \(4x\le 16\), and dividing by (4) gives \(x\le 4\). Dividing by positive (4) keeps the sign unchanged.
(6-2x>0) से (-2x>-6) मिलता है और (-2) से भाग देने पर (x<3) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देते समय चिन्ह पलटता है। / From (6-2x>0), we get (-2x>-6), and dividing by (-2) gives (x<3). Reverse the sign when dividing by a negative number.
\(7-3x\ge 1\) से \(-3x\ge -6\) और फिर \(x\le 2\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक पर चिन्ह उलटना जरूरी है। / \(7-3x\ge 1\) gives \(-3x\ge -6\), then \(x\le 2\). The inequality sign must reverse with a negative coefficient.
दोनों पक्षों से (x) और (5) घटाने पर \(x\le 4\) मिलता है। चर पदों को एक ओर और संख्याओं को दूसरी ओर रखें। / Subtracting (x) and (5) from both sides gives \(x\le 4\). Keep variable terms on one side and constants on the other.
(3x-2>x+6) से (2x>8) मिलता है इसलिए (x>4) है। समान पद घटाने से चिन्ह नहीं बदलता। / From (3x-2>x+6), we get (2x>8), so (x>4). Subtracting like terms does not change the inequality sign.
\(4x+3\ge 2x+11\) से \(2x\ge 8\) और इसलिए \(x\ge 4\) मिलता है। सरल बनाने के बाद ही उत्तर चुनें। / \(4x+3\ge 2x+11\) gives \(2x\ge 8\), hence \(x\ge 4\). Simplify fully before choosing the answer.
दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(2x-4<2\) मिलता है। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(2x<6\), और 2 से भाग देने पर \(x<3\) प्राप्त होता है। यहाँ 2 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर ही चिह्न उलटने की बात याद रखें; इसलिए \(x>3\) सही नहीं है। / Subtracting \(3x\) from both sides gives \(2x-4<2\). Adding 4 to both sides gives \(2x<6\), and dividing by the positive number 2 gives \(x<3\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive. Exam tip: the sign reverses only when an inequality is multiplied or divided by a negative number, so \(x>3\) is incorrect.
\(9-x\le 5\) से \(-x\le -4\) मिलता है और (-1) से भाग देने पर \(x\ge 4\) है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह उलटें। / \(9-x\le 5\) gives \(-x\le -4\), and dividing by (-1) gives \(x\ge 4\). Reverse the sign when dividing by a negative number.
\(\frac{x}{2}>3\) में दोनों पक्षों को (2) से गुणा करने पर (x>6) मिलता है। धनात्मक (2) से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying both sides of \(\frac{x}{2}>3\) by (2) gives (x>6). Multiplication by positive (2) keeps the sign unchanged.
दोनों पक्षों को (3) से गुणा करने पर \(x\le 12\) मिलता है। हर हटाते समय वह धनात्मक हो तो चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying both sides by (3) gives \(x\le 12\). When the denominator is positive, the sign does not change.
(2) से गुणा करने पर \(x+1\ge 10\) और (1) घटाने पर \(x\ge 9\) मिलता है। क्रम से हल करने पर गलती कम होती है। / Multiplying by (2) gives \(x+1\ge 10\), and subtracting (1) gives \(x\ge 9\). Solving step by step reduces mistakes.
(5) से गुणा करने पर (x-2<5) और (2) जोड़ने पर (x<7) मिलता है। धनात्मक हर हटाते समय चिन्ह वैसा ही रहता है। / Multiplying by (5) gives (x-2<5), and adding (2) gives (x<7). A positive denominator keeps the inequality sign unchanged.
(3) से गुणा करने पर (2x>12) और (2) से भाग देने पर (x>6) मिलता है। भिन्न हटाकर सरल रैखिक रूप बनाएं। / Multiplying by (3) gives (2x>12), and dividing by (2) gives (x>6). Remove fractions to form a simple linear inequality.
कोष्ठक खोलने पर \(2x+6>14\) मिलता है। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(2x>8\), और 2 से भाग देने पर \(x>4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: असमानता का चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Expanding the bracket gives \(2x+6>14\). Subtracting 6 from both sides results in \(2x>8\), and dividing by 2 gives \(x>4\). Therefore, option A is correct. Option B is incorrect because division by the positive number 2 does not reverse the inequality sign. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(3(x-2)\le 12\) से \(x-2\le 4\) और \(x\le 6\) मिलता है। धनात्मक (3) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From \(3(x-2)\le 12\), we get \(x-2\le 4\), so \(x\le 6\). Dividing by positive (3) does not change the sign.
कोष्ठक खोलने पर \(4x+4\ge 2x+10\) मिलता है इसलिए \(2x\ge 6\) और \(x\ge 3\)। पहले सभी पदों को सरल करें। / Opening brackets gives \(4x+4\ge 2x+10\), so \(2x\ge 6\) and \(x\ge 3\). Simplify all terms first.
कोष्ठक खोलने पर \(5x-5<3x+7\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(2x-5<7\), अर्थात् \(2x<12\) मिलता है। अब धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता का चिन्ह उलट दिया गया है, जबकि धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। परीक्षा-टिप: असमानता का चिन्ह केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। / Expanding the brackets gives \(5x-5<3x+7\). Subtracting \(3x\) from both sides yields \(2x-5<7\), or \(2x<12\). Dividing by the positive number \(2\) gives \(x<6\), so option A is correct. Option B is wrong because the inequality sign is reversed even though the divisor is positive. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर 6x − 2 > 4x + 6 मिलता है। दोनों पक्षों से 4x घटाने पर 2x − 2 > 6, और दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर 2x > 8 प्राप्त होता है। 2 से भाग देने पर x > 4 मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; धनात्मक संख्या से भाग देने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में याद रखें कि असमानता की दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। / Expanding the brackets gives 6x − 2 > 4x + 6. Subtracting 4x from both sides gives 2x − 2 > 6, and adding 2 gives 2x > 8. Dividing by the positive number 2 yields x > 4, so option A is correct. Option B has the wrong direction; division by a positive number does not reverse an inequality. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
(x<5) में (5) शामिल नहीं है इसलिए खुला अंतराल (\(-\infty,5\)) होगा। (<) के लिए कोष्ठक गोल रखें। / In (x<5), (5) is not included, so the interval is (\(-\infty,5\)). Use a round bracket for (<).
\(x\ge -2\) में (-2) शामिल है इसलिए \([-2,\infty\)) सही है। \(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है। / In \(x\ge -2\), (-2) is included, so \([-2,\infty\)) is correct. Infinity always takes a round bracket.
दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(2x\ge 8\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(x\ge 4\) प्राप्त होता है। इसलिए 4 समाधान समुच्चय में शामिल है और अंतराल \([4,\infty)\) होगा। विकल्प B गलत है, क्योंकि खुले कोष्ठक का अर्थ है कि 4 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) होने पर सीमा-बिंदु को वर्ग कोष्ठक में लिखें। / Adding 1 to both sides gives \(2x\ge 8\). Dividing by 2 gives \(x\ge 4\). Therefore, 4 is included in the solution set, so the interval is \([4,\infty)\). Option B is incorrect because a parenthesis excludes 4. Exam tip: use a square bracket at the boundary when the inequality contains \(\ge\) or \(\le\).
(x-1>2) से (x>3) मिलता है इसलिए सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या (4) है। सख्त असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता। / (x-1>2) gives (x>3), so the smallest natural number is (4). A strict inequality does not include the boundary value.
\(x+2\le 6\) से \(x\le 4\) मिलता है और धनात्मक पूर्णांक (1,2,3,4) हैं। गिनते समय (0) को धनात्मक पूर्णांक न मानें। / \(x+2\le 6\) gives \(x\le 4\), and the positive integers are (1,2,3,4). Do not count (0) as a positive integer.
\(3x\ge 7\) से \(x\ge \frac{7}{3}\) मिलता है इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (3) है। सीमा से ऊपर पहला पूर्णांक लें। / \(3x\ge 7\) gives \(x\ge \frac{7}{3}\), so the least integer is (3). Take the first integer above the boundary.
असमानता \(5-x>1\) में दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(-x>-4\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है और \(x<4\) प्राप्त होता है। 4 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 3 है, इसलिए सही उत्तर 3 है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Subtracting 5 from both sides of \(5-x>1\) gives \(-x>-4\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, so \(x<4\). The greatest integer less than 4 is 3; therefore, 3 is correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
(x=3) रखने पर (x+2=5) और (5<6) सत्य है। विकल्प जांचते समय दिए गए मान को सीधे रखें। / Putting (x=3), we get (x+2=5), and (5<6) is true. Substitute the given value directly while checking options.
दोनों पक्षों से (7) घटाने पर \(x\ge 0\) मिलता है। बराबरी वाला चिन्ह हो तो सीमा मान शामिल करें। / Subtracting (7) from both sides gives \(x\ge 0\). Include the boundary value when equality is present.
दोनों पक्षों में (4) जोड़ने पर (x<3) मिलता है। ऋणात्मक संख्या के साथ भी जोड़ने से चिन्ह नहीं बदलता। / Adding (4) to both sides gives (x<3). Even with negative numbers, addition does not change the sign.
असमानता \(x+6>-2\) में दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x>-2-6=-8\) मिलता है। इसलिए सही हल \(x>-8\) है। 6 घटाने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता; चिन्ह केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। परीक्षा-टिप: पहले स्थिर पद को दूसरी ओर ले जाकर उसका चिह्न बदलें। / Subtracting 6 from both sides of \(x+6>-2\) gives \(x>-2-6=-8\). Therefore, the correct solution is \(x>-8\). The inequality sign does not change when the same number is subtracted from both sides; it reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: move the constant term to the other side and change its sign.
A. (-3) से भाग देने पर चिन्ह उलटेगा/Dividing by (-3) reverses the sign
Explanation
Simple Explanation
(-3x>12) में ऋणात्मक संख्या (-3) से भाग देना होगा इसलिए चिन्ह उलटेगा। यह नियम असमानताओं में बहुत महत्वपूर्ण है। / In (-3x>12), we divide by the negative number (-3), so the sign reverses. This rule is very important in inequalities.
\(8+2x\le 20\) से \(2x\le 12\) और \(x\le 6\) मिलता है। स्थिर पद को दूसरी ओर ले जाकर सरल करें। / \(8+2x\le 20\) gives \(2x\le 12\), so \(x\le 6\). Move the constant term to the other side and simplify.
संख्या को (x) मानने पर (5) जोड़ना (x+5) है और अधिक का अर्थ (>) है। शब्दों को पहले बीजीय रूप में बदलें। / Let the number be (x). Adding (5) gives (x+5), and greater than means (>). Convert words into algebra first.
वाक्य से (2x<18) बनता है और (2) से भाग देने पर (x<9) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / The statement gives (2x<18), and dividing by (2) gives (x<9). Dividing by a positive number does not change the sign.
खर्च करने के बाद राशि (x-30) होगी और कम से कम (70) का अर्थ \(\ge 70\) है। भाषा में कम से कम को \(\ge\) से लिखें। / After spending, the amount is (x-30), and at least (70) means \(\ge 70\). In words, at least is written using \(\ge\).
चार पेन की कीमत \(4x\) रुपये होगी। “100 रुपये से अधिक नहीं” का अर्थ \(4x\le 100\) है। दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर \(x\le 25\) प्राप्त होता है, इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में “not more than” या “अधिक नहीं” को \(\le\) के रूप में पहचानें। / The cost of four pens is \(4x\) rupees. “Not more than 100” means \(4x\le 100\). Dividing both sides by the positive number 4 gives \(x\le 25\), so option A is correct. In exams, remember that “not more than” indicates the \(\le\) sign, not the strict sign \(<\).
वाक्य से \(x-8\ge 0\) बनता है और (8) जोड़ने पर \(x\ge 8\) मिलता है। बराबर या बड़ा के लिए \(\ge\) प्रयोग करें। / The statement gives \(x-8\ge 0\), and adding (8) gives \(x\ge 8\). Use \(\ge\) for greater than or equal to.
\(7x+2\le 23\) में (2) घटाने पर \(7x\le 21\) और (7) से भाग देने पर \(x\le 3\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting (2) from \(7x+2\le 23\) gives \(7x\le 21\), and dividing by (7) gives \(x\le 3\). Division by a positive number does not change the sign.
(5) घटाने पर (-4x<12) मिलता है और (-4) से भाग देने पर (x>-3) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलटता है। / Subtracting (5) gives (-4x<12), and dividing by (-4) gives (x>-3). The inequality sign reverses when dividing by a negative number.
(4) से गुणा करने पर (x+3<8) और (3) घटाने पर (x<5) मिलता है। धनात्मक हर हटाते समय चिन्ह वही रहता है। / Multiplying by (4) gives (x+3<8), and subtracting (3) gives (x<5). The sign stays the same when clearing a positive denominator.
दोनों पक्षों से (2x) जोड़ने के बजाय (2x) घटाने पर \(1\le 3x-8\) और फिर \(9\le 3x\) मिलता है। इसलिए \(x\ge 3\) सही है। / Subtracting (2x) from both sides gives \(1\le 3x-8\), then \(9\le 3x\). Hence \(x\ge 3\) is correct.
वाक्य से \(x+3\le 16\) बनता है और (3) घटाने पर \(x\le 13\) मिलता है। अधिक नहीं का अर्थ \(\le\) होता है। / The statement gives \(x+3\le 16\), and subtracting (3) gives \(x\le 13\). Not more than means \(\le\).
\(9-2x\le 1\) में (9) घटाने पर \(-2x\le -8\) मिलता है और (-2) से भाग देने पर \(x\ge 4\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। / Subtracting (9) from \(9-2x\le 1\) gives \(-2x\le -8\), and dividing by (-2) gives \(x\ge 4\). The sign reverses when dividing by a negative number.
यह संघ \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\) उन सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है जो 1 से छोटी या 1 से बड़ी हैं। इसलिए इसमें केवल 1 शामिल नहीं है और असमता \(x\ne 1\) प्राप्त होती है। विकल्प C और D केवल एक-एक ओर के मान दर्शाते हैं, जबकि यहाँ दोनों ओर के मान लिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: अंतराल में 1 के चारों ओर खुले सिरे देखकर समझें कि 1 को शामिल नहीं किया गया है। / The union \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\) includes all real numbers less than 1 or greater than 1. Thus, the only excluded value is 1, so it represents \(x\ne 1\). Options C and D describe only one side of 1, whereas this interval includes both sides. Exam tip: Open endpoints at 1 indicate that 1 is not included.
y-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए x=0 रखें, क्योंकि y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। तब 0+3y=12, इसलिए y=4। अतः y-अंतःखंड 4 है। विकल्प 3 केवल y के गुणांक को दर्शाता है, अंतःखंड को नहीं। परीक्षा टिप: x-अंतःखंड के लिए y=0 और y-अंतःखंड के लिए x=0 रखें। / To find the y-intercept, set x=0 because every point on the y-axis has an x-coordinate of 0. Then 0+3y=12, giving y=4. Therefore, the y-intercept is 4. Option 3 is only the coefficient of y, not the intercept. Exam tip: set y=0 for the x-intercept and x=0 for the y-intercept.
इस असमानता की सीमा रेखा \(2x-y=4\) है। चूँकि चिह्न \(<\) सख्त असमानता दर्शाता है, इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल-समुच्चय में शामिल नहीं होते और रेखा टूटी हुई खींची जाती है। ठोस रेखा \(\leq\) या \(\geq\) जैसी असमानताओं के लिए प्रयुक्त होती है। परीक्षा-युक्ति: < या > के लिए टूटी हुई, जबकि ≤ या ≥ के लिए ठोस सीमा रेखा बनाइए। / The boundary equation for this inequality is \(2x-y=4\). Since the symbol \(<\) represents a strict inequality, points on the boundary are not included in the solution set, so the boundary is drawn as a dashed line. A solid line is used for inequalities such as \(\leq\) or \(\geq\). Exam tip: use a dashed line for < or > and a solid line for ≤ or ≥.
A. रेखा के ऊपर तथा रेखा सहित/Above and including the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\geq 3\) में \(y\) का मान 3 या उससे अधिक होना चाहिए। इसकी सीमा-रेखा \(y=3\) है और \(\geq\) के कारण यह रेखा भी हल-क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के ऊपर तथा रेखा सहित होगा। ध्यान रखें: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-रेखा को ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। / In \(y\geq 3\), the value of \(y\) must be 3 or greater. The boundary is the line \(y=3\), and because the inequality is \(\geq\), the boundary line is included in the solution. Hence, the region is above and including the line. Exam tip: use a solid boundary line for \(\geq\) or \(\leq\), and a dashed line for strict inequalities.
असमानता \(y<-2\) में \(y\) का मान \(-2\) से कम होना चाहिए। सीमा रेखा \(y=-2\) एक क्षैतिज रेखा है, इसलिए इसके नीचे के सभी बिंदु हल देते हैं। चूँकि असमानता सख्त है, सीमा रेखा स्वयं शामिल नहीं होती और उसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दर्शाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\) की तुलना स्थिर संख्या से हो तो क्षैतिज सीमा रेखा बनाकर ऊपर या नीचे का क्षेत्र चुनें। / In \(y<-2\), the value of \(y\) must be less than \(-2\). The boundary \(y=-2\) is a horizontal line, so all points below it satisfy the inequality. Because the inequality is strict, the boundary line itself is not included and is usually drawn dashed. Exam tip: when \(y\) is compared with a constant, draw a horizontal boundary and choose the region above or below it.
B. सीमा-रेखा के दाईं ओर/To the right of the boundary line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x>-1\) में \(x\) का मान \(-1\) से बड़ा होना चाहिए। इसलिए ऊर्ध्वाधर सीमा-रेखा \(x=-1\) के दाईं ओर के सभी बिंदु हल होंगे। क्योंकि असमानता सख्त है, \(x=-1\) वाली सीमा-रेखा स्वयं हल में शामिल नहीं होगी। परीक्षा-युक्ति: \(x>a\) के लिए संख्या-रेखा पर \(a\) के दाईं ओर का भाग चुना जाता है। / In \(x>-1\), the value of \(x\) must be greater than \(-1\). Therefore, all points to the right of the vertical boundary line \(x=-1\) satisfy the inequality. Since the inequality is strict, the boundary line itself is not included. Exam tip: For \(x>a\), select the region to the right of \(a\) on the number line.
बिंदु \((0,0)\) के निर्देशांकों को असमानता में रखने पर \(0+0\leq 4\), अर्थात् \(0\leq 4\), प्राप्त होता है। यह सत्य है, इसलिए बिंदु असमानता को संतुष्ट करता है। यह बिंदु सीमा \(x+y=4\) पर नहीं, बल्कि उसके द्वारा निर्धारित क्षेत्र के भीतर है। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांक सीधे असमानता में रखें। / Substituting the coordinates of \((0,0)\) gives \(0+0\leq 4\), or \(0\leq 4\), which is true. Therefore, the point satisfies the inequality. It is not on the boundary \(x+y=4\); it lies inside the solution region. In an exam, test a point by substituting its coordinates directly into the inequality.
A. अंतिम बिंदु हल में शामिल नहीं होता/The endpoint is not included in the solution
Explanation
Simple Explanation
खुला वृत्त बताता है कि सीमा मान हल में शामिल नहीं है; यह प्रायः \(x>a\) या \(x<a\) के लिए बनता है। भरा वृत्त \(\geq\) या \(\leq\) में होता है। परीक्षा टिप: असमानता का चिह्न ध्यान से देखें। / An open circle means that the boundary value is excluded, as in \(x>a\) or \(x<a\). A filled circle is used for \(\geq\) or \(\leq\), where the endpoint is included. Exam tip: check the inequality sign first.
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः \(x+y=5\) में \(y=0\) रखने पर \(x=5\) मिलता है। इसलिए अंतःखंड का \(x\)-coordinate 5 है और अंतःखंड-बिंदु \((5,0)\) है। परीक्षा में \(x\)-अंतःखंड निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Every point on the x-axis has \(y=0\). Substituting \(y=0\) in \(x+y=5\) gives \(x=5\). Therefore, the x-coordinate of the intercept is 5, and the intercept point is \((5,0)\). For exams, remember to set \(y=0\) when finding the x-intercept.
किसी असमानता की सीमा रेखा प्राप्त करने के लिए असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न में बदल दिया जाता है। इसलिए \(3x-y>6\) की सीमा रेखा \(3x-y=6\) है। विकल्प A और C क्षेत्र को दर्शाते हैं, रेखा को नहीं। परीक्षा में याद रखें: \(>\) या \(<\) वाली असमानताओं की सीमा रेखा सामान्यतः dashed होती है। / To obtain the boundary line of an inequality, replace the inequality sign with an equality sign. Thus, the boundary line of \(3x-y>6\) is \(3x-y=6\). Options A and C describe regions, not the boundary line itself. Exam tip: for strict inequalities such as \(>\) or \(<\), the boundary is generally drawn as a dashed line.
बिंदु \\(1,2\\) के निर्देशांक रखने पर \\(x+y\\leq 3\\) से \\(1+2\\leq 3\\), अर्थात \\(3\\leq 3\\) प्राप्त होता है। यह कथन सत्य है क्योंकि बराबरी भी \\(\\leq\\) में सम्मिलित होती है। इसलिए यह बिंदु सीमा रेखा \\(x+y=3\\) पर स्थित है। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर देखें कि कथन सत्य होता है या नहीं। / Substituting the coordinates of \\(1,2\\) into \\(x+y\\leq 3\\) gives \\(1+2\\leq 3\\), or \\(3\\leq 3\\). This is true because equality is included in the symbol \\(\\leq\\). Hence, the point lies on the boundary line \\(x+y=3\\). Exam tip: To test a point in an inequality, substitute its coordinates and check whether the resulting statement is true.
बिंदु \((2,3)\) के लिए \(x+y=2+3=5\)। इसलिए असमानता \(5<5\) बनती है, जो असत्य है। चूँकि यह कठोर असमानता है, इसमें बराबरी की स्थिति स्वीकार नहीं होती; अतः बिंदु इसे संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा में \(<\) और \(\leq\) का अंतर अवश्य जाँचें। / For the point \((2,3)\), \(x+y=2+3=5\). Thus, the inequality becomes \(5<5\), which is false. Since this is a strict inequality, equality is not included, so the point does not satisfy it. In exams, carefully distinguish between \(<\) and \(\leq\).
मूल-बिंदु \,\((0,0)\) को असमानता में रखने पर \(0+0\leq 7\), अर्थात् \(0\leq 7\), प्राप्त होता है और यह सत्य है। इसलिए समाधान क्षेत्र उस ओर होगा जिसमें मूल-बिंदु स्थित है। विकल्प B असमानता का चिह्न उलट देता है। परीक्षा-युक्ति: रेखीय असमानता के ग्राफ में किसी परीक्षण-बिंदु को सीमा-रेखा पर नहीं, बल्कि उसके किसी एक ओर चुनें। / Substituting the origin \,\((0,0)\) into the inequality gives \(0+0\leq 7\), or \(0\leq 7\), which is true. Therefore, the solution region lies on the side containing the origin. Option B incorrectly reverses the inequality sign. Exam tip: In graphing a linear inequality, choose a test point that does not lie on the boundary line.
A. (y)-अक्ष के दाईं ओर का क्षेत्र, जिसमें (y)-अक्ष भी शामिल है/The region to the right of the (y)-axis, including the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x \ge 0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक शून्य या धनात्मक है। इसलिए यह \(y\)-अक्ष के दाईं ओर का पूरा क्षेत्र दर्शाती है और \(x=0\) होने के कारण \(y\)-अक्ष को भी शामिल करती है। इसके विपरीत, \(x \le 0\) \(y\)-अक्ष के बाईं ओर का क्षेत्र देता है। परीक्षा-युक्ति: \(x\) का चिह्न क्षेत्र की क्षैतिज दिशा और \(y\) का चिह्न ऊर्ध्वाधर दिशा निर्धारित करता है। / The inequality \(x \ge 0\) means that the \(x\)-coordinate of every point is zero or positive. Hence, it represents the entire region to the right of the \(y\)-axis and includes the \(y\)-axis because \(x=0\) is allowed. In contrast, \(x \le 0\) represents the region to the left of the \(y\)-axis. Exam tip: an inequality involving \(x\) determines the horizontal side, while one involving \(y\) determines the vertical side.
\(y\geq 0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य या धनात्मक है। इसलिए इसमें x-अक्ष पर स्थित बिंदु और उसके ऊपर के सभी बिंदु शामिल होते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि वह \(y<0\) वाले क्षेत्र को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\) का चिन्ह क्षेत्र की ऊँचाई बताता है—\(y\geq 0\) x-अक्ष पर या उसके ऊपर होता है। / The inequality \(y\geq 0\) means that the y-coordinate of every point is zero or positive. Therefore, it includes the points on the x-axis as well as all points above it. Option C represents the region where \(y<0\), so it is incorrect. Exam tip: The sign of y indicates vertical position—\(y\geq 0\) lies on or above the x-axis.
A. पहला चतुर्थांश, अक्षों सहित/First quadrant, including the axes
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) का अर्थ है कि बिंदु y-अक्ष के दाईं ओर या y-अक्ष पर होगा, जबकि \(y\geq 0\) का अर्थ है कि वह x-अक्ष के ऊपर या x-अक्ष पर होगा। इसलिए दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र पहला चतुर्थांश है, जिसमें दोनों अक्ष और मूलबिंदु भी शामिल हैं। परीक्षा में \(\geq\) देखकर सीमा-रेखाओं को शामिल करना न भूलें। / The inequality \(x\geq 0\) places a point on or to the right of the y-axis, while \(y\geq 0\) places it on or above the x-axis. Hence, the common region is the first quadrant, including both axes and the origin. Exam tip: the symbol \(\geq\) means that the boundary lines are included.
समीकरण (x=4) में प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 4 होता है, जबकि y का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए यह y-अक्ष के समानांतर बनने वाली लंबवत रेखा है। क्षैतिज रेखा के लिए सामान्यतः (y=c) का रूप होता है। परीक्षा-युक्ति: (x=c) को लंबवत और (y=c) को क्षैतिज रेखा के रूप में याद रखें। / In the equation (x=4), the x-coordinate is fixed at 4, while y can take any value. Therefore, its graph is a vertical line parallel to the y-axis. A horizontal line generally has the form (y=c). Exam tip: remember that (x=c) represents a vertical line, whereas (y=c) represents a horizontal line.
समीकरण \(y=-3\) में प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(-3\) समान रहता है, जबकि \(x\) का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा होती है। लंबवत रेखा में \(x\)-निर्देशांक स्थिर रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का आलेख हमेशा क्षैतिज और \(x=c\) का आलेख हमेशा लंबवत रेखा होता है। / In the equation \(y=-3\), the \(y\)-coordinate remains fixed at \(-3\), while \(x\) can take any real value. Therefore, its graph is a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. A vertical line has a constant \(x\)-coordinate, so option A is incorrect. Exam tip: \(y=c\) represents a horizontal line, whereas \(x=c\) represents a vertical line.
B. रेखा के नीचे, सीमा रेखा सहित/Below the line, including the boundary line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\leq x+1\) का अर्थ है कि \(y\) का मान रेखा \(y=x+1\) के मान से कम या उसके बराबर है। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के नीचे होता है और \(\leq\) के कारण सीमा रेखा भी इसमें शामिल होती है, जिसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। परीक्षा में \(\leq\) या \(\geq\) देखकर सीमा रेखा को शामिल करना याद रखें। / The inequality \(y\leq x+1\) means that the value of \(y\) is less than or equal to the corresponding value on the line \(y=x+1\). Therefore, the solution region lies below the line, and the boundary line is included because of \(\leq\); it is drawn as a solid line. In an exam, remember that \(\leq\) and \(\geq\) include the boundary.
सीमा रेखा \(y=2x-1\) है। असमानता \(y>2x-1\) में \(y\) का मान सीमा रेखा के संगत मान से अधिक होना चाहिए, इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के ऊपर होगा। चूँकि असमानता में \(>\) है, सीमा रेखा स्वयं हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होगी। परीक्षा में दिशा जाँचने के लिए किसी बिंदु, जैसे \((0,0)\), को असमानता में रखकर भी सत्यापन किया जा सकता है। / The boundary line is \(y=2x-1\). In \(y>2x-1\), the value of \(y\) must be greater than the corresponding value on the boundary line, so the solution region lies above the line. Since the inequality is strict (\(>\)), the boundary line itself is not included. As an exam tip, you can verify the shaded side by testing a point such as \((0,0)\) in the inequality.
बिंदु (4, 0) के लिए \(4+0=4\) और बिंदु (0, 4) के लिए \(0+4=4\), इसलिए दोनों बिंदु रेखा पर स्थित हैं। विकल्प B में (1, 1) के लिए योग 2 है, इसलिए वह रेखा पर नहीं है। रेखा बनाने की परीक्षा-युक्ति: समीकरण में \(x=0\) और \(y=0\) रखकर क्रमशः अक्ष-अंतःखंड प्राप्त करें। / For (4, 0), \(4+0=4\), and for (0, 4), \(0+4=4\); hence both points lie on the line. In option B, the point (1, 1) gives a sum of 2, so it does not lie on the line. Exam tip: Put \(x=0\) and \(y=0\) in the equation to obtain the two intercepts quickly.
x-अंतःखंड पर बिंदु x-अक्ष पर होता है, इसलिए वहाँ \(y=0\) रखते हैं। तब \(2x+0=6\), अर्थात् \(x=3\)। इसलिए x-अंतःखंड का x-निर्देशांक 3 है; पूरा अंतःखंड \((3,0)\) होगा। परीक्षा टिप: x-अंतःखंड निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At the x-intercept, the point lies on the x-axis, so \(y=0\). Substituting gives \(2x+0=6\), hence \(x=3\). Therefore, the x-coordinate is 3, and the complete intercept is \((3,0)\). Exam tip: To find an x-intercept, set \(y=0\).
