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A. ठोस रेखा और मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल/Solid line and half-plane containing origin
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\le\) होने से सीमा रेखा शामिल होती है और ((0,0)) रखने पर \(0 \le 12\) सत्य है। परीक्षा में पहले मूल बिंदु से परीक्षण करें। / The sign \(\le\) includes the boundary line and substituting ((0,0)) gives \(0 \le 12\). In exams, test the origin first.
B. टूटी रेखा (x-y=4) के उस ओर जहाँ ((5,0)) है/Dotted line on the side containing ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) होने से सीमा रेखा शामिल नहीं होगी और ((5,0)) रखने पर (5>4) सत्य है। कड़ी असमानता में टूटी रेखा बनाएं। / The sign (>) excludes the boundary line and substituting ((5,0)) gives (5>4). Use a dotted line for strict inequalities.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=7) अक्षों को ((7,0)) और ((0,7)) पर काटती है। अक्षों और रेखा के प्रतिच्छेद ही शीर्ष देते हैं। / In the first quadrant, (x+y=7) cuts the axes at ((7,0)) and ((0,7)). Intersections of axes and the line give the vertices.
((5,2)) रखने पर (3(5)+2(2)=19), इसलिए \(19 \ge 18\) सत्य है। विकल्पों में सीधे मान रखकर जांचें। / Substituting ((5,2)) gives (3(5)+2(2)=19), so \(19 \ge 18\) is true. Check options by direct substitution.
सीमा रेखाओं को बराबर करने पर (2x+1=-x+4), इसलिए (x=1) और (y=3)। ग्राफ में कोना अक्सर सीमा रेखाओं के हल से मिलता है। / Equating boundary lines gives (2x+1=-x+4), so (x=1) and (y=3). A corner on the graph often comes from solving boundary lines.
(4x-y<8) से (-y<8-4x), अतः चिह्न बदलकर (y>4x-8) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / From (4x-y<8), (-y<8-4x), so reversing the sign gives (y>4x-8). When dividing by a negative number, the inequality sign reverses.
टूटी रेखा कड़ी असमानता बताती है और ((0,0)) रखने पर (0<5) सत्य है। छायांकित ओर का परीक्षण बिंदु सही चिह्न तय करता है। / A dotted line indicates a strict inequality and substituting ((0,0)) gives (0<5). The test point in the shaded side decides the correct sign.
((3,4)) पर (x+2y=11), इसलिए \(11 \le 10\) असत्य है। हर बिंदु को सभी असमानताओं में जांचना जरूरी है। / At ((3,4)), (x+2y=11), so \(11 \le 10\) is false. A point must satisfy every inequality in the system.
B. क्षैतिज रेखा के ऊपर और ऊर्ध्वाधर रेखा के बाईं ओर/Above horizontal line and left of vertical line
Explanation
Simple Explanation
\(y \ge 3\) रेखा (y=3) के ऊपर और \(x \le 5\) रेखा (x=5) के बाईं ओर का क्षेत्र देता है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज सीमाओं को अलग-अलग पढ़ें। / \(y \ge 3\) gives the region above (y=3) and \(x \le 5\) gives the region left of (x=5). Read vertical and horizontal boundaries separately.
(x+y=6) और (2x+y=10) घटाने पर (x=4), फिर (y=2)। संयुक्त ग्राफ के कोने सीमा रेखाओं से मिलते हैं। / Subtracting (x+y=6) from (2x+y=10) gives (x=4), then (y=2). Corners of a common graph come from boundary lines.
((4,3)) पर (x-y=1) और (x+y=7), इसलिए दोनों शर्तें सत्य हैं। ग्राफ से पहले बीजगणितीय जांच तेज होती है। / At ((4,3)), (x-y=1) and (x+y=7), so both conditions are true. Algebraic checking is faster before graphing.
(y=0) रखने पर (x=4) और (x=0) रखने पर (y=10) मिलता है। सीमा रेखा खींचने के लिए अवरोध सबसे सरल तरीका है। / Putting (y=0) gives (x=4), and putting (x=0) gives (y=10). Intercepts are the easiest way to draw the boundary line.
रेखा के नीचे का अर्थ \(y \le 3-\frac{x}{3}\) है और सीमा शामिल होने से \(\le\) लगेगा। शामिल सीमा के लिए ठोस रेखा बनती है। / Below the line means \(y \le 3-\frac{x}{3}\), and including the boundary requires \(\le\). A solid line is used for included boundaries.
((3,2)) पर (2x+y=8) और (x+y=5), इसलिए सभी शर्तें पूरी होती हैं। संयुक्त समाधान में हर असमानता सत्य होनी चाहिए। / At ((3,2)), (2x+y=8) and (x+y=5), so all conditions are satisfied. In a common solution, every inequality must be true.
तीन सीमा रेखाएं तीन शीर्ष ((1,2)), ((6,2)), और ((1,7)) देती हैं। तीन रेखाओं से बंद क्षेत्र सामान्यतः त्रिभुज बनता है। / The three boundary lines give vertices ((1,2)), ((6,2)), and ((1,7)). A closed region from three lines is generally a triangle.
B. सीमा रेखा टूटी होगी और क्षेत्र नीचे होगा/Boundary line is dotted and region is below
Explanation
Simple Explanation
कड़ी असमानता (<) होने से रेखा टूटी होगी और (y) छोटा होने से क्षेत्र रेखा के नीचे होगा। चिह्न देखकर रेखा और दिशा दोनों तय करें। / The strict sign (<) makes the line dotted, and smaller (y) means the region below the line. Use the sign to decide both line type and direction.
यदि परीक्षण बिंदु असत्य देता है तो छायांकन सीमा रेखा के दूसरी ओर होता है। ग्राफ में एक गलत परीक्षण बिंदु भी सही आधा-समतल चुनने में मदद करता है। / If the test point gives false, the shading is on the other side of the boundary line. Even a false test point helps choose the correct half-plane.
दोनों रेखाओं को घटाने पर (x=y), फिर (3x=8) से \(x=y=\frac{8}{3}\)। तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद अलग से निकालें। / Subtracting the two lines gives (x=y), then (3x=8), so \(x=y=\frac{8}{3}\). Find the intersection of slant boundaries separately.
सीमा रेखा (2x-5y=10) है और ((5,0)) रखने पर (10=10) मिलता है। सीमा पर बिंदु के लिए बराबरी जांचें। / The boundary line is (2x-5y=10), and substituting ((5,0)) gives (10=10). For a boundary point, check equality.
दोनों को साथ रखने के लिए \(x+2 \le 6-x\), इसलिए \(2x \le 4\) और \(x \le 2\)। दो रेखाओं के बीच क्षेत्र के लिए निचली सीमा ऊपरी सीमा से छोटी होनी चाहिए। / For both to hold, \(x+2 \le 6-x\), so \(2x \le 4\) and \(x \le 2\). For a region between two lines, the lower bound must not exceed the upper bound.
रेखा अक्षों को ((8,0)) और ((0,6)) पर काटती है, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 8\times 6=24\)। अवरोधों से त्रिभुज का क्षेत्रफल तुरंत मिलता है। / The line cuts the axes at ((8,0)) and ((0,6)), so area is \(\frac{1}{2}\times 8\times 6=24\). Intercepts quickly give the triangle area.
प्रथम चतुर्थांश में \(x+2y \ge 4\) रेखा के ऊपर और दूर तक फैलता है। सभी ओर से बंद न हो तो क्षेत्र असीम होता है। / In the first quadrant, \(x+2y \ge 4\) extends above the line without limit. If a region is not closed on all sides, it is unbounded.
((5,2)) में (x=5), जो \(x \le 4\) को संतुष्ट नहीं करता। किसी भी एक शर्त के गलत होने पर बिंदु बाहर हो जाता है। / For ((5,2)), (x=5), which does not satisfy \(x \le 4\). If even one condition fails, the point lies outside.
(x+y=5) से (2x+2y=10), घटाने पर (y=2) और (x=3)। सीमा रेखाओं को हल करना ग्राफ के कोने देता है। / From (x+y=5), (2x+2y=10); subtracting gives (y=2) and (x=3). Solving boundary lines gives graph corners.
\(x-2y \le 6\) से \(-2y \le 6-x\), इसलिए चिह्न पलटकर \(y \ge \frac{x-6}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक हटाते समय सावधानी रखें। / From \(x-2y \le 6\), \(-2y \le 6-x\), so reversing the sign gives \(y \ge \frac{x-6}{2}\). Be careful when removing a negative coefficient.
((0,4)) पर (x-y=-4), जो \(x-y \ge 0\) को संतुष्ट नहीं करता। हर संभावित शीर्ष को सभी सीमाओं से जांचें। / At ((0,4)), (x-y=-4), which does not satisfy \(x-y \ge 0\). Check every possible vertex against all boundaries.
रेखा के ऊपर का क्षेत्र (y) को बड़ा बनाता है और सीमा शामिल नहीं है, इसलिए (>) लगेगा। ग्राफ की दिशा और रेखा का प्रकार साथ पढ़ें। / The region above the line means larger (y), and the boundary is excluded, so (>) is used. Read direction and line type together.
दो तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)) है और वहां \(x+y=\frac{20}{3}\) मिलता है। रैखिक अभिव्यक्ति का अधिकतम कोनों पर जांचें। / The slant lines intersect at (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)), where \(x+y=\frac{20}{3}\). Check linear expressions at vertices for maxima.
((0,0)) रखने पर \(0 \ge 6\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर गलत है। असत्य परीक्षण बिंदु के विपरीत ओर छायांकित करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 6\), which is false, so the origin side is wrong. Shade the side opposite to a false test point.
(x) और (y) दोनों पर निचली और ऊपरी सीमाएं क्षेत्र को चारों ओर से बंद करती हैं। चार बंद सीमाएं आयताकार चतुर्भुज देती हैं। / Lower and upper bounds on both (x) and (y) close the region on all sides. Four closed boundaries give a rectangular quadrilateral.
C. यह बिंदु समाधान क्षेत्र में नहीं है/This point is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) पर (x+2y=8), लेकिन असमानता (<8) है इसलिए सीमा शामिल नहीं है। कड़ी असमानता में सीमा रेखा के बिंदु समाधान नहीं होते। / At ((2,3)), (x+2y=8), but the inequality is (<8), so the boundary is excluded. Points on the boundary are not solutions for strict inequalities.
A. \(y \ge x\) और \(y \le -x+6\)/\(y \ge x\) and \(y \le -x+6\)
Explanation
Simple Explanation
बीच के क्षेत्र में (y) रेखा (y=x) से ऊपर और रेखा (y=-x+6) से नीचे है। ऐसी स्थिति में निचली और ऊपरी सीमा पहचानें। / In the between-region, (y) is above (y=x) and below (y=-x+6). Identify the lower and upper boundaries in such cases.
(x=2) को (x+y=9) में रखने पर (y=7), इसलिए ((2,7)) शीर्ष है। सीमा रेखाओं की जोड़ी से संभावित शीर्ष निकालें। / Putting (x=2) in (x+y=9) gives (y=7), so ((2,7)) is a vertex. Use pairs of boundary lines to find possible vertices.
B. मूल बिंदु सीमा पर है और समाधान में शामिल है/Origin is on boundary and included in solution
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0 \ge 0\) सत्य है और बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है। \(\ge\) में सीमा शामिल रहती है। / Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 0\), true, and equality means the point is on the boundary. The boundary is included for \(\ge\).
ठोस रेखा के लिए \(\le\) या \(\ge\) चाहिए और ((0,0)) पर \(0 \ge 9\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु शामिल नहीं होगा। / A solid line requires \(\le\) or \(\ge\), and at ((0,0)), \(0 \ge 9\) is false. Hence the origin is not included.
शीर्ष ((1,1)), ((5,1)), और ((1,5)) हैं, इसलिए कुल (3) हैं। सभी सीमा रेखाओं के वैध प्रतिच्छेद गिनें। / The vertices are ((1,1)), ((5,1)), and ((1,5)), so there are (3). Count valid intersections of all boundary lines.
अधिकतम (y) के लिए (x=0) रखें, तब (3y=12) और (y=4)। अक्ष-अवरोध अधिकतम सीमा समझने में मदद करते हैं। / For maximum (y), put (x=0), then (3y=12) and (y=4). Axis intercepts help identify maximum limits.
((2,3)) पर (x+2y=8), जो (10) से कम है और इसलिए रेखा के नीचे वाले अर्ध-समतल में है। नीचे की जांच (y) के छोटे मान से भी की जा सकती है। / At ((2,3)), (x+2y=8), which is less than (10), so it lies in the lower half-plane. Below can also be checked by smaller (y)-values.
(x-y=1) और (2x+y=8) जोड़ने पर (3x=9), इसलिए (x=3) और (y=2)। सीमा रेखाओं को समानता में बदलकर हल करें। / Adding (x-y=1) and (2x+y=8) gives (3x=9), so (x=3) and (y=2). Convert boundaries to equalities and solve.
एक ही समय में (y>4) और (y<1) संभव नहीं है। विरोधी समानांतर शर्तें रिक्त क्षेत्र देती हैं। / It is impossible to have (y>4) and (y<1) at the same time. Contradictory parallel conditions give an empty region.
(x)-अवरोध के लिए (y=0) रखें, इसलिए (x=16)। अवरोध निकालते समय दूसरे चर को (0) रखें। / For the (x)-intercept, put (y=0), so (x=16). To find an intercept, set the other variable to (0).
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(2x \le 6\) और \(x \le 3\)। यदि \(x \ge 0\) अलग से न दिया हो तो ऋणात्मक (x) भी शामिल हो सकते हैं। / On the (x)-axis, (y=0), so \(2x \le 6\) and \(x \le 3\). If \(x \ge 0\) is not separately given, negative (x)-values may also be included.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच बंद पट्टी/Closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं का ढाल समान है और चिह्नों में बराबरी शामिल है, इसलिए बीच की बंद पट्टी मिलती है। समानांतर सीमाओं से पट्टी बनती है। / Both lines have the same slope and equality is included, so a closed strip between them is obtained. Parallel boundaries form a strip.
B. असीम पट्टी का कटा हुआ भाग/Cut part of an unbounded strip
Explanation
Simple Explanation
पहली दो असमानताएं समानांतर पट्टी बनाती हैं और तीसरी असमानता उसे एक ओर से काटती है, पर पूरी तरह बंद नहीं करती। इसलिए क्षेत्र असीम रहता है। / The first two inequalities form a parallel strip, and the third cuts it from one side but does not close it fully. Hence the region remains unbounded.
((3,1)) पर \(1 \le 2\) और \(1 \ge -2\), दोनों सत्य हैं। दोनों सीमाओं के बीच आने वाला बिंदु ही समाधान है। / At ((3,1)), \(1 \le 2\) and \(1 \ge -2\), both true. A solution point must lie between the two boundaries.
((0,-3)) रखने पर (0-3(-3)=9), इसलिए \(9 \ge 6\) सत्य है और ठोस रेखा के लिए \(\ge\) सही है। परीक्षण बिंदु और रेखा का प्रकार साथ मिलाएं। / Substituting ((0,-3)) gives (0-3(-3)=9), so \(9 \ge 6\) is true and \(\ge\) is correct for a solid line. Combine the test point with line type.
शीर्ष ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), और ((0,4)) हैं। सभी वैध कोनों को क्रम से सूचीबद्ध करें। / The vertices are ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), and ((0,4)). List all valid corners in order.
B. दोनों का संयुक्त समाधान रिक्त है/Their common solution is empty
Explanation
Simple Explanation
एक ही अभिव्यक्ति एक साथ (5) से बड़ी और (5) से छोटी नहीं हो सकती। विपरीत कड़ी असमानताएं संयुक्त समाधान को रिक्त कर देती हैं। / The same expression cannot be both greater than (5) and less than (5). Opposite strict inequalities make the common solution empty.
सीमा रेखा (2x+ay=12) है और ((0,3)) रखने पर (3a=12), इसलिए (a=4)। सीमा पर दिए बिंदु को समानता में रखें। / The boundary line is (2x+ay=12), and substituting ((0,3)) gives (3a=12), so (a=4). Put a boundary point in the equality.
(x+2y=14) और (3x+y=18) हल करने पर \(x=\frac{22}{5}\), \(y=\frac{24}{5}\) मिलता है। ग्राफ में तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद अलग से जरूर निकालें। / Solving (x+2y=14) and (3x+y=18) gives \(x=\frac{22}{5}\), \(y=\frac{24}{5}\). In a graph, always find the intersection of slant boundaries separately.
B. बिंदु (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\))/Point (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं को साथ हल करने पर \(x=y=\frac{8}{3}\) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष निकालने के लिए सीमा रेखाओं को समीकरण मानें। / Solving the two boundary lines together gives \(x=y=\frac{8}{3}\). In exams, find vertices by treating boundary lines as equations.
A. सीमा रेखा ठोस होगी और मूलबिंदु वाला भाग छायांकित होगा/Boundary is solid and the side containing origin is shaded
Explanation
Simple Explanation
\(0 \le 12\) सत्य है, इसलिए मूलबिंदु वाला अर्ध-तल लिया जाता है। परीक्षा में पहले सीमा रेखा और फिर परीक्षण-बिंदु जांचें। / Since \(0 \le 12\) is true, the half-plane containing the origin is taken. In exams, check the boundary line first and then use a test point.
D. (3x+y=6) टूटी और (x-y=2) ठोस होगी/(3x+y=6) dashed and (x-y=2) solid
Explanation
Simple Explanation
कड़ी असमानता (>) के लिए सीमा शामिल नहीं होती, इसलिए रेखा टूटी होती है। \(\leq\) में सीमा शामिल होती है, इसलिए रेखा ठोस होती है। / A strict inequality (>) excludes the boundary, so its line is dashed. The inequality \(\leq\) includes the boundary, so its line is solid.
( (3,3) ) पर (3+6=9>8) मिलता है। सख्त असमानता में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / At ( (3,3) ), (3+6=9>8). For strict inequalities, points on the boundary line are not included.
A. वह आधा तल जिसमें ((0,0)) है/The half-plane containing ((0,0))
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 6\) गलत है, इसलिए मूल वाला आधा तल हटेगा। परीक्षा में जांच-बिंदु सीमा रेखा पर नहीं होना चाहिए। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 6\), which is false, so the half-plane containing the origin is rejected. In exams, choose a test point not lying on the boundary.
\(3x-2y \ge 6\) से \(y \le \frac{3x-6}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(3x-2y \ge 6\), we get \(y \le \frac{3x-6}{2}\). When dividing by a negative number, the inequality sign reverses.
सीमाओं के प्रतिच्छेद से ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) मिलते हैं। ग्राफ में केवल वे प्रतिच्छेद लें जो सभी असमानताओं को संतुष्ट करें। / Boundary intersections give ((2,3)), ((4,1)), and ((4,3)). On a graph, keep only intersections satisfying all inequalities.
B. रेखा (4x+y=10) बिंदुदार होगी/The line (4x+y=10) is dotted
Explanation
Simple Explanation
(<) सख्त असमानता है, इसलिए सीमा रेखा शामिल नहीं होती। ग्राफ में ऐसी सीमा रेखा बिंदुदार बनाते हैं। / The sign (<) is strict, so the boundary line is not included. Such a boundary is drawn dotted in the graph.
((3,1)) रखने पर (7<7) नहीं बल्कि (2x+y=7) होता है, इसलिए यह गलत है। सही जांच से कोई विकल्प नहीं? / For ((3,1)), (2x+y=7), so it fails the strict inequality. This item needs a point strictly inside the region.
(x+y=6) और (x+2y=8) को हल करने पर ( (4,2) ) मिलता है। शीर्ष अक्सर सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से मिलते हैं। / Solving (x+y=6) and (x+2y=8) gives ( (4,2) ). Vertices usually come from intersections of boundary lines.
( (3,2) ) पर (8<10) और (9<12), इसलिए यह अंदर है। सीमा पर होने के लिए कम से कम एक असमानता बराबरी बननी चाहिए। / At ( (3,2) ), (8<10) and (9<12), so it is strictly inside. A boundary point must make at least one inequality an equality.
B. मूलबिंदु वाला भाग स्वीकार होगा/The side containing origin is accepted
Explanation
Simple Explanation
\(0\ge-5\) सत्य है, इसलिए मूलबिंदु वाला भाग हल क्षेत्र है। सरल परीक्षण-बिंदु से छायांकन जल्दी तय होता है। / Since \(0\ge-5\) is true, the side containing the origin is the solution region. A simple test point quickly decides the shading.
D. किसी भी असमानता को संतुष्ट नहीं करता/It satisfies neither inequality
Explanation
Simple Explanation
( (2,2) ) पर दोनों पक्षों में मान (6) आता है, जो (10) से कम है। संयुक्त हल में सभी असमानताएं एक साथ सत्य होनी चाहिए। / At ( (2,2) ), both left sides equal (6), which is less than (10). In a combined solution, all inequalities must be true together.
दोनों समीकरण हल करने पर (x=3) और (y=2) मिलता है। ग्राफ में शीर्ष निकालने के लिए संबंधित सीमा रेखाएं बराबरी में लिखें। / Solving the two equations gives (x=3) and (y=2). To find a vertex, write the related boundary lines as equalities.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=5) के ऊपर का भाग असीमित फैलता है। ऐसे प्रश्न में दिशा और अक्षों की शर्त साथ देखें। / In the first quadrant, the region above (x+y=5) extends without bound. In such questions, check both direction and axis restrictions.
\(x\le4\) और \(y\le3\) से अधिकतम (x+y=7) हो सकता है। इसलिए \(x+y\le8\) अलग से क्षेत्र नहीं घटाती। / From \(x\le4\) and \(y\le3\), the maximum possible (x+y) is (7). Hence \(x+y\le8\) does not further reduce the region.
(5x-2y<10) से \(y>\frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक हटाते समय चिन्ह पलटना न भूलें। / From (5x-2y<10), we get \(y>\frac{5x-10}{2}\). Do not forget to reverse the sign when removing a negative coefficient.
( (2,3) ) पर \(-1\le2\) और \(5\ge4\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त क्षेत्र में हर दी गई शर्त जांचनी चाहिए। / At ( (2,3) ), \(-1\le2\) and \(5\ge4\) are both true. In a common region, every given condition must be checked.
A. ( (10,0) ) और ( (0,4) )/( (10,0) ) and ( (0,4) )
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखा (2x+5y=20) है, जिससे (x=10) और (y=4) प्रतिच्छेद मिलते हैं। पहले रेखा बनाना ग्राफीय हल का आधार है। / The boundary line is (2x+5y=20), giving intercepts (x=10) and (y=4). Drawing the line first is the base of graphical solution.
C. हल क्षेत्र के विपरीत तरफ/On the opposite side of the solution region
Explanation
Simple Explanation
मूलबिंदु पर (0>24) असत्य है, इसलिए मूलबिंदु वाला भाग हल नहीं है। असत्य परीक्षण-बिंदु मिलने पर दूसरी तरफ छायांकन करें। / At the origin, (0>24) is false, so the side containing the origin is not the solution. If the test point fails, shade the other side.
दोनों रेखाओं को घटाने पर (2x=4), इसलिए (x=2) और (y=3) है। शीर्षों के लिए रेखीय समीकरणों का युग्म हल करें। / Subtracting the two lines gives (2x=4), so (x=2) and (y=3). For vertices, solve the pair of linear equations.
\(x\le5\) और \(y\le4\) अक्षों के साथ आयताकार सीमित क्षेत्र बनाते हैं। सीमित क्षेत्र के लिए सभी दिशाओं में बंद सीमा चाहिए। / The conditions \(x\le5\) and \(y\le4\) with the axes form a bounded rectangular region. A bounded region needs closing boundaries in all directions.
हमें (x-1< -x+7) चाहिए, इसलिए (2x<8) और (x<4) मिलता है। दो रेखाओं के बीच क्षेत्र में ऊपरी और निचली सीमा की तुलना करें। / We need (x-1< -x+7), so (2x<8) and (x<4). For a region between two lines, compare the upper and lower bounds.
( (2,3) ) पर (2x-y=1), इसलिए यह सीमा पर है। सख्त असमानता (<) में सीमा बिंदु शामिल नहीं होते। / At ( (2,3) ), (2x-y=1), so it lies on the boundary. Strict inequality (<) does not include boundary points.
(x=0) रखने पर \(4y\le16\), इसलिए \(y\le4\) है। अक्षों पर अधिकतम बिंदु निकालने के लिए दूसरे चर को शून्य रखें। / Putting (x=0) gives \(4y\le16\), so \(y\le4\). To find an axis intercept limit, put the other variable equal to zero.
(x+y=7) और (x-y=1) हल करने पर ( (4,3) ) मिलता है। सक्रिय सीमाओं का प्रतिच्छेद शीर्ष देता है। / Solving (x+y=7) and (x-y=1) gives ( (4,3) ). The intersection of active boundaries gives a vertex.
रेखा को \(y=\frac{18-2x}{3}\) लिखने पर ऊपर का भाग \(y\ge\frac{18-2x}{3}\) है। यह \(2x+3y\ge18\) के बराबर है। / Writing the line as \(y=\frac{18-2x}{3}\), the upper side is \(y\ge\frac{18-2x}{3}\). This is equivalent to \(2x+3y\ge18\).
\(0\le x\le6\) और \(0\le y\le5\) क्षेत्र को आयत में सीमित करते हैं। \(x+y\ge4\) केवल उसका एक कोना काटता है। / The conditions \(0\le x\le6\) and \(0\le y\le5\) restrict the region inside a rectangle. The inequality \(x+y\ge4\) only cuts off one corner.
(x+2y=9) और (3x+y=11) हल करने पर \(x=\frac{13}{5}\), \(y=\frac{16}{5}\) मिलता है। भिन्नात्मक शीर्ष भी ग्राफीय हल में सामान्य हैं। / Solving (x+2y=9) and (3x+y=11) gives \(x=\frac{13}{5}\), \(y=\frac{16}{5}\). Fractional vertices are common in graphical solutions.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच का पट्टी क्षेत्र/A strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं की ढाल (3) है, इसलिए वे समानांतर हैं। असमानताएं उनके बीच का पट्टी क्षेत्र देती हैं। / Both lines have slope (3), so they are parallel. The inequalities give a strip-like region between them.
अक्षों पर प्रतिच्छेद ( (6,0) ) और ( (0,4) ) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times6\times4=12\) है। त्रिभुज क्षेत्र के लिए आधार और ऊंचाई पहचानें। / The intercepts are ( (6,0) ) and ( (0,4) ), so the area is \(\frac{1}{2}\times6\times4=12\). For a triangular region, identify base and height.
(x)-अक्ष की रेखा (y=0) है और नीचे के लिए (y) शून्य से कम या बराबर होता है। सीमा शामिल होने पर \(\le\) का प्रयोग करें। / The (x)-axis is (y=0), and below it (y) is less than or equal to zero. Use \(\le\) when the boundary is included.
सीमाएं (x=1), (y=2) और (x+y=8) से ( (1,2) ), ( (6,2) ), ( (1,7) ) मिलते हैं। बदले हुए अक्षीय प्रतिबंधों को साधारण \(x\ge0\), \(y\ge0\) न मानें। / The boundaries (x=1), (y=2), and (x+y=8) give ( (1,2) ), ( (6,2) ), and ( (1,7) ). Do not treat shifted restrictions as simple \(x\ge0\), \(y\ge0\).
एक ही समय में (x+y) का (5) से कम और अधिक होना असंभव है। विरोधी असमानताएं मिलने पर हल रिक्त हो सकता है। / It is impossible for (x+y) to be both less than and greater than (5) at the same time. Opposite inequalities can make the solution empty.
इस क्षेत्र के शीर्ष ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (2,2) ), ( (0,3) ) हैं, इसलिए दिया गया हर बिंदु शीर्ष है। प्रश्न में सही उत्तर कोई नहीं होना चाहिए। / The vertices are ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (2,2) ), and ( (0,3) ), so every listed point is a vertex. The correct choice should have been none of these.
\(x-3y\le9\) से \(-3y\le9-x\), इसलिए \(y\ge\frac{x-9}{3}\) है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। / From \(x-3y\le9\), we get \(-3y\le9-x\), hence \(y\ge\frac{x-9}{3}\). Dividing by a negative reverses the sign.
( (2,2) ) पर दोनों असमानताओं में मान (10) आता है, जो (12) से कम है। इसलिए यह विकल्प सही नहीं हो सकता और सही हलों के लिए दोनों मान कम से कम (12) होने चाहिए। / At ( (2,2) ), both left sides equal (10), which is less than (12). Therefore this option cannot be correct and true solutions must make both values at least (12).
(x=2) पर (y=4) और (y=1) पर (x=8) मिलता है। सीमा रेखा को दी गई निचली सीमाओं के साथ काटें। / At (x=2), (y=4); at (y=1), (x=8). Intersect the boundary line with the given lower limits.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (4x+4y=30) और सममिति से \(x=y=\frac{15}{4}\) है। समान संरचना वाली रेखाओं में सममिति का उपयोग करें। / Adding the equations gives (4x+4y=30), and by symmetry \(x=y=\frac{15}{4}\). Use symmetry when boundary lines have a similar structure.
B. हल क्षेत्र रिक्त है/The solution region is empty
Explanation
Simple Explanation
(x+y) एक साथ (4) से कम या बराबर और (7) से अधिक या बराबर नहीं हो सकता। समान दिशा की समानांतर सीमाएं खाली क्षेत्र दे सकती हैं। / The value (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Parallel bounds in opposite positions can give an empty region.
( (1,4) ) पर \(1\le3\) और \(4\ge3\) सत्य हैं। हर विकल्प में ऊर्ध्वाधर सीमा और तिरछी सीमा दोनों जांचें। / At ( (1,4) ), \(1\le3\) and \(4\ge3\) are true. Check both the vertical boundary and the oblique boundary for each option.
दोनों समीकरणों से (x=y) और (3x=14), इसलिए शीर्ष ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ) है। सममित सीमाओं में (x=y) जल्दी मिल सकता है। / The two equations give (x=y) and (3x=14), so the vertex is ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ). Symmetric boundaries can quickly give (x=y).
B. रेखा के नीचे या रेखा सहित/Below the line including the line
Explanation
Simple Explanation
\(y\le\) रूप में असमानता रेखा के नीचे वाले भाग को दर्शाती है। बराबरी होने से सीमा रेखा भी शामिल होती है। / An inequality in the form \(y\le\) represents the region below the line. The equality part means the boundary line is included.
दोनों असमानताएं रेखाओं के ऊपर की ओर क्षेत्र देती हैं और क्षेत्र दूर तक फैलता है। \(\ge\) वाली सीमाएं अक्सर असीमित क्षेत्र बना सकती हैं। / Both inequalities select regions above the boundary lines, and the common region extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) can often create an unbounded region.
रेखा (x=4) के बाईं ओर \(x\le4\) और (y=-1) के ऊपर \(y\ge-1\) होता है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज सीमाओं के लिए दिशा अलग-अलग पहचानें। / Left of (x=4) is \(x\le4\), and above (y=-1) is \(y\ge-1\). For vertical and horizontal boundaries, identify direction separately.
( (1,1) ) पर (x+y=2), जो (3) से कम है। बहु-असमानता प्रश्नों में अस्वीकृति के लिए एक असत्य शर्त काफी है। / At ( (1,1) ), (x+y=2), which is less than (3). In multi-inequality questions, one false condition is enough to reject a point.
(y=1) पर \(x\le8\) और \(x\le4\), इसलिए कड़ी सीमा (x=4) है। दाएं अंतिम बिंदु के लिए सभी ऊपरी सीमाओं में छोटी सीमा चुनें। / At (y=1), \(x\le8\) and \(x\le4\), so the tighter limit is (x=4). For the right endpoint, choose the smaller upper bound from all constraints.
( (3,3) ) पर (6+9=15<18), इसलिए यह अंदर है और अक्षों पर नहीं है। अंदरूनी बिंदु के लिए सख्त कम मान देखें। / At ( (3,3) ), (6+9=15<18), so it is inside and not on the axes. For an interior point, look for a strict inequality value.
दो ऊर्ध्वाधर और दो क्षैतिज सीमाएं मिलकर बंद आयत बनाती हैं। ग्राफ में समानांतर सीमाओं की जोड़ी से आकार तुरंत पहचाना जा सकता है। / Two vertical and two horizontal boundaries together form a closed rectangle. In a graph, pairs of parallel boundaries help identify the shape quickly.
(x+2=-x+4) से (2x=2), इसलिए (x=1) और (y=3) है। तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद क्षेत्र की शुरुआत या कोना बता सकता है। / From (x+2=-x+4), (2x=2), so (x=1) and (y=3). The intersection of slant boundaries can mark the start or a corner of a region.
B. मूल बिंदु की ओर और सीमा सहित/Toward origin with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए वही पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। / Putting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing it is taken. Exam tip: \(\leq\) includes the boundary line.
C. टूटी रेखा और मूल बिंदु से विपरीत भाग/Dashed line and side opposite origin
Explanation
Simple Explanation
( (0,0) ) रखने पर (0>4) असत्य है इसलिए विपरीत पक्ष लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: (>) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती। / Substituting ( (0,0) ) gives (0>4), which is false, so the opposite side is taken. Exam tip: (>) does not include the boundary.
D. रेखा के ऊपर वाला असीमित भाग सीमा सहित/Unbounded part above the line with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु से \(0\geq 12\) असत्य है इसलिए रेखा से दूर वाला भाग चुना जाता है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को हमेशा अक्षों से भी मिलाइए। / The origin gives \(0\geq 12\), which is false, so the side away from the origin is chosen. Exam tip: Always combine the region with the axes in the first quadrant.
रेखाओं के प्रतिच्छेद और (y=0) पर कटान से ये तीन शीर्ष मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: हर सीमा रेखा को जोड़ी में हल करके शीर्ष जाँचिए। / The intersections of the boundary lines and their cuts on (y=0) give these three vertices. Exam tip: Solve boundary lines in pairs and verify each vertex.
B. पहली टूटी और दूसरी ठोस/First dashed and second solid
Explanation
Simple Explanation
(x+2y<8) कठोर असमानता है इसलिए उसकी सीमा शामिल नहीं है। परीक्षा सुझाव: (<) और (>) के लिए टूटी रेखा बनाइए। / The inequality (x+2y<8) is strict, so its boundary is not included. Exam tip: Use a dashed line for (<) and (>).
C. हल क्षेत्र में है और पहली सीमा पर है/It is in the solution region and on the first boundary
Explanation
Simple Explanation
\(2+2\cdot3=8\) और \(3\cdot2-3=3>1\) इसलिए बिंदु मान्य है। परीक्षा सुझाव: सीमा पर बिंदु तभी हटता है जब असमानता कठोर हो। / Since \(2+2\cdot3=8\) and \(3\cdot2-3=3>1\), the point is valid. Exam tip: A boundary point is excluded only for a strict inequality.
A. \(y\geq 4x-8\), सीमा सहित/\(y\geq 4x-8\), with boundary
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक (y) को हटाते समय असमानता की दिशा बदलती है। परीक्षा सुझाव: ऋण से भाग देने पर संकेत पलटना न भूलें। / When removing the negative coefficient of (y), the inequality sign reverses. Exam tip: Never forget to reverse the sign when dividing by a negative number.
अक्षों की दिशा से \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) और रेखा के नीचे से \(2x+y\leq 10\) मिलता है। परीक्षा सुझाव: शब्दों को पहले अक्षीय असमानताओं में बदलें। / The axis directions give \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), and being below the line gives \(2x+y\leq 10\). Exam tip: Convert words into axis inequalities first.
एक ही राशि (x+y) साथ-साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा सुझाव: समानांतर सीमा रेखाओं में खाली पट्टी पहचानें। / The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Exam tip: Detect the empty gap between parallel boundary lines.
कटान ((6,0)) और ((0,4)) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\) है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश त्रिभुज में अक्षीय कटानों से क्षेत्रफल निकालें। / The intercepts are ((6,0)) and ((0,4)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\). Exam tip: Use axis intercepts for the first-quadrant triangle.
रेखा (x+y=6) शामिल नहीं है पर क्षेत्र त्रिभुज के भीतर सीमित है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता बंदपन को बदल देती है। / The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.
पहली दो शर्तों से \(x+y\leq 5\) अधिकतम हो सकता है इसलिए \(x+y\geq 10\) असंभव है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ से पहले चरम सीमा सोचें। / From the first two conditions, the maximum possible (x+y) is (5), so \(x+y\geq 10\) is impossible. Exam tip: Think about extreme limits before graphing.
((1,3)) पर (2-3<1) और \(1+3\geq 4\) दोनों सत्य हैं। परीक्षा सुझाव: विकल्पों को सीधे असमानताओं में रखकर जाँचें। / At ((1,3)), both (2-3<1) and \(1+3\geq 4\) are true. Exam tip: Substitute options directly into the inequalities.
C. मूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित/Side containing origin with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: जब संभव हो तो ((0,0)) सबसे तेज परीक्षण बिंदु है। / Substituting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.
मूल बिंदु (x+y<5) को सत्य करता है इसलिए उसे हटाने के लिए (x+y>5) होगा। परीक्षा सुझाव: सीमा रहित होने पर केवल (<) या (>) चुनें। / The origin satisfies (x+y<5), so excluding it gives (x+y>5). Exam tip: If the boundary is excluded, choose only (<) or (>).
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((2,2)) है और अक्षों पर सीमाएँ ((3,0)), ((0,3)) देती हैं। परीक्षा सुझाव: सभी संभावित शीर्षों को असमानताओं से सत्यापित करें। / The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
B. कटान ((9,0)), ((0,3)) हैं और मूल बिंदु अंदर है/Intercepts are ((9,0)), ((0,3)) and origin is inside
Explanation
Simple Explanation
(y=0) पर (x=9) और (x=0) पर (y=3) मिलता है। परीक्षा सुझाव: कटान निकालते समय एक चर को शून्य रखें। / Putting (y=0) gives (x=9), and putting (x=0) gives (y=3). Exam tip: Set one variable to zero to find intercepts.
नीचे का अर्थ (y) का मान रेखा से कम है और सीमा रहित होने से (<) आता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर-नीचे वाले प्रश्नों में (y) की तुलना सीधे करें। / Below means the value of (y) is less than the line value, and open boundary gives (<). Exam tip: In above-below questions, compare (y) directly.
A. असीमित क्षेत्र जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता/Unbounded region not containing the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \(0\geq 10\) असत्य करता है इसलिए रेखा से दूर वाला प्रथम चतुर्थांश भाग लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\geq\) वाली रेखा के लिए सीमा शामिल रहती है। / The origin makes \(0\geq 10\) false, so the first-quadrant side away from the line is taken. Exam tip: With \(\geq\), the boundary line remains included.
\(x-y\leq 0\) से \(y\geq x\) और \(x+y\leq 4\) मिलकर ये त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा सुझाव: हर शीर्ष को सभी असमानताओं में रखकर जाँचें। / The condition \(x-y\leq 0\) gives \(y\geq x\), and together with \(x+y\leq 4\) these form the triangle. Exam tip: Test every vertex in all inequalities.
B. क्योंकि (x+2y<7) में समानता मिलती है/Because equality occurs in (x+2y<7)
Explanation
Simple Explanation
((3,2)) पर (x+2y=7) है लेकिन (x+2y<7) में सीमा शामिल नहीं होती। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता में बराबरी वाले बिंदु हटा दें। / At ((3,2)), (x+2y=7), but (x+2y<7) excludes the boundary. Exam tip: Remove equality points in strict inequalities.
रेखा (x+2y=4) है और मूल बिंदु \(0\geq 4\) को असत्य करता है। परीक्षा सुझाव: रेखा शामिल हो तो \(\leq\) या \(\geq\) ही लें। / The line is (x+2y=4), and the origin makes \(0\geq 4\) false. Exam tip: If the line is included, use only \(\leq\) or \(\geq\).
दोनों सीमा रेखाएँ (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)) पर मिलती हैं और वहाँ \(x+y=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा सुझाव: रैखिक मान का चरम प्रायः शीर्ष पर मिलता है। / The two boundary lines meet at (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\). Exam tip: A linear expression usually attains its extreme at a vertex.
B. दोनों रेखाओं के बीच का असीमित क्षेत्र और \(x\leq 2\)/Unbounded region between the two lines with \(x\leq 2\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों शर्तों के लिए \(x+1\leq -x+5\) होना चाहिए जिससे \(x\leq 2\) मिलता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर और नीचे की रेखाओं की तुलना करें। / Both conditions require \(x+1\leq -x+5\), which gives \(x\leq 2\). Exam tip: Compare the lower and upper boundary lines.
मूल बिंदु \(2x-5y\leq 10\) को सत्य करता है इसलिए विपरीत पक्ष \(2x-5y\geq 10\) होगा। परीक्षा सुझाव: ठोस सीमा के लिए बराबरी शामिल रखें। / The origin satisfies \(2x-5y\leq 10\), so the opposite side is \(2x-5y\geq 10\). Exam tip: Keep equality for a solid boundary.
C. ((0,0)), ((2,0)), (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\))
Explanation
Simple Explanation
\(x-y\geq 0\) से \(y\leq x\) और (3x+y=6) से प्रतिच्छेद (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: बदले हुए रूप में क्षेत्र पढ़ना आसान होता है। / The condition \(x-y\geq 0\) gives \(y\leq x\), and its intersection with (3x+y=6) is (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)). Exam tip: Reading the region is easier after rewriting inequalities.
((1,1)) रखने पर (1+2=3<8) और टूटी सीमा के कारण (<) लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: परीक्षण बिंदु और सीमा का प्रकार दोनों देखें। / Substituting ((1,1)) gives (1+2=3<8), and the dashed boundary requires (<). Exam tip: Check both the test point and boundary type.
दोनों असमानताएँ साथ में (x+2y=4) को ही संभव बनाती हैं। परीक्षा सुझाव: विपरीत दिशाओं वाली समान सीमा कभी-कभी रेखा बनाती है। / Together, the two inequalities force (x+2y=4). Exam tip: Opposite inequalities with the same boundary may reduce to a line.
शीर्ष ((1,2)), ((1,9)), ((8,2)) हैं और लंबाई (7), (7) है। परीक्षा सुझाव: स्थानांतरित अक्षीय सीमाओं में आधार और ऊँचाई ध्यान से लें। / The vertices are ((1,2)), ((1,9)), and ((8,2)), giving perpendicular lengths (7) and (7). Exam tip: For shifted axis bounds, read base and height carefully.
C. \(y>\frac{2}{3}x-2\), टूटी सीमा/\(y>\frac{2}{3}x-2\), dashed boundary
Explanation
Simple Explanation
(-3y<6-2x) में ऋण से भाग देने पर \(y>\frac{2}{3}x-2\) होता है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता में टूटी सीमा रखें। / Dividing (-3y<6-2x) by a negative number gives \(y>\frac{2}{3}x-2\). Exam tip: Keep a dashed boundary for strict inequalities.
((2,4)) पर \(4\cdot2+4=12\) इसलिए यह सीमा पर है। परीक्षा सुझाव: सीमा के लिए असमानता की जगह समीकरण लगाएँ। / At ((2,4)), \(4\cdot2+4=12\), so it lies on the boundary. Exam tip: For boundary checking, replace the inequality by its equation.
दूसरी असमानता (x+y>4) है जो \(x+y\leq 3\) से मेल नहीं खाती। परीक्षा सुझाव: समान गुणज वाली रेखाओं को पहले सरल करें। / The second inequality is (x+y>4), which cannot overlap with \(x+y\leq 3\). Exam tip: Simplify proportional boundary lines first.
\(x-1\leq 3\) से \(x\leq 4\) मिलता है और सभी सीमाएँ शामिल हैं। परीक्षा सुझाव: छिपी हुई ऊपरी सीमा तुलना से मिलती है। / From \(x-1\leq 3\), we get \(x\leq 4\), and all boundaries are included. Exam tip: A hidden upper bound may come from comparing inequalities.
अक्षीय कटान ((16,0)) और ((0,4)) हैं, जिनमें मूल बिंदु से दूरी (16) और (4) है। परीक्षा सुझाव: दूरी तुलना में वर्गों का उपयोग भी कर सकते हैं। / The intercepts are ((16,0)) and ((0,4)), whose distances from the origin are (16) and (4). Exam tip: You can also compare squared distances.
दोनों सीमा रेखाएँ ((2,2)) पर मिलती हैं और वही बाहरी असीमित क्षेत्र का निकटतम कोना है। परीक्षा सुझाव: दो \(\geq\) क्षेत्रों में प्रतिच्छेद बिंदु अक्सर महत्वपूर्ण होता है। / The two boundary lines meet at ((2,2)), which is the nearest corner of the outer unbounded region. Exam tip: In two \(\geq\) regions, the intersection point is often crucial.
C. \(y\leq x-2\), सीमा सहित और मूल बिंदु से दूर/\(y\leq x-2\), with boundary and away from origin
Explanation
Simple Explanation
\(x-y\geq 2\) से \(y\leq x-2\) मिलता है और ((0,0)) इसे असत्य करता है। परीक्षा सुझाव: (y) के चिन्ह पर विशेष ध्यान दें। / The inequality \(x-y\geq 2\) gives \(y\leq x-2\), and ((0,0)) makes it false. Exam tip: Pay close attention to the sign of (y).
शीर्ष ((-1,-2)), ((-1,6)), ((7,-2)) हैं और लंबवत भुजाएँ (8), (8) हैं। परीक्षा सुझाव: ऋणात्मक सीमाओं में कटान सावधानी से निकालें। / The vertices are ((-1,-2)), ((-1,6)), and ((7,-2)), with perpendicular sides (8) and (8). Exam tip: Find intercepts carefully when bounds are negative.
B. दूसरी असमानता सीमा रेखा (x+2y=6) को शामिल करती है/The second inequality includes the boundary line (x+2y=6)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का पक्ष समान है लेकिन \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ में ठोस और टूटी रेखा का अंतर अंक दिलाता है। / Both have the same side, but \(\leq\) includes the boundary line. Exam tip: The solid versus dashed line difference earns marks in graph questions.
(x=0) से (8) तक (y) के संभव मान गिनने पर कुल (33) बिंदु मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक (x) के लिए अधिकतम (y) लिखें। / Counting possible (y)-values for (x=0) to (8) gives a total of (33) points. Exam tip: For such questions, write the maximum (y) for each (x).
दोनों समीकरण हल करने पर (x=2), (y=1) मिलता है। परीक्षा सुझाव: सामान्य क्षेत्र बनाने से पहले सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद निकालें। / Solving the two equations gives (x=2), (y=1). Exam tip: Find boundary intersections before drawing the common region.
वर्ग \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\) में \(x+y\geq 6\) ऊपर-दाईं त्रिभुज छोड़ता है। परीक्षा सुझाव: पहले बड़ा क्षेत्र बनाकर फिर कटान करें। / Inside the square \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\), the condition \(x+y\geq 6\) leaves the upper-right triangle. Exam tip: Draw the larger region first and then cut it.
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है और नीचे के लिए (y<0) चाहिए। परीक्षा सुझाव: अक्षीय रेखाओं को भी सीमा रेखा की तरह देखें। / On the (x)-axis, (y=0), and below it requires (y<0). Exam tip: Treat axis lines as boundary lines too.
कटान ((9,0)) और ((0,6)) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\) है। परीक्षा सुझाव: कटान गलत होने पर पूरा ग्राफ गलत हो सकता है। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\). Exam tip: Wrong intercepts can make the whole graph wrong.
हर बिंदु के लिए (x-2y) या तो (4) से कम-बराबर होगा या (4) से बड़ा होगा। परीक्षा सुझाव: या वाले प्रश्न में क्षेत्रों का संघ सोचें। / For every point, (x-2y) is either at most (4) or greater than (4). Exam tip: In or questions, think of the union of regions.
((2,3)) में (3>2) और (2+3<6) दोनों सत्य हैं। परीक्षा सुझाव: खुली सीमा पर बराबरी वाले विकल्प तुरंत हटाएँ। / For ((2,3)), both (3>2) and (2+3<6) are true. Exam tip: Immediately reject options with equality on open boundaries.
(y=0) से ((0,0)), ((6,0)) और (2x=-x+6) से ((2,4)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: अक्ष और तिरछी रेखाओं के प्रतिच्छेद अलग-अलग निकालें। / From (y=0), we get ((0,0)) and ((6,0)), and (2x=-x+6) gives ((2,4)). Exam tip: Find axis and slant-line intersections separately.
दो समानांतर रेखाओं और अक्षों के बीच प्रथम चतुर्थांश में सीमित चतुर्भुज बनता है। परीक्षा सुझाव: समानांतर रेखाओं के बीच के क्षेत्र को अक्षों से काटकर देखें। / Between the two parallel lines and the axes, a bounded quadrilateral is formed in the first quadrant. Exam tip: View the strip between parallel lines after cutting it by the axes.
D. \(y\leq 2x+3\), सीमा सहित/\(y\leq 2x+3\), with boundary
Explanation
Simple Explanation
ऋण से भाग देने पर \(y\leq 2x+3\) मिलता है और \(\geq\) के कारण सीमा शामिल है। परीक्षा सुझाव: असमानता पलटने के बाद सीमा का प्रकार अलग से जाँचें। / Dividing by a negative gives \(y\leq 2x+3\), and the boundary is included because the inequality is non-strict. Exam tip: After reversing the sign, check boundary type separately.
दिया गया त्रिभुज प्रथम चतुर्थांश में रेखा (x+y=5) के नीचे है। परीक्षा सुझाव: शीर्षों से पहले अक्षीय शर्तें पहचानें। / The given triangle lies in the first quadrant below the line (x+y=5). Exam tip: Identify axis conditions from vertices first.
दोनों असमानताएँ कठोर हैं इसलिए दोनों सीमा रेखाएँ हटाई जाती हैं। परीक्षा सुझाव: हर असमानता का सीमा-प्रकार अलग-अलग तय करें। / Both inequalities are strict, so both boundary lines are excluded. Exam tip: Decide boundary type separately for each inequality.
