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वियत के प्रमेय के अनुसार, द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल स्थिर पद और \(x^2\) के गुणांक का अनुपात होता है, अर्थात \(9m\)। यदि एक मूल \(9\) है, तो दूसरे मूल को \(r\) मानने पर \(9r=9m\), इसलिए \(r=m\)। विकल्प C मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल पहचानकर ऐसे प्रश्न जल्दी हल किए जा सकते हैं। / By Vieta’s relations, the product of the roots is the constant term divided by the coefficient of \(x^2\), which is \(9m\). If the roots are \(9\) and \(r\), then \(9r=9m\), giving \(r=m\). Option C is the sum of the roots, not the other root. Exam tip: Identify the sum and product of roots before solving parameter-based quadratic questions.
समीकरण को \((x-t)^2-49=0\) या \((x-t)^2=49\) लिखा जा सकता है। अतः इसकी जड़ें \(x=t+7\) और \(x=t-7\) हैं। दोनों जड़ों के बीच धनात्मक अंतर \((t+7)-(t-7)=14\) है। विकल्प A में दिया गया 7 प्रत्येक जड़ और \(t\) के बीच का अंतर है, जड़ों के बीच का नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((x-a)^2=b^2\) के रूप में लिखे समीकरण की जड़ों का अंतर \(2b\) होता है। / The equation can be rewritten as \((x-t)^2-49=0\), or \((x-t)^2=49\). Therefore, its roots are \(x=t+7\) and \(x=t-7\). Their positive difference is \((t+7)-(t-7)=14\). The value 7 in option A is the distance of each root from \(t\), not the difference between the roots. Exam tip: for an equation in the form \((x-a)^2=b^2\), the difference between its roots is \(2b\).
जड़ों का योग \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\) है। मानक रूप \(x^2-(\text{जड़ों का योग})x+\text{जड़ों का गुणनफल}=0\) से \(a=-8\)। जड़ों का गुणनफल \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\) है, इसलिए \(b=9\)। अतः \(a+b=-8+9=1\)। परीक्षा-युक्ति: एकात्मक द्विघात समीकरण में \(x\) का गुणांक जड़ों के योग का ऋणात्मक और अचर पद जड़ों का गुणनफल होता है। / The sum of the roots is \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\). Comparing with the standard form \(x^2-(\text{sum of roots})x+\text{product of roots}=0\), we get \(a=-8\). Their product is \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\), so \(b=9\). Therefore, \(a+b=-8+9=1\). Exam tip: In a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots, while the constant term is their product.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-2\) और \(c=25\), इसलिए \((m-2)^2-100=0\)। अतः \(m-2=\pm10\), जिससे \(m=12\) या \(m=-8\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m-2\), and \(c=25\), so \((m-2)^2-100=0\). Therefore, \(m-2=\pm10\), giving \(m=12\) or \(m=-8\). Exam tip: For equal-root questions, immediately set the discriminant equal to zero.
यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a-1)\) और \(C=a^2-4a-5\) हैं। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), इसलिए \(72(a+3)\ge0\), अर्थात् \(a\ge-3\)। विकल्प B केवल विपरीत दिशा की असमानता देता है और सामान्यतः वास्तविक जड़ों की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / Here, \(A=9\), \(B=-6(a-1)\), and \(C=a^2-4a-5\). For real roots, the discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Thus, \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), so \(72(a+3)\ge0\), giving \(a\ge-3\). Option B reverses the required inequality and is therefore not the general condition for real roots. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by applying \(D\ge0\).
यदि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो एकक द्विघात समीकरण \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\) रखने पर \(x^2-7x+10=0\) प्राप्त होता है। विकल्प A में योग का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प B में योग और गुणनफल की भूमिकाएँ बदल गई हैं। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग के सामने ऋण चिह्न और गुणनफल के सामने धन चिह्न लगाएँ। / If the roots are \(\alpha\) and \(\beta\), the monic quadratic equation is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Substituting \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\) gives \(x^2-7x+10=0\). Option A has the wrong sign for the sum, while option B interchanges the sum and product. Exam tip: in the monic form, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of roots, and the constant term is their product.
वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=m^2-m\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-m)=4m\)। अतः \(4m\ge 0\), जिससे \(m\ge 0\)। विकल्प A गलत है क्योंकि \(m=0\) पर भी दो समान वास्तविक जड़ें प्राप्त होती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले विविक्तकर की शर्त लगाएँ। / For real roots, the discriminant must satisfy \(D\ge 0\). Here \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=m^2-m\), so \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-m)=4m\). Therefore, \(4m\ge 0\), giving \(m\ge 0\). Option A is incorrect because \(m=0\) also gives two equal real roots. Exam tip: For questions about real roots, first apply the discriminant condition.
दिया गया समीकरण \\(x^2-2kx+k^2-25=0\\) को \\((x-k)^2-25=0\\) के रूप में लिख सकते हैं। अतः \\((x-k)^2=25\\), इसलिए जड़ें \\(k+5\\) और \\(k-5\\) हैं। बड़ी और छोटी जड़ का अंतर \\((k+5)-(k-5)=10\\) है। इसलिए सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: \\(x^2+bx+c=0\\) में जड़ों का अंतर ज्ञात करने के लिए विविक्तकर का उपयोग भी किया जा सकता है। / The equation can be rewritten as \\((x-k)^2-25=0\\). Thus, \\((x-k)^2=25\\), giving the roots \\(k+5\\) and \\(k-5\\). Their positive difference is \\((k+5)-(k-5)=10\\), so option B is correct. Exam tip: For \\(ax^2+bx+c=0\\), the difference between the roots can also be found using the discriminant.
दिए गए बहुपद को \((x-(u+1))(x-(v+1))=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः इसकी जड़ें \(u+1\) और \(v+1\) हैं। दोनों जड़ें समान होने पर \(u+1=v+1\), इसलिए \(u=v\)। विकल्प A, B और D इस समानता के लिए आवश्यक शर्तें नहीं हैं। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में गुणनखंड करके जड़ों की तुलना करना विविक्तकर निकालने से अधिक शीघ्र होता है। / The polynomial can be factorised as \((x-(u+1))(x-(v+1))=0\). Therefore, its roots are \(u+1\) and \(v+1\). If the roots are equal, then \(u+1=v+1\), which gives \(u=v\). Options A, B and D are not necessary conditions for equal roots. Exam tip: In such questions, comparing the roots after factorisation is usually quicker than calculating the discriminant.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(c=h\), इसलिए दोनों जड़ों का गुणनफल \(\frac{h}{3}\) है। एक जड़ \(\frac{1}{3}\) होने पर दूसरी जड़ \(\frac{h/3}{1/3}=h\) होगी। विकल्प B केवल जड़ों के गुणनफल को दर्शाता है, दूसरी जड़ को नहीं। परीक्षा-युक्ति: दूसरी जड़ निकालने के लिए जड़ों के गुणनफल को दी गई जड़ से भाग दें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=3\) and \(c=h\), so the product of the roots is \(\frac{h}{3}\). Since one root is \(\frac{1}{3}\), the other root is \(\frac{h/3}{1/3}=h\). Option B is the product of the roots, not the second root. Exam tip: To find an unknown root, divide the product of the roots by the known root.
जड़ों के योग और गुणनफल के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार \(\alpha+\beta=-p\) और \(\alpha\beta=q\)। यहाँ \((-3)+7=4\), इसलिए \(p=-4\), तथा \((-3)(7)=-21\), इसलिए \(q=-21\)। अतः \(p-q=-4-(-21)=17\)। परीक्षा में याद रखें: \(x^2+px+q\) में जड़ों का योग \(-p\) होता है, जबकि गुणनफल \(q\) होता है। / By Vieta’s formulas, for \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Here, \((-3)+7=4\), so \(p=-4\), while \((-3)(7)=-21\), so \(q=-21\). Therefore, \(p-q=-4-(-21)=17\). Exam tip: in a monic quadratic \(x^2+px+q\), the sum of the roots is \(-p\), not \(p\).
विएटा के सूत्रों से \(\alpha+\beta=-8\) और \(\alpha\beta=12\)। अब \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(-8)^2-4(12)=64-48=16\)। अतः \((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta=16+3(12)=52\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग और गुणनफल वाले प्रश्नों में विएटा के सूत्र सीधे लागू करें; केवल \((\alpha+\beta)^2\) लेने पर सही उत्तर नहीं मिलेगा। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-8\) and \(\alpha\beta=12\). Therefore, \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(-8)^2-4(12)=64-48=16\). Hence, \((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta=16+3(12)=52\). Exam tip: For expressions involving the sum and product of roots, apply Vieta’s formulas directly; using only \((\alpha+\beta)^2\) leads to an incorrect result.
दिए गए बहुपद को \((x-(a+3))(x-(a+4))=0\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, क्योंकि इसका विस्तार \(x^2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)\) देता है। अतः मूल \(a+3\) और \(a+4\) हैं, जिनका अंतर 1 है; इसलिए वे क्रमागत पूर्णांक हैं। विकल्प A का योग सही है, लेकिन उसका गुणनफल सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूल पहचानने के लिए पहले गुणनखंडन करें और फिर योग तथा गुणनफल से जाँच करें। / The polynomial factors as \((x-(a+3))(x-(a+4))=0\), since its expansion is \(x^2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)\). Therefore, the roots are \(a+3\) and \(a+4\), whose difference is 1, so they are consecutive integers. Option A has the correct sum of roots but not the correct product. Exam tip: Factor the quadratic first, then verify the roots using their sum and product.
वियत के प्रमेय के अनुसार, दोनों जड़ों का योग \(12\) होगा और उनका गुणनफल \(m\) होगा। योग \(12\) देने वाली अभाज्य संख्याओं की एकमात्र जोड़ी \(5\) और \(7\) है, क्योंकि \(5+7=12\)। अतः \(m=5\times7=35\)। परीक्षा में पहले जड़ों का योग और फिर गुणनफल पहचानें। / By Vieta’s relations, the sum of the roots is \(12\), while their product is \(m\). The only pair of prime numbers with sum \(12\) is \(5\) and \(7\), since \(5+7=12\). Therefore, \(m=5\times7=35\). In such questions, identify the root sum first and then use the product relation.
दिया गया बहुपद \(x^2-(u-v)x-uv\) को \((x-u)(x+v)\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(x-u=0\) या \(x+v=0\), जिससे मूल \(u\) और \(-v\) प्राप्त होते हैं। जाँच के लिए इन मूलों का योग \(u-v\) तथा गुणनफल \(-uv\) आता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले गुणनखंडन करके मूल ज्ञात करना सबसे तेज़ तरीका है। / The polynomial \(x^2-(u-v)x-uv\) can be factorised as \((x-u)(x+v)\). Therefore, \(x-u=0\) or \(x+v=0\), giving the roots \(u\) and \(-v\). Their sum is \(u-v\) and their product is \(-uv\), confirming the result. In the exam, factorisation is the quickest method when the expression matches this pattern.
मूलों को 3r और 4r मानें। मूलों का योग 14 है, इसलिए 3r + 4r = 14, अर्थात् r = 2। अतः मूल 6 और 8 हैं। द्विघात समीकरण x² − 14x + q में मूलों का गुणनफल q के बराबर होता है, इसलिए q = 6 × 8 = 48। परीक्षा में याद रखें: x² + bx + c के लिए मूलों का योग −b और गुणनफल c होता है। / Let the roots be 3r and 4r. Their sum is 14, so 3r + 4r = 14, giving r = 2. Thus, the roots are 6 and 8. In the quadratic equation x² − 14x + q, the product of the roots equals q; hence q = 6 × 8 = 48. Exam tip: For x² + bx + c, the sum of the roots is −b and their product is c.
वीयटा के सूत्रों से \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=n\)। अब \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का उपयोग करने पर \(40=8^2-2n=64-2n\)। अतः \(2n=24\), इसलिए \(n=12\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के वर्गों का योग दिखे तो पहले \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) पहचानें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=n\). Using \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\), we get \(40=8^2-2n=64-2n\). Thus, \(2n=24\) and \(n=12\). Exam tip: when the sum of the squares of the roots is given, use \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) directly.
विएटा के सूत्र के अनुसार \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-9\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-9\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-9=0\), अर्थात \(a^2=9\), इसलिए \(a=3\) या \(a=-3\)। विकल्प A में 0 और 9 लेना समीकरण \(a^2=9\) को गलत ढंग से हल करना है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग और गुणनफल के लिए सीधे विएटा के सूत्र का प्रयोग करें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(Ax^2+Bx+C=0\) is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-9\), so the product of the roots is \(a^2-9\). Setting it equal to zero gives \(a^2-9=0\), or \(a^2=9\), hence \(a=3\) or \(a=-3\). Option A is incorrect because \(a^2=9\) does not give 0 and 9 as the values of \(a\). Exam tip: Use Vieta’s formulas directly when only the sum or product of roots is given.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर x² − 2(a + 1)x + a² + 2a = (x − a)(x − a − 2) प्राप्त होता है। अतः x = a और x = a + 2 मूलें हैं। विकल्प B में दोनों मूल a + 1 होते, जिससे मध्य पद का गुणांक तो सही आता है, लेकिन अचर पद (a + 1)² होता, जो a² + 2a से अलग है। परीक्षा टिप: मूलों का योग 2(a + 1) और गुणनफल a² + 2a जाँचकर भी उत्तर सत्यापित किया जा सकता है। / Factoring the equation gives x² − 2(a + 1)x + a² + 2a = (x − a)(x − a − 2). Therefore, the roots are x = a and x = a + 2. In option B, both roots would be a + 1; although their sum is correct, their product would be (a + 1)², not a² + 2a. Exam tip: Verify the roots using the sum 2(a + 1) and the product a² + 2a.
दिया गया समीकरण \((x-q)^2-16=0\) या \((x-q)^2=16\) है। इसलिए इसकी जड़ें \(x=q+4\) और \(x=q-4\) होंगी। दोनों जड़ों के बीच धनात्मक अंतर \((q+4)-(q-4)=8\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाने से जड़ें तुरंत प्राप्त की जा सकती हैं। / The equation can be rewritten as \((x-q)^2-16=0\), so \((x-q)^2=16\). Hence, the roots are \(x=q+4\) and \(x=q-4\). Their positive difference is \((q+4)-(q-4)=8\). Exam tip: when a quadratic is in the form \((x-a)^2=b^2\), its roots are \(a+b\) and \(a-b\), making their difference \(2b\).
वियत के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-a\) और मूलों का गुणनफल \(b\) होता है। यहाँ \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\), इसलिए \(a=-6\)। इसी प्रकार, \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\), इसलिए \(b=7\)। अतः \(a+b=-6+7=1\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+ax+b=0\) में मूलों का योग \(-a\) होता है, इसलिए चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-a\) and their product is \(b\). Here, \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\), so \(a=-6\). Also, \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\), so \(b=7\). Therefore, \(a+b=-6+7=1\). Exam tip: In \(x^2+ax+b=0\), the sum of the roots is \(-a\), not \(a\); check this sign carefully.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m+1\) और \(c=16\), इसलिए \((m+1)^2-4(1)(16)=0\), अर्थात \((m+1)^2=64\)। अतः \(m+1=\pm 8\), जिससे \(m=7\) या \(m=-9\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m+1\), and \(c=16\). Thus, \((m+1)^2-4(1)(16)=0\), giving \((m+1)^2=64\). Therefore, \(m+1=\pm 8\), so \(m=7\) or \(m=-9\). Hence, option A is correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \(b^2-4ac=0\).
वियत के सूत्रों से \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=12\)। भिन्नों को एक हर में लेने पर \(\frac{(\alpha+1)(\beta-1)+(\beta+1)(\alpha-1)}{(\alpha-1)(\beta-1)}=\frac{2\alpha\beta-2}{\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1}\)। अतः मान \(\frac{2(12)-2}{12-7+1}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}\) है। इसलिए विकल्प C सही है; \(\frac{10}{3}\) जैसे विकल्प में अंश या हर के सरलीकरण में त्रुटि होती है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग ज्ञात करने के बजाय उनका योग और गुणनफल प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=12\). Combining the fractions gives \(\frac{(\alpha+1)(\beta-1)+(\beta+1)(\alpha-1)}{(\alpha-1)(\beta-1)}=\frac{2\alpha\beta-2}{\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1}\). Therefore, the value is \(\frac{2(12)-2}{12-7+1}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}\). Hence, option C is correct; an answer such as \(\frac{10}{3}\) results from an error while simplifying the numerator or denominator. Exam tip: In such problems, use the sum and product of the roots instead of finding the roots individually.
द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a+1)\) और \(C=a^2-3a\), इसलिए \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\)। अतः \(36(5a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है और वह \(a=-\frac{1}{5}\) को भी गलत रूप से बाहर कर देता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ; समान जड़ों के लिए \(D=0\) भी मान्य है। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=9\), \(B=-6(a+1)\), and \(C=a^2-3a\). Thus, \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\). Therefore, \(36(5a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac{1}{5}\). Option B reverses the inequality and incorrectly excludes the boundary value \(a=-\frac{1}{5}\). Exam tip: for real roots, use \(D\ge0\); the case \(D=0\) represents equal real roots and is included.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a_q=1\), \(b=-2(a-4)\) और \(c=a^2-20\) हैं। अतः \(4(a-4)^2-4(a^2-20)=0\), जिससे \(144-32a=0\) और \(a=\frac{9}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ और गुणांक पहचानते समय पैरामीटर \(a\) को समीकरण के गुणांक \(a_q\) से अलग रखें। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a_q=1\), \(b=-2(a-4)\), and \(c=a^2-20\). Therefore, \(4(a-4)^2-4(a^2-20)=0\), which simplifies to \(144-32a=0\), giving \(a=\frac{9}{2}\). Hence, option B is correct. Exam tip: For equal roots, immediately use \(D=0\), and distinguish the parameter \(a\) from the standard quadratic coefficient usually denoted by \(a_q\).
समीकरण \(x^2-(u+v)x+uv=0\) को \((x-u)(x-v)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए इसकी जड़ें \(u\) और \(v\) हैं। दोनों जड़ें समान होने के लिए \(u=v\) होना आवश्यक है। विविक्तकर से भी \(D=(u+v)^2-4uv=(u-v)^2\) मिलता है; समान जड़ों के लिए \(D=0\), अतः \(u=v\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले गुणनखंड रूप पहचानें या सीधे विविक्तकर का प्रयोग करें। / The equation \(x^2-(u+v)x+uv=0\) factors as \((x-u)(x-v)=0\), so its roots are \(u\) and \(v\). For the roots to be equal, it is necessary that \(u=v\). Equivalently, the discriminant is \(D=(u+v)^2-4uv=(u-v)^2\); equal roots require \(D=0\), giving \(u=v\). Exam tip: Look for the factorised form first, or use the discriminant condition directly.
A. जब \(a=0\), समान वास्तविक जड़ें; जब \(a\ne0\), कोई वास्तविक जड़ नहीं/Equal real roots when \(a=0\); no real roots when \(a\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(a^2+1)= -4a^2\) है। यदि \(a=0\), तो \(D=0\) और समीकरण \((x-1)^2=0\) बनता है, इसलिए दो समान वास्तविक जड़ें मिलती हैं। यदि \(a\ne0\), तो \(D<0\), इसलिए कोई वास्तविक जड़ नहीं होती। अतः विकल्प A सही है; विकल्प C इसलिए गलत है क्योंकि समान जड़ें केवल \(a=0\) पर मिलती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(a^2+1)=-4a^2\). When \(a=0\), \(D=0\), and the equation becomes \((x-1)^2=0\), giving two equal real roots. When \(a\ne0\), \(D<0\), so the equation has no real roots. Therefore, option A is correct; option C is incorrect because equal roots occur only when \(a=0\). Exam tip: To determine the nature of quadratic roots, first examine the sign of the discriminant.
वियत के सूत्रों से \(\alpha+\beta=-6\) और \(\alpha\beta=8\)। अतः \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=36-32=4\)। इसलिए \((\alpha-\beta)^2+2\alpha\beta=4+2(8)=20\), अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग ज्ञात करने के बजाय उनके योग और गुणनफल का सीधे उपयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-6\) and \(\alpha\beta=8\). Therefore, \((\alpha-eta)^2=(\alpha+eta)^2-4\alpha\beta=36-32=4\). Hence, \((\alpha-eta)^2+2\alpha\beta=4+2(8)=20\), so option A is correct. Exam tip: In such questions, use the sum and product of the roots directly instead of finding the roots individually.
स्थिर पद को गुणनखंडित करने पर \(a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\) मिलता है और गुणांकों का योग \((a+1)+(a+2)=2a+3\) है। अतः समीकरण \([x-(a+1)][x-(a+2)]=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए जड़ें \(a+1\) और \(a+2\) हैं। लगातार पूर्णांक होने के लिए \(a\) का पूर्णांक होना आवश्यक है। विकल्प B का योग सही है, लेकिन उसका गुणनफल \(a^2+3a\) है, जिसमें \(+2\) नहीं है। परीक्षा टिप: जड़ों से जुड़े प्रश्नों में योग और गुणनफल, दोनों का मिलान करें। / Factoring the constant term gives \(a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\), and the sum of these factors is \((a+1)+(a+2)=2a+3\). Thus, the equation can be written as \([x-(a+1)][x-(a+2)]=0\), so its roots are \(a+1\) and \(a+2\). For them to be consecutive integers, \(a\) must be an integer. Option B has the correct sum, but its product is \(a^2+3a\), which lacks the required \(+2\). Exam tip: Always verify both the sum and product of the proposed roots.
बहुपद को गुणनखंडों में लिखने पर \(x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)\) मिलता है। अतः \((x-a)(x-b)=0\) के लिए शून्य गुणनफल नियम से \(x=a\) या \(x=b\) होगा। इसलिए सही जड़ें \(a\) और \(b\) हैं। विकल्प B में \(a+b\) और \(ab\) गुणांकों से संबंधित राशियाँ हैं, जड़ें नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-Sx+P=0\) में ऐसी संख्याएँ खोजें जिनका योग \(S\) और गुणनफल \(P\) हो। / Factoring the polynomial gives \(x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)\). Hence, by the zero-product property, \((x-a)(x-b)=0\) implies \(x=a\) or \(x=b\). Therefore, the roots are \(a\) and \(b\). Option B lists the sum and product of the roots, not the roots themselves. Exam tip: In \(x^2-Sx+P=0\), look for two numbers whose sum is \(S\) and product is \(P\).
