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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Expert Level 31

मान लें कि \(a\) एक वास्तविक संख्या है। समीकरण \(x^2-2x+(a^2+1)=0\) की जड़ों की प्रकृति क्या है?

Assume that \(a\) is a real number. What is the nature of the roots of the equation \(x^2-2x+(a^2+1)=0\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. जब \(a=0\), समान वास्तविक जड़ें; जब \(a\ne0\), कोई वास्तविक जड़ नहींEqual real roots when \(a=0\); no real roots when \(a\ne0\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(a^2+1)= -4a^2\) है। यदि \(a=0\), तो \(D=0\) और समीकरण \((x-1)^2=0\) बनता है, इसलिए दो समान वास्तविक जड़ें मिलती हैं। यदि \(a\ne0\), तो \(D<0\), इसलिए कोई वास्तविक जड़ नहीं होती। अतः विकल्प A सही है; विकल्प C इसलिए गलत है क्योंकि समान जड़ें केवल \(a=0\) पर मिलती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(a^2+1)=-4a^2\). When \(a=0\), \(D=0\), and the equation becomes \((x-1)^2=0\), giving two equal real roots. When \(a\ne0\), \(D<0\), so the equation has no real roots. Therefore, option A is correct; option C is incorrect because equal roots occur only when \(a=0\). Exam tip: To determine the nature of quadratic roots, first examine the sign of the discriminant.

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मान लें कि \(a\) एक वास्तविक संख्या है। समीकरण \(x^2-2x+(a^2+1)=0\) की जड़ों की प्रकृति क्या है? / Assume that \(a\) is a real number. What is the nature of the roots of the equation \(x^2-2x+(a^2+1)=0\)?

Correct Answer: A. जब \(a=0\), समान वास्तविक जड़ें; जब \(a\ne0\), कोई वास्तविक जड़ नहीं / Equal real roots when \(a=0\); no real roots when \(a\ne0\). Explanation: यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(a^2+1)= -4a^2\) है। यदि \(a=0\), तो \(D=0\) और समीकरण \((x-1)^2=0\) बनता है, इसलिए दो समान वास्तविक जड़ें मिलती हैं। यदि \(a\ne0\), तो \(D<0\), इसलिए कोई वास्तविक जड़ नहीं होती। अतः विकल्प A सही है; विकल्प C इसलिए गलत है क्योंकि समान जड़ें केवल \(a=0\) पर मिलती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(a^2+1)=-4a^2\). When \(a=0\), \(D=0\), and the equation becomes \((x-1)^2=0\), giving two equal real roots. When \(a\ne0\), \(D<0\), so the equation has no real roots. Therefore, option A is correct; option C is incorrect because equal roots occur only when \(a=0\). Exam tip: To determine the nature of quadratic roots, first examine the sign of the discriminant.