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द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ें वास्तविक नहीं होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=2\), \(c=\lambda\), इसलिए \(D=2^2-4(3)(\lambda)=4-12\lambda\)। अतः \(4-12\lambda<0\), जिससे \(\lambda>\frac{1}{3}\) प्राप्त होता है। \(\lambda=\frac{1}{3}\) पर \(D=0\) होता है और जड़ें वास्तविक तथा समान होती हैं, इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: गैर-वास्तविक जड़ों के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are non-real when the discriminant satisfies \(D=b^2-4ac<0\). Here, \(a=3\), \(b=2\), and \(c=\lambda\), so \(D=2^2-4(3)(\lambda)=4-12\lambda\). Therefore, \(4-12\lambda<0\), which gives \(\lambda>\frac{1}{3}\). At \(\lambda=\frac{1}{3}\), \(D=0\), so the roots are real and equal; hence option C is incorrect. Exam tip: use \(D<0\) whenever a quadratic is required to have non-real roots.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=n\)। अब (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होने से \(20=6^2-2n=36-2n\)। अतः (2n=16) और (n=8)। परीक्षा-युक्ति: \(\alpha^2+\beta^2\) के लिए सीधे (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) का प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=n\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), we get \(20=6^2-2n=36-2n\). Hence, (2n=16) and (n=8). Exam tip: For the sum of squares of roots, use (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) rather than finding the roots individually.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-1\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-1\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-1=0\), अर्थात \(a^2=1\), जिससे \(a=1\) या \(a=-1\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग या गुणनफल से जुड़े प्रश्नों में वियत के सूत्र का सीधे प्रयोग करें; केवल एक मान चुनने से पहले समीकरण के दोनों हलों को अवश्य जाँचें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(Ax^2+Bx+C=0\) is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-1\), so the product of the roots is \(a^2-1\). Setting it equal to zero gives \(a^2-1=0\), or \(a^2=1\), hence \(a=1\) or \(a=-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly when a question asks for the sum or product of roots, and remember to consider both values obtained after solving the parameter equation.
क्योंकि \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), इसलिए दिए गए व्युत्क्रम क्रमशः \(2-\sqrt{3}\) और \(2+\sqrt{3}\) हैं। इनके योग का मान \(4\) है। द्विघात समीकरण \(x^2+ax+b=0\) में मूलों का योग \(-a\) होता है, अतः \(-a=4\), इसलिए \(a=-4\)। परीक्षा-टिप: एकात्मक द्विघात समीकरण में मूलों का योग हमेशा \(-\frac{\text{गुणांक of }x}{\text{गुणांक of }x^2}\) होता है। / Since \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), the given reciprocals are \(2-\sqrt{3}\) and \(2+\sqrt{3}\). Their sum is \(4\). For \(x^2+ax+b=0\), the sum of the roots is \(-a\). Thus, \(-a=4\), giving \(a=-4\). Exam tip: For a quadratic equation, use the sum-of-roots relation \(-\frac{\text{coefficient of }x}{\text{coefficient of }x^2}\).
विएटा के सूत्र के अनुसार \(x^2-2x+k=0\) के मूलों का गुणनफल \(k\) होता है। यहाँ मूल \(\tan\theta\) और \(\cot\theta\) हैं, इसलिए उनका गुणनफल \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) है। अतः \(k=1\)। विकल्प 2 मूलों के योग से संबंधित है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में स्थिर पद को मूलों के गुणनफल से जोड़ना याद रखें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(x^2-2x+k=0\) is \(k\). Here, the product is \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\), so \(k=1\). The value 2 is related to the sum of the roots, not their product. Exam tip: for a monic quadratic \(x^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(c\).
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+b=0\) के मूलों का योग \(-a\) और गुणनफल \(b\) होता है। यहाँ मूलों का योग \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\), इसलिए \(a=-4\)। उनका गुणनफल \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\), इसलिए \(b=1\)। अतः \(a+b=-4+1=-3\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल सीधे विएटा के सूत्रों से ज्ञात करें। / For a quadratic equation \(x^2+ax+b=0\), the sum of the roots is \(-a\) and their product is \(b\). Here, the sum is \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\), so \(a=-4\). Their product is \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\), so \(b=1\). Therefore, \(a+b=-4+1=-3\). Exam tip: Use Vieta’s formulas directly to find the sum and product of the roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-5\) और \(c=9\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(m-5)^2-36=0\)। अतः \(m-5=\pm6\), जिससे \(m=11\) या \(m=-1\) प्राप्त होता है। साथ ही, मूलों का गुणनफल \(c/a=9>0\) है, इसलिए वे विपरीत चिह्नों वाले नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m-5\), and \(c=9\), so \(D=b^2-4ac=(m-5)^2-36=0\). Hence, \(m-5=\pm6\), giving \(m=11\) or \(m=-1\). Also, the product of the roots is \(c/a=9>0\), so the roots cannot have opposite signs. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, directly use \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=4\), \(B=-4(a-1)\) और \(C=a^2-4a\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\)। अतः \(16(2a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac12\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B \(a\le1\) विविक्तकर की सही असमिका नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले \(D\) को सरल रूप में लिखकर ही पैरामीटर की शर्त निकालें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=4\), \(B=-4(a-1)\), and \(C=a^2-4a\). Thus, \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\). Therefore, \(16(2a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac12\). Hence, option A is correct; the condition \(a\le1\) in option B does not follow from the discriminant. Exam tip: simplify the discriminant completely before solving the parameter inequality.
वियत के अनुसार जड़ों का गुणनफल 12 होगा, इसलिए (r(r+1)=12), अर्थात \(r^2+r-12=0\)। इससे (r=3) या (r=-4) मिलता है। अतः जड़ों का योग क्रमशः 7 या -7 है। फिर (r+(r+1)=-p) से (p=-7) या (p=7), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में याद रखें: x-2+px+q=0 में जड़ों का योग -p और गुणनफल q होता है। / By Vieta’s formulas, the product of the roots is 12, so (r(r+1)=12), or \(r^2+r-12=0\). Thus, r=3 or r=-4. The sum of the roots is therefore 7 or -7. Since r+(r+1)=-p, we obtain p=-7 or p=7; hence, option A is correct. Exam tip: for x-2+px+q=0, the sum of the roots is -p and their product is q.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होता है। यहाँ (a=k-2, b=4, c=1) हैं, इसलिए D=16-4(k-2)=0, जिससे k=6 प्राप्त होता है। ध्यान दें कि k=2 पर समीकरण द्विघात नहीं, बल्कि रैखिक हो जाता है; अतः वह सही विकल्प नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले द्विघात समीकरणों में सीधे D=0 लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, a=k-2, b=4, c=1, so D=16-4(k-2)=0, giving k=6. Note that when k=2, the equation becomes linear rather than quadratic, so it cannot represent equal roots of a quadratic equation. Exam tip: Set the discriminant equal to zero whenever a quadratic is stated to have equal roots.
\(4x^2-4x+1=(2x-1)^2\), इसलिए \((2x-1)^2=0\) से \(2x-1=0\), अर्थात \(x=\frac{1}{2}\)। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होने के कारण दोनों जड़ें समान हैं। अतः दोनों जड़ें \(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\) हैं। परीक्षा-युक्ति: जब द्विघात व्यंजक पूर्ण वर्ग हो या \(D=0\) हो, तो समान जड़ प्राप्त होती है। / Since \(4x^2-4x+1=(2x-1)^2\), the equation gives \((2x-1)^2=0\), so \(2x-1=0\) and \(x=\frac{1}{2}\). Also, the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero, confirming that the two roots are equal. Therefore, both roots are \(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\). Exam tip: A quadratic that is a perfect square, or has \(D=0\), has equal roots.
किसी जड़ को सत्यापित करने के लिए उसका मान समीकरण में रखें। \(x=0\) रखने पर \(a(0)^2+b(0)+c=0\), अतः \(c=0\) आवश्यक है। \(b=0\) या \(a+b=0\) होना अनिवार्य नहीं है, और \(a=0\) होने पर समीकरण द्विघात नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: यदि \(0\) किसी बहुपद की जड़ है, तो उसका स्थिर पद हमेशा शून्य होता है। / Substitute the proposed root into the equation: \(a(0)^2+b(0)+c=0\), which gives \(c=0\). Thus the constant term must be zero. Neither \(b=0\) nor \(a+b=0\) is necessary, while \(a=0\) would make the equation non-quadratic. Exam tip: If zero is a root of a polynomial, its constant term is always zero.
मान लें कि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। तब \(\alpha+\beta=-6\) और \(\alpha\beta=r\)। सूत्र \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) से \(20=36-4r\) प्राप्त होता है, इसलिए \(r=4\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के अंतर का वर्ग निकालकर हमेशा इसे जड़ों के योग और गुणनफल से जोड़ें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). Then \(\alpha+\beta=-6\) and \(\alpha\beta=r\). Using \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\), we get \(20=36-4r\), so \(r=4\). Exam tip: Square the difference of the roots and relate it to their sum and product; the sign of the sum does not affect its square.
मान लें कि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। वियत के सूत्र के अनुसार \(\alpha\beta=m\)। एक-दूसरे की व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होना चाहिए, इसलिए \(m=1\)। वास्तव में, \(m=1\) रखने पर समीकरण \((x-1)^2=0\) बनता है और दोनों जड़ें 1 होती हैं, जो अपने ही व्युत्क्रम के बराबर हैं। \(m=0\) नहीं हो सकता, क्योंकि तब एक जड़ 0 होगी और उसका व्युत्क्रम परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: व्युत्क्रम जड़ों के लिए जड़ों का गुणनफल हमेशा 1 रखें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By Vieta’s formula, \(\alpha\beta=m\). For two roots to be reciprocals of each other, \(\alpha\beta=1\); hence, \(m=1\). Indeed, when \(m=1\), the equation becomes \((x-1)^2=0\), so both roots are 1, and each is the reciprocal of the other. The value \(m=0\) is invalid because it gives a zero root, whose reciprocal is undefined. Exam tip: For reciprocal roots, set their product equal to 1.
वियत के सूत्र के अनुसार दोनों जड़ों का योग \(10\) है और उनका गुणनफल \(k\) है। 10 बनाने वाली भिन्न अभाज्य संख्याओं की जोड़ी \(3\) और \(7\) है; \(5+5=10\) होने पर जड़ें भिन्न नहीं रहेंगी। इसलिए \(k=3\times7=21\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-Sx+P=0\) में जड़ों का योग \(S\) और गुणनफल \(P\) होता है। / By Vieta’s relations, the sum of the roots is \(10\) and their product is \(k\). The distinct prime numbers that sum to 10 are \(3\) and \(7\); the pair \(5,5\) is excluded because the roots must be distinct. Hence, \(k=3\times7=21\). Exam tip: In \(x^2-Sx+P=0\), the sum of the roots is \(S\) and their product is \(P\).
वियत के सूत्रों के अनुसार, \(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=1\)। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=5^2-2(1)=25-2=23\)। अतः सही उत्तर 23 है। परीक्षा में \(\alpha^2+\beta^2\) के लिए \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का सूत्र याद रखें; केवल \((\alpha+\beta)^2\) लेने पर 25 मिलेगा, जो गलत है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=1\). Hence, \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=5^2-2(1)=25-2=23\). Therefore, the correct answer is 23. In the exam, remember the identity \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\); using only \((\alpha+\beta)^2\) gives 25, which is incorrect.
द्विघात समीकरण की वास्तविक और भिन्न जड़ों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\)। अतः \(4(2k+1)>0\), जिससे \(k>- rac{1}{2}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में समानता शामिल है, पर \(k=-\frac{1}{2}\) पर जड़ें भिन्न नहीं, समान होती हैं। परीक्षा टिप: ‘वास्तविक और भिन्न’ जड़ों के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\). Thus, \(4(2k+1)>0\), which gives \(k>- rac{1}{2}\). Option B is incorrect because at \(k=- rac{1}{2}\), the roots are equal rather than distinct. Exam tip: For ‘real and distinct’ roots, use the strict condition \(D>0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=k\) और \(c=16\) हैं, इसलिए \(b^2-4ac=0\) से \(k^2-4(1)(16)=0\), अर्थात \(k^2-64=0\)। अतः \(k=8\) या \(k=-8\)। विकल्प B के लिए विविक्तकर शून्य नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=k\), and \(c=16\). Thus, \(b^2-4ac=0\) gives \(k^2-4(1)(16)=0\), so \(k^2-64=0\). Therefore, \(k=8\) or \(k=-8\). For option B, the discriminant would not be zero. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, directly use \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2, c=p+3\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(p+3)=-4(p+2)\)। अतः \(-4(p+2)<0\), जिससे \(p>-2\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(D=0\) होने पर एक वास्तविक समान मूल होती है, इसलिए \(p=-2\) शामिल नहीं है। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is less than zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\), and \(c=p+3\), so \(D=(-2)^2-4(1)(p+3)=-4(p+2)\). Thus, \(-4(p+2)<0\), which gives \(p>-2\). Remember that \(D=0\) gives one repeated real root, so \(p=-2\) is not included.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ों \(\alpha\) और \(\beta\) के लिए \((\alpha-\beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-(k+2), c=2k\), इसलिए \((\alpha-\beta)^2=(k+2)^2-8k=(k-2)^2\)। जड़ों का अंतर 2 होने पर \((k-2)^2=4\), अतः \(k-2=\pm2\), जिससे \(k=0\) या \(k=4\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के अंतर को सीधे उपयोग करने के बजाय पहले उसके वर्ग को विविक्तकर से जोड़ें। / For roots \(\alpha\) and \(\beta\) of \(ax^2+bx+c=0\), \((\alpha-\beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}\). Here, \(a=1, b=-(k+2), c=2k\), so \((\alpha-\beta)^2=(k+2)^2-8k=(k-2)^2\). Since the difference is 2, \((k-2)^2=4\), giving \(k-2=\pm2\), hence \(k=0\) or \(k=4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Relate the square of the difference between the roots to the discriminant before solving for the parameter.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=\lambda\) और \(c=8\) हैं, इसलिए \(D=\lambda^2-4(2)(8)=\lambda^2-64\)। अतः \(\lambda^2-64=0\), जिससे \(\lambda=\pm8\) प्राप्त होता है। विकल्प B में सामान्यतः \(4ac\) की गणना में गलती हो जाती है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=2\), \(b=\lambda\), and \(c=8\), so \(D=\lambda^2-4(2)(8)=\lambda^2-64\). Thus, \(\lambda^2-64=0\), giving \(\lambda=\pm8\). Option B may result from incorrectly calculating \(4ac\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant directly equal to zero.
किसी मूल का मान समीकरण में रखने पर समीकरण सत्य होना चाहिए। इसलिए \(x=2\) रखने पर \(k(2)^2-6(2)+4=0\), अर्थात \(4k-12+4=0\)। इससे \(4k=8\) और \(k=2\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को सीधे द्विघात समीकरण में प्रतिस्थापित करके अज्ञात गुणांक ज्ञात करें। / A root must satisfy the equation. Substituting \(x=2\), we get \(k(2)^2-6(2)+4=0\), so \(4k-12+4=0\). Hence \(4k=8\) and \(k=2\). Therefore, option B is correct. Exam tip: Substitute the given root directly into the quadratic equation to find the unknown coefficient.
यहाँ \(a=5, b=-2, c=1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(5)(1)=4-20=-16<0\) है। इसलिए समीकरण की कोई वास्तविक जड़ नहीं है। विकल्प A तब सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि विकल्प B के लिए \(D>0\) आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में विविक्तकर का चिन्ह जड़ों की प्रकृति तुरंत बताता है। / Here, \(a=5, b=-2, c=1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(5)(1)=4-20=-16<0\). Therefore, the equation has no real roots. Option A would be correct only if \(D=0\), while option B requires \(D>0\). Exam tip: The sign of the discriminant quickly determines the nature of the roots of a quadratic equation.
मान लें जड़ें \(\alpha\) और \(-\alpha\) हैं। उनकी राशि \(\alpha+(-\alpha)=0\) होगी। विएटा के सूत्र के अनुसार \(x^2+bx+c=0\) की जड़ों की राशि \(-b\) होती है, इसलिए \(-b=0\), अर्थात \(b=0\)। \(c=0\) अनिवार्य नहीं है; उदाहरण के लिए \(x^2-1=0\) की जड़ें \(1\) और \(-1\) हैं, जबकि \(c=-1\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों की राशि देखकर सीधे \(-b\) से तुलना करें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(-\alpha\). Their sum is \(\alpha+(-\alpha)=0\). By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(x^2+bx+c=0\) is \(-b\). Hence \(-b=0\), so \(b=0\). The condition \(c=0\) is not necessary; for example, \(x^2-1=0\) has roots \(1\) and \(-1\), but \(c=-1\). Exam tip: compare the sum of the roots directly with the coefficient relation \(-b\).
समीकरण �\(ax^2+bx+c=0�\) में विविक्तकर �\(D=b^2-4ac�\) होता है। यहाँ �\(a=1,b=-2\sqrt{3},c=3�\), इसलिए �(D=\(-2\sqrt{3}\)2-4(1)(3)=12-12=0�)। अतः दोनों जड़ें वास्तविक और समान हैं; वास्तव में प्रत्येक जड़ �\sqrt{3}� है। इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: �(D=0�) होने पर हमेशा दो समान वास्तविक जड़ें मिलती हैं। / For �\(ax^2+bx+c=0�\), the discriminant is �\(D=b^2-4ac�\). Here �\(a=1,b=-2\sqrt{3},c=3�\), so �(D=\(-2\sqrt{3}\)2-4(1)(3)=12-12=0�). Therefore, the roots are real and equal; each root is �\sqrt{3}�. Hence option B is correct. Exam tip: when �(D=0�), a quadratic equation has two equal real roots.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(k-1)\) और \(c=k+5\) हैं। अतः \(D=[2(k-1)]^2-4(1)(k+5)=4(k^2-3k-4)=0\)। इसलिए \((k-4)(k+1)=0\), जिससे \(k=4\) या \(k=-1\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=2(k-1)\), and \(c=k+5\). Thus, \(D=[2(k-1)]^2-4(1)(k+5)=4(k^2-3k-4)=0\). Factoring gives \((k-4)(k+1)=0\), so \(k=4\) or \(k=-1\). The distractors arise from sign or factorisation errors. Exam tip: whenever a quadratic has equal roots, immediately apply \(D=0\).
द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\) है। अतः \(8(a-1)\ge 0\), जिससे \(a\ge 1\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \(a=1\) छूट जाता है, जबकि इस स्थिति में दोनों जड़ें समान और वास्तविक होती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge 0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge 0\). Here, \(D=[-2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\). Therefore, \(8(a-1)\ge 0\), which gives \(a\ge 1\). Option A incorrectly excludes \(a=1\), although at \(a=1\) the equation has equal real roots. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\ge 0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k+4\) हैं। अतः \(D=4(k+1)^2-4k(k+4)=4(1-2k)\)। समान जड़ों के लिए \(4(1-2k)=0\), इसलिए \(k=\frac{1}{2}\)। परीक्षा-टिप: समान जड़ों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ और साथ ही जाँच लें कि \(a\neq 0\) हो। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=k\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k+4\). Therefore, \(D=4(k+1)^2-4k(k+4)=4(1-2k)\). Setting this equal to zero gives \(k=\frac{1}{2}\). Exam tip: In equal-root questions, begin with \(D=0\) and verify that \(a\neq 0\) so the equation remains quadratic.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-28\)। अतः \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=-28+3+1=-24\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि विस्तार करते समय अंतिम \(+1\) पद छोड़ने पर \(-28+3=-25\) प्राप्त होगा, जो सही नहीं है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-28\). Therefore, \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=-28+3+1=-24\). Hence, option A is correct. Remember to include the final \(+1\) term when expanding the product; omitting it leads to an incorrect result.
मूलों का योग �(-2)+(-3)=-5� है। द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� में मूलों का योग �-��\frac{b}{a}� होता है। इसलिए �-\frac{p}{3}=-5�, जिससे �p=15� प्राप्त होता है। विकल्प B में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के लिए �-\frac{b}{a}� और गुणनफल के लिए �\frac{c}{a}� याद रखें। / The sum of the roots is �(-2)+(-3)=-5�. For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)�, the sum of the roots is �-\frac{b}{a}�. Hence, �-\frac{p}{3}=-5�, giving �p=15�. Option B results from an incorrect sign. Exam tip: use �-\frac{b}{a}� for the sum of roots and �\frac{c}{a}� for their product.
