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समान मूलों को \(r\) मानें। मूलों का गुणनफल \(r^2=49\) है, इसलिए \(r=\pm7\)। मूल ऋणात्मक होने के कारण \(r=-7\)। अतः दोनों मूलों का योग \(-14\) है। विएटा के सूत्र के अनुसार मूलों का योग \(-k\) होता है, इसलिए \(-k=-14\), अर्थात् \(k=14\)। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणनफल से मूल ज्ञात करें और फिर योग \(-k\) से गुणांक निर्धारित करें। / Let the equal root be \(r\). Since the product of the roots is \(49\), we have \(r^2=49\), giving \(r=\pm7\). Because the roots are negative, \(r=-7\). Thus, their sum is \(-14\). By Vieta’s formula, the sum of the roots is \(-k\), so \(-k=-14\) and \(k=14\). Exam tip: use the constant term to find the equal root first, then use the sum of roots \(-k\) to determine the coefficient.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। इसलिए यहाँ \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=-5\)। अब \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=-5+2(4)+4=7\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग हल करने के बजाय योग और गुणनफल के सूत्रों का प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and their product is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Thus, here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-5\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=-5+2(4)+4=7\). Hence, option A is correct. Exam tip: Use the sum and product of roots directly instead of solving for the roots individually.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=12\), इसलिए \(\alpha\beta=12\)। अतः \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=12^2=144\)। विकल्प 12 केवल \(\alpha\beta\) का मान है, माँगा गया उसका वर्ग नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=12\), so \(\alpha\beta=12\). Therefore, \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=12^2=144\). Option 12 is only the value of \(\alpha\beta\), not its square. Exam tip: Remember that the sum and product of the roots are \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\), respectively.
वियता के सूत्र से \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=24\) प्राप्त होते हैं। अतः \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=24-20+4=8\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में से 2 घटाने पर गुणनफल निकालते समय \(-2(\alpha+\beta)\) पद अवश्य शामिल करें; केवल \(\alpha\beta\) लेने पर 24 प्राप्त होगा, जो गलत है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=24\). Therefore, \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=24-20+4=8\). Hence, option A is correct. Exam tip: when subtracting the same number from both roots, expand the product carefully; using only \(\alpha\beta\) would incorrectly give 24.
यदि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो विएटा के सूत्र के अनुसार \(\alpha+\beta=2m+3\) और \(\alpha\beta=(m+1)(m+2)\)। विकल्प A के लिए \((m+1)+(m+2)=2m+3\) तथा \((m+1)(m+2)\) प्राप्त होता है। अतः मूल \(m+1\) और \(m+2\) हैं। जाँचने की युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल की तुलना सीधे समीकरण के गुणांकों से करें। / If the roots are \(\alpha\) and \(\beta\), Vieta’s formulas give \(\alpha+\beta=2m+3\) and \(\alpha\beta=(m+1)(m+2)\). For option A, \((m+1)+(m+2)=2m+3\), and the product is exactly \((m+1)(m+2)\). Hence the roots are \(m+1\) and \(m+2\). Exam tip: compare the sum and product of the proposed roots with the coefficients of the quadratic.
द्विघात समीकरण c\(x^2-6x+2=0c\) के लिए मूलों का योग c\(\alpha+\beta=6c\) और मूलों का गुणनफल c\(\alpha\beta=2c\) है। पहचान c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac) से c(\alpha-2+\beta-2=62-2(2)=36-4=32c) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के वर्गों का योग निकालते समय c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac) का प्रयोग करें; 36 केवल c(\(\alpha+\beta\)2c) है, पूरा उत्तर नहीं। / For the quadratic equation c\(x^2-6x+2=0c\), the sum of the roots is c\(\alpha+\beta=6c\) and their product is c\(\alpha\beta=2c\). Using the identity c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac), we get c(\alpha-2+\beta-2=62-2(2)=36-4=32c). Therefore, option A is correct. Exam tip: use c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac); 36 is only c(\(\alpha+\beta\)2c), not the required value.
मूलों के योग के लिए \(-p=5+(-2)=3\), इसलिए \(p=-3\)। मूलों का गुणनफल \(q=5\times(-2)=-10\) होगा। अतः \(p-q=-3-(-10)=7\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। / The sum of the roots is \(5+(-2)=3\). Since the sum of roots is \(-p\), we get \(p=-3\). Their product is \(q=5\times(-2)=-10\). Therefore, \(p-q=-3-(-10)=7\). Exam tip: For \(x^2+px+q=0\), the sum of roots is \(-p\) and their product is \(q\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=5\) और \(c=q\), इसलिए मूलों का गुणनफल \(\frac{q}{5}\) है। अतः \(\frac{q}{5}=3\times(-4)=-12\)। विकल्प \(12\) में ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=5\) and \(c=q\), so the product of the roots is \(\frac{q}{5}\). Therefore, \(\frac{q}{5}=3\times(-4)=-12\). The distractor \(12\) results from missing the negative sign. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\), while their product is \(\frac{c}{a}\).
विएटा के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=18\)। अतः \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=18-18+4=4\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि केवल \(\alpha\beta\) पूछे जाने पर उत्तर 18 होता, लेकिन यहाँ दोनों मूलों में से 2 घटाकर गुणनफल निकालना है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=18\). Therefore, \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=18-18+4=4\). Hence, option A is correct. Exam tip: 18 is only the product \(\alpha\beta\); the required expression also involves the sum of the roots.
दिया गया समीकरण \(x^2-2(m+2)x+(m+2)^2=0\), \((x-(m+2))^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए इसका दोहराया हुआ मूल \(x=m+2\) है और यह प्रत्येक वास्तविक \(m\) के लिए बराबर मूल देता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C केवल \(m=-2\) का एक विशेष मान बताता है, जबकि सभी वास्तविक मान मान्य हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग या विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) की जाँच करें। / The equation can be rewritten as \((x-(m+2))^2=0\). Hence its repeated root is \(x=m+2\), and the roots are equal for every real value of \(m\). Therefore, option A is correct. Option C gives only the special case \(m=-2\), not the complete set of valid values. Exam tip: in such questions, first look for a perfect square or verify that the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=m+4\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=16-4(m+4)=-4m\)। अतः \(-4m<0\), जिससे \(m>0\) प्राप्त होता है। \(m=0\) पर \(D=0\) होगा और दो समान वास्तविक मूल मिलेंगे, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों की जाँच के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=m+4\), so \(D=b^2-4ac=16-4(m+4)=-4m\). Thus, \(-4m<0\), which gives \(m>0\). If \(m=0\), then \(D=0\), giving two equal real roots; therefore, option C is incorrect. Exam tip: For questions about the nature of roots, first determine the sign of the discriminant.
मान लें कि दोनों समान मूल \(r\) हैं। मूलों का गुणनफल \(r^2=16\) है, इसलिए धनात्मक मूल \(r=4\) होगा। मूलों का योग \(2r=8=-b\) से \(b=-8\) प्राप्त होता है। विकल्प B में सही परिमाण है, लेकिन चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के लिए विविक्तकर \(b^2-64=0\) से \(b=\pm 8\) मिलते हैं; धनात्मक मूल की शर्त \(b=-8\) चुनती है। / Let the two equal roots be \(r\). Their product is \(r^2=16\), so the positive root is \(r=4\). By the sum-of-roots relation, \(2r=8=-b\), giving \(b=-8\). Option B has the correct magnitude but the wrong sign. Exam tip: the equal-root condition gives \(b^2-64=0\), or \(b=\pm8\); the positive-root condition selects \(b=-8\).
दोनों मूल ऋणात्मक और अनुपात \(1:2\) में हैं, इसलिए उन्हें \(-t\) और \(-2t\) मान सकते हैं। मूलों का गुणनफल \((-t)(-2t)=2t^2=18\) है, अतः \(t=3\) और मूल \(-3,-6\) हैं। मूलों का योग \(-9\) है। विएटा के सूत्र के अनुसार मूलों का योग \(-p\) होता है, इसलिए \(-p=-9\), अर्थात् \(p=9\)। परीक्षा में \(x^2+px+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-p\) याद रखें। / Since both roots are negative and their ratio is \(1:2\), let them be \(-t\) and \(-2t\). Their product is \((-t)(-2t)=2t^2=18\), giving \(t=3\). Thus, the roots are \(-3\) and \(-6\), whose sum is \(-9\). By Vieta’s relation, the sum of the roots is \(-p\), so \(-p=-9\) and \(p=9\). Exam tip: for \(x^2+px+c=0\), the sum of the roots is \(-p\).
मूलों को \(t\) और \(2t\) मानें। मूलों का योग \(9\) है, इसलिए \(t+2t=9\), अर्थात \(t=3\)। अतः मूल \(3\) और \(6\) हैं। मूलों का गुणनफल \(c\) के बराबर होता है, इसलिए \(c=3\times6=18\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / Let the roots be \(t\) and \(2t\). Their sum is \(9\), so \(t+2t=9\), giving \(t=3\). Hence, the roots are \(3\) and \(6\). The product of the roots equals \(c\), so \(c=3\times6=18\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
दिया गया द्विघात समीकरण \(x^2-12x+36=0\) को ((x-6)2=0) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए इसका दोनों मूल 6 हैं, अर्थात् \(\alpha=\beta=6\)। अतः \(\alpha-\beta=6-6=0\)। परीक्षा-युक्ति: यदि विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य हो, तो दोनों मूल समान होते हैं और उनका अंतर शून्य होता है। / The quadratic equation \(x^2-12x+36=0\) factors as ((x-6)2=0). Hence both roots are 6, so \(\alpha=\beta=6\) and \(\alpha-\beta=6-6=0\). Exam tip: when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero, the two roots are equal and their difference is zero.
वियत के सूत्र के अनुसार, समीकरण 8x-2-6x+5=09 के मूलों का योग 8\alpha+\beta9 = -\frac{-6}{1}=6 है। इसलिए नए व्यंजकों का योग 8\alpha+39+\u00028\beta+39 = \alpha+\beta+6 = 6+6=12 होगा। विकल्प 9 में केवल एक बार 3 जोड़ने की भूल होती है। परीक्षा-युक्ति: दोनों मूलों में समान संख्या जोड़ने पर मूलों का योग उस संख्या के दोगुने से बढ़ता है। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of 8x-2-6x+5=09 is 8\alpha+\beta9 = -\frac{-6}{1}=6. Hence, 8\alpha+39+8\beta+39 = \alpha+\beta+6 = 6+6=12. The distractor 9 results from adding 3 only once. Exam tip: when the same number is added to both roots, their sum increases by twice that number.
समीकरण के मूल 8 और -2 हैं, क्योंकि \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\)। प्रत्येक मूल में 2 घटाने पर नए मूल 6 और -4 मिलते हैं, अतः उनका गुणनफल \(6\times(-4)=-24\) है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में परिवर्तन करना है; केवल एक मूल में 2 घटाने से सही उत्तर नहीं मिलेगा। / The roots of the equation are 8 and -2, since \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\). After subtracting 2 from each root, the new roots are 6 and -4, whose product is \(6\times(-4)=-24\). Remember that the transformation must be applied to both roots; changing only one root gives an incorrect result.
दिए गए समीकरण के मूल 8 और −2 हैं, क्योंकि \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\)। प्रत्येक मूल में 1 जोड़ने पर नए मूल 9 और −1 मिलते हैं। अतः नए मूलों का योग 8 और गुणनफल −9 है, इसलिए मोनिक समीकरण \(x^2-8x-9=0\) होगा। विकल्प B पुराने मूलों का समीकरण है, जबकि विकल्प C में नए मूलों का योग गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों में समान संख्या जोड़ने पर पहले नए मूलों का योग और गुणनफल निकालकर समीकरण \(x^2-(योग)x+(गुणनफल)=0\) बनाइए। / The given equation factors as \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\), so its roots are 8 and −2. Adding 1 to each root gives 9 and −1. Their sum is 8 and their product is −9; therefore, the required monic equation is \(x^2-8x-9=0\). Option B retains the old roots, while option C uses an incorrect sum of the new roots. Exam tip: for roots \(\alpha\) and \(\beta\), form the monic equation as \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\).
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=\frac{8}{1}=8\) और \(\alpha\beta=\frac{12}{1}=12\)। अब \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=12+2(8)+4=32\)। इसलिए सही उत्तर 32 है। ध्यान रखें कि \((\alpha+2)(\beta+2)\) को विस्तार देते समय दोनों मूलों के योग वाला पद \(2(\alpha+\beta)\) अवश्य शामिल करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=\frac{8}{1}=8\) and \(\alpha\beta=\frac{12}{1}=12\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=12+2(8)+4=32\). Hence, the correct answer is 32. In the exam, remember to include the middle term \(2(\alpha+\beta)\) when expanding the product.
यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=13\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(13)=16-52=-36<0\) है। इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और उत्तर 0 है। ध्यान रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूलों की संख्या हमेशा शून्य होती है; 1 या 2 वास्तविक मूल तभी संभव हैं जब \(D=0\) या \(D>0\) हो। / Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=13\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(13)=16-52=-36<0\). Therefore, the quadratic equation has no real roots, so the answer is 0. Exam tip: \(D<0\) means zero real roots; one or two real roots occur only when \(D=0\) or \(D>0\), respectively.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=-8\) और \(c=16\), इसलिए \(D=(-8)^2-4(k)(16)=64-64k\)। अतः \(64-64k=0\), जिससे \(k=1\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots of a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=k\), \(b=-8\), and \(c=16\), so \(D=(-8)^2-4(k)(16)=64-64k\). Thus, \(64-64k=0\), giving \(k=1\). Exam tip: Whenever equal roots are mentioned, immediately use the condition \(D=0\).
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-6, c=k\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k=0\), जिससे \(k=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 6 केवल \(b\) के परिमाण से जुड़ा है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For real and equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1, b=-6, c=k\), so \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Setting \(D=0\) gives \(36-4k=0\), hence \(k=9\). The value 6 is only the magnitude of the coefficient of \(x\), so it is not correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, always use \(b^2-4ac=0\).
मूलों के योग और गुणनफल से \(\alpha+\beta=10\) तथा \(\alpha\beta=21\) मिलते हैं। पहचान \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+eta)\) का प्रयोग करने पर \(10^3-3\times21\times10=1000-630=370\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 370 है। परीक्षा-युक्ति: घन के योग वाले प्रश्नों में पहले मूलों का योग और गुणनफल पहचानें। / From the coefficients, \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\). Using the identity \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+eta)^3-3\alpha\beta(\alpha+eta)\), we get \(10^3-3\times21\times10=1000-630=370\). Hence, the correct answer is 370. Exam tip: For the sum of cubes of roots, first find their sum and product using Vieta’s relations.
विएटा के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। इसलिए \((-3)+(-4)=-7=-p\), अतः \(p=7\)। साथ ही, \(q=(-3)(-4)=12\)। इसलिए \(p+q=7+12=19\)। विकल्प 12 केवल \(q\) का मान है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q\) में मूलों का योग \(-p\) होता है, जबकि गुणनफल \(q\) होता है। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Thus, \((-3)+(-4)=-7=-p\), giving \(p=7\). Also, \(q=(-3)(-4)=12\). Therefore, \(p+q=7+12=19\). Option 12 is only the value of \(q\). Exam tip: For \(x^2+px+q\), the sum of roots is \(-p\), while their product is \(q\).
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग -b होता है। यहाँ b=-(m+3) है, इसलिए मूलों का योग m+3 होगा। दिए गए मूलों से 3+6=9=m+3, अतः m=6। विकल्प 3 केवल m+3 को भूल से m मानने पर मिलता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः -(coefficient of x) और स्थिर पद से तुरंत जाँचें। / For a quadratic equation x-2+bx+c=0, the sum of the roots is -b. Here, b=-(m+3), so the sum of the roots is m+3. Since the roots are 3 and 6, 3+6=9=m+3, giving m=6. Option 3 results from mistakenly treating m+3 as m. Exam tip: Verify the result using both the sum of roots and their product; 3\times6=18 matches the constant term.
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{C}{A}\) होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(3\times5=15\) और \(\frac{C}{A}=\frac{15}{a}\) है। इसलिए \(\frac{15}{a}=15\), जिससे \(a=1\) प्राप्त होता है। विकल्प 15 स्थिर पद है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का गुणनफल हमेशा \(\frac{c}{a}\) और योग \(-\frac{b}{a}\) से मिलाएँ। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\), the product of its roots is \(\frac{C}{A}\). Here, the product is \(3\times5=15\), while \(\frac{C}{A}=\frac{15}{a}\). Thus, \(\frac{15}{a}=15\), giving \(a=1\). The value 15 is the constant term, not the coefficient \(a\). Exam tip: use \(\frac{c}{a}\) for the product of roots and \(-\frac{b}{a}\) for their sum.
दिया गया समीकरण ((x-k)2-4=0) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः ((x-k)2=4) से मूल (x=k+2) और (x=k-2) होंगे। इसलिए दोनों मूलों के बीच धनात्मक अंतर ((k+2)-(k-2)=4) है। विकल्प B केवल 2 को दर्शाता है, जो प्रत्येक मूल का k से अंतर है, मूलों का आपसी अंतर नहीं। परीक्षा-युक्ति: ((x-a)2=b-2) होने पर मूल (a+b) और (a-b) होते हैं। / The equation can be rewritten as ((x-k)2-4=0). Thus, ((x-k)2=4), giving the roots (x=k+2) and (x=k-2). Therefore, their positive difference is ((k+2)-(k-2)=4). Option B, 2, is the distance of each root from k, not the difference between the two roots. Exam tip: If ((x-a)2=b-2), the roots are (a+b) and (a-b).
मूलों का योग \((-1)+(-4)=-5\) है। द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। अतः \(-\frac{p}{2}=-5\), जिससे \(p=10\) प्राप्त होता है। विकल्प C \(8\) अचर पद है, \(p\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से जाँचें। / The sum of the roots is \((-1)+(-4)=-5\). For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Therefore, \(-\frac{p}{2}=-5\), giving \(p=10\). Option C, \(8\), is the constant term, not the value of \(p\). Exam tip: Check the sum and product of roots using \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\), respectively.
समान मूलों का गुणनफल \(36\) है। अतः प्रत्येक मूल \(-6\) होगा, क्योंकि \((-6)(-6)=36\)। मूलों का योग \(-12\) है। विएटा के सूत्र के अनुसार मूलों का योग \(-k\) होता है, इसलिए \(-k=-12\), जिससे \(k=12\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य भी रख सकते हैं, जिससे \(k^2-144=0\); ऋणात्मक मूल की शर्त \(k=12\) चुनने में सहायता करती है। / The product of the equal roots is \(36\), so each root must be \(-6\), since \((-6)(-6)=36\). Their sum is therefore \(-12\). By Vieta’s formula, the sum of the roots is \(-k\), so \(-k=-12\), giving \(k=12\). Exam tip: You can also use the equal-root condition \(k^2-144=0\); the requirement that the roots be negative selects \(k=12\), not \(-12\).
वियत के सूत्र के अनुसार, \\(\alpha+\beta=2\\) और \\(\alpha\beta=-8\\)। इसलिए \\(\left(\alpha+3\right)\left(\beta+3\right)=\alpha\beta+3(\alpha+\beta)+9=-8+3(2)+9=7\\)। अतः सही उत्तर 7 है। ध्यान रखें: मूलों में समान संख्या जोड़कर बने गुणनफल को सीधे विस्तार करके वियत के सूत्रों से हल किया जा सकता है; केवल \\(\alpha+\beta\\) का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है। / By Vieta’s formulas, \\(\alpha+\beta=2\\) and \\(\alpha\beta=-8\\). Hence, \\(\left(\alpha+3\right)\left(\beta+3\right)=\alpha\beta+3(\alpha+\beta)+9=-8+3(2)+9=7\\). Therefore, the correct answer is 7. Exam tip: when the same number is added to both roots, expand the product and use the sum and product of roots; using only \\(\alpha+\beta\\) would be incomplete.
