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द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=8\), इसलिए \(\alpha\beta=8\)। अतः \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=8^2=64\)। विकल्प B केवल \(\alpha\beta\) का मान है, उसका वर्ग नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए विएटा के सूत्र सीधे लागू करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=8\), so \(\alpha\beta=8\). Therefore, \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=8^2=64\). Option B is only the value of \(\alpha\beta\), not its square. Exam tip: Apply Vieta’s formula directly for the sum and product of the roots.
दिए गए बहुपद को \(x^2-(2m+1)x+m(m+1)=(x-m)(x-(m+1))\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इसलिए \(x=m\) या \(x=m+1\), अतः मूल \(m\) और \(m+1\) हैं। जाँच के लिए मूलों का योग \(2m+1\) और गुणनफल \(m(m+1)\) होना चाहिए; विकल्प A दोनों शर्तें पूरा करता है। / The polynomial factors as \(x^2-(2m+1)x+m(m+1)=(x-m)(x-(m+1))\). Hence, \(x=m\) or \(x=m+1\), so the roots are \(m\) and \(m+1\). As a quick check, the sum of the roots must be \(2m+1\) and their product must be \(m(m+1)\); option A satisfies both conditions. Exam tip: compare the sum and product of the proposed roots with the coefficients.
वियत के सूत्रों के अनुसार, alpha+beta=4 और alpha beta=1। इसलिए alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alpha beta=42-2(1)=14। अतः सही उत्तर 14 है। 16 चुनना केवल (alpha+beta)2 लेने की भूल है और उसमें -2alpha beta पद छूट जाता है। परीक्षा-टिप: मूलों के वर्गों का योग निकालने के लिए alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alpha beta पहचान का प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, alpha+beta=4 and alpha beta=1. Therefore, alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alpha beta=42-2(1)=14. Hence, the correct answer is 14. Choosing 16 results from using only (alpha+beta)2 and missing the term -2alpha beta. Exam tip: For the sum of the squares of roots, use alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alpha beta.
मूलों का योग \(4+(-1)=3\) है। समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है, इसलिए \(-p=3\), अर्थात् \(p=-3\)। मूलों का गुणनफल \(4\times(-1)=-4\) है, इसलिए \(q=-4\)। अतः \(p-q=-3-(-4)=1\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) के लिए मूलों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) याद रखें। / The sum of the roots is \(4+(-1)=3\). For \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\), so \(-p=3\) and hence \(p=-3\). Their product is \(4\times(-1)=-4\), so \(q=-4\). Therefore, \(p-q=-3-(-4)=1\). Exam tip: For \(x^2+px+q=0\), remember that the sum of roots is \(-p\) and their product is \(q\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(c=q\), इसलिए मूलों का गुणनफल \(\frac{q}{3}\) है। दिए गए मूलों का गुणनफल \(2\times(-3)=-6\) है, अतः \(\frac{q}{3}=-6\)। ध्यान रखें कि मूलों का योग \(-\frac{p}{3}\) होता है, जबकि गुणनफल \(\frac{q}{3}\) होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=3\) and \(c=q\), so the product of the roots is \(\frac{q}{3}\). The given product is \(2\times(-3)=-6\); therefore, \(\frac{q}{3}=-6\). Remember that the sum of roots is \(-\frac{p}{3}\), whereas their product is \(\frac{q}{3}\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(m+1)\) और \(c=m^2+2m\) हैं। इसलिए \(D=[-2(m+1)]^2-4(m^2+2m)=4\), जो प्रत्येक वास्तविक \(m\) के लिए शून्य नहीं है। अतः किसी भी वास्तविक \(m\) के लिए मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(m+1)\), and \(c=m^2+2m\). Thus, \(D=[-2(m+1)]^2-4(m^2+2m)=4\), which is never zero for any real \(m\). Therefore, no real value of \(m\) makes the roots equal. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से कम होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2, c=m+1\) हैं, इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(m+1)=-4m\)। अतः \(-4m<0\) से \(m>0\) प्राप्त होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(m=0\) पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं और \(m<0\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक मूलों की संख्या जाँचने के लिए पहले विविक्तकर का चिन्ह निर्धारित करें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=-2, c=m+1\), so \(D=(-2)^2-4(1)(m+1)=-4m\). Therefore, \(-4m<0\), which gives \(m>0\). Option D is incorrect because \(m=0\) gives equal real roots, while \(m<0\) gives two distinct real roots. Exam tip: Always determine the sign of the discriminant to identify the nature of quadratic roots.
मान लीजिए दोनों समान मूल \(r\) हैं। मूलों का गुणनफल \(r^2=9\) है। चूँकि मूल धनात्मक हैं, इसलिए \(r=3\)। अतः मूलों का योग \(3+3=6\) होगा। द्विघात समीकरण में मूलों का योग \(-b\) होता है, इसलिए \(-b=6\), अर्थात \(b=-6\)। परीक्षा में समान मूलों के लिए विविक्तकर \(0\) भी जाँचा जा सकता है, लेकिन धनात्मकता के लिए गुणनफल और मूलों का संकेत अवश्य देखें। / Let both equal roots be \(r\). Their product is \(r^2=9\). Since the roots are positive, \(r=3\). Therefore, their sum is \(3+3=6\). For \(x^2+bx+9=0\), the sum of the roots is \(-b\), so \(-b=6\), giving \(b=-6\). In an exam, equal roots can also be checked using discriminant \(0\), but the positivity condition must still be verified.
मूलों को (t) और (2t) मानें। द्विघात समीकरण के मूलों का योग -\frac{b}{a}=6 होता है, इसलिए t+2t=6 से t=2 मिलता है। अतः मूल 2 और 4 हैं। मूलों का गुणनफल \frac{c}{a}=c होता है, इसलिए c=2\times4=8। परीक्षा-युक्ति: x-2+bx+c के लिए मूलों का योग -b और गुणनफल c याद रखें। / Let the roots be t and (2t). By the sum-of-roots relation, t+2t=6, so t=2 and the roots are 2 and 4. Their product is c because the coefficient of x-2 is 1; hence c=2\times4=8. Exam tip: For x-2+bx+c, the sum of roots is -b and their product is c.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर �\(x^2+3x-18\)=(x+6)(x-3)� मिलता है। अतः इसके मूल �\(\alpha,\beta\)=(3,-6)� हैं। इसलिए �(\left|\alpha-\beta\right|=|3-(-6)|=9)�। विकल्प 3 मूलों के अंतर को गलत ढंग से लेने से और 6 केवल एक मूल के परिमाण से संबंधित है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के क्रम से अंतर का चिह्न बदल सकता है, इसलिए निरपेक्ष मान अवश्य लें। / Factorising the equation gives �\(x^2+3x-18\)=(x+6)(x-3)�, so its roots are �\(\alpha,\beta\)=(3,-6)�. Hence, �(\left|\alpha-\beta\right|=|3-(-6)|=9)�. The value 3 results from an incorrect subtraction, while 6 is only the magnitude of one root. Exam tip: the order of the roots may change the sign of their difference, so take the absolute value.
दिया गया समीकरण \(x^2-10x+25=(x-5)^2=0\) है। इसलिए इसके दोनों मूल समान हैं: \(\alpha=\beta=5\)। अतः \(\alpha-\beta=5-5=0\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: यदि द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=0\) हो, तो उसके दोनों मूल समान होते हैं। / The given equation can be written as \(x^2-10x+25=(x-5)^2=0\). Thus, both roots are equal: \(\alpha=\beta=5\). Therefore, \(\alpha-\beta=5-5=0\), so option A is correct. Exam tip: When the discriminant of a quadratic equation is zero, its two roots are equal.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=\frac{-(-5)}{1}=5\)। इसलिए \((\alpha+2)+(eta+2)=\alpha+\beta+4=5+4=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में 2 जोड़ा गया है, इसलिए योग में 2 नहीं, बल्कि 4 की वृद्धि होगी; इसी कारण 7 गलत है। / By Vieta’s formula, \(\alpha+\beta=\frac{-(-5)}{1}=5\). Therefore, \((\alpha+2)+(eta+2)=\alpha+\beta+4=5+4=9\). Hence, the correct answer is 9. Since 2 is added to both roots, the sum increases by 4, not by 2; therefore, 7 is incorrect. Exam tip: when the same number \(k\) is added to both roots, their sum increases by \(2k\).
दिए गए समीकरण को \((x-6)(x+2)=0\) के रूप में लिखने पर मूल 6 और -2 मिलते हैं। प्रत्येक मूल में से 1 घटाने पर नए मूल 5 और -3 होंगे, इसलिए उनका गुणनफल \(5\times(-3)=-15\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले मूल ज्ञात करके रूपांतरित मूलों का गुणनफल निकालना सबसे सीधा तरीका है। / Factoring the equation as \((x-6)(x+2)=0\) gives the roots 6 and -2. After subtracting 1 from each root, the new roots are 5 and -3, so their product is \(5\times(-3)=-15\). In such questions, finding the original roots first is a direct and reliable method.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=2^2-4(1)(5)=4-20=-16<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः सही उत्तर 0 है। 1 या 2 वास्तविक मूल तभी संभव होते हैं जब विविक्तकर क्रमशः 0 या धनात्मक हो। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=2^2-4(1)(5)=4-20=-16<0\), so the equation has no real roots. Therefore, the correct answer is 0. One or two real roots are possible only when the discriminant is 0 or positive, respectively. Exam tip: Check the sign of the discriminant first.
बराबर मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=-6\) और \(c=9\) हैं, इसलिए \(D=(-6)^2-4(k)(9)=36-36k\)। अब \(36-36k=0\) से \(k=1\) प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: द्विघात समीकरण के बराबर मूल होने की आवश्यक शर्त \(D=0\) है। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=k\), \(b=-6\), and \(c=9\), so \(D=(-6)^2-4(k)(9)=36-36k\). Setting this equal to zero gives \(k=1\). Exam tip: equal roots in a quadratic equation always require \(D=0\).
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=k\), इसलिए \(D=b^2-4ac=16-4k\)। अतः \(16-4k=0\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। विकल्प 2 केवल \(4k=8\) जैसी गलत गणना से आ सकता है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For real and equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1, b=-4, c=k\), so \(D=b^2-4ac=16-4k\). Thus, \(16-4k=0\), giving \(k=4\). The value 2 may result from an incorrect calculation of the discriminant equation. Exam tip: Set \(D=0\) whenever a quadratic equation has equal roots.
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=c\) होता है। यहाँ \(c=k\), इसलिए \(k=(-2)(-4)=8\)। विकल्प \(-8\) ऋणात्मक चिह्न की गलती से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः \(-b\) और \(c\) से मिलाकर उत्तर जाँचें। / For a quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=c\). Here, \(c=k\), so \(k=(-2)(-4)=8\). The option \(-8\) results from an incorrect sign in multiplying two negative numbers. Exam tip: Verify the roots using both their sum \((-b)\) and product \(c\).
वियत के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) और मूलों का गुणनफल \(q\) होता है। यहाँ मूलों का योग \((-2)+(-5)=-7\), इसलिए \(-p=-7\) से \(p=7\)। उनका गुणनफल \((-2)(-5)=10\), अतः \(q=10\)। इसलिए \(p+q=7+10=17\)। परीक्षा में पहले मूलों के योग और गुणनफल को क्रमशः \(-p\) और \(q\) से मिलाएँ। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Here, the sum is \((-2)+(-5)=-7\), so \(-p=-7\) gives \(p=7\). Their product is \((-2)(-5)=10\), hence \(q=10\). Therefore, \(p+q=7+10=17\). In exams, match the sum and product of the roots with \(-p\) and \(q\), respectively.
विएटा के प्रमेय के अनुसार, समीकरण x² − (m + 2)x + 12 = 0 के मूलों का योग m + 2 होता है। दिए गए मूलों का योग 3 + 4 = 7 है, इसलिए m + 2 = 7 और m = 5। मूलों का गुणनफल 3 × 4 = 12 भी स्थिर पद की पुष्टि करता है। विकल्प B में 7 मूलों का योग है, m का मान नहीं। परीक्षा टिप: x² + bx + c = 0 में मूलों का योग −b होता है। / By Vieta’s theorem, the sum of the roots of x² − (m + 2)x + 12 = 0 is m + 2. Since the given roots are 3 and 4, their sum is 7, so m + 2 = 7 and m = 5. Their product, 3 × 4 = 12, also confirms the constant term. Option B, 7, is the sum of the roots, not the value of m. Exam tip: For x² + bx + c = 0, the sum of the roots is −b.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(2\times3=6\) है और \(c=6\), इसलिए \(\frac{6}{a}=6\), जिससे \(a=1\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, the product of the roots is \(2\times3=6\) and \(c=6\). Thus, \(\frac{6}{a}=6\), giving \(a=1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\).
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=-2k\) और \(c=k^2\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2)=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और बराबर होंगे; वास्तव में समीकरण \((x-k)^2=0\) है, अतः दोनों मूल \(k\) हैं। विकल्प D केवल \(k=0\) की विशेष स्थिति में सही होगा, सभी मानों के लिए नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल बराबर वास्तविक होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2k\), and \(c=k^2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2)=0\). Hence the roots are real and equal; equivalently, the equation is \((x-k)^2=0\), so both roots are \(k\). Option D is true only for the special case \(k=0\), not for every value of \(k\). Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has equal real roots.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(a=1\), \(b=-22\) और \(c=121\) हैं। मूलों का योग \(-b/a=22\) तथा गुणनफल \(c/a=121\) होता है। वास्तव में, \(x^2-22x+121=(x-11)^2\), इसलिए दोनों मूल 11 हैं। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: योग के लिए \(-b/a\) और गुणनफल के लिए \(c/a\) याद रखें। / For the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=1\), \(b=-22\), and \(c=121\). The sum of the roots is \(-b/a=22\), and their product is \(c/a=121\). In fact, \(x^2-22x+121=(x-11)^2\), so both roots are 11. Option B has the wrong sign for the sum. Exam tip: use \(-b/a\) for the sum and \(c/a\) for the product.
मान लें कि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। मूलों के योग और गुणनफल से \(\alpha+\beta=9\) तथा \(\alpha\beta=14\)। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9^2-2(14)=81-28=53\)। अतः सही उत्तर 53 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के वर्गों का योग निकालने के लिए सीधे \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का प्रयोग करें; केवल \((\alpha+\beta)^2=81\) लेना सही नहीं होगा। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By the relations between the roots and coefficients, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=14\). Hence, \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9^2-2(14)=81-28=53\). Therefore, the correct answer is 53. Exam tip: use \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\); \(81\) alone is only \((\alpha+\beta)^2\), not the required sum.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो उसका मॉनिक रूप \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। दिए गए मान रखने पर \(x^2-(-7)x+(-18)=0\), अर्थात् \(x^2+7x-18=0\) मिलता है। विकल्प B में योग के चिह्न का उपयोग गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(x\) के गुणांक का ऋणात्मक और मूलों का गुणनफल अचर पद होता है। / If \(\alpha\) and \(\beta\) are the roots of a monic quadratic equation, its form is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Substituting the given values gives \(x^2-(-7)x+(-18)=0\), which simplifies to \(x^2+7x-18=0\). Option B incorrectly uses the sign of the sum. Exam tip: the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots, while the constant term is their product.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+d=0\) में मूलों का गुणनफल \(\frac{d}{a}\) होता है। दिए गए मूलों का गुणनफल \(c\times(-c)=-c^2\) है, इसलिए \(\frac{d}{a}=-c^2\)। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है। परीक्षा-टिप: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{d}{a}\) याद रखें। / For the quadratic equation \(ax^2+bx+d=0\), the product of the roots is \(\frac{d}{a}\). Here, the product is \(c\times(-c)=-c^2\), so \(\frac{d}{a}=-c^2\). Option B misses the negative sign. Exam tip: For \(ax^2+bx+d=0\), remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) and the product is \(\frac{d}{a}\).
A. \(\frac{3}{2}\) और \(\frac{1}{5}\)/\(\frac{3}{2}\) and \(\frac{1}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(10x^2-17x+3=(2x-3)(5x-1)\)। अतः \((2x-3)(5x-1)=0\) से \(x=\frac{3}{2}\) या \(x=\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर प्रत्येक मूल निकालें और चाहें तो मूलों का योग तथा गुणनफल भी जाँच लें। / Factor the quadratic: \(10x^2-17x+3=(2x-3)(5x-1)\). Thus, \((2x-3)(5x-1)=0\) gives \(x=\frac{3}{2}\) or \(x=\frac{1}{5}\), so option A is correct. Option B has the signs of both roots wrong. Exam tip: Set each linear factor equal to zero, then verify the roots using the sum and product of roots if needed.
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+25=0\) में मूलों का योग \(-a\) होता है। दिए गए मूलों का योग \(5+5=10\) है, इसलिए \(-a=10\), अर्थात \(a=-10\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा में याद रखें: \(x^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / For the quadratic equation \(x^2+ax+25=0\), the sum of the roots is \(-a\). The given sum is \(5+5=10\), so \(-a=10\), which gives \(a=-10\). Therefore, option A is correct. Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=6\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=36-4k\)। अतः \(36-4k\ge0\) से \(k\le9\) प्राप्त होता है। \(k=9\) केवल समान मूलों की विशेष स्थिति है, जबकि \(k>9\) पर मूल काल्पनिक होंगे। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों की शर्त के लिए सबसे पहले \(D\ge0\) लिखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=6\), and \(c=k\), so \(D=36-4k\). Therefore, \(36-4k\ge0\) gives \(k\le9\). The value \(k=9\) is only the special case of equal roots, whereas \(k>9\) produces non-real roots. Exam tip: For real roots, begin by imposing the condition \(D\ge0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=4\) और \(b=-20\), इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-20}{4}=5\)। विकल्प \(\frac{7}{4}\) मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) है, योग नहीं। परीक्षा-टिप: \(b\) के ऋणात्मक चिन्ह को सूत्र में सावधानी से रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=4\) and \(b=-20\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-20}{4}=5\). The value \(\frac{7}{4}\) is the product of the roots, \(\frac{c}{a}\), not their sum. Exam tip: handle the negative sign of \(b\) carefully in the formula.
गुणनखंड करने पर \(x^2-8x-9=(x-9)(x+1)\) मिलता है। अतः मूल \(9\) और \(-1\) हैं। उनके बीच का धनात्मक अंतर \(9-(-1)=10\) है। परीक्षा-युक्ति: यदि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो अंतर का धनात्मक मान \(|\alpha-\beta|\) लिया जाता है। / Factoring gives \(x^2-8x-9=(x-9)(x+1)\). Therefore, the roots are \(9\) and \(-1\), and their positive difference is \(9-(-1)=10\). Exam tip: for roots \(\alpha\) and \(\beta\), use \(|\alpha-\beta|\) when the question asks for the difference between the roots.
