Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. बसने वालों के भूमि नागरिकता और सत्ता हित फ्रांसीसी शासन से जुड़े थे/Settlers' land citizenship and power interests were linked with French rule
Explanation
Simple Explanation
अल्जीरिया में बसाहट और औपनिवेशिक सत्ता का गहरा संबंध था। परीक्षा में इसे हिंसक संघर्ष से जोड़ें। / In Algeria settlement and colonial power were deeply linked. For exams connect it with violent struggle.
C. वे अपेक्षाकृत सुगम ढाल और अनुकूल जलवायु देती हैं/They provide relatively accessible slopes and favorable climate
Explanation
Simple Explanation
लघु हिमालय की कई घाटियां बसावट और पर्यटन के लिए अनुकूल हैं। परीक्षा में कश्मीर घाटी और दून घाटियों को अलग उदाहरणों के रूप में याद रखें। / Many valleys of the Lesser Himalaya are suitable for settlement and tourism. For exams remember Kashmir Valley and Dun valleys as separate examples.
A. राजस्व वसूली के अधिकार देकर स्थानीय जमींदार वर्ग को प्रशासन से जोड़कर/By linking local landlord class with administration through revenue rights
Explanation
Simple Explanation
राजस्व नीति ने सामाजिक शक्ति संबंधों को प्रभावित किया। परीक्षा में जमींदार और किसान संबंध याद रखें। / Revenue policy affected social power relations. For exams remember landlord and peasant relations.
A. इसने फ्रांसीसी इंडोचीन की राजनीतिक पुनर्रचना का मार्ग खोला/It opened the way for political restructuring of French Indochina
Explanation
Simple Explanation
जिनेवा समझौता वियतनाम और इंडोचीन के इतिहास में महत्वपूर्ण मोड़ था। परीक्षा में डिएन बिएन फू से जोड़ें। / The Geneva settlement was an important turn in Vietnam and Indochina history. For exams connect it with Dien Bien Phu.
A. इंग्लैंड में धार्मिक संघर्ष कम कर स्थिर शासन बनाना/To reduce religious conflict and create stable rule in England
Explanation
Simple Explanation
एलिजाबेथ ने धार्मिक संतुलन और राजकीय स्थिरता बनाने की कोशिश की। परीक्षा में इसे ट्यूडर राजनीति से जोड़ें। / Elizabeth tried to create religious balance and state stability. For exams connect it with Tudor politics.
C. ताकि विवाद युद्ध में बदलने से बचें/So that disputes do not turn into war
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण विवाद समाधान संयुक्त राष्ट्र के शांति उद्देश्य का आधार है। परीक्षा में इसे बातचीत मध्यस्थता और न्याय से जोड़ें। / Peaceful settlement of disputes is a basis of the UN peace aim. Exam tip: link it with dialogue mediation and justice.
A. युद्ध रोकना और अंतरराष्ट्रीय शांति बनाए रखना/Preventing war and maintaining international peace
Explanation
Simple Explanation
विवादों को बातचीत और कानूनी तरीकों से सुलझाना संयुक्त राष्ट्र का प्रमुख उद्देश्य है। परीक्षा में इसे शांति व्यवस्था से जोड़ें। / Solving disputes through talks and legal methods is a key UN purpose. For exams connect it with the peace system.
A. ताकि विवाद युद्ध में न बदलें/So that disputes do not turn into wars
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण समाधान संयुक्त राष्ट्र की शांति व्यवस्था का मूल भाग है। परीक्षा में इसे मध्यस्थता और बातचीत से जोड़ें। / Peaceful settlement is a core part of the UN peace system. Exam tip: connect it with mediation and dialogue.
स्थायी बंदोबस्त 1793 ईस्वी में लॉर्ड कॉर्नवालिस ने लागू किया। राजस्व व्यवस्था की तिथियों में यह सबसे महत्वपूर्ण है। / The Permanent Settlement was introduced in 1793 CE by Lord Cornwallis. It is one of the most important dates in revenue administration.
स्थायी बंदोबस्त 1793 में लॉर्ड कॉर्नवालिस ने लागू किया था। परीक्षा में भूमि राजस्व व्यवस्थाओं की तिथियां याद रखें। / The Permanent Settlement was introduced in 1793 by Lord Cornwallis. For exams remember dates of land revenue systems.
A. क्योंकि वे ब्रिटिश राजस्व हितों से जुड़े ग्रामीण सहयोगी बन गए/Because they became rural allies linked with British revenue interests
Explanation
Simple Explanation
स्थायी बंदोबस्त ने जमींदारों को राजस्व व्यवस्था का हितधारी बनाया। परीक्षा में भूमि नीति को राजनीतिक नियंत्रण से जोड़ें। / Permanent Settlement made zamindars stakeholders in the revenue system. Exam tip: connect land policy with political control.
A. एक वफादार जमींदार वर्ग तैयार हुआ/A loyal zamindar class was created
Explanation
Simple Explanation
जमींदार अंग्रेजी राजस्व हितों से जुड़ गए। परीक्षा में भूमि नीति को सामाजिक गठबंधन से जोड़ें। / Zamindars became linked with British revenue interests. Exam tip: connect land policy with social alliances.
B. ब्रिटिश शासन को ग्रामीण सहयोगी वर्ग मिला/British rule got a rural ally class
Explanation
Simple Explanation
जमींदार अंग्रेजी राजस्व व्यवस्था के हितधारी बन गए। परीक्षा में भूमि नीति को राजनीतिक नियंत्रण से जोड़ें। / Zamindars became stakeholders in the British revenue system. Exam tip: connect land policy with political control.
C. क्योंकि जमींदार अपने लाभ के लिए किसानों से अधिक वसूली कर सकते थे/Because zamindars could collect more from peasants for their profit
Explanation
Simple Explanation
सरकारी राजस्व तय था पर किसान के लिए वास्तविक बोझ जमींदार की वसूली पर निर्भर रहा। परीक्षा में स्थायी बंदोबस्त के सामाजिक प्रभाव याद रखें। / Government revenue was fixed but the real burden on peasants depended on zamindari extraction. Exam tip: remember the social impact of Permanent Settlement.
B. क्योंकि जमींदारों का दबाव और लगान वसूली जारी रही/Because zamindari pressure and rent collection continued
Explanation
Simple Explanation
स्थायी बंदोबस्त में जमींदारों को लाभ मिला पर किसान सुरक्षित नहीं हुए। परीक्षा में इसे ग्रामीण शोषण से जोड़ें। / Permanent Settlement benefited zamindars but did not secure peasants. Exam tip is to link it with rural exploitation.
C. क्योंकि सरकार को निश्चित राजस्व मिलना तय हुआ/Because government revenue was fixed
Explanation
Simple Explanation
स्थायी बंदोबस्त में सरकार का राजस्व स्थायी रूप से तय किया गया। परीक्षा में इसकी स्थिरता और किसान समस्या दोनों याद रखें। / In Permanent Settlement government revenue was fixed permanently. Exam tip: remember both its stability and peasant problems.
A. किसानों को स्थायी सुरक्षा नहीं मिली/Peasants did not get permanent security
Explanation
Simple Explanation
स्थायी बंदोबस्त में जमींदार मजबूत हुए पर किसान असुरक्षित रहे। परीक्षा में भूमि व्यवस्था का सामाजिक प्रभाव याद रखें। / Permanent Settlement strengthened zamindars but peasants remained insecure. Exam tip: remember social effects of land systems.
B. उन्हें भूमि के मालिक जैसे अधिकार मिले/They got rights like landowners
Explanation
Simple Explanation
स्थायी बंदोबस्त में जमींदारों को राजस्व जमा करने वाला मजबूत भू-स्वामी वर्ग बनाया गया। परीक्षा में किसान पर इसके प्रभाव भी पढ़ें। / Permanent Settlement created zamindars as a strong landholding revenue class. Exam tip: also study its impact on peasants.
A. जमींदारों ने राजस्व वसूली के लिए किसानों पर दबाव बढ़ाया/Zamindars increased pressure on peasants for revenue collection
Explanation
Simple Explanation
स्थायी राजस्व ने जमींदारों को लाभ दिया लेकिन किसान कमजोर रहे। परीक्षा में इसे ग्रामीण शोषण से जोड़ें। / Fixed revenue benefited zamindars but peasants remained weak. Exam tip is to link it with rural exploitation.
B. राजस्व वसूली करने वाले भूमि स्वामी की/Landholders responsible for revenue collection
Explanation
Simple Explanation
स्थायी बंदोबस्त में जमींदारों को निर्धारित राजस्व जमा करना था। परीक्षा में इसे बंगाल और कॉर्नवालिस से जोड़ें। / Under Permanent Settlement zamindars had to pay fixed revenue. Exam tip is to link it with Bengal and Cornwallis.
स्थायी बंदोबस्त में जमींदार राजस्व वसूली के मध्यस्थ बने। परीक्षा में इसे बंगाल की भूमि व्यवस्था से जोड़ें। / Under Permanent Settlement zamindars became revenue intermediaries. Exam tip: connect it with Bengal land revenue system.
स्थायी बंदोबस्त लॉर्ड कॉर्नवालिस ने 1793 में लागू किया। परीक्षा में इसे बंगाल के जमींदारों से जोड़ें। / Permanent Settlement was introduced by Lord Cornwallis in 1793. Exam tip: connect it with Bengal zamindars.
A. क्योंकि उन्होंने पुराने राजवंशीय और रूढ़िवादी संतुलन को चुनौती दी/Because they challenged the old dynastic and conservative balance
Step 1
Concept
वियना व्यवस्था पुराने राजवंशों और रूढ़िवादी नियंत्रण को बचाना चाहती थी। / The Vienna settlement aimed to protect old dynasties and conservative control.
Step 2
Why this answer is correct
1830 और 1848 की क्रांतियों ने अधिकार और राष्ट्र की मांग उठाई। / The revolutions of 1830 and 1848 raised demands for rights and nationhood.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इन्हें पुराने क्रम के विरुद्ध चुनौती समझें। / Therefore, see them as challenges to the old order.
((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें। / Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक आते हैं। / HCF takes the smaller exponents of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
महत्तम समापवर्तक \(2^4\times 3^2\) होगा। पुनरावृत्ति सहित कुल अभाज्य गुणनखंड (4+2=6) हैं। / The HCF is \(2^4\times 3^2\). Counting repetition, the total number of prime factors is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
पहले महत्तम समापवर्तक बनाइए, फिर घातांकों का योग लीजिए। / First form the HCF, then add its exponents.
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। / (2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें। / While counting even factors, do not take exponent (0) for (2).
पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। / The bases of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। / The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों। / For common factors, choose bases present in both numbers.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (7) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। / For (2), choices are (0,2,4), giving (3) choices; for (3), choices are (0,2), giving (2); for (7), only (0), giving (1). Total (6).
Step 3
Exam Tip
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have the exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (0) से (4) तक (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 3=15\)। / The exponent of (2) has (5) choices from (0) to (4), and the exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में घात की सीमा बदलकर गिनें। / In conditional factor counting, adjust exponent limits.
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। / The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें। / While counting even factors, do not take exponent (0) for (2).
पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। / The bases of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। / The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
समान गुणनखंडों में केवल दोनों में मौजूद आधार चुनें। / For common factors, choose only bases present in both numbers.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए घात (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। / For (2), choices are (0,2,4), so (3); for (3), choices are (0,2), so (2); for (5), only (0), so (1). Total \(3 \times 2 \times 1=6\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (0) से (5) तक (6) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2) के (2) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 2=12\)। / The exponent of (2) has (6) choices from (0) to (5), and the exponent of (3) has (2) choices (1,2). Total \(6 \times 2=12\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले प्रश्न में घातों की सीमा सावधानी से बदलें। / In condition-based questions, adjust exponent limits carefully.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए घात (0,2) के (2) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(2 \times 2 \times 1=4\)। / For (2), choices are (0,2), so (2) choices; for (3), choices are (0,2), so (2) choices; for (5), only (0), so (1) choice. Total \(2 \times 2 \times 1=4\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होगी। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (0,1,2) यानी (3) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 3=9\)। / The exponent of (2) has (3) choices (0,1,2), and exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(3 \times 3=9\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में घातों की सीमा ध्यान से बदलें। / For conditional factors, adjust exponent choices carefully.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक अभाज्य के लिए घात (0) या (2) हो सकती है, यानी (2) विकल्प। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। / For each prime, the exponent can be (0) or (2), giving (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों की संख्या अलग-अलग गिनकर गुणा करें। / Count even exponent choices separately and multiply.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं; कुल \(5 \times 3=15\)। दिए विकल्पों में (15) सही है। / The exponent of (2) has (5) choices, and exponent of (3) has (1,2,3), so (3) choices; total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में संबंधित अभाज्य की घात सीमा बदलती है। / For conditional factor counts, adjust the exponent choices.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / For a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए घातें (0,2) यानी 2 विकल्प, (3) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प, और (5) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प हैं। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\) नहीं, ध्यान दें \(2^3\) में सम घात (0,2) ही हैं, इसलिए सही संख्या 8 है। / For \(2^3\), even choices are (0,2); for \(3^2\), (0,2); for \(5^2\), (0,2). Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में केवल सम घात गिनें। / Count only even exponent choices for square factors.
(2) और (3) से विभाज्य न होने के लिए (2) और (3) की घात (0) होनी चाहिए। / To be divisible by neither (2) nor (3), powers of (2) and (3) must both be (0).
Step 2
Why this answer is correct
(5) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) गुणनखंड बनेंगे। / Power of (5) can be (0,1,2), giving (3) factors.
Step 3
Exam Tip
न तो इससे न उससे जैसे प्रश्नों में दोनों अभाज्यों की घात शून्य रखें। / For neither-nor conditions, set both restricted prime powers to zero.
\(9=3^2\), इसलिए (3) की घात कम से कम (2) होनी चाहिए। (5) से विभाज्य नहीं होने के लिए (5) की घात (0) होगी। / Since \(9=3^2\), power of (3) must be at least (2). Not divisible by (5) means power of (5) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (2,3,4) यानी (3) तरीके, और (5) की (1) तरीका। कुल \(4\times3\times1=12\)। / Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (1) for (5). Total (=12).
Step 3
Exam Tip
दो शर्तों को अलग-अलग घातों में बदलें। / Convert each condition into exponent restrictions.
(5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। / A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। / Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें। / Do not include zero power for the required prime.
पूर्ण घन गुणनखंड में हर अभाज्य घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / A cube factor must have exponents that are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात केवल (0), (3) की घात (0) या (3), और (5) की घात केवल (0) हो सकती है। कुल \(1\times2\times1=2\)। / For (2), only (0); for (3), (0) or (3); for (5), only (0). Total (=2).
Step 3
Exam Tip
घन गुणनखंडों में (0) भी (3) की गुणज माना जाता है। / Remember that (0) is also a multiple of (3).
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य घात सम होनी चाहिए। / A square factor must have even exponents for every prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (3) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (5) की घात केवल (0) यानी (1) तरीका। कुल \(2\times2\times1=4\)। / For (2), choices are (0,2); for (3), choices are (0,2); for (5), only (0). Total \(=2\times2\times1=4\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग गुणनखंड गिनते समय केवल सम घातें लें। / Count only even exponent choices for square factors.
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must contain at least one (2).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2) यानी (2) तरीके; (3,5,7) प्रत्येक के लिए (2) तरीके। कुल \(2\times2\times2\times2=16\)। / Power of (2) has (2) choices, (1) or (2); each of (3,5,7) has (2) choices. Total (=16).
Step 3
Exam Tip
सम गुणनखंड गिनते समय \(2^0\) वाला मामला छोड़ दें। / For even factors, exclude the case \(2^0\).
\(10=2\times5\), इसलिए गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। / Since \(10=2\times5\), the factor must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके; (5) की घात (1,2) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times3\times2=18\)। / Powers of (2): (1,2,3) give (3) choices; powers of (3): (0,1,2) give (3) choices; powers of (5): (1,2) give (2) choices. Total (=18).
Step 3
Exam Tip
किसी संख्या से विभाज्यता में उसके अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात देखें। / For divisibility, check the required minimum prime powers.
विषम गुणनखंड में (2) का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain the prime (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (2) की घात केवल (0) होगी; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके और (5) की घात (0,1) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times2=6\)। / Power of (2) is only (0); power of (3) has (3) choices and power of (5) has (2) choices. Total \(=3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को हटा दें। / When counting odd factors, ignore the power choices of (2) except zero.
(2) से विभाज्य गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (2) must contain \(2^1\) at least.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) के लिए (3) तरीके; (5) और (7) के लिए (2-2) तरीके। कुल \(3\times3\times2\times2=36\)। / Powers of (2) can be (1,2,3), giving (3) choices; powers of (3) give (3) choices; (5) and (7) give (2) choices each. Total \(=3\times3\times2\times2=36\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में उस अभाज्य की घात की सीमा ध्यान से बदलें। / For conditional factors, adjust only the restricted prime exponent.
किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड \(p^a q^b r^c\) हों, तो कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)(c+1)) होते हैं। / For prime factorisation \(p^a q^b r^c\), total factors are ((a+1)(b+1)(c+1)).
Step 2
Why this answer is correct
यहां घातें (3,2,1) हैं, इसलिए संख्या ((3+1)(2+1)(1+1)=24) होगी। / Here the powers are (3,2,1), so factors (=(4)(3)(2)=24).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में घातों में (1) जोड़ना न भूलें। / In exams, always add (1) to each exponent before multiplying.
दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। / For counting with repetition, add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
(6+4+3+2=15)। / (6+4+3+2=15).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग आधारों की संख्या और दोहराव सहित संख्या में अंतर याद रखें। / Remember the difference between the number of distinct bases and the count with repetition.
दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। / To count with repetition, add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^9\) से 9, \(3^7\) से 7, \(5^6\) से 6 और \(17^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। / \(2^9\) gives 9, \(3^7\) gives 7, \(5^6\) gives 6, and \(17^2\) gives 2 factors.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+7+6+2=24), इसलिए उत्तर 24 है। / Total (9+7+6+2=24), so the answer is 24.
दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। / To count with repetition, add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^8\) से 8, \(3^6\) से 6, \(5^5\) से 5 और \(13^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। / \(2^8\) gives 8, \(3^6\) gives 6, \(5^5\) gives 5, and \(13^2\) gives 2 factors.
Step 3
Exam Tip
कुल (8+6+5+2=21), इसलिए उत्तर 21 है। / Total (8+6+5+2=21), so the answer is 21.
