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B. संघ की अविभाज्यता और संविधान की सर्वोच्चता/Indivisibility of the Union and supremacy of the Constitution
Explanation
Simple Explanation
लिंकन ने संघ को टूटने से बचाने को संवैधानिक जिम्मेदारी माना। परीक्षा में उन्हें संघ और दासता विरोध दोनों से जोड़ें। / Lincoln treated preserving the Union as a constitutional duty. For exams connect him with both Union and anti slavery.
केंद्रीय चिड़ियाघर प्राधिकरण 1992 में स्थापित हुआ था। इसे चिड़ियाघरों के मानक और वन्यजीव शिक्षा से जोड़ें। / The Central Zoo Authority was established in 1992. Link it with zoo standards and wildlife education.
राष्ट्रीय गंगा नदी बेसिन प्राधिकरण 2009 में स्थापित हुआ था। इसे गंगा सफाई और नदी बेसिन प्रबंधन से जोड़ें। / The National Ganga River Basin Authority was established in 2009. Link it with Ganga cleaning and river basin management.
राष्ट्रीय जैव विविधता प्राधिकरण 2003 में स्थापित हुआ था। इसे जैव विविधता अधिनियम के क्रियान्वयन से जोड़ें। / The National Biodiversity Authority was established in 2003. Link it with implementation of the Biological Diversity Act.
राष्ट्रीय पर्यावरण अपीलीय प्राधिकरण अधिनियम 1997 में बना था। इसे पर्यावरण स्वीकृति अपीलों से जोड़ें। / The National Environment Appellate Authority Act was enacted in 1997. Link it with appeals related to environmental clearance.
A. मजबूत ऊर्ध्व और संतुलित रेखाएं/Strong vertical and balanced lines
Explanation
Simple Explanation
मजबूत ऊर्ध्व रेखाएं ऊंचाई और गरिमा का भाव देती हैं। परीक्षा में स्मारक और स्तंभ को उदाहरण मानें। / Strong vertical lines give a sense of height and dignity. In exams use monuments and pillars as examples.
B. क्षेत्रीय राज्य संप्रभुता को मान्यता देना/Recognizing territorial state sovereignty
Explanation
Simple Explanation
वेस्टफेलिया ने संप्रभु राज्यों की धारणा को बल दिया। परीक्षा में इसे आधुनिक अंतरराष्ट्रीय व्यवस्था की शुरुआत से जोड़ें। / Westphalia strengthened the idea of sovereign states. For exams connect it with the rise of the modern international order.
A. विचारों और आलोचनाओं को तेजी से व्यापक जनता तक पहुंचाकर/By spreading ideas and criticisms quickly to wider public
Explanation
Simple Explanation
छपाई ने विचारों को चर्च नियंत्रण से बाहर व्यापक बनाया। परीक्षा में इसे धर्म सुधार से जोड़ें। / Printing made ideas wider beyond church control. Exam tip: connect it with the Reformation.
A. इसने कैथोलिक चर्च की एकता और अधिकार को चुनौती दी/It challenged the unity and authority of the Catholic Church
Explanation
Simple Explanation
सुधार आंदोलन ने धार्मिक सत्ता और मान्यताओं पर प्रश्न उठाए। परीक्षा में मार्टिन लूथर और प्रोटेस्टेंट सुधार साथ याद रखें। / The Reformation questioned religious authority and beliefs. For exams remember Martin Luther with Protestant Reformation.
B. क्योंकि इसने राजा की शक्ति पर कानूनी सीमा की सोच को बल दिया/Because it strengthened the idea of legal limits on royal power
Explanation
Simple Explanation
मैग्ना कार्टा ने राजा की शक्ति को कानून से बांधने की दिशा दिखाई। परीक्षा में इसे संवैधानिक इतिहास से जोड़ें। / Magna Carta pointed toward binding royal power by law. Exam tip: connect it with constitutional history.
A. निरीक्षण आधारित विज्ञान और धार्मिक सत्ता के बीच टकराव/Conflict between observation based science and religious authority
Explanation
Simple Explanation
गैलीलियो का मामला वैज्ञानिक प्रमाण और पारंपरिक सत्ता के तनाव को दिखाता है। परीक्षा में वैज्ञानिक क्रांति को संदर्भ सहित पढ़ें। / Galileo's case shows tension between scientific evidence and traditional authority. Exam tip: study the Scientific Revolution with context.
A. लोकतांत्रिक गणराज्य में सेना पर नागरिक नियंत्रण/Civilian control over the military in a democratic republic
Explanation
Simple Explanation
वाशिंगटन ने सत्ता को संस्थाओं के अधीन रखने की परंपरा मजबूत की। परीक्षा में उन्हें गणतांत्रिक मर्यादा से जोड़ें। / Washington strengthened the tradition of keeping power under institutions. For exams connect him with republican restraint.
फराओ को राजनीतिक और धार्मिक दोनों अधिकारों वाला दैवी शासक माना जाता था। परीक्षा में मिस्र में धर्म और शासन का मेल याद रखें। / The pharaoh was seen as a divine ruler with political and religious authority. For exams remember the link between religion and rule in Egypt.
A. अन्याय और अनैतिक शासन करने पर/When ruling unjustly and immorally
Explanation
Simple Explanation
स्वर्गीय अधिकार नैतिक शासन पर आधारित था और अन्यायी शासक वैधता खो सकता था। परीक्षा में वैधता और नैतिकता साथ याद रखें। / The Mandate of Heaven depended on moral rule and an unjust ruler could lose legitimacy. Remember legitimacy and morality together.
राष्ट्रीय बाघ संरक्षण प्राधिकरण 2006 में स्थापित हुआ था। इसे बाघ संरक्षण को मजबूत करने वाले संस्थान से जोड़ें। / The National Tiger Conservation Authority was established in 2006. Link it with strengthening tiger conservation.
A. वैध स्वतंत्र शासक और स्वराज के प्रतीक के रूप में/As a legitimate independent ruler and symbol of self-rule
Explanation
Simple Explanation
रायगढ़ राज्याभिषेक ने मराठा स्वराज की वैधता को मजबूत किया। इसे स्वतंत्र सत्ता से याद करें। / The Raigad coronation strengthened the legitimacy of Maratha self-rule. Remember it with independent authority.
A. यह उन्हें साहित्यिक और सांस्कृतिक संरक्षक शासक दिखाती है/It presents him as a literary and cultural patron ruler
Explanation
Simple Explanation
आमुक्तमाल्यद कृष्णदेवराय की तेलुगु रचना है। इसे साहित्य और सत्ता के संबंध से समझें। / Amuktamalyada is a Telugu work of Krishnadevaraya. Understand it through the relation between literature and authority.
A. वे लोककल्याण और धार्मिक-सांस्कृतिक संरक्षण से प्रजा का विश्वास बढ़ाते थे/They increased public trust through welfare and religious cultural patronage
Explanation
Simple Explanation
अहिल्याबाई होल्कर न्यायप्रिय और लोककल्याणकारी शासिका थीं। उन्हें मालवा और महेश्वर से याद करें। / Ahilyabai Holkar was a just and welfare oriented ruler. Remember her with Malwa and Maheshwar.
A. स्थानीय सेनानायक से वैध स्वतंत्र शासक की छवि तक/From a local military leader to the image of a legitimate independent ruler
Explanation
Simple Explanation
रायगढ़ राज्याभिषेक मराठा स्वराज की औपचारिक वैधता का प्रतीक था। इसे स्वतंत्र सत्ता से जोड़ें। / The Raigad coronation symbolized formal legitimacy of Maratha self-rule. Link it with independent authority.
A. स्वतंत्र मराठा शासक के रूप में औपचारिक मान्यता दी/It gave formal recognition as an independent Maratha ruler
Explanation
Simple Explanation
रायगढ़ राज्याभिषेक मराठा स्वराज की वैधता का प्रतीक था। इसे शिवाजी की स्वतंत्र सत्ता से जोड़ें। / The Raigad coronation symbolized the legitimacy of Maratha self-rule. Link it with Shivaji's independent authority.
A. किसानों की पीड़ा को नैतिक और प्रमाणित आधार देने के लिए/To give peasants' suffering a moral and evidence based basis
Explanation
Simple Explanation
गांधीजी ने सत्य और अहिंसा को व्यवहार में जोड़ा। परीक्षा में चंपारण को गांधीवादी पद्धति का प्रयोग मानें। / Gandhi combined truth and nonviolence in practice. Exam tip is to see Champaran as an experiment in Gandhian method.
B. सेक्रेटरी ऑफ स्टेट फॉर इंडिया/Secretary of State for India
Explanation
Simple Explanation
1858 के बाद भारत सचिव और उसकी परिषद ने भारत शासन में केंद्रीय भूमिका ली। परीक्षा में कंपनी शासन के अंत को याद रखें। / After 1858 the Secretary of State and his council took a central role in Indian administration. Exam tip: remember the end of Company rule.
A. यह औपनिवेशिक सशस्त्र बलों में अनुशासन और निष्ठा के संकट का संकेत था/It signalled a crisis of discipline and loyalty in colonial armed forces
Explanation
Simple Explanation
नौसेना विद्रोह ने दिखाया कि सैनिक असंतोष बढ़ रहा था। परीक्षा में 1946 को सत्ता हस्तांतरण की पृष्ठभूमि में पढ़ें। / The naval revolt showed rising military discontent. Exam tip: study 1946 in the background of transfer of power.
यूरोपीय भारतीय न्यायाधीशों से मुकदमा चलवाने को स्वीकार नहीं कर रहे थे। परीक्षा में इसे नस्लीय भेदभाव का स्पष्ट उदाहरण मानें। / Europeans were unwilling to be tried by Indian judges. Exam tip: treat it as a clear example of racial discrimination.
A. स्थानीय न्याय और त्वरित निर्णय/Local justice and prompt decisions
Explanation
Simple Explanation
रज्जुक स्थानीय प्रशासन और न्याय व्यवस्था से जुड़े थे। परीक्षा में उन्हें स्तंभ लेखों के संदर्भ में याद रखें। / Rajjukas were linked with local administration and justice. For exams, remember them in the context of pillar edicts.
रज्जुकों को न्यायिक कार्यों और प्रशासन से जोड़ा जाता है। परीक्षा में अशोक के स्थानीय अधिकारियों को अलग याद रखें। / Rajjukas are linked with judicial functions and administration. For exams, remember Ashoka's local officials separately.
यहाँ (D=4-20=-16), जो ऋणात्मक है। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ वास्तविक शून्यक नहीं होते। / Here (D=4-20=-16), which is negative. A negative discriminant means there are no real zeroes.
कक्षा 10 के वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या की वर्गमूल वास्तविक नहीं मानी जाती। ध्यान दें \(\sqrt{7}\) वास्तविक अपरिमेय है। / In Class 10 real numbers the square root of a negative number is not real. Note that \(\sqrt{7}\) is real irrational.
C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु/Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
Explanation
Simple Explanation
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं। / Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
सही नियम ((uv)^n=u^nv^n) है। परीक्षा में product की power को हर factor पर अलग-अलग लगाएं। / The correct rule is ((uv)^n=u^nv^n). In exams, apply the power of a product to each factor separately.
मुख्य वर्गमूल हमेशा अऋणात्मक होता है, इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में (a) ऋणात्मक होने की संभावना न भूलें। / The principal square root is always non-negative, so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams do not forget the possibility of negative (a).
\(\sqrt{-9}\) वास्तविक संख्या नहीं है, जबकि बाकी सभी वास्तविक हैं। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या पद्धति में नहीं लेते। / \(\sqrt{-9}\) is not a real number, while the others are real. In exams do not take the square root of a negative number in the real number system.
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), जो वास्तविक और अपरिमेय है। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल को वास्तविक संख्या न मानें। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), which is real and irrational. In exams do not treat the square root of a negative number as real.
C. कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (4-20=-16) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर को वास्तविक शून्यक नहीं मानें। / The discriminant is (4-20=-16), which is negative, so there are no real roots. In exams do not treat a negative discriminant as real zeroes.
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें। / If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
A. \(b^2-4c\) धनात्मक अपूर्ण वर्ग हो/\(b^2-4c\) is positive and not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यकों के लिए विविक्तकर धनात्मक चाहिए और अपरिमेय शून्यकों के लिए वह पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में यही मुख्य जाँच है। / For real zeroes, the discriminant must be positive, and for irrational zeroes it must not be a perfect square. This is the key check for quadratics with rational coefficients.
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं। / For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
\(x^2-8=0\) से \(x=\pm2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक हैं। पूर्ण वर्ग और धनात्मकता दोनों जाँचें। / From \(x^2-8=0\), \(x=\pm2\sqrt{2}\), which are irrational real. Check both perfect-square status and positivity.
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो/(k) is positive but not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
यहाँ (D=(-2)2-4(1)(-3)=16) है, जो धनात्मक है। इसलिए दोनों शून्यक वास्तविक हैं। / Here (D=(-2)2-4(1)(-3)=16), which is positive. So both zeroes are real.
शून्यक \(x=\pm\sqrt{2}\) हैं और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गमूल वाले शून्यकों को सरल करके जाँचें। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. In exams, simplify square-root zeroes before deciding the type.
वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है। / A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
\(\sqrt{41}\) वास्तविक है और (41) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{41}\) is real and (41) is not a perfect square. So it is irrational.
(-3) वास्तविक संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। / (-3) is a real number but not a whole number. Whole numbers start from (0).
\(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और उसका ऋण भी वास्तविक अपरिमेय है। ऋण चिह्न परिमेयता नहीं बदलता। / \(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
\(\sqrt{23}\) वास्तविक है लेकिन अपरिमेय है क्योंकि (23) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(\sqrt{23}\) is real but irrational because (23) is not a perfect square. So it is not rational.
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं/They include both rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है। / Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
ऋणात्मक जड़ वाले विकल्प वास्तविक नहीं हैं। (-3), (0) और \(\sqrt{2}\) सभी वास्तविक हैं। / Options with square roots of negatives are not real. (-3), (0), and \(\sqrt{2}\) are all real.
A. धार्मिक अधिकार पर प्रश्न उठाकर राजसत्ता और चर्च के संबंध बदले/By questioning religious authority it changed relations between monarchy and Church
Explanation
Simple Explanation
सुधार आंदोलन धार्मिक ही नहीं राजनीतिक प्रभाव भी रखता था। परीक्षा में इसे चर्च सत्ता और यूरोपीय राज्यों से जोड़ें। / The Reformation had political effects besides religious effects. For exams connect it with Church authority and European states.
A. वैश्विक संकटों पर चेतावनी और मध्यस्थता की पहल/Warning and mediation initiatives in global crises
Explanation
Simple Explanation
महासचिव केवल प्रशासनिक अधिकारी नहीं बल्कि वैश्विक नैतिक आवाज भी बन सकता है। परीक्षा में औपचारिक और अनौपचारिक भूमिका अलग रखें। / The Secretary-General can be a global moral voice beyond being an administrative officer. Exam tip: separate formal and informal roles.
C. नैतिक भूमिका वैश्विक संकटों पर चेतावनी और मध्यस्थता की आवाज बन सकती है/The moral role can become a voice of warning and mediation on global crises
Explanation
Simple Explanation
महासचिव प्रशासनिक प्रमुख होने के साथ वैश्विक नैतिक आवाज भी बन सकता है। परीक्षा में औपचारिक और अनौपचारिक भूमिका अलग रखें। / The Secretary-General can be a global moral voice along with being an administrative head. Exam tip: separate formal and informal roles.
A. क्योंकि यह औपनिवेशिक सत्ता के सामने स्वशासन की आकांक्षा दिखाता था/Because it showed the aspiration for self-rule before colonial authority
Step 1
Concept
ध्वज राष्ट्रीय पहचान का प्रतीक था। / The flag was a symbol of national identity.
Step 2
Why this answer is correct
उसे सार्वजनिक रूप से दिखाना स्वराज की इच्छा और औपनिवेशिक सत्ता को चुनौती देना था। / Displaying it publicly expressed the desire for swaraj and challenged colonial authority.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में प्रतीकात्मक कार्यों के राजनीतिक अर्थ भी लिखें। / In exams write the political meaning of symbolic actions.
A. यह शासन की आय और अधिकार दोनों को चुनौती देती थी/It challenged both the revenue and authority of the state
Step 1
Concept
कर से शासन को धन मिलता था। / Taxes provided revenue to the government.
Step 2
Why this answer is correct
कर न देना शासन की आर्थिक शक्ति और राजनीतिक अधिकार दोनों को चुनौती देता था। / Refusing taxes challenged both its economic power and political authority.
Step 3
Exam Tip
कर विरोध को आर्थिक और राजनीतिक दोनों कोण से लिखें। / Explain tax refusal from both economic and political angles.
\(\sqrt[3]{64}=4\) और \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), इसलिए उत्तर \(4x^{2}\) है। परीक्षा में घनमूल में घात को (3) से भाग दें। / Since \(\sqrt[3]{64}=4\) and \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), the answer is \(4x^{2}\). In exams, divide the exponent by (3) for cube roots.
(k=2) पर विविक्तकर (16-8=8), जो धनात्मक पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक और अपरिमेय होंगे। / For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), इसलिए शून्यक \(-\sqrt{5}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप से दोहराया शून्यक मिलता है। / (p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
(r=2) पर (D=16-8=8) है। यह धनात्मक और अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो/When (25-4c) is positive but not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक भिन्न शून्यकों के लिए (D>0) चाहिए। अपरिमेय शून्यकों के लिए (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। / For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
दोहराया शून्यक 5 को अलग (distinct) शून्यकों में केवल एक बार गिना जाता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 5 और -1 हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें शून्यक की आवृत्ति (multiplicity) सहित सभी दर्ज हैं, जबकि प्रश्न अलग मान पूछ रहा है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि वे दूसरे शून्यक को छोड़ देते हैं। परीक्षा टिप: 'distinct' या 'अलग' का अर्थ है हर अलग मान को एक बार लिखें। / A repeated root is counted only once when listing distinct zeros. So the distinct real zeros are 5 and -1. Option C is incorrect because it lists zeros with multiplicity; B and D are wrong because they omit the other root. Exam tip: when asked for distinct/unique values, list each value once regardless of multiplicity.
दोहराया (2) अलग शून्यक में एक बार गिना जाता है। टिप: अलग शून्यक में समान मान पुनः न लिखें। / The repeated (2) is counted once for distinct zeroes. Tip: do not rewrite the same value for distinct zeroes.
बनावट वास्तविक या दृश्य सतह का प्रभाव बना सकती है। परीक्षा में स्पर्श अनुभव को बनावट से जोड़ें। / Texture can create a real or visual surface effect. Exam tip: connect touch feeling with texture.
क्योंकि (16<18<25), इसलिए \(4<\sqrt{18}<5\)। परीक्षा में वर्गों की तुलना पहले करें। / Since (16<18<25), we get \(4<\sqrt{18}<5\). In exams, compare perfect squares first.
\(2^2=4\) और \(3^2=9\), इसलिए \(\sqrt{7}\) संख्या रेखा पर (2) और (3) के बीच होगा। परीक्षा में पहले वर्गों की तुलना करें। / Since \(2^2=4\) and \(3^2=9\), \(\sqrt{7}\) lies between (2) and (3). In exams, compare squares first.
(-0.1) शून्य से छोटा है इसलिए (0) और (1) के बीच नहीं है। बीच की जांच में दोनों सीमाओं से तुलना करें। / (-0.1) is less than zero, so it is not between (0) and (1). Compare with both bounds when checking between values.
कर्ण \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) होता है। यह पाइथागोरस त्रिक का सीधा उपयोग है। / The hypotenuse is \(\sqrt{3^2+4^2}=5\). This is a direct use of a Pythagorean triple.
क्योंकि (1.375=1+0.375), इसलिए (1) से (0.375) इकाई आगे जाना होगा। दशमलव स्थान में पूर्णांक भाग अलग करें। / Since (1.375=1+0.375), move (0.375) unit from (1). Separate the integer part when locating decimals.
पाइथागोरस से कर्ण \(=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) होगा। ऐसी रचनाओं में वर्गों का योग जरूर देखें। / By Pythagoras the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). In such constructions always add the squares of perpendicular sides.
(5) धनात्मक है इसलिए यह (0) के दाईं ओर (5) इकाई पर होगा। परीक्षा में धनात्मक संख्या के लिए दाईं दिशा याद रखें। / (5) is positive, so it lies (5) units to the right of (0). In exams, remember right direction for positive numbers.
\(\frac{3}{4}\) का मान (1) से कम और (0) से अधिक होता है। परीक्षा में भिन्न की स्थिति पहले उसके मान से पहचानें। / \(\frac{3}{4}\) is greater than (0) and less than (1). In exams first compare the fraction value with nearby integers.
मध्य संख्या \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\) है। दो बिंदुओं के ठीक बीच के लिए उनका औसत लें। / The midpoint is \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\). To find the exact middle of two points, take their average.
संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या दिखाता है। (1) और (2) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों हो सकते हैं। / Every point on the number line represents a real number. Between (1) and (2), both rational and irrational numbers can occur.
\(\sqrt{4}=2\) होता है, इसलिए बिंदु (2) पर होगा। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल याद रखें। / \(\sqrt{4}=2\), so the point is (2). Remember square roots of perfect squares.
(0) और (1) के बीच की मध्य संख्या \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में मध्य संख्या के लिए औसत लें। / The middle number between (0) and (1) is \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\). In exams, use the average for the midpoint.
मध्य बिंदु \(\frac{0+2}{2}=1\) है। बीच का बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है। / The midpoint is \(\frac{0+2}{2}=1\). The middle point is equally distant from both endpoints.
समकोण त्रिभुज में भुजाएँ (1) और (2) हों तो कर्ण \(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\) होता है। पाइथागोरस प्रमेय से ऐसी लंबाई मिलती है। / In a right triangle with legs (1) and (2), the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\). Such lengths come from the Pythagoras theorem.
\(\frac{7}{4}=1.75\), इसलिए यह (1) और (2) के बीच है। अशुद्ध भिन्न को मिश्रित या दशमलव रूप में सोचें। / \(\frac{7}{4}=1.75\), so it lies between (1) and (2). Think of an improper fraction in mixed or decimal form.
\(\frac{1}{2}=0.5\), इसलिए यह (0) और (1) के बीच है। भिन्न को दशमलव में सोचने से स्थान स्पष्ट होता है। / \(\frac{1}{2}=0.5\), so it lies between (0) and (1). Thinking of a fraction as a decimal helps locate it.
ऋणात्मक संख्याएँ (0) के बाईं ओर स्थित होती हैं। बाईं ओर जाने पर संख्या का मान घटता है। / Negative numbers lie to the left of (0). The value decreases as we move left.
