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A. समांतर श्रेणी है और \(d=\sqrt{3}\)/It is an AP and \(d=\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
पद \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\) बनते हैं। परीक्षा में मूलों को सरल करके ही अंतर निकालें। / The terms become \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\). In exams, simplify radicals before finding differences.
A. समांतर श्रेणी है, \(d=\sqrt{2}\)/It is an AP, \(d=\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
पद \(\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2}\) बनते हैं, इसलिए अंतर \(\sqrt{2}\) है। परीक्षा में मूलों को पहले सरल करें। / The terms become \(\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2}\), so the difference is \(\sqrt{2}\). In exams, simplify radicals first.
मध्य बिंदु \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2} \) है। मध्य के लिए दोनों मानों का औसत लें। / The midpoint is \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2} \). Take the average of the two values for the midpoint.
\( \sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt{3} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें। / \( \sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt{3} \). Factor out the largest perfect square.
\(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\)। अंश \(12\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (12) होना चाहिए। / Here \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value should be (12).
\(\sqrt{x}=5\sqrt{2}\) से (x=50), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=50\cdot5\sqrt{2}=250\sqrt{2}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें। / From \(\sqrt{x}=5\sqrt{2}\), (x=50), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=50\cdot5\sqrt{2}=250\sqrt{2}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
\(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), और \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\)। अंश \(12\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (12) है। / Here \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), and \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value is (12).
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है। / We have \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
\(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), \(2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\)। अंश \(6\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (6) है। / Here \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), \(2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(6\sqrt{3}\), so the value is (6).
\(\sqrt{x}=4\sqrt{3}\) से (x=48), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=48\cdot4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें। / From \(\sqrt{x}=4\sqrt{3}\), (x=48), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=48\cdot4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
संयुग्म गुणनफल (17-8=9) है और \(\sqrt{81}=9\)। इसलिए अंतर (0) है। / The conjugate product is (17-8=9), and \(\sqrt{81}=9\). Hence the difference is (0).
\(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। अंश \(9\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (9) है। / Here \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). The numerator is \(9\sqrt{3}\), so the value is (9).
\(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है। / We have \(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
\(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{27}=9\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(12\sqrt{3}\) नहीं बल्कि \(7\sqrt{3}-4\sqrt{3}+9\sqrt{3}=12\sqrt{3}\) है। अतः मान (12) होना चाहिए। / Here \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{27}=9\sqrt{3}\), so the numerator is \(12\sqrt{3}\). Therefore, the value should be (12).
\(\sqrt{x}=3\sqrt{2}\) से (x=18), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=18\cdot3\sqrt{2}=54\sqrt{2}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें। / From \(\sqrt{x}=3\sqrt{2}\), (x=18), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=18\cdot3\sqrt{2}=54\sqrt{2}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
संयुग्म गुणनफल (13-3=10) है और \(\sqrt{100}=10\), इसलिए अंतर (0) है। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल को तुरंत परिमेय करें। / The conjugate product is (13-3=10), and \(\sqrt{100}=10\), so the difference is (0). In exams, simplify conjugate products directly.
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(9\sqrt{3}\) है। \(\sqrt{3}\) से भाग देने पर (9) मिलता है। / Here \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), so the numerator is \(9\sqrt{3}\). Dividing by \(\sqrt{3}\) gives (9).
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए मान \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में समान करणी पदों को ही जोड़ें। / We have \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the value is \(2\sqrt{2}\). In exams, combine only like radicals.
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए ऊपर \(\sqrt{5}\) है और भाग देने पर (1) मिलता है। परीक्षा में पहले समान करणी बनाएं। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the numerator is \(\sqrt{5}\), and division gives (1). In exams, first make like radicals.
(\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=13-12=1)। परीक्षा में करणी वाले संयुग्म का गुणनफल परिमेय होता है। / (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=13-12=1). In exams, the product of conjugate surds is rational.
\(\sqrt[3]{64}=4\) और \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), इसलिए उत्तर \(4x^{2}\) है। परीक्षा में घनमूल में घात को (3) से भाग दें। / Since \(\sqrt[3]{64}=4\) and \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), the answer is \(4x^{2}\). In exams, divide the exponent by (3) for cube roots.
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), इसलिए (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4)। परीक्षा में संयुग्म संख्या तुरंत पहचानें। / Since \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4). In exams, identify conjugate numbers quickly.
\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(u^{-2}=4\)। परीक्षा में पहले करणी को सरल करें। / \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\frac{1}{2}\), so \(u^{-2}=4\). In exams, simplify the radical first.
पहला गुणनफल (7-5=2) है और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए उत्तर \(2+2\sqrt{5}\) है। परीक्षा में पहले संयुग्म गुणनफल पहचानें। / The first product is (7-5=2), and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the answer is \(2+2\sqrt{5}\). In exams, identify the conjugate product first.
\(\sqrt{x^{3}}=x^{\frac{3}{2}}\), इसलिए \(x^{\frac{3}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=x^{1}=x\)। परीक्षा में मूल को भिन्न घात में बदलें। / Since \(\sqrt{x^{3}}=x^{\frac{3}{2}}\), \(x^{\frac{3}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=x^{1}=x\). In exams, convert radicals to fractional exponents.
(x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)), जहाँ \(x-y=2\sqrt{2}\) और (x+y=6), इसलिए मान \(12\sqrt{2}\) है। परीक्षा में पहचान से लंबी गणना बचती है। / Using (x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)), we get \(x-y=2\sqrt{2}\) and (x+y=6), so the value is \(12\sqrt{2}\). In exams, identities reduce calculation.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए परिणाम \(6\sqrt{2}\) है। परीक्षा में समान करणी पदों को ही जोड़ें। / We get \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the result is \(6\sqrt{2}\). In exams, combine only like surd terms.
हर को परिमेय बनाने के लिए \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\)। परीक्षा में संयुग्म से गुणा करें। / To rationalize, \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\). In exams, multiply by the conjugate.
(pq=\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=3-2=1)। परीक्षा में ((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}) का प्रयोग करें। / Here (pq=\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=3-2=1). In exams, use ((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}).
(x) के साथ लगा गुणांक \(6\sqrt{5}\) है। करणी वाले गुणांक भी चिन्ह सहित लिखें। / The coefficient attached to (x) is \(6\sqrt{5}\). Write radical coefficients with their signs too.
(x) के साथ लगा गुणांक \(-4\sqrt{2}\) है। करणी वाले गुणांक में भी चिन्ह साथ रखें। / The coefficient attached to (x) is \(-4\sqrt{2}\). Keep the sign with radical coefficients too.
(x) के साथ लगा गुणांक \(2\sqrt{3}\) है। करणी वाले गुणांक भी सामान्य गुणांक की तरह लिए जाते हैं। / The coefficient attached to (x) is \(2\sqrt{3}\). Radical coefficients are treated like ordinary coefficients.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। इसलिए मान \(8\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Hence the value is \(8\sqrt{2}\).
A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{2}\), irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(a=3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में समान करणी वाले पद जोड़ें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(a=3\sqrt{2}\), irrational. Combine like radicals in exams.
अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूल अलग अपरिमेय होते हैं और उनका योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में स्वतंत्र वर्गमूलों को जोड़कर परिमेय न मानें। / Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
\(x^2=5+2\sqrt{6}\) और फिर (\(x^2-5\)2=24), इसलिए \(x^4-10x^2+1=0\) है। परीक्षा में दो वर्गमूलों के योग से कभी द्विघात नहीं बल्कि चतुर्थ घात संबंध भी बन सकता है। / Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए \(\alpha+\beta=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\)। करणी सरल करना जरूरी है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so \(\alpha+\beta=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\). Simplifying radicals is important.
B. यह \(2\sqrt{a}\) के बराबर अपरिमेय है/It equals \(2\sqrt{a}\) and is irrational
Step 1
Concept
समान पद जोड़ने पर \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\)। / Like terms give \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। / Since (a) is not a perfect square \(\sqrt{a}\) is irrational and its double is irrational.
Step 3
Exam Tip
समान वर्गमूलों को बीजगणितीय पदों की तरह जोड़ें। / Add like radicals like algebraic terms.
\(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)। / \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), इसलिए सही मान \(3\sqrt{6}\) है। / \(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), so the correct value is \(3\sqrt{6}\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प मिलाते समय अपनी सरल गणना से मिलान करें। / Match the options with your simplified result carefully.
\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। / \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a=6,b=15) पर (ab=90), जो पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। / For (a=6,b=15), (ab=90), which is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
गुणन में अंदर का गुणनफल पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह मुख्य जाँच है। / In multiplication, the key check is whether the product inside the root is a perfect square.
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)। / \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) है। / \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a=50,b=2) पर \(\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\), यह परिमेय है; इसलिए इसे नहीं चुनना चाहिए। / For (a=50,b=2), it becomes \(\sqrt{25}=5\), which is rational, so it should not be selected.
Step 3
Exam Tip
सही अपरिमेय के लिए भागफल पूर्ण वर्ग न हो, जैसे यहाँ दिए विकल्पों में कोई अपरिमेय परिणाम नहीं बनता। / For an irrational quotient, \(\frac{a}{b}\) should not be a perfect square; none of the listed options gives that.
A. \(3\sqrt{11}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{11}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\) होता है। / \(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। / Hence \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), and \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक जोड़ें, मूल के अंदर की संख्या नहीं। / For like surds, add only the coefficients, not the numbers inside the roots.
B. यह \(2\sqrt{3}\) के बराबर है और अपरिमेय है/It is equal to \(2\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
\(12=4\times3\) है। / \(12=4\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
मूल को सरल करने के बाद भी अंदर पूर्ण वर्ग न बचे तो संख्या अपरिमेय रहती है। / After simplification, if a non-square remains inside the root, the number stays irrational.
समान वर्गमूलों में अंदर की संख्याएँ नहीं, केवल गुणांक जोड़े जाते हैं। / For like radicals, add only the coefficients, not the numbers inside the roots.
वर्गमूल को सरल करते समय अंदर की संख्या को पूर्ण वर्ग और बाकी गुणनखंड में तोड़ें। / While simplifying a square root, split the inside number into a perfect square and the remaining factor.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (2) अशून्य परिमेय है, इसलिए \(2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{2}\) is irrational and (2) is non-zero rational, so \(2\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
समान वर्गमूलों को पहले जोड़कर सरल करें। / First simplify like radicals, then decide the type.
