Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(t^2-64\neq0\), इसलिए \(t\neq\pm8\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(t^2-64\neq0\), so \(t\neq\pm8\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(r^2-49\neq0\), इसलिए \(r\neq\pm7\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(r^2-49\neq0\), so \(r\neq\pm7\).
द्विघात होने के लिए \(k^2-25\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\neq5\) और \(k\neq-5\) दोनों शर्तें जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(k^2-25\neq0\) is required. So both \(k\neq5\) and \(k\neq-5\) are necessary.
द्विघात होने के लिए \(n^2-16\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(n\neq4\) और \(n\neq-4\) दोनों जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(n^2-16\neq0\) is needed. Hence both \(n\neq4\) and \(n\neq-4\) are necessary.
द्विघात होने के लिए \(m^2-9\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq3\) और \(m\neq-3\) दोनों जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(m^2-9\neq0\) is needed. Hence both \(m\neq3\) and \(m\neq-3\) are necessary.
द्विघात समीकरण के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(5-p\neq0\), अर्थात \(p\neq5\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(5-p\neq0\), so \(p\neq5\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(2m-3\neq 0\), अर्थात \(m\neq \frac{3}{2}\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(2m-3\neq 0\), so \(m\neq \frac{3}{2}\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(k+1\neq 0\), अर्थात \(k\neq -1\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(k+1\neq 0\), so \(k\neq -1\).
द्विघात पद \(px^2\) बना रहे इसलिए \(p\neq0\) होना चाहिए। यदि (p=0) हो तो घात (2) नहीं रहेगी। / The quadratic term \(px^2\) must remain, so \(p\neq0\). If (p=0), degree (2) will not remain.
द्विघात पद बना रहे इसलिए \(a\neq0\) होना चाहिए। परीक्षा में (a=0) होने पर यह रैखिक बन सकता है। / The quadratic term must remain, so \(a\neq0\). If (a=0), it may become linear.
जब (D<0) होता है तब वास्तविक मूल नहीं होते। यह मूलों की प्रकृति का सीधा नियम है। / When (D<0), there are no real roots. This is a direct rule for the nature of roots.
द्विघात पद का गुणांक ((k-1)) है जो (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(k\neq1\) होना जरूरी है। / The coefficient of the quadratic term is ((k-1)), which must not be (0). Hence \(k\neq1\) is necessary.
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)। / The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)) है। वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(a\ge-3\)। / Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)). For real roots, \(D\ge0\), so \(a\ge-3\).
A. \(m\ge0\) और \(m\neq1\)/\(m\ge0\) and \(m\neq1\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{m-1}{m-1}=1\) है, इसलिए \(m\neq1\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(D=16m\ge0\), अतः \(m\ge0\) और \(m\neq1\)। / The product of roots is \(\frac{m-1}{m-1}=1\), so \(m\neq1\) is needed. For real roots, \(D=16m\ge0\), hence \(m\ge0\) and \(m\neq1\).
\(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) और \(\tan\theta+\cot\theta=s\) है। वास्तविक मानों के लिए \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / We have \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) and \(\tan\theta+\cot\theta=s\). For real values, \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
योग (5) धनात्मक है और दोनों जड़ों के लिए गुणनफल (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(25-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le\frac{25}{4}\)। / The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(5a+1)), इसलिए \(a\ge-\frac{1}{5}\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(5a+1)), so \(a\ge-\frac{1}{5}\).
योग (-4) पहले से ऋणात्मक है और गुणनफल धनात्मक चाहिए, इसलिए (c>0)। वास्तविक जड़ों के लिए \(16-4c\ge0\), अतः \(0<c\le4\)। / The sum (-4) is already negative and the product must be positive, so (c>0). For real roots, \(16-4c\ge0\), hence \(0<c\le4\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है। / For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
यदि (a=0) हो जाए तो \(x^2\) पद नहीं बचेगा। इसलिए द्विघात होने के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / If (a=0), the \(x^2\) term disappears. So \(a\neq 0\) is necessary for a quadratic equation.
दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए (D>0) होना चाहिए। यह प्रकृति जांचने का सीधा नियम है। / For two distinct real roots, (D>0) is required. This is a direct rule to check the nature.
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge 0\) होना चाहिए। यदि (D<0) हो तो वास्तविक मूल नहीं मिलते। / For real roots \(D\ge 0\) is required. If (D<0) there are no real roots.
समान वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। इसलिए \(b^2=4ac\) सही संबंध है। / For equal real roots, the discriminant \(D=b^2-4ac=0\). Therefore \(b^2=4ac\) is the correct relation.
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(m-2\neq 0\) यानी \(m\neq 2\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(m-2\neq 0\), so \(m\neq 2\).
यहां (D=(-22)2-4(1)(79)=168), इसलिए \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-22)2-4(1)(79)=168), so \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-14)2-4(1)(13)=144), इसलिए \(x=\frac{14\pm12}{2}\) से (1) और (13) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-14)2-4(1)(13)=144), so \(x=\frac{14\pm12}{2}\) gives (1) and (13). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
यहां (D=(-19)2-4(1)(56)=137), इसलिए \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-19)2-4(1)(56)=137), so \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
(D=(-12)2-4(1)(11)=100), इसलिए \(x=\frac{12\pm10}{2}\) से (1) और (11) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-12)2-4(1)(11)=100), so \(x=\frac{12\pm10}{2}\) gives (1) and (11). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
यहां (D=(-16)2-4(1)(37)=108), इसलिए \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-16)2-4(1)(37)=108), so \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-10)2-4(1)(7)=72), इसलिए \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-10)2-4(1)(7)=72), so \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-13)2-4(1)(22)=81), इसलिए \(x=\frac{13\pm9}{2}\) है। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल होता है। / Here (D=(-13)2-4(1)(22)=81), so \(x=\frac{13\pm9}{2}\). In exams, if (D) is a perfect square, the answer simplifies quickly.
(D=(-8)2-4(1)(3)=52), इसलिए \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-8)2-4(1)(3)=52), so \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-10)2-4(1)(11)=56), इसलिए \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-10)2-4(1)(11)=56), so \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-6)2-4(1)(2)=28), इसलिए \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-6)2-4(1)(2)=28), so \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-7)2-4(1)(4)=33), इसलिए \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-7)2-4(1)(4)=33), so \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
(D=(-4)2-4(1)(1)=12), इसलिए \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-4)2-4(1)(1)=12), so \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=32-4(1)(-3)=21), इसलिए \(x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\) है। परीक्षा में (c=-3) का संकेत सही रखें। / Here (D=32-4(1)(-3)=21), so \(x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\). In exams, keep the sign of (c=-3) correct.
(D=(-14)2-4(1)(45)=16), इसलिए \(x=\frac{14\pm4}{2}\) से (5) और (9) मिलते हैं। परीक्षा में सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-14)2-4(1)(45)=16), so \(x=\frac{14\pm4}{2}\) gives (5) and (9). In exams, keep the sign of (b) correct in the formula.
यहां (D=(-10)2-4(1)(24)=4), इसलिए \(x=\frac{10\pm2}{2}\) मिलता है। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / Here (D=(-10)2-4(1)(24)=4), so \(x=\frac{10\pm2}{2}\). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=22-4(1)(-2)=12), इसलिए \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) सरल करें। / Here (D=22-4(1)(-2)=12), so \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
(D=(-10)2-4(1)(21)=16), इसलिए \(x=\frac{10\pm4}{2}\) से (3) और (7) मिलते हैं। परीक्षा में सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-10)2-4(1)(21)=16), so \(x=\frac{10\pm4}{2}\) gives (3) and (7). In exams, keep the sign of (b) correct in the formula.
यहां (D=(-8)2-4(1)(12)=16), इसलिए \(x=\frac{8\pm4}{2}\) मिलता है। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / Here (D=(-8)2-4(1)(12)=16), so \(x=\frac{8\pm4}{2}\). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=1-4(1)(-1)=5), इसलिए \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\) है। परीक्षा में (c=-1) का संकेत सही रखें। / Here (D=1-4(1)(-1)=5), so \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\). In exams, keep the sign of (c=-1) correct.
\(x^2+x-1=0\) के सरल पूर्णांक गुणनखंड नहीं मिलते, इसलिए सूत्र विधि आसान है। परीक्षा में ऐसे मामलों में द्विघात सूत्र सुरक्षित रहता है। / \(x^2+x-1=0\) has no simple integer factors, so the formula method is easier. In exams, the quadratic formula is safe in such cases.
(D=(-6)2-4(1)(8)=4), इसलिए \(x=\frac{6\pm2}{2}\) से (2) और (4) मिलते हैं। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-6)2-4(1)(8)=4), so \(x=\frac{6\pm2}{2}\) gives (2) and (4). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=(-4)2-4(1)(-5)=36), इसलिए \(x=\frac{4\pm6}{2}\) मिलता है। परीक्षा में सूत्र लगाते समय (c) का ऋण चिन्ह न भूलें। / Here (D=(-4)2-4(1)(-5)=36), so \(x=\frac{4\pm6}{2}\). In exams, do not forget the negative sign of (c) while using the formula.
पहले विकल्प में (t=2) रखने पर \(x^2\) का गुणांक (0) हो जाता है। तब समीकरण रैखिक बन जाता है। / In the first option, putting (t=2) makes the coefficient of \(x^2\) equal to (0). Then the equation becomes linear.
\(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, जो बहुपद रूप नहीं है। सामान्य द्विघात समीकरण में चर की ऋणात्मक घात नहीं होती। / \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), which is not polynomial form. A usual quadratic equation does not have a negative power of the variable.
\(3x^2-27=0\) में \(x^2\) पद है और (x) पद अनुपस्थित है। (x) पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(3x^2-27=0\), the \(x^2\) term is present and the (x) term is absent. An equation can be quadratic even without the (x) term.
\(\sqrt{x}\) में चर की भिन्न घात है, इसलिए यह सामान्य द्विघात रूप नहीं है। द्विघात रूप में केवल \(x^2\), (x) और स्थिर पद होते हैं। / The term \(\sqrt{x}\) has a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. Quadratic form has only \(x^2\), (x), and constant terms.
\(x^2-49=0\) में \(x^2\) पद है और (x) पद अनुपस्थित है। (x) पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(x^2-49=0\), the \(x^2\) term is present and the (x) term is absent. An equation can be quadratic even without an (x) term.
\(x+\frac{1}{x}=2\) में चर हर में है, इसलिए यह सीधे द्विघात मानक रूप में नहीं है। द्विघात बहुपद रूप में ऋणात्मक घात नहीं होती। / In \(x+\frac{1}{x}=2\), the variable is in the denominator, so it is not directly in standard quadratic form. A quadratic polynomial form has no negative power.
D. हाँ क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (2) है/Yes because the coefficient of \(x^2\) is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(2x^2=0\) में \(x^2\) का गुणांक \(2\neq 0\) है। रैखिक और स्थिर पद न होने पर भी यह द्विघात हो सकता है। / In \(2x^2=0\), the coefficient of \(x^2\) is \(2\neq 0\). It can be quadratic even without linear and constant terms.
A. हाँ क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (1) है/Yes because the coefficient of \(x^2\) is (1)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4=0\) में \(x^2\) का गुणांक (1) है इसलिए यह द्विघात है। वास्तविक मूल होना द्विघात होने की शर्त नहीं है। / In \(x^2+4=0\), the coefficient of \(x^2\) is (1), so it is quadratic. Having real roots is not a condition for being quadratic.
B. क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (0) है/Because the coefficient of \(x^2\) is (0)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(x^2\) का गुणांक (0) है इसलिए \(x^2\) पद समाप्त हो जाता है। द्विघात के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / Here the coefficient of \(x^2\) is (0), so the \(x^2\) term disappears. For a quadratic equation, \(a\neq 0\) is necessary.
मोनिक द्विघात में \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए \(x^2+5x+6=0\) सही है। / In a monic quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) is (1). So \(x^2+5x+6=0\) is correct.
शुद्ध द्विघात में (x) वाला पद नहीं होता है। \(4x^2-9=0\) में रैखिक पद अनुपस्थित है। / A pure quadratic equation has no (x) term. In \(4x^2-9=0\), the linear term is absent.
जिस पद में \(x^2\) होता है वह द्विघात पद है। यहाँ द्विघात पद \(6x^2\) है। / The term containing \(x^2\) is the quadratic term. Here the quadratic term is \(6x^2\).
शुद्ध द्विघात में (x) वाला रैखिक पद नहीं होता। \(4x^2-16=0\) ऐसा समीकरण है। / A pure quadratic has no linear (x) term. \(4x^2-16=0\) is such an equation.
द्विघात बहुपद की घात (2) होती है। \(x^2-3x+2\) में सबसे बड़ी घात (2) है। / A quadratic polynomial has degree (2). In \(x^2-3x+2\), the highest power is (2).
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य मूल के लिए अचर पद शून्य होना चाहिए। / Putting (x=0) makes the equation (c=0). So for a zero root the constant term must be zero.
वास्तविक मूल न होने पर (D<0) होता है। \(D\geq0\) वास्तविक मूलों की स्थिति बताता है। / When there are no real roots, (D<0). The condition \(D\geq0\) indicates real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (256-4n>0) और (n<64) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (256-4n>0) and (n<64). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (256-4n<0) और (n>64) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (256-4n<0) and (n>64). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (196-4n>0) और (n<49) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (196-4n>0) and (n<49). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (196-4n<0) और (n>49) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (196-4n<0) and (n>49). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (144-4n>0) और (n<36) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (144-4n>0) and (n<36). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (144-4n<0) और (n>36) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (144-4n<0) and (n>36). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (100-4n>0) और (n<25) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (100-4n>0) and (n<25). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (100-4n<0) और (n>25) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (100-4n<0) and (n>25). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (64-4n>0) और (n<16) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (64-4n>0) and (n<16). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (64-4n<0) और (n>16) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (64-4n<0) and (n>16). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (16-4n>0) और (n<4) है। परीक्षा में (D>0) को distinct roots से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (16-4n>0) and (n<4). In exams, connect (D>0) with distinct roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (16-4n<0) और (n>4) है। परीक्षा में (D<0) को no real roots से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (16-4n<0) and (n>4). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-12) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(144-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<36\)। / For both roots to be negative, the sum (-12) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(144-4\lambda>0\), so \(0<\lambda<36\).
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(36-28\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{9}{7}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(36-28\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{9}{7}\).
दोनों जड़ों का गुणनफल (1) है, इसलिए समीकरण का गुणनफल सही है। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / The product of the two roots is (1), so the product condition is satisfied. For real roots, the discriminant \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), इसलिए \(a\ge-\frac{7}{2}\) नहीं बल्कि \(a\ge-3\) होगा। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), so the exact condition is \(a\ge-3\), not \(a\ge-\frac{7}{2}\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), इसलिए \(a\ge-2\) होगा, अतः विकल्पों में सही शर्त नहीं है। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), so \(a\ge-2\); hence none of these options is exact.
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le36\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le36\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(144-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le36\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(144-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le36\).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-10) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(100-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<25\)। / For both roots to be negative, the sum (-10) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(100-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<25\).
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(16-20\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{4}{5}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(16-20\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{4}{5}\).
C. \(k\neq0\) और \(k^2\le25\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le25\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(100-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le25\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(100-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le25\).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-2) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(4-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<1\)। / For both roots to be negative, the sum (-2) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(4-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<1\).
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(4-12\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{1}{3}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(4-12\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{1}{3}\).
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le16\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le16\)
Explanation
Simple Explanation
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(64-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le16\)। / For reciprocal roots, \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(64-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le16\).
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य जड़ होने की सीधी शर्त (c=0) है। / Putting (x=0) gives (c=0). Thus the direct condition for zero to be a root is (c=0).
वास्तविक और भिन्न जड़ों के लिए (D>0) चाहिए। यहाँ (D=4(2k+1)), इसलिए \(k>-\frac{1}{2}\)। / For real and distinct roots, (D>0) is needed. Here (D=4(2k+1)), so \(k>-\frac{1}{2}\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge 0\) चाहिए। यहाँ (D=8(a-1)), इसलिए \(a\ge 1\) सही है। / For real roots, \(D\ge 0\) is required. Here (D=8(a-1)), so \(a\ge 1\) is correct.
