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काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में इसे कपास और दक्कन क्षेत्र से जोड़ें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams link it with cotton and the Deccan region.
A. जल धारण क्षमता और सिकुड़न फूलन/Water retention and shrink swell nature
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी में जल धारण क्षमता अच्छी होती है और सूखने पर दरारें पड़ती हैं। परीक्षा में इसे कपास और दक्कन से जोड़ें। / Black soil has good water retention and cracks on drying. For exams link it with cotton and Deccan.
A. सिकुड़ने और फूलने की क्षमता/Shrink and swell capacity
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में काली मिट्टी कपास और दक्कन संबंध याद रखें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams remember the black soil cotton and Deccan link.
A. सिकुड़ने और फूलने की प्रकृति/Shrink and swell nature
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में इसे दक्कन और कपास से जोड़ें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams link it with Deccan and cotton.
A. छिद्रदार कंकड़ बजरी निक्षेप/Porous pebble gravel deposits
Explanation
Simple Explanation
भाबर में मोटे और छिद्रदार निक्षेप जल को नीचे जाने देते हैं। परीक्षा में भाबर को तराई से अलग रखें। / Coarse porous deposits in Bhabar allow water to sink. For exams distinguish Bhabar from Terai.
C. सिकुड़ने और फूलने की क्षमता/Shrink and swell capacity
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में काली मिट्टी दक्कन और कपास संबंध याद रखें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams remember black soil Deccan and cotton link.
A. सिकुड़ने और फूलने की प्रकृति/Shrink and swell nature
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में इसे कपास और दक्कन से जोड़ें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams link it with cotton and Deccan.
A. सिकुड़ने और फूलने की प्रकृति/Shrink and swell nature
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी मिलने पर फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में काली मिट्टी कपास और दक्कन को साथ याद रखें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams remember black soil cotton and Deccan together.
A. सिकुड़ने और फूलने की क्षमता/Ability to shrink and swell
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी के अनुसार फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में इसे दक्कन और कपास से जोड़ें। / Black soil swells with moisture and shrinks when dry. For exams link it with Deccan and cotton.
A. अधिक जल धारण क्षमता/High water retaining capacity
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी जल रोकने की क्षमता के कारण कपास के लिए उपयोगी है। परीक्षा में काली मिट्टी दक्कन और कपास को साथ याद रखें। / Black soil is useful for cotton due to its water retaining capacity. For exams remember black soil Deccan and cotton together.
A. सांस्कृतिक संपत्ति स्वामित्व और ऐतिहासिक न्याय/Cultural property ownership and historical justice
Explanation
Simple Explanation
वस्तु वापसी स्मृति और सांस्कृतिक अधिकारों से जुड़ी है। परीक्षा में संग्रहालय और उपनिवेशी लूट याद रखें। / Repatriation of objects is linked with memory and cultural rights. For exams remember museums and colonial looting.
A. वे ग्रामीण क्षेत्रों को बंदरगाहों और औद्योगिक केंद्रों से जोड़ते थे/They connected rural areas with ports and industrial centers
Explanation
Simple Explanation
रेलवे का प्रभाव दोहरा था क्योंकि संपर्क भी बढ़ा और निकासी भी आसान हुई। परीक्षा में संतुलित मूल्यांकन लिखें। / Railways had a dual effect as they increased contact and eased extraction. For exams write balanced evaluation.
A. क्योंकि उसने कई सामुदायिक और परंपरागत अधिकारों को अनदेखा किया/Because it ignored many community and customary rights
Explanation
Simple Explanation
भूमि बंदोबस्त ने स्वामित्व और राजस्व को नए ढंग से परिभाषित किया। परीक्षा में भूमि अधिकार और कर व्यवस्था साथ पढ़ें। / Land settlements redefined ownership and revenue. For exams study land rights and tax system together.
A. क्योंकि इससे विदेशी नागरिक स्थानीय अदालतों से बाहर विशेष कानूनी संरक्षण पा सकते थे/Because foreigners could receive special legal protection outside local courts
Explanation
Simple Explanation
अतिरिक्त क्षेत्राधिकार कानून के भीतर असमानता पैदा कर सकता था। परीक्षा में इसे अर्ध उपनिवेशी नियंत्रण से जोड़ें। / Extraterritoriality could create inequality within law. For exams connect it with semi colonial control.
D. निर्यात संसाधन प्रवाह और सैन्य प्रशासनिक नियंत्रण/Export resource flow and military administrative control
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक ढांचा अक्सर संसाधन निकासी और नियंत्रण के लिए बनाया गया। परीक्षा में लाभार्थी को पहचानें। / Colonial infrastructure was often built for resource extraction and control. For exams identify the beneficiary.
C. असमान संधियां और अतिरिक्त क्षेत्राधिकार/Unequal treaties and extraterritoriality
Explanation
Simple Explanation
असमान संधियां बिना पूर्ण कब्जे के भी संप्रभुता को कमजोर कर सकती थीं। परीक्षा में चीन के संदर्भ को याद रखें। / Unequal treaties could weaken sovereignty even without full occupation. For exams remember the China context.
A. बुनियादी ढांचा अक्सर स्थानीय कल्याण से अधिक निर्यात और नियंत्रण के लिए बनाया गया/Infrastructure was often built more for export and control than local welfare
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक विकास को उसके उद्देश्य और लाभार्थी से परखना चाहिए। परीक्षा में रेल बंदरगाह और खदानें जोड़ें। / Colonial development should be judged by its purpose and beneficiaries. For exams connect railways ports and mines.
A. विदेशियों को स्थानीय कानून से छूट या विशेष कानूनी संरक्षण मिल सकता था/Foreigners could get exemption from local law or special legal protection
Explanation
Simple Explanation
अतिरिक्त क्षेत्राधिकार संप्रभुता को कमजोर कर सकता था। परीक्षा में असमान संधियों से जोड़ें। / Extraterritoriality could weaken sovereignty. For exams connect it with unequal treaties.
D. उन्हें निर्धारित क्षेत्रों में संसाधन निकालने और श्रम नियंत्रित करने के अधिकार मिल सकते थे/They could get rights to extract resources and control labour in assigned areas
Explanation
Simple Explanation
रियायत कंपनियां निजी लाभ और औपनिवेशिक सत्ता को जोड़ती थीं। परीक्षा में संसाधन नियंत्रण पर ध्यान दें। / Concession companies linked private profit with colonial authority. For exams focus on resource control.
A. संसाधन निर्यात के लिए प्रशासनिक और सैन्य नियंत्रण की व्यवस्था में/In administrative and military control for resource export
Explanation
Simple Explanation
राजनीतिक नियंत्रण अक्सर आर्थिक निकासी को सुरक्षित करता था। परीक्षा में खनन बागान और बंदरगाहों को साथ पढ़ें। / Political control often secured economic extraction. For exams study mining plantations and ports together.
A. उत्खननात्मक उपनिवेशवाद में संसाधन दोहन प्रमुख था जबकि बसाहट में भूमि पर स्थायी दावा/Extractive colonialism focused on resource extraction while settler colonialism focused on permanent land claim
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रकारों में नियंत्रण के तरीके अलग हो सकते थे। परीक्षा में संसाधन और भूमि को अलग पहचानें। / Both types could have different methods of control. For exams distinguish resources and land.
A. भूमि पर कब्जा राजनीतिक नियंत्रण और मूल निवासी विस्थापन से जुड़ा था/Land occupation was linked with political control and indigenous displacement
Explanation
Simple Explanation
बसाहट उपनिवेशवाद भूमि और पहचान पर गहरा असर डालता है। परीक्षा में ऑस्ट्रेलिया अमेरिका और न्यूजीलैंड के उदाहरण याद रखें। / Settler colonialism deeply affects land and identity. For exams remember examples of Australia America and New Zealand.
B. क्योंकि संसाधन दोहन आर्थिक लाभ के लिए किया गया/Because resource extraction was done for economic profit
Explanation
Simple Explanation
खनन वन कटाई और बागान विस्तार औपनिवेशिक अर्थव्यवस्था से जुड़े थे। परीक्षा में संसाधन दोहन लिखें। / Mining deforestation and plantation expansion were linked with colonial economy. For exams write resource extraction.
A. खनन वन कटाई और बागान विस्तार आर्थिक लाभ के लिए किए गए/Mining deforestation and plantation expansion were done for economic profit
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक अर्थव्यवस्था ने पर्यावरण और आजीविका दोनों को प्रभावित किया। परीक्षा में संसाधन दोहन लिखें। / Colonial economy affected both environment and livelihoods. For exams write resource extraction.
A. क्योंकि संसाधन दोहन ने वन भूमि और आजीविका को प्रभावित किया/Because resource extraction affected forests land and livelihoods
Explanation
Simple Explanation
पर्यावरणीय दृष्टि से औपनिवेशिक आर्थिक प्रभाव अधिक स्पष्ट होते हैं। परीक्षा में संसाधन और समाज साथ पढ़ें। / Environmental view makes colonial economic effects clearer. For exams study resources and society together.
A. वन खनन और बागान नियंत्रण से आजीविका प्रभावित हो सकती थी/Forest mining and plantation control could affect livelihoods
Explanation
Simple Explanation
संसाधन दोहन ने पर्यावरण और समाज दोनों को प्रभावित किया। परीक्षा में स्थानीय समुदायों पर प्रभाव लिखें। / Resource extraction affected both environment and society. For exams write impact on local communities.
A. संसाधन दोहन आर्थिक लाभ के लिए ही किया जाता था/Resource extraction was done for economic profit
Explanation
Simple Explanation
खनन वन कटाई और बागान विस्तार आर्थिक हितों से जुड़े थे। परीक्षा में पर्यावरण और अर्थव्यवस्था साथ पढ़ें। / Mining deforestation and plantation expansion were linked with economic interests. For exams study environment and economy together.
A. उपनिवेशों से कच्चा माल यूरोपीय उद्योगों को मिलता था/Colonies supplied raw materials to European industries
Explanation
Simple Explanation
कच्चा माल औद्योगिक उत्पादन के लिए जरूरी था। परीक्षा में उद्योग और उपनिवेशों को साथ जोड़ें। / Raw materials were necessary for industrial production. For exams link industry and colonies together.
A. खनन वन कटाई और संसाधन दोहन से/Mining deforestation and resource extraction
Explanation
Simple Explanation
संसाधन दोहन से वन भूमि और स्थानीय जीवन प्रभावित हो सकते थे। परीक्षा में पर्यावरणीय प्रभाव भी पढ़ें। / Resource extraction could affect forests land and local life. For exams study environmental effects too.
A. विदेशी उद्योगों और व्यापारिक लाभ से/Foreign industries and trade profit
Explanation
Simple Explanation
संसाधन निकासी औपनिवेशिक अर्थव्यवस्था का बड़ा हिस्सा थी। परीक्षा में इसे कच्चे माल से जोड़ें। / Resource extraction was a major part of colonial economy. For exams connect it with raw materials.
B. सदस्य देशों की संप्रभु समानता/Sovereign equality of member states
Explanation
Simple Explanation
महासभा में छोटे और बड़े देशों को एक एक मत मिलता है। परीक्षा में इसे संप्रभु समानता की सरल मिसाल मानें। / In the General Assembly small and large countries each get one vote. Exam tip: treat it as a simple example of sovereign equality.
A. महासभा में समान मत सदस्य देशों की औपचारिक समानता को दिखाता है/Equal vote in the General Assembly reflects formal equality of member states
Explanation
Simple Explanation
महासभा में प्रत्येक सदस्य को एक मत मिलना संप्रभु समानता का उदाहरण है। परीक्षा में इसे सुरक्षा परिषद की शक्ति असमानता से तुलना करें। / One vote for each member in the General Assembly is an example of sovereign equality. Exam tip: compare it with power inequality in the Security Council.
B. महासभा की कई सिफारिशें बाध्यकारी नहीं होतीं/Many General Assembly recommendations are not binding
Explanation
Simple Explanation
महासभा व्यापक प्रतिनिधित्व देती है पर उसकी शक्ति सुरक्षा परिषद जैसी नहीं होती। परीक्षा में प्रतिनिधित्व और शक्ति का अंतर लिखें। / The General Assembly gives broad representation but its power is not like the Security Council. For exams write the difference between representation and power.
स्थायी सदस्य का नकारात्मक मत गैर प्रक्रियात्मक मामले में प्रस्ताव रोक सकता है। परीक्षा में प्रक्रियात्मक और गैर प्रक्रियात्मक मतदान अलग याद रखें। / A negative vote by a permanent member can block a non-procedural matter. Exam tip: remember procedural and non-procedural voting separately.
सुरक्षा परिषद में प्रक्रियागत मामलों पर नौ सकारात्मक मत चाहिए होते हैं। परीक्षा में प्रक्रियागत और गैर प्रक्रियागत मामलों में फर्क करें। / Procedural matters in the Security Council require nine affirmative votes. Exam tip: distinguish procedural and non-procedural matters.
A. छोटे और बड़े देशों की औपचारिक समानता/Formal equality of small and large countries
Explanation
Simple Explanation
महासभा में हर सदस्य देश को एक मत मिलता है जिससे औपचारिक समानता दिखती है। परीक्षा में इसे संप्रभु समानता से जोड़ें। / Every member state has one vote in the General Assembly showing formal equality. Exam tip: connect it with sovereign equality.
A. सदस्य देशों की औपचारिक समानता/Formal equality of member states
Explanation
Simple Explanation
महासभा में हर सदस्य देश को एक मत मिलता है। परीक्षा में इसे सार्वभौमिक चर्चा मंच की विशेषता से जोड़ें। / Each member has one vote in the General Assembly. Exam tip: connect it with the feature of a universal discussion forum.
A. सदस्य देशों की समानता/Equality of member states
Explanation
Simple Explanation
महासभा में एक देश एक मत का नियम सदस्य देशों की समानता दिखाता है। परीक्षा में इसे संप्रभु समानता से जोड़ें। / The one country one vote rule in the General Assembly shows equality of member states. Exam tip: connect it with sovereign equality.
महासभा में प्रत्येक सदस्य देश के पास एक मत होता है। परीक्षा में इसे समान प्रतिनिधित्व का उदाहरण मानें। / Each member state has one vote in the General Assembly. Exam tip: treat it as an example of equal representation.
महासभा में प्रत्येक सदस्य देश को एक मत मिलता है। परीक्षा में इसे समानता के सिद्धांत से जोड़ें। / Each member country has one vote in the General Assembly. Exam tip: connect it with the principle of equality.
महासभा में प्रत्येक सदस्य देश के पास सामान्यतः एक मत होता है। परीक्षा में इसे समान प्रतिनिधित्व की अवधारणा से जोड़ें। / Each member state generally has one vote in the General Assembly. Exam tip: connect it with the idea of equal representation.
महासभा में प्रत्येक सदस्य देश को एक मत मिलता है। परीक्षा में इसे समान प्रतिनिधित्व के उदाहरण के रूप में याद रखें। / Each member country has one vote in the General Assembly. Exam tip: remember it as an example of equal representation.
A. राज्य के वित्तीय संकट को कम करना और चर्च शक्ति सीमित करना/To reduce the state financial crisis and limit Church power
Explanation
Simple Explanation
चर्च संपत्ति का राष्ट्रीयकरण वित्त और सत्ता दोनों से जुड़ा था। परीक्षा में इसे क्रांति के आर्थिक और धार्मिक पक्ष से जोड़ें। / Nationalization of Church property was linked with both finance and power. For exams connect it with the economic and religious sides of the revolution.
A. राज्य के वित्तीय संकट को कम करना और चर्च शक्ति घटाना/To reduce the state's financial crisis and weaken church power
Explanation
Simple Explanation
चर्च संपत्ति जब्ती वित्तीय संकट और संस्थागत शक्ति नियंत्रण से जुड़ी थी। परीक्षा में आर्थिक और राजनीतिक कारण साथ लिखें। / Confiscating church property related to financial crisis and control over institutional power. In exams, mention economic and political causes together.
राष्ट्रीय मतदाता दिवस 25 जनवरी को मनाया जाता है। इसे लोकतंत्र में मतदान के महत्व से जोड़ें। / National Voters' Day is observed on 25 January. Link it with the importance of voting in democracy.
राष्ट्रीय मतदाता दिवस 25 जनवरी को मनाया जाता है। इसे भारत निर्वाचन आयोग की स्थापना और मतदाता जागरूकता से जोड़ें। / National Voters' Day is celebrated on 25 January. Link it with the Election Commission of India and voter awareness.
फुसफुसाती गैलरी ध्वनि प्रतिध्वनि के कारण प्रसिद्ध है। परीक्षा में गोल गुम्बज को बीजापुर और आदिलशाही स्थापत्य से जोड़ें। / The whispering gallery is famous due to acoustic echo. In exams connect Gol Gumbaz with Bijapur and Adil Shahi architecture.
A. एक ही चट्टान को ऊपर से नीचे काटकर मंदिर बनाया गया/The temple was carved top down from a single rock
Explanation
Simple Explanation
कैलाश मंदिर एकाश्म और ऊपर से नीचे काटने की तकनीक के लिए प्रसिद्ध है। इसे राष्ट्रकूट शैलकृत कला की चरम उपलब्धि मानें। / Kailasa Temple is famous for monolithic top down carving. Treat it as a peak achievement of Rashtrakuta rock cut art.
(S_{20}=10\(t_{10}+t_{11}\)) से \(t_{11}=60\) मिलता है। परीक्षा में (S_{2m}=m\(t_m+t_{m+1}\)) याद रखें। / From (S_{20}=10\(t_{10}+t_{11}\)), \(t_{11}=60\). Exam tip: remember (S_{2m}=m\(t_m+t_{m+1}\)).
मध्य पद \(m=\frac{14+50}{2}=32\) है और (d=18)। परीक्षा में तीन पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is \(m=\frac{14+50}{2}=32\), and (d=18). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
तीन पदों में \(2\beta=\alpha+\gamma\), इसलिए \(\beta=7\)। परीक्षा में मध्य पद को सिरों का औसत मानें। / For three AP terms, \(2\beta=\alpha+\gamma\), so \(\beta=7\). In exams, treat the middle term as the average of the extremes.
तीन समांतर श्रेणी पदों का योग (3b) होता है, इसलिए (b=9)। परीक्षा में तीन पदों को (b-d,b,b+d) मानना उपयोगी है। / The sum of three AP terms is (3b), so (b=9). In exams, write three terms as (b-d,b,b+d).
समांतर श्रेणी में मध्य पद दो सिरों का औसत होता है, इसलिए (2b=a+c)। परीक्षा में तीन पदों के लिए यह सबसे तेज जांच है। / In an AP, the middle term is the average of the two extremes, so (2b=a+c). In exams, this is the fastest check for three terms.
B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference between every two consecutive terms is equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। यही इसकी मुख्य पहचान है। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
प्रत्येक पद को (-3x) से गुणा करने पर \(-6x^3+12x^2-15x\) मिलता है। ऋणात्मक गुणक के संकेत ध्यान से लगाएं। / Multiplying each term by (-3x) gives \(-6x^3+12x^2-15x\). Apply signs carefully with a negative multiplier.
प्रत्येक पद को (2x) से गुणा करने पर \(6x^3-10x^2+2x\) मिलता है। वितरण नियम का प्रयोग करें। / Multiplying each term by (2x) gives \(6x^3-10x^2+2x\). Use the distributive property.
वितरण नियम से (6(2x+5)=12x+30)। कोष्ठक के दोनों पदों से (6) को गुणा करें। / By the distributive law, (6(2x+5)=12x+30). Multiply (6) by both terms inside the bracket.
वितरण नियम से (4(3x+2)=12x+8)। कोष्ठक के दोनों पदों से (4) को गुणा करें। / By the distributive law, (4(3x+2)=12x+8). Multiply (4) by both terms inside the bracket.
वितरण नियम से (5(2x+1)=10x+5)। बाहरी संख्या को दोनों पदों से गुणा करें। / By the distributive law, (5(2x+1)=10x+5). Multiply the outside number by both terms.
क्योंकि \(\alpha\) जड़ है, \(\alpha^2=5\alpha+3\) और \(\alpha\beta=-3\) है। व्यंजक (5\alpha+3+5\beta-3=5\(\alpha+\beta\)=25) बनता है। / Since \(\alpha\) is a root, \(\alpha^2=5\alpha+3\), and \(\alpha\beta=-3\). The expression becomes (5\alpha+3+5\beta-3=5\(\alpha+\beta\)=25).
क्योंकि \(\alpha\) जड़ है, \(\alpha^2=4\alpha+2\) होगा और \(\alpha\beta=-2\) है। व्यंजक (4\alpha+2+4\beta-2=4\(\alpha+\beta\)=16) बनता है। / Since \(\alpha\) is a root, \(\alpha^2=4\alpha+2\), and \(\alpha\beta=-2\). The expression becomes (4\alpha+2+4\beta-2=4\(\alpha+\beta\)=16).
\(\alpha^2=3\alpha+1\) और \(\alpha\beta=-1\) रखें। तब व्यंजक (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9) होगा। / Use \(\alpha^2=3\alpha+1\) and \(\alpha\beta=-1\). Then the expression is (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9).
क्योंकि \(\alpha^2=3\alpha+1\), व्यंजक (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9) बनता है, इसलिए कोई विकल्प सही नहीं है। सही मान (9) होगा। / Since \(\alpha^2=3\alpha+1\), the expression becomes (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9), so no option is correct. The correct value is (9).
((0,0)) (y)-अक्ष और (x)-अक्ष दोनों पर है। टिप: मूल बिंदु दोनों अक्षों का साझा बिंदु है। / The point ((0,0)) lies on both the (y)-axis and the (x)-axis. Tip: the origin is common to both axes.
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Explanation
Simple Explanation
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^4\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। / For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^4\), powers increase but no new prime factor appears.
अधिकतम (9) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^9\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^9\) का भाजक होगा। / At most (9) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^9\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^9\).
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Explanation
Simple Explanation
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^3\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। / For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^3\), powers increase but no new prime factor appears.
अधिकतम (7) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^7\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^7\) का भाजक होगा। / At most (7) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^7\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^7\).
C. (q) में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य होगा/(q) has at least one prime other than (2) and (5)
Explanation
Simple Explanation
असांत आवर्ती दशमलव के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। (2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर अकेले पर्याप्त नहीं। / For a non-terminating recurring decimal, the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). Factors (2) or (5) may also be present, but they are not enough alone.
अधिकतम (5) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^5\) हर के साथ लिखा जा सकता है। सरलतम हर \(10^5\) का भाजक होगा। / At most (5) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^5\). The reduced denominator must divide \(10^5\).
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। / For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(q^2\) में भी उन्हीं अभाज्य गुणनखंडों की घातें बढ़ेंगी, नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। / In \(q^2\), the powers of the same primes increase, but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
घात बदल सकती है, अभाज्य प्रकार नहीं। / Powers may change, but the prime types do not.
A. (q), \(10^4\) का भाजक होगा/(q) will be a divisor of \(10^4\)
Step 1
Concept
अधिकतम (4) दशमलव स्थान का अर्थ है संख्या को \(10^4\) हर वाली भिन्न में लिखा जा सकता है। / At most (4) decimal places means the number can be written with denominator \(10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(10^4\) का कोई भाजक होगा। / In lowest form, the denominator must be a divisor of \(10^4\).
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में सरलतम हर हमेशा (2) और (5) की घातों से जुड़ा होता है। / The reduced denominator of a terminating decimal is always linked to powers of (2) and (5).
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। / So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए। / Do not call a rational number non-terminating non-recurring.
A. दोनों अभाज्य संख्याएं हैं/Both are prime numbers
Step 1
Concept
(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड अगर किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी गुण से साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनता है। / This property creates the common-factor contradiction.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यहाँ यह गुणनफल \(288\times432\) के बराबर होगा। / Therefore, here the product equals \(288\times432\).
Step 3
Exam Tip
यह संबंध दो संख्याओं पर सीधे लागू करें। / Apply this relation directly for two numbers.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यहाँ गुणनफल \(216\times360\) के बराबर होगा। / So here the product equals \(216\times360\).
Step 3
Exam Tip
यह सूत्र केवल दो संख्याओं पर सीधे लागू करें। / Apply this formula directly only for two numbers.
B. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर/Equal to the product of the two numbers
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (LH) दोनों दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर होगा। / Therefore (LH) equals the product of the two given numbers.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे प्रयोग करें। / Use this relation directly only for two numbers.
A. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर/Equal to the product of the two numbers
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM (=) product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लागू होता है। / This direct relation is for two numbers.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में इस सूत्र को तीन संख्याओं पर बिना जाँच के लागू न करें। / Do not apply this formula blindly to three numbers in exams.
B. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
(1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। / Every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from the order.
Step 2
Why this answer is correct
यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। / This comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से जोड़कर याद रखें। / Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem.
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। / The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from order.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (N) का दिया गया अभाज्य गुणनखंडन इसी गुणधर्म पर आधारित है। / So the given factorisation of (N) is based on this property.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को हमेशा इस प्रमेय से जोड़ें। / Link uniqueness of prime factorisation with this theorem.
A. इसने समान कानून और संपत्ति अधिकारों को व्यवस्थित किया/It organized uniform laws and property rights
Step 1
Concept
नेपोलियन संहिता ने कई क्षेत्रों में कानूनों को एकरूप बनाया। / The Napoleonic Code made laws uniform in many areas.
Step 2
Why this answer is correct
इससे नागरिक समानता और संपत्ति के अधिकार को बल मिला। / It supported civic equality and property rights.
Step 3
Exam Tip
हालांकि नेपोलियन शासन पूरी तरह लोकतांत्रिक नहीं था इसे संतुलित रूप में लिखें। / However Napoleon's rule was not fully democratic so write this in a balanced way.
