Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. कुलीन गणतंत्रीय व्यवस्था/Oligarchic republican system
Explanation
Simple Explanation
लिच्छवि व्यवस्था में कुलीन समूहों की सभा का महत्व था। परीक्षा में गणसंघ को आधुनिक लोकतंत्र जैसा न समझें। / In the Licchavi system, assemblies of elite groups were important. For exams, do not equate Gana-sangha directly with modern democracy.
मिहिर भोज ने आदिवराह उपाधि धारण की थी। परीक्षा में प्रतिहारों को उत्तर भारत की क्षेत्रीय शक्ति के रूप में याद रखें। / Mihira Bhoja assumed the title Adivaraha. For exams, remember the Pratiharas as a regional power of North India.
चंद्रगुप्त प्रथम ने महाराजाधिराज की उपाधि धारण की। परीक्षा में उसे गुप्त शक्ति के उदय से जोड़ें। / Chandragupta I assumed the title Maharajadhiraja. For exams connect him with the rise of Gupta power.
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे/Both (p) and (q) will be divisible by (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=5q^2\) मिलता है इसलिए (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होते हैं। यह सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं/Both (p) and (q) become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। परीक्षा में सहअभाज्य शर्त को अंत में उपयोग करें। / From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
C. (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए/(a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है, इसलिए (a,b) सहअभाज्य और \(b\neq0\) होते हैं। / In the proof, the fraction is taken in lowest form, so (a,b) are coprime and \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
यही शर्त बाद में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है। / This condition later creates the contradiction with a common factor.
A. परिमेय मान्यता असंभव है/The rational assumption is impossible
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should not have any common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर यह शर्त टूट जाती है। / Finding both divisible by (3) breaks this condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{3}\) is irrational.
A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना/To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) से (p) के (5) से विभाज्य होने की बात मिलती है। / (p=5k) shows that (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=5q^2\) में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है, जिससे (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Substituting it in \(p^2=5q^2\) gives \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास बनाता है। / A common factor (5) in both creates the contradiction.
A. \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/\(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(p^2\) सम है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2), so \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो, तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p) सम है। / If the square of an integer is even, the integer is also even, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=2q) लिखना गलत है, पहले विभाज्यता का तर्क दें। / Do not directly write (p=2q); first use divisibility.
A. \(\sqrt{5}\) परिमेय है और \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं/\(\sqrt{5}\) is rational and \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी बात मानते हैं। / In the contradiction method, we assume the opposite.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। / So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
(p) और (q) को सहअभाज्य लिखना न भूलें। / Do not forget to mention that (p) and (q) are coprime.
B. \(\sqrt{6}\) परिमेय है/\(\sqrt{6}\) is rational
Step 1
Concept
मान लें \(5-\sqrt{6}\) परिमेय है। / Suppose \(5-\sqrt{6}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(\sqrt{6}=5-\) वह परिमेय संख्या होगा इसलिए \(\sqrt{6}\) परिमेय मिल जाएगा। / Then \(\sqrt{6}=5-\) that rational number so \(\sqrt{6}\) would be rational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास विधि में उस निष्कर्ष को पकड़ें जो ज्ञात तथ्य से टकराता है। / In contradiction proofs identify the result that clashes with a known fact.
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है। / Finding a common factor is the key contradiction in the proof.
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और फिर (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे। / This makes both (p) and (q) divisible by (3), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रमाण में समान गुणनखंड मिलना ही विरोध बनाता है। / In such proofs, finding a common factor creates the contradiction.
A. \(\sqrt{7}\) परिमेय होगा/\(\sqrt{7}\) would be rational
Step 1
Concept
मान लें \(2+\sqrt{7}\) परिमेय है। / Assume \(2+\sqrt{7}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
तब (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। / Then (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) would be rational, but \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोध सिद्ध करने में ज्ञात परिमेय संख्या को घटाकर मूल को अलग करें। / In contradiction proofs, isolate the surd using rational operations.
A. वे बजट व्यापार और विकास प्राथमिकताओं पर बाहरी प्रभाव डाल सकती हैं/They can create outside influence on budget trade and development priorities
Explanation
Simple Explanation
ऋण और सहायता प्रत्यक्ष शासन के बिना भी नीति प्रभाव डाल सकते हैं। परीक्षा में आर्थिक संप्रभुता लिखें। / Loans and aid can influence policy even without direct rule. For exams write economic sovereignty.
A. शर्तों के कारण आर्थिक और राजनीतिक निर्णय प्रभावित हो सकते थे/Conditions could affect economic and political decisions
Explanation
Simple Explanation
नवउपनिवेशवाद में प्रत्यक्ष शासन नहीं होता लेकिन आर्थिक शर्तें प्रभाव डालती हैं। परीक्षा में ऋण और निर्भरता साथ पढ़ें। / Neo colonialism has no direct rule but economic conditions create influence. For exams study loans and dependence together.
