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कोष्ठक खोलने पर \(7(2x-5)=14x-35\) और \(-5(3x+4)=-15x-20\) मिलता है। अतः \(14x-35-15x-20=-x-55\)। इसलिए सही बहुपद \(-x-55\) है। \(-x+55\) में स्थिर पद का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो, तो उसके भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है। / On expanding the brackets, \(7(2x-5)=14x-35\) and \(-5(3x+4)=-15x-20\). Therefore, \(14x-35-15x-20=-x-55\). Hence, the correct polynomial is \(-x-55\). In \(-x+55\), the sign of the constant term is incorrect. Exam tip: when a minus sign is multiplied with a bracket, change the sign of every term inside it.
A. यह रेखीय बहुपद है, क्योंकि \(\sqrt{2}\) एक वास्तविक स्थिरांक है और \(x\) की उच्चतम घात 1 है।/It is a linear polynomial because \(\sqrt{2}\) is a real constant and the highest power of \(x\) is 1.
Explanation
Simple Explanation
\(P(x)=\sqrt{2}x-5\) में \(x\) की उच्चतम घात 1 है और \(\sqrt{2}\) वास्तविक गुणांक है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। टिप: घात देखकर डिग्री तय करें, पदों की संख्या देखकर नहीं। / In \(P(x)=\sqrt{2}x-5\), the highest power of \(x\) is 1 and \(\sqrt{2}\) is a real coefficient, so it is linear. Exam tip: determine degree from the exponent, not from the number of terms.
रैखिक बहुपद में \(x^2\) का गुणांक शून्य और \(x\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। \(a^2-9=0\) से \(a=\pm3\) मिलता है। \(a=-3\) पर \(x\) का गुणांक भी 0 है, इसलिए केवल \(a=3\) सही है। परीक्षा टिप: दोनों शर्तें जाँचें। / For a linear polynomial, the coefficient of \(x^2\) must be zero and the coefficient of \(x\) must be non-zero. From \(a^2-9=0\), \(a=\pm3\). At \(a=-3\), the \(x\)-coefficient is also 0, so only \(a=3\) works. Exam tip: check both conditions.
\(4p(x)-3q(x)=4(2x+5)-3(3x-7)\) होगा। अतः \(=8x+20-(9x-21)=8x+20-9x+21=-x+41\)। इसलिए सही विकल्प \(-x+41\) है। \(x+41\) में \(x\) का चिह्न गलत है, क्योंकि \(8x-9x=-x\) होता है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद के आगे ऋण चिह्न हो तो उसके भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / \(4p(x)-3q(x)=4(2x+5)-3(3x-7)\). Thus, \(=8x+20-(9x-21)=8x+20-9x+21=-x+41\). Therefore, \(-x+41\) is correct. The option \(x+41\) has the wrong sign of the \(x\)-term, since \(8x-9x=-x\). Exam tip: When a minus sign precedes a polynomial, change the sign of every term inside it.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो। यहाँ \(x=2\) रखने पर \(2(2m+3)-14=0\) मिलता है। अतः \(4m+6-14=0\), यानी \(4m-8=0\), इसलिए \(m=2\)। \(m=\frac{7}{2}\) रखने पर बहुपद का मान 0 नहीं होगा। परीक्षा टिप: शून्यक दिया हो तो उसे हमेशा \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद को 0 के बराबर करें। / A zero of a polynomial is a value of the variable for which the polynomial becomes 0. Substituting \(x=2\), we get \(2(2m+3)-14=0\). Thus, \(4m+6-14=0\), so \(4m-8=0\), giving \(m=2\). For \(m=\frac{7}{2}\), the polynomial does not evaluate to 0 at \(x=2\). Exam tip: When a zero is given, substitute it for \(x\) and equate the polynomial to 0.
किसी बहुपद का शून्यक 5 होने का अर्थ है कि \(p(5)=0\)। अतः \(5a+b=0\)। \(a=-2\) रखने पर \(5(-2)+b=0\), इसलिए \(b=10\) मिलता है। \(-10\) लेने पर \(p(5)=-20\) होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के शून्यक \(r\) के लिए हमेशा \(ar+b=0\) लिखें। / A zero equal to 5 means that \(p(5)=0\). Hence, \(5a+b=0\). Substituting \(a=-2\) gives \(5(-2)+b=0\), so \(b=10\). If \(b=-10\), then \(p(5)=-20\), not zero. Exam tip: for a zero \(r\) of the linear polynomial \(ax+b\), write \(ar+b=0\).
C. \(c\) का प्रत्येक मान मान्य है/Every value of \(c\) is valid
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(p(5)=6\times5+c=30+c\) और \(p(2)=6\times2+c=12+c\) है। अतः \(p(2)+18=12+c+18=30+c=p(5)\)। दोनों पक्षों में \(c\) समान रूप से जुड़ा है, इसलिए शर्त \(c\) के हर मान के लिए सत्य है। \(c=0\) या \(c=18\) केवल विशेष मान हैं, आवश्यक शर्त नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में दो मानों का अंतर लेने पर स्थिर पद कट जाता है। / Here, \(p(5)=6\times5+c=30+c\) and \(p(2)=6\times2+c=12+c\). Therefore, \(p(2)+18=12+c+18=30+c=p(5)\). Since \(c\) occurs equally on both sides, the condition holds for every value of \(c\). Values such as \(c=0\) or \(c=18\) are only particular cases, not necessary conditions. Exam tip: when subtracting two values of a linear polynomial, the constant term cancels out.
(9x+7=0) से \(x=-\frac{7}{9}\) मिलता है। भिन्न शून्यक में चिन्ह और हर ध्यान रखें। / From (9x+7=0), we get \(x=-\frac{7}{9}\). Pay attention to the sign and denominator in fractional zeros.
\(\frac{4}{9}x-8=0\) से \(\frac{4}{9}x=8\) और (x=18) मिलता है। भिन्न गुणांक में उलटा गुणा करें। / From \(\frac{4}{9}x-8=0\), \(\frac{4}{9}x=8\) and (x=18). With a fractional coefficient, multiply by the reciprocal.
यहाँ p(x) और q(x) दोनों रैखिक बहुपद हैं, जिनकी डिग्री 1 है। उनका गुणनफल (x+6)(x-2)=x-2+4x-12 है। इसमें x का उच्चतम घातांक 2 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 2 है। विकल्प 1 प्रत्येक अलग-अलग बहुपद की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: शून्येतर बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both p(x) and q(x) are linear polynomials, so each has degree 1. Their product is (x+6)(x-2)=x-2+4x-12. The highest power of x is 2, so the degree of the product is 2. Option 1 is the degree of each individual polynomial, not of their product. Exam tip: the degree of the product of non-zero polynomials equals the sum of their degrees.
दिया है \(p(x)=5x-8\)। \(p(x-3)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर पूरा \(x-3\) रखें: \(p(x-3)=5(x-3)-8=5x-15-8=5x-23\)। अतः सही विकल्प \(5x-23\) है। \(5x-11\) तब मिलता यदि \(-8\) को सही तरह न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: फलन में प्रतिस्थापन करते समय कोष्ठक सहित पूरे व्यंजक को रखें। / Given \(p(x)=5x-8\). To find \(p(x-3)\), replace every \(x\) with the complete expression \(x-3\): \(p(x-3)=5(x-3)-8=5x-15-8=5x-23\). Therefore, \(5x-23\) is correct. \(5x-11\) results from an incorrect simplification of the constant terms. Exam tip: while substituting in a function, replace the variable with the entire expression in brackets.
दिया है \(p(x)=13-4x\)। \(p(2x)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर पूरा \(2x\) रखेंगे: \(p(2x)=13-4(2x)=13-8x\)। अतः सही विकल्प B है। \(26-8x\) तब मिलता यदि पूरे बहुपद को 2 से गुणा किया जाता, जो यहाँ नहीं करना है। परीक्षा टिप: \(p(kx)\) में केवल चर \(x\) को \(kx\) से प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=13-4x\), substitute the entire expression \(2x\) for \(x\): \(p(2x)=13-4(2x)=13-8x\). Therefore, option B is correct. \(26-8x\) would result from multiplying the whole polynomial by 2, which is not required here. Exam tip: in \(p(kx)\), replace only the variable \(x\) by \(kx\).
\(p(x)=0\) रखने पर \(ax+b=0\), इसलिए \(x=-b/a\) मिलता है। \(a\ne0\) होने से यह एक निश्चित वास्तविक मान है; अतः रैखिक बहुपद का ठीक एक शून्यक होता है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक शून्य न हो, यह अवश्य जाँचें। / Putting \(p(x)=0\) gives \(ax+b=0\), so \(x=-b/a\). Since \(a\ne0\), this is one definite real value; hence a linear polynomial has exactly one zero. Exam tip: first check that the coefficient of \(x\) is non-zero.
शर्त \(p(4)=p(-2)\) से \(4k+7=-2k+7\) मिलता है। अतः \(6k=0\), इसलिए \(k=0\)। तब \(p(x)=7\), जो एक स्थिर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। रेखीय बहुपद में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए दिए गए प्रतिबंध के साथ \(p(x)\) कभी रेखीय नहीं रह सकता। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद का सामान्य रूप \(ax+b\) है, जहाँ \(a\ne0\)। / Using \(p(4)=p(-2)\), we get \(4k+7=-2k+7\). Hence \(6k=0\), so \(k=0\). Then \(p(x)=7\), which is a constant polynomial, not a linear polynomial. For a polynomial to be linear, the coefficient of \(x\) must be non-zero. Therefore, under the given condition, \(p(x)\) can never remain linear. Exam tip: a linear polynomial has the form \(ax+b\), where \(a\ne0\).
रिया कहती है कि \(q(x)=\frac{4}{x}+2\) एक रैखिक बहुपद है, क्योंकि इसमें \(x\) की घात 1 दिखाई देती है। उसका कथन गलत सिद्ध करने वाला सही अवलोकन कौन-सा है?
A. \(x\) हर में है, इसलिए यह बहुपद नहीं है/\(x\) is in the denominator, so it is not a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक बहुपद का रूप \(ax+b\) होता है, जहाँ \(a\neq0\) और \(x\) की घातें ऋणात्मक नहीं होतीं। यहाँ \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है, इसलिए यह बहुपद ही नहीं है। परीक्षा टिप: चर हर में दिखे तो पहले उसे ऋणात्मक घात में लिखें। / A linear polynomial has the form \(ax+b\), where \(a\neq0\) and powers of \(x\) are non-negative integers. Here \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: if a variable is in the denominator, rewrite it using a negative exponent first.
पहले व्यंजक को सरल करें: \(q(x)-2p(x)=(9x-3)-2(4x+1)=9x-3-8x-2=x-5\)। इसमें \(x\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। विकल्प 0 गलत है, क्योंकि \(x-5\) एक अचर बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने या घटाने के बाद ही उच्चतम शून्येतर घात देखकर डिग्री निर्धारित करें। / First simplify the expression: \(q(x)-2p(x)=(9x-3)-2(4x+1)=9x-3-8x-2=x-5\). The highest power of \(x\) is 1, so its degree is 1. Option 0 is incorrect because \(x-5\) is not a constant polynomial. Exam tip: After adding or subtracting polynomials, determine the degree from the highest non-zero power in the simplified result.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाता है। \(8x-17=0\) रखने पर \(8x=17\), अतः \(x=\frac{17}{8}\) मिलता है। इसलिए सही बहुपद \(8x-17\) है। \(17x-8\) और \(x-\frac{8}{17}\) का शून्यक \(\frac{8}{17}\) है, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a polynomial is a value that makes the polynomial equal to 0. For \(8x-17=0\), we get \(8x=17\), so \(x=\frac{17}{8}\). Hence, \(8x-17\) is the correct polynomial. Both \(17x-8\) and \(x-\frac{8}{17}\) have zero \(\frac{8}{17}\), not \(\frac{17}{8}\). Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिया है कि \(p(x)=7x-10\)। अतः \(p(x+1)=7(x+1)-10=7x-3\)। इसलिए \(p(x+1)-p(x)=(7x-3)-(7x-10)=7\)। विकल्प \(7x\) गलत है, क्योंकि घटाने पर \(x\) वाले पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के लिए \(p(x+1)-p(x)=a\), अर्थात \(x\) का गुणांक होता है। / Given \(p(x)=7x-10\), we get \(p(x+1)=7(x+1)-10=7x-3\). Therefore, \(p(x+1)-p(x)=(7x-3)-(7x-10)=7\). The option \(7x\) is incorrect because the terms containing \(x\) cancel on subtraction. Exam tip: for a linear polynomial \(ax+b\), \(p(x+1)-p(x)=a\), the coefficient of \(x\).
शून्यक \(-\frac{12}{\lambda}\) है। \(-\frac{12}{\lambda}>-3\) और \(\lambda>0\) से \(\lambda>4\) मिलता है। / The zero is \(-\frac{12}{\lambda}\). From \(-\frac{12}{\lambda}>-3\) and \(\lambda>0\), we get \(\lambda>4\).
B. ग्राफ x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर काटता है/The graph intersects the x-axis at exactly one point.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक बहुपद का शून्यक \(x=-b/a\) होता है। क्योंकि \(a\ne0\), यह एक निश्चित वास्तविक संख्या है; अतः ग्राफ x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर काटता है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद का केवल एक शून्यक होता है। / A linear polynomial has zero \(x=-b/a\). Since \(a\ne0\), this is one definite real number, so its graph meets the x-axis exactly once. Exam tip: a non-constant linear polynomial has exactly one zero.
\(p(x)+q(x)=(x+2s)+(x-3s)\) है। समान पदों को मिलाने पर \(x+x=2x\) तथा \(2s-3s=-s\) मिलता है। इसलिए योग \(2x-s\) है। \(2x+s\) में \(s\) के गुणांकों का चिह्न गलत जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: बहुपद जोड़ते समय समान चर वाले पदों के गुणांक और उनके चिह्न ध्यान से जोड़ें। / \(p(x)+q(x)=(x+2s)+(x-3s)\). Combining like terms gives \(x+x=2x\) and \(2s-3s=-s\). Therefore, the sum is \(2x-s\). In \(2x+s\), the coefficients of \(s\) have been added with the wrong sign. Exam tip: while adding polynomials, combine coefficients of like terms carefully, including their signs.
घटाने पर
\(p(x)-q(x)=(x+2s)-(x-3s)=x+2s-x+3s=5s\)। इसमें \(x\) का कोई पद नहीं है, इसलिए \(x\) के सापेक्ष यह नियतांक बहुपद है। शून्य बहुपद केवल विशेष स्थिति \(s=0\) में मिलेगा; सामान्यतः \(s\) को एक स्थिर पैरामीटर माना जाता है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने से पहले समान \(x\)-पदों को सरल करके काटें। / On subtracting, \(p(x)-q(x)=(x+2s)-(x-3s)=x+2s-x+3s=5s\). There is no term containing \(x\), so it is a constant polynomial with respect to \(x\). It becomes the zero polynomial only in the special case \(s=0\); normally, \(s\) is treated as a constant parameter. Exam tip: simplify and cancel like \(x\)-terms before identifying the degree of a polynomial.
पहले अंदर वाले फलन का मान ज्ञात करें: \(p(3)=4\times3-11=1\)। अब इस मान को फिर से \(p\) में रखें: \(p(1)=4\times1-11=-7\)। इसलिए \(p(p(3))=-7\) है। \(1\) केवल \(p(3)\) का मान है, अंतिम उत्तर नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे अंदर वाले फलन से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=4\times3-11=1\). Now substitute this value into \(p\) again: \(p(1)=4\times1-11=-7\). Therefore, \(p(p(3))=-7\). The value \(1\) is only \(p(3)\), not the final answer. Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost function first.
पहले अंदर वाले फलन का मान निकालते हैं: p(0)=5(0)+2=2। अब p(p(0))=p(2)=5(2)+2=12। इसलिए सही उत्तर 12 है। 10 केवल 5×2 लेने पर मिलता है, जिसमें स्थिर पद +2 छूट जाता है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा भीतर के फलन का मान पहले ज्ञात करें। / First evaluate the inner function: p(0)=5(0)+2=2. Then p(p(0))=p(2)=5(2)+2=12. Therefore, the correct answer is 12. The value 10 results from taking only 5×2 and missing the constant term +2. Exam tip: In a composite function, always evaluate the inner function first.
यदि \(x=1\) इस बहुपद का शून्यक है, तो \(x=1\) रखने पर बहुपद का मान 0 होना चाहिए। अतः \((n-3)(1)+2n+1=0\), अर्थात \(3n-2=0\)। इसलिए \(n=\frac{2}{3}\) होगा। उदाहरण के लिए, \(n=1\) रखने पर बहुपद का मान \(1\) पर 1 आता है, 0 नहीं। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान 0 के बराबर करें। / If \(x=1\) is a zero of the polynomial, substituting \(x=1\) must make its value 0. Thus, \((n-3)(1)+2n+1=0\), so \(3n-2=0\). Hence, \(n=\frac{2}{3}\). For example, when \(n=1\), the polynomial has value 1 at \(x=1\), not 0. Exam tip: To find a parameter for a given zero, substitute that zero and equate the polynomial to 0.
दिया है \(p(x)=\frac{x}{5}+a\)। अतः \(x=15\) रखने पर \(p(15)=\frac{15}{5}+a=3+a\) होगा। क्योंकि \(p(15)=11\), इसलिए \(3+a=11\), जिससे \(a=8\) मिलता है। विकल्प 6 लेने पर \(p(15)=9\) आता, 11 नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद का किसी बिंदु पर मान निकालते समय पहले उस बिंदु का \(x\) रखकर सरल कीजिए। / Given \(p(x)=\frac{x}{5}+a\). Substituting \(x=15\), we get \(p(15)=\frac{15}{5}+a=3+a\). Since \(p(15)=11\), \(3+a=11\), so \(a=8\). If \(a=6\), then \(p(15)=9\), not 11. Exam tip: To use a given polynomial value, substitute the specified value of \(x\) first and then simplify.
पहले बहुपदों को जोड़ने पर (p(x)+q(x)=4x+a+x-6=5x+a-6) मिलता है। चूँकि 2 इसका शून्यक है, इसलिए x=2 रखने पर (5×2+a-6=0), अर्थात (a+4=0) होगा। अतः (a=-4) है। विकल्प 4 में चिह्न की त्रुटि होती है। परीक्षा में शून्यक दिए होने पर उस मान को बहुपद में रखकर परिणाम 0 करें। / Adding the polynomials gives (p(x)+q(x)=4x+a+x-6=5x+a-6). Since 2 is a zero, substitute x=2: (5×2+a-6=0), so (a+4=0). Hence, (a=-4). Option 4 results from a sign error. Exam tip: when a zero is given, substitute it into the polynomial and set the result equal to 0.
यदि \(-2\), \(p(x)\) का शून्यक है, तो \(p(-2)=0\) होना चाहिए। अतः \((c+4)(-2)+2c=0\) होगा। सरल करने पर \(-2c-8+2c=-8=0\) मिलता है, जो असंभव है। इसलिए \(c\) का कोई मान नहीं है। \(c=-4\) रखने पर बहुपद \(-8\) बनता है, जिसका भी कोई शून्यक नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) के लिए हमेशा \(p(a)=0\) रखें। / If \(-2\) is a zero of \(p(x)\), then \(p(-2)=0\). Thus, \((c+4)(-2)+2c=0\). On simplifying, \(-2c-8+2c=-8=0\), which is impossible. Hence, there is no value of \(c\). In particular, \(c=-4\) makes the polynomial equal to the constant \(-8\), which has no zero. Exam tip: to test whether \(a\) is a zero, always substitute it and use \(p(a)=0\).
किसी बहुपद का शून्यक \(-1\) होने का अर्थ है कि \(p(-1)=0\)। अतः \((c+4)(-1)+2c=0\), यानी \(-c-4+2c=0\)। इसलिए \(c-4=0\), जिससे \(c=4\) प्राप्त होता है। \(c=-4\) रखने पर बहुपद \(-8\) बनता है, जिसका कोई शून्यक नहीं होता। परीक्षा टिप: शून्यक दिया हो तो पहले उस मान को बहुपद में रखकर उसे शून्य के बराबर करें। / If \(-1\) is a zero of the polynomial, then \(p(-1)=0\). Thus, \((c+4)(-1)+2c=0\), or \(-c-4+2c=0\). Hence, \(c-4=0\), giving \(c=4\). If \(c=-4\), the polynomial becomes \(-8\), which has no zero. Exam tip: When a zero is given, substitute it into the polynomial and set the result equal to zero.
दिया है कि \(p(x)=rx+3\) तथा \(p(4)=23\)। अतः \(4r+3=23\), जिससे \(4r=20\) और \(r=5\) मिलता है। अब \(p(-2)=5(-2)+3=-10+3=-7\)। इसलिए सही उत्तर \(-7\) है। \(-10\) केवल \(5\times(-2)\) है; इसमें नियत पद \(+3\) जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान शर्त से अज्ञात गुणांक ज्ञात करें, फिर माँगे गए मान को प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=rx+3\) and \(p(4)=23\), we get \(4r+3=23\). Hence \(4r=20\) and \(r=5\). Now \(p(-2)=5(-2)+3=-10+3=-7\). Therefore, \(-7\) is correct. \(-10\) is only the product \(5\times(-2)\); the constant term \(+3\) must also be added. Exam tip: first use the given function value to find the unknown coefficient, then substitute the required input.
दिया है \(p(x)=ax-9\)। अतः \(p(2)=2a-9\) और \(p(6)=6a-9\)। शर्त \(p(2)=p(6)-20\) रखने पर \(2a-9=(6a-9)-20\), अर्थात \(2a-9=6a-29\)। इसलिए \(20=4a\), जिससे \(a=5\) मिलता है। \(4\) लेने पर दी गई शर्त संतुष्ट नहीं होती। परीक्षा टिप: पहले बहुपद में दिए गए प्रत्येक \(x\) का मान रखकर ही समीकरण बनाइए। / Given \(p(x)=ax-9\), we have \(p(2)=2a-9\) and \(p(6)=6a-9\). Using \(p(2)=p(6)-20\), \(2a-9=(6a-9)-20\), so \(2a-9=6a-29\). Hence \(20=4a\), giving \(a=5\). Substituting \(4\) does not satisfy the given condition. Exam tip: first substitute each given value of \(x\) into the polynomial, then form the equation.
दिया है p(x)=4x-15, इसलिए p(a)=4a-15 होगा। शर्त p(a)=a लगाने पर 4a-15=a मिलता है। अतः 3a=15, इसलिए a=5। विकल्प 4 लेने पर p(4)=1 होता है, जो 4 के बराबर नहीं है। परीक्षा में p(a) निकालते समय x के स्थान पर a लिखकर दी गई शर्त लगाएँ। / Given p(x)=4x-15, we have p(a)=4a-15. Using the condition p(a)=a gives 4a-15=a. Hence, 3a=15 and a=5. If 4 is chosen, then p(4)=1, which is not equal to 4. In exams, replace x with a first and then apply the given condition.
दिया है कि \(p(x)=mx+n\)। \(x=0\) रखने पर \(p(0)=n=5\), इसलिए \(n=5\)। अब \(x=3\) रखने पर \(3m+n=14\) होगा। \(n=5\) रखने से \(3m+5=14\), अतः \(m=3\)। इसलिए \(m+n=3+5=8\)। विकल्प 5 केवल \(n\) का मान है, \(m+n\) का नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में \(x=0\) रखने पर स्थिर पद सीधे मिल जाता है। / Given \(p(x)=mx+n\). Substituting \(x=0\) gives \(p(0)=n=5\), so \(n=5\). Next, substituting \(x=3\) gives \(3m+n=14\). Using \(n=5\), we get \(3m+5=14\), hence \(m=3\). Therefore, \(m+n=3+5=8\). Option 5 is only the value of \(n\), not of \(m+n\). Exam tip: in a linear polynomial, putting \(x=0\) directly gives the constant term.
दिया है कि \(p(x)=mx+n\)। इसलिए \(p(2)=2m+n=11\) तथा \(p(-1)=-m+n=2\)। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(3m=9\) मिलता है, अतः \(m=3\)। विकल्प \(9\), फलनों के मानों का अंतर \(11-2\) है, \(m\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद के दो दिए गए मानों वाले प्रश्न में समीकरण बनाकर स्थिर पद \(n\) हटाने के लिए घटाइए। / Given \(p(x)=mx+n\), we have \(p(2)=2m+n=11\) and \(p(-1)=-m+n=2\). Subtracting the equations gives \(3m=9\), so \(m=3\). Option \(9\) is only the difference \(11-2\) between the function values, not the value of \(m\). Exam tip: When two values of a linear polynomial are given, form equations and subtract them to eliminate the constant term \(n\).
विकल्प D में \(p(x)=x-4\) है। \(x=4\) रखने पर \(p(4)=4-4=0\) मिलता है। साथ ही, इसकी घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। विकल्प C में भी \(p(4)=0\) मिलता है, लेकिन उसकी घात 2 है; अतः वह द्विघात बहुपद है, रेखीय नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद की घात हमेशा 1 होती है। / In option D, \(p(x)=x-4\). On substituting \(x=4\), we get \(p(4)=4-4=0\). Its degree is 1, so it is a linear polynomial. Option C also gives \(p(4)=0\), but its degree is 2; therefore, it is quadratic, not linear. Exam tip: a linear polynomial always has degree 1.
दिया है \(p(x)=5x-12\)। \(p(-x)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखें: \(p(-x)=5(-x)-12=-5x-12\)। अतः \(p(x)+p(-x)=(5x-12)+(-5x-12)=-24\)। \(10x-24\) तब मिलता यदि दोनों व्यंजकों में \(x\) वाला पद \(5x\) ही रहता। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) में \(x\) के प्रत्येक पद का चिह्न सावधानी से बदलें। / Given \(p(x)=5x-12\). To find \(p(-x)\), substitute \(-x\) for \(x\): \(p(-x)=5(-x)-12=-5x-12\). Therefore, \(p(x)+p(-x)=(5x-12)+(-5x-12)=-24\). \(10x-24\) would result only if the \(x\)-term remained \(5x\) in both expressions. Exam tip: while finding \(p(-x)\), substitute \(-x\) carefully in every term containing \(x\).
दिया है \(p(x)=5x-12\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=5(-x)-12=-5x-12\) मिलता है। अतः \(p(x)-p(-x)=(5x-12)-(-5x-12)=5x-12+5x+12=10x\)। इसलिए सही उत्तर \(10x\) है। \(0\) केवल तब मिलता जब दोनों व्यंजक समान होते। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) निकालते समय \(x\) वाले प्रत्येक पद में \(x\) को \(-x\) से बदलें। / Given \(p(x)=5x-12\). Replacing \(x\) with \(-x\) gives \(p(-x)=5(-x)-12=-5x-12\). Therefore, \(p(x)-p(-x)=(5x-12)-(-5x-12)=5x-12+5x+12=10x\). Hence, \(10x\) is correct. \(0\) would result only if the two expressions were identical. Exam tip: while finding \(p(-x)\), substitute \(-x\) for every occurrence of \(x\).
शून्यक (0) होने के लिए नियतांक पद (3s=0) होना चाहिए। (s=0) पर (x) का गुणांक (-5) है इसलिए बहुपद रेखीय है। / For the zero to be (0), the constant term (3s=0). At (s=0), the coefficient of (x) is (-5), so the polynomial is linear.
दिया है: p(x)+q(x)=(4x+a)+(6x-a)=10x। यहाँ a और -a कट जाते हैं, इसलिए योग बहुपद a के किसी भी मान पर नहीं बदलता। 10x का एकमात्र शून्यक x=0 है, क्योंकि 10x=0 होने पर x=0 मिलता है। अतः x=-2 को शून्यक बनाने के लिए a का कोई मान नहीं है। परीक्षा टिप: दो बहुपदों को जोड़ते समय समान/विपरीत पदों को पहले सरल करें; इससे पता चलता है कि कोई चर वास्तव में प्रभाव डाल रहा है या नहीं। / We have p(x)+q(x)=(4x+a)+(6x-a)=10x. The terms a and -a cancel, so the sum polynomial is unchanged for every value of a. The only zero of 10x is x=0, since 10x=0 gives x=0. Hence, no value of a can make x=-2 a zero. Exam tip: Simplify the sum first; cancellation may show that a parameter has no effect on the zero.
\(q(x)-p(x)=(6x-a)-(4x+a)\) है। दूसरे कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न होने पर उसके भीतर के दोनों पदों के चिह्न बदलेंगे: \(6x-a-4x-a=2x-2a\)। इसलिए सही उत्तर \(2x-2a\) है। केवल \(2x\) लिखना गलत है, क्योंकि \(a\) वाले पद भी घटाए जाते हैं। परीक्षा टिप: बहुपदों को घटाते समय दूसरे बहुपद को कोष्ठक में रखकर ऋण चिह्न वितरित करें। / \(q(x)-p(x)=(6x-a)-(4x+a)\). Since there is a minus sign before the second bracket, the signs of both its terms change: \(6x-a-4x-a=2x-2a\). Hence, the correct answer is \(2x-2a\). Writing only \(2x\) is incorrect because the terms containing \(a\) must also be subtracted. Exam tip: while subtracting polynomials, keep the second polynomial in brackets and distribute the negative sign carefully.
((3x-2)(x+5)) में उच्चतम पद \(3x^2\) है। इसलिए गुणनफल की डिग्री (2) है और यह रेखीय नहीं है। / In ((3x-2)(x+5)), the highest term is \(3x^2\). So the product has degree (2) and is not linear.
दिया है कि \(p(x)=ax+4\)। इसलिए \(p(0)=4\)। अब \(p(p(0))=p(4)=4a+4\) होगा। अतः \(4a+4=28\), जिससे \(4a=24\) और \(a=6\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 7 लेने पर \(p(4)=32\) होगा, जो 28 नहीं है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन \(p(p(0))\) में पहले अंदर वाले \(p(0)\) का मान निकालें। / Given \(p(x)=ax+4\), we first get \(p(0)=4\). Hence \(p(p(0))=p(4)=4a+4\). So, \(4a+4=28\), which gives \(4a=24\) and \(a=6\). Therefore, option C is correct. For example, if \(a=7\), then \(p(4)=32\), not 28. Exam tip: In a composite expression such as \(p(p(0))\), evaluate the inner function first.
दिया है कि \(p(x)=x+a\)। इसलिए \(p(2)=2+a\) होगा। अब \(p(p(2))=p(2+a)=(2+a)+a=2+2a\)। अतः \(2+2a=10\), जिससे \(2a=8\) और \(a=4\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 तब मिलता यदि \(2a=8\) से \(a=8\) की गलती की जाए। परीक्षा टिप: किसी फलन का पुनः प्रयोग करने पर पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें, फिर उसे बाहरी फलन में रखें। / Given \(p(x)=x+a\), we get \(p(2)=2+a\). Therefore, \(p(p(2))=p(2+a)=(2+a)+a=2+2a\). Hence \(2+2a=10\), so \(2a=8\) and \(a=4\). Option 8 may result from the mistake of concluding \(a=8\) from \(2a=8\). Exam tip: For a composite function, evaluate the inner function first and substitute its result into the outer function.
D. \(m\) और \(n\) के किसी भी मान के लिए नहीं/For no values of \(m\) and \(n\)
Explanation
Simple Explanation
दिया है \(p(-2)=p(1)\)। अतः \(-2m+n=m+n\), जिससे \(-3m=0\) और इसलिए \(m=0\) मिलता है। तब \(p(x)=n\), जो एक अचर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। रेखीय बहुपद होने के लिए \(m\ne0\) होना आवश्यक है, इसलिए विकल्प C शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) रेखीय तभी होता है जब \(a\ne0\) हो। / Given \(p(-2)=p(1)\), we get \(-2m+n=m+n\). Thus \(-3m=0\), so \(m=0\). Then \(p(x)=n\), which is a constant polynomial, not a linear polynomial. A linear polynomial requires \(m\ne0\), so option C contradicts the given condition. Exam tip: \(ax+b\) is linear only when \(a\ne0\).
काव्या कहती है कि यदि \(p(x)=m(x-5)\), जहाँ \(m\ne0\), तो बहुपद का शून्यक \(m\) के मान के साथ बदलता रहेगा। उसके कथन की त्रुटि को सही ढंग से कौन बताता है?
A. \(p(5)=m(5-5)=0\), इसलिए शून्यक हमेशा 5 है, \(m\) चाहे कोई भी अशून्य संख्या हो।/\(p(5)=m(5-5)=0\), so the zero is always 5 for every non-zero value of \(m\).
Explanation
Simple Explanation
शून्यक के लिए \(p(x)=0\) होना चाहिए। \(x=5\) रखने पर \(m(5-5)=0\) मिलता है, इसलिए हर अशून्य \(m\) के लिए शून्यक 5 ही है। परीक्षा टिप: गुणनखंड \((x-a)\) दिखे तो शून्यक \(a\) जाँचें। / A zero must make \(p(x)=0\). Substituting \(x=5\) gives \(m(5-5)=0\), so 5 is the zero for every non-zero \(m\). Exam tip: if a factor is \((x-a)\), test \(x=a\) first.
दिया है, \(p(x)=8x-3\)। अतः \(p(x+2)=8(x+2)-3=8x+13\) और \(p(x-1)=8(x-1)-3=8x-11\)। इसलिए \(p(x+2)-p(x-1)=(8x+13)-(8x-11)=24\)। विकल्प 16 केवल \(8\times2\) लेने पर मिलता है, लेकिन यहाँ इनपुटों का अंतर \((x+2)-(x-1)=3\) है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के लिए \(p(u)-p(v)=a(u-v)\) का प्रयोग जल्दी करें। / Given \(p(x)=8x-3\), we get \(p(x+2)=8(x+2)-3=8x+13\) and \(p(x-1)=8(x-1)-3=8x-11\). Therefore, \(p(x+2)-p(x-1)=(8x+13)-(8x-11)=24\). Option 16 would result from using only \(8\times2\), but the difference between the inputs is \((x+2)-(x-1)=3\). Exam tip: for a linear polynomial \(ax+b\), use \(p(u)-p(v)=a(u-v)\) to calculate quickly.
पहले आंतरिक फलन का मान निकालें: \(p(3)=5\times3-14=1\)। अब \(p(1)=5\times1-14=-9\)। अतः \(p(p(3))=-9\) है। विकल्प \(1\) केवल \(p(3)\) का मान है, अंतिम मान नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे भीतर वाले फलन से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=5\times3-14=1\). Then \(p(1)=5\times1-14=-9\). Therefore, \(p(p(3))=-9\). Option \(1\) is only the value of \(p(3)\), not the final value. Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost function first.
यहाँ \(p(0)=6(0)+a=a\) है। इसलिए \(p(p(0))=p(a)=6a+a=7a\) होगा। दिया है कि \(p(p(0))=42\), अतः \(7a=42\)। इसलिए \(a=6\) है। विकल्प 7, व्यंजक \(7a\) का गुणांक है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें। / Here, \(p(0)=6(0)+a=a\). Therefore, \(p(p(0))=p(a)=6a+a=7a\). Since \(p(p(0))=42\), we get \(7a=42\). Hence, \(a=6\). Option 7 is the coefficient in \(7a\), not the value of \(a\). Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first.
दोनों समीकरण घटाने पर (4m=16) से (m=4) मिलता है। फिर (-m+n=4) से (n=8) और (m+n=12) है। / Subtracting the two equations gives (4m=16), so (m=4). Then (-m+n=4) gives (n=8), so (m+n=12).
दिया है \(p(x)=9x-5\)। अतः \(p(x+1)=9(x+1)-5=9x+4\) तथा \(p(x-2)=9(x-2)-5=9x-23\)। इसलिए \(p(x+1)+p(x-2)=(9x+4)+(9x-23)=18x-19\)। विकल्प A में स्थिर पदों को जोड़ते समय त्रुटि हुई है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक प्रतिस्थापन में कोष्ठक लगाकर विस्तार करें, फिर समान पदों को जोड़ें। / Given \(p(x)=9x-5\), \(p(x+1)=9(x+1)-5=9x+4\) and \(p(x-2)=9(x-2)-5=9x-23\). Therefore, \(p(x+1)+p(x-2)=(9x+4)+(9x-23)=18x-19\). Option A results from an error while adding the constant terms. Exam tip: substitute using brackets first, expand, and then combine like terms.
