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बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। (k=4) ही दी गई शर्त पूरी करता है। / In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer. Only (k=4) satisfies the condition.
ठीक द्विघात के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (k-3=0) से (k=3) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^4\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) must remain non-zero. From (k-3=0), we get (k=3).
(a=0) होने पर \(x^5\) वाला पद हट जाता है। बचा हुआ सबसे बड़ा पद \(3x^2\) है। / When (a=0), the \(x^5\) term disappears. The highest remaining term is \(3x^2\).
वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। \(x^{-2}\) की ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / Having real coefficients is not enough. Because of the negative power \(x^{-2}\), it is not a polynomial.
\(0x^7\) शून्य पद है और घात निर्धारित नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (4) है। / \(0x^7\) is a zero term and does not determine degree. The highest non-zero power is (4).
(n=-2) देने पर \(x^{-2}\) आता है। ऋणात्मक घात बहुपद में स्वीकार्य नहीं होती। / For (n=-2), the term \(x^{-2}\) appears. A negative power is not allowed in a polynomial.
B. क्योंकि चर मूल के अंदर है/Because the variable is under a root
Explanation
Simple Explanation
कक्षा (9) में चर मूल के अंदर हो तो घात पूर्णांक रूप में मान्य नहीं मानी जाती। इसलिए इसे बहुपद नहीं माना जाता। / In class (9), when the variable is under a root, the power is not treated as a valid integer power. So it is not considered a polynomial.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^4+5x^2-6\) में उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not have every power term. In \(x^4+5x^2-6\), all present powers are valid.
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद (0) होता है, लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। शून्य और अशून्य स्थिर बहुपद में अंतर रखें। / The zero polynomial is (0), but its degree is not defined. Keep zero and non-zero constant polynomials separate.
(a=2) पर \(x^4\) का गुणांक (0) हो जाता है। इसलिए सबसे बड़ी बची घात (2) है। / At (a=2), the coefficient of \(x^4\) becomes (0). Therefore, the highest remaining power is (2).
C. \(3x^5-2x^2+7\), बहुपद, घात (5)/\(3x^5-2x^2+7\), polynomial, degree (5)
Explanation
Simple Explanation
\(3x^5-2x^2+7\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। बाकी विकल्पों में अमान्य घातें हैं। / In \(3x^5-2x^2+7\), all powers are valid and the highest power is (5). The other options have invalid powers.
\(\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\) में \(\frac{4}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\) contains \(\frac{4}{x}\), whose power is (-1). Hence it is not a polynomial.
B. घात (6) का चार-पदी बहुपद/Four-term polynomial of degree (6)
Explanation
Simple Explanation
इसमें चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। इसलिए यह घात (6) का चार-पदी बहुपद है। / It has four terms and the highest power is (6). Therefore, it is a four-term polynomial of degree (6).
(a) और (b) गुणांक की तरह हैं। (x) की घातें (3), (1) और (0) मान्य हैं। / (a) and (b) act like coefficients. The powers of (x) are (3), (1), and (0), which are valid.
घात (2) होने के लिए \(x^3\) वाला पद हटना चाहिए। इसलिए (k=0) होना जरूरी है। / For the degree to be (2), the \(x^3\) term must disappear. Therefore, (k=0) is required.
\(x^{5/2}\) में घात \(\frac{5}{2}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{5/2}\), the power is \(\frac{5}{2}\), which is not an integer. Such a power is not valid in a polynomial.
इसमें (x) की घातें (5), (3), (1) और (0) हैं। ये सभी मान्य हैं और चर घातें विषम हैं। / It has powers (5), (3), (1), and (0). All are valid, and the variable powers are odd.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और बहुपद (6) बचता है। अशून्य स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / Terms with zero coefficients disappear and the polynomial (6) remains. A non-zero constant polynomial has degree (0).
\(3^x\) में चर घात में है। बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(3^x\), the variable is in the exponent. In a polynomial, variable powers must be fixed non-negative integers.
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों तो व्यंजक बहुपद हो सकता है/An expression can be a polynomial if variable powers are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की मुख्य शर्त चर की घातों पर है। गुणांक वास्तविक हो सकते हैं लेकिन घातें भी मान्य होनी चाहिए। / The main condition of a polynomial is about powers of the variable. Coefficients may be real, but powers must also be valid.
घात सबसे बड़ी चर-घात वाले अशून्य पद से तय होती है। यहाँ वह पद \(x^8\) है। / Degree is determined by the non-zero term with the highest variable power. Here that term is \(x^8\).
\(\frac{1}{x+1}\) में चर हर में है और यह बहुपद पद नहीं है। बहुपद में चर हर में नहीं होना चाहिए। / \(\frac{1}{x+1}\) has the variable in the denominator and is not a polynomial term. A polynomial must not have the variable in the denominator.
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (m=-1) पर ऐसा होता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be (0) and the coefficient of \(x^2\) non-zero. This happens at (m=-1).
C. यह बहुपद है और घात (2) है/It is a polynomial and degree (2)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न और अपरिमेय वास्तविक गुणांक बहुपद में मान्य हैं। सबसे बड़ी (x)-घात (2) है। / Fractional and irrational real coefficients are allowed in a polynomial. The highest (x)-power is (2).
(u) के संदर्भ में (x) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (u) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (u), (x) can be treated like a coefficient. The powers of (u) are (3), (1), and (0).
\(\frac{1}{3}\) पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / \(\frac{1}{3}\) is not an integer. In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer.
सभी पदों के गुणांक (0) हैं इसलिए पूरा बहुपद (0) है। इसे शून्य बहुपद कहते हैं। / All terms have coefficient (0), so the whole polynomial is (0). It is called the zero polynomial.
\(x^3-5x+6\) में सबसे बड़ी घात (3) है और \(x^2\) पद अनुपस्थित है। अनुपस्थित पद बहुपद को अमान्य नहीं बनाता। / In \(x^3-5x+6\), the highest power is (3) and the \(x^2\) term is absent. A missing term does not make a polynomial invalid.
B. हर बहुपद एक बीजीय व्यंजक है/Every polynomial is an algebraic expression
Explanation
Simple Explanation
बहुपद बीजीय व्यंजक का विशेष प्रकार है। लेकिन हर बीजीय व्यंजक बहुपद नहीं होता। / A polynomial is a special type of algebraic expression. But every algebraic expression is not a polynomial.
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है/Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^2}\) में (x) की घात (-2) है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / In \(\frac{1}{x^2}\), the power of (x) is (-2). Due to the negative power, it is not a polynomial.
घात (3) के लिए \(x^5\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (k+2=0) से (k=-2), और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहता है। / For degree (3), the coefficient of \(x^5\) must be (0). From (k+2=0), (k=-2), and the \(x^3\) coefficient remains non-zero.
द्विघात का अर्थ घात (2) और द्विपदी का अर्थ दो पद है। \(x^2-16\) दोनों शर्तें पूरी करता है। / Quadratic means degree (2), and binomial means two terms. \(x^2-16\) satisfies both conditions.
इसमें घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। सभी घातें मान्य हैं और अशून्य चर-घातें सम हैं। / It has powers (6), (4), (2), and (0). All powers are valid and the non-zero variable powers are even.
C. (4x) पद को शून्य करना/Making the (4x) term zero
Explanation
Simple Explanation
(4x) का गुणांक (4) तय है और शून्य नहीं हो सकता। इसलिए यह व्यंजक स्थिर बहुपद नहीं बन सकता। / The coefficient of (4x) is fixed and cannot become zero. Therefore, this expression cannot become a constant polynomial.
इसमें चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (3) है। पदों की संख्या और घात अलग-अलग जाँचें। / It has four terms and the highest power is (3). Check the number of terms and degree separately.
\(x^x\) में घात स्थिर पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^x\), the exponent is not a fixed integer. In a polynomial, the variable power must be a fixed non-negative integer.
(a=5) पर \(x^2\) पद हटता है, लेकिन \(2x^4\) मौजूद है। इसलिए घात (4) रहेगी। / At (a=5), the \(x^2\) term disappears, but \(2x^4\) remains. Therefore, the degree remains (4).
B. यह बहुपद है और घात (2) है/It is a polynomial and degree (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) स्थिर वास्तविक संख्या है और मान्य है। सबसे बड़ी (x)-घात (2) है। / \(\sqrt{3}\) is a constant real number and is allowed. The highest (x)-power is (2).
\(\pi\) वास्तविक गुणांक है और मान्य है। (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\pi\) is a real coefficient and is allowed. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
B. क्योंकि (0) की घात परिभाषित नहीं होती/Because the degree of (0) is not defined
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्य बहुपद है और उसकी घात परिभाषित नहीं होती। घात (0) केवल अशून्य स्थिर बहुपद की होती है। / (0) is the zero polynomial and its degree is not defined. Degree (0) belongs to non-zero constant polynomials only.
दो पद होना बहुपद होने की गारंटी नहीं है। \(x^{-1}\) की ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / Having two terms does not guarantee being a polynomial. Due to the negative power \(x^{-1}\), it is not a polynomial.
\(5x^4-x+6\) बहुपद है लेकिन इसकी घात (4) है। इसलिए यह घन बहुपद नहीं है। / \(5x^4-x+6\) is a polynomial but its degree is (4). Therefore, it is not a cubic polynomial.
C. ऐसा कोई (k) संभव नहीं है/No such (k) is possible
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में सभी गुणांक (0) होने चाहिए। (3x) और (2) के गुणांक शून्य नहीं हैं, इसलिए ऐसा (k) संभव नहीं। / In the zero polynomial, all coefficients must be (0). The coefficients of (3x) and (2) are not zero, so no such (k) is possible.
