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\(a_7=a_4r^3\), इसलिए \(1458=54r^3\) और (r=3)। पदों की दूरी को घात बनाएं। / \(a_7=a_4r^3\), so \(1458=54r^3\) and (r=3). Use the gap between term positions as the exponent.
\(a_5=a_2r^3=12\cdot4^3=768\)। दिए पद से आगे जाने में अनुपात की सही घात लगाएं। / \(a_5=a_2r^3=12\cdot4^3=768\). Use the correct power of the ratio when moving forward from a given term.
सार्व अनुपात (-3) है और पद (5,-15,45,-135,405,-1215) हैं। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलते हैं। / The common ratio is (-3), and the terms are (5,-15,45,-135,405,-1215). With a negative ratio, signs alternate.
\(x^2=4\cdot100=400\), इसलिए धनात्मक (x=20)। मध्य पद ज्यामितीय माध्य होता है। / \(x^2=4\cdot100=400\), so positive (x=20). The middle term is the geometric mean.
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(243=3r^4\) और \(r^4=81\), अतः (r=3)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_5=a_1r^4\), so \(243=3r^4\) and \(r^4=81\), hence (r=3). When positive ratio is asked, take the positive root.
\(a_6=a_3r^3\), इसलिए \(648=24r^3\) और (r=3), अतः \(a_4=72\)। पहले अनुपात निकालें फिर अगला पद बनाएं। / \(a_6=a_3r^3\), so \(648=24r^3\) and (r=3), hence \(a_4=72\). First find the ratio and then form the next term.
\(6,18,54,162,486,\ldots\) में \(a_2=18\) और \(a_5=486\) हैं। विकल्पों में पद-संख्या तक जांच करें। / In \(6,18,54,162,486,\ldots\), \(a_2=18\) and \(a_5=486\). Check each option up to the required positions.
\(a_4=54\) और \(a_6=486\), इसलिए योग (540) है। दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=54\) and \(a_6=486\), so the sum is (540). Find both terms separately and add them.
पद \(160,80,40,20,10,5,\frac{5}{2}\) हैं, इसलिए यह सातवाँ पद है। घटती श्रेढ़ी में अनुपात से बार-बार गुणा करें। / The terms are \(160,80,40,20,10,5,\frac{5}{2}\), so it is the seventh term. In a decreasing progression, multiply repeatedly by the ratio.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए \(160=10r^4\) और (r=2), अतः \(a_1=5\)। पीछे जाने के लिए अनुपात से भाग दें। / \(a_6=a_2r^4\), so \(160=10r^4\) and (r=2), hence \(a_1=5\). Divide by the ratio to move backward.
मध्य पद के लिए ((x+4)2=(x-2)(2x+8)), इससे (x=8) मिलता है। तीन पदों में मध्य पद का वर्ग दोनों किनारों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, ((x+4)2=(x-2)(2x+8)), which gives (x=8). In three GP terms, the square of the middle term equals the product of the extremes.
पद (3,6,12,24,48,96,192) हैं, इसलिए (100) से छोटा सबसे बड़ा पद (96) है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The terms are (3,6,12,24,48,96,192), so the greatest term below (100) is (96). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_2=2a_1\) और \(a_3=4a_1\), इसलिए \(6a_1=30\) और \(a_1=5\)। योग को पहले \(a_1\) और (r) से लिखें। / \(a_2=2a_1\) and \(a_3=4a_1\), so \(6a_1=30\) and \(a_1=5\). First write the sum using \(a_1\) and (r).
\(12,6,3,\frac{3}{2},\ldots\) में \(r=\frac{1}{2}\) और चौथा पद \(\frac{3}{2}\) है। विकल्पों में पहला और चौथा पद दोनों जांचें। / In \(12,6,3,\frac{3}{2},\ldots\), \(r=\frac{1}{2}\) and the fourth term is \(\frac{3}{2}\). Check both first and fourth terms in the options.
(r=2) पर पद (2,4,8,16,32) हैं और योग (62) है। छोटे विकल्पों में पद बनाकर जांचना तेज होता है। / For (r=2), the terms are (2,4,8,16,32) and the sum is (62). For small options, forming the terms is quick.
\(a_4=-243\) और \(a_6=-2187\), इसलिए योग (-2430) नहीं बल्कि (-2430) है। सही विकल्पों में (-2430) होना चाहिए। / \(a_4=-243\) and \(a_6=-2187\), so the sum is (-2430). The correct option should include (-2430).
\(a_3=12\) और \(a_5=3\), इसलिए योग (15) है। भिन्न अनुपात में घात सावधानी से लगाएं। / \(a_3=12\) and \(a_5=3\), so the sum is (15). Use powers carefully with a fractional ratio.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(405=15r^3\) और (r=3), अतः \(a_1=5\)। पहले अनुपात निकालें फिर पीछे जाएं। / \(a_5=a_2r^3\), so \(405=15r^3\) and (r=3), hence \(a_1=5\). First find the ratio and then move backward.
\(x^2=2\cdot18=36\), इसलिए (x=6) और (r=3), अतः (y=54)। पहले मध्य पद से अनुपात निकालें। / \(x^2=2\cdot18=36\), so (x=6) and (r=3), hence (y=54). First use the middle term to find the ratio.
\(2,10,50,250,\ldots\) में \(a_3=50\) और सार्व अनुपात (5) है। पद-संख्या और अनुपात दोनों मिलाएं। / In \(2,10,50,250,\ldots\), \(a_3=50\) and the common ratio is (5). Match both the position and the ratio.
\(a_5=\frac{3}{2}\cdot4^4=384\)। भिन्न पहले पद के साथ घात का गुणा ध्यान से करें। / \(a_5=\frac{3}{2}\cdot4^4=384\). Multiply the power carefully with the fractional first term.
पद (1,3,9,27,81,243,729,2187) हैं, इसलिए (1000) से छोटा सबसे बड़ा पद (729) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (1,3,9,27,81,243,729,2187), so the greatest term below (1000) is (729). In boundary questions, check the next term too.
C. सही योग (756) नहीं बल्कि (945) है/The correct sum is (945), not (756)
Explanation
Simple Explanation
\(a_4=7\cdot3^3=189\) और \(a_5=567\), इसलिए योग (756) है। इसलिए दिया योग सही है। / \(a_4=7\cdot3^3=189\) and \(a_5=567\), so the sum is (756). Therefore the given sum is correct.
\(a_3=54\) और \(a_5=486\), इसलिए अंतर (432) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_3=54\) and \(a_5=486\), so the difference is (432). Find both terms separately and subtract.
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए \(r^2=16\) और धनात्मक क्रम में \(a_6=128\cdot16=2048\)। समान दूरी पर वही \(r^2\) फिर लगता है। / \(a_4=a_2r^2\), so \(r^2=16\), and for the positive sequence \(a_6=128\cdot16=2048\). The same \(r^2\) applies over the same gap.
\(a_2=27\) और \(a_5=1\), इसलिए योग (28) है। भिन्न अनुपात में हर पद तेजी से घटता है। / \(a_2=27\) and \(a_5=1\), so the sum is (28). With a fractional ratio, terms decrease quickly.
पद (4,-8,16,-32,64) हैं और योग (44) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्नों को ध्यान से जोड़ें। / The terms are (4,-8,16,-32,64), and their sum is (44). Add signs carefully with a negative ratio.
\(a_7=a_3r^4\), इसलिए \(3645=45r^4\) और \(r^4=81\), अतः (r=3)। चार पदों की दूरी पर \(r^4\) लगता है। / \(a_7=a_3r^4\), so \(3645=45r^4\) and \(r^4=81\), hence (r=3). A four-position gap uses \(r^4\).
\(32,-16,8,-4,\ldots\) में हर बार \(-\frac{1}{2}\) से गुणा होता है। अनुपात के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / In \(32,-16,8,-4,\ldots\), each term is multiplied by \(-\frac{1}{2}\). Divide the next term by the previous term to find the ratio.
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए (r=3), \(a_1=2\) और \(a_5=162\), अतः योग (164) है। पहले (r) निकालें। / \(a_4=a_2r^2\), so (r=3), \(a_1=2\), and \(a_5=162\), hence the sum is (164). Find (r) first.
\(5\cdot2^{n-1}=320\), इसलिए \(2^{n-1}=64=2^6\) और (n=7)। घातों की तुलना करें। / \(5\cdot2^{n-1}=320\), so \(2^{n-1}=64=2^6\) and (n=7). Compare powers.
((3x)2=x\cdot27), इसलिए \(9x^2=27x\) और धनात्मक (x=3)। शून्य को धनात्मक हल में नहीं लें। / ((3x)2=x\cdot27), so \(9x^2=27x\) and positive (x=3). Do not take zero as a positive solution.
\(a_4=162\) और \(a_6=1458\), इसलिए अंतर (1296) है। पहले दोनों पद सही घात से निकालें। / \(a_4=162\) and \(a_6=1458\), so the difference is (1296). First find both terms using the correct powers.
B. \(r=\frac{1}{3}\) और श्रेढ़ी घटती है/\(r=\frac{1}{3}\) and the progression decreases
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए श्रेढ़ी घटती है। अनुपात की दिशा और मान दोनों देखें। / Each term is \(\frac{1}{3}\) of the previous term, so the progression decreases. Check both the value and direction of the ratio.
(a_5=a_2r-3=24\left\(\frac{1}{2}\right\)3=3)। तीन पद आगे जाने पर \(r^3\) लगता है। / (a_5=a_2r-3=24\left\(\frac{1}{2}\right\)3=3). Moving three positions forward uses \(r^3\).
पद (2,10,50,250,1250,6250) हैं, इसलिए (6000) से छोटा सबसे बड़ा पद (1250) है। अगला पद सीमा पार करता है। / The terms are (2,10,50,250,1250,6250), so the greatest term below (6000) is (1250). The next term crosses the limit.
\(a_6=a_3r^3\), इसलिए (r=2), अतः \(a_8=96\cdot2^2=384\)। पहले अनुपात निकालकर आगे बढ़ें। / \(a_6=a_3r^3\), so (r=2), hence \(a_8=96\cdot2^2=384\). First find the ratio and then move forward.
पहले चार पद (1,4,16,64) हैं और गुणनफल (4096) है। गुणनफल में हर पद को सावधानी से गुणा करें। / The first four terms are (1,4,16,64), and their product is (4096). Multiply each term carefully in product questions.
\(a_4=a_1r^3\), इसलिए \(72=9r^3\) और \(r^3=8\), अतः (r=2)। पदों की दूरी को घात बनाएं। / \(a_4=a_1r^3\), so \(72=9r^3\) and \(r^3=8\), hence (r=2). Use the position gap as the exponent.
\(\frac{a_5}{a_3}=r^2=3^2=9\)। समान श्रेढ़ी में पदों का अनुपात पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / \(\frac{a_5}{a_3}=r^2=3^2=9\). In the same progression, the ratio of terms depends on the difference of positions.
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए \(r^2=4\), और \(a_6=a_4r^2=80\cdot4=320\)। समान दूरी पर वही गुणक लगता है। / \(a_4=a_2r^2\), so \(r^2=4\), and \(a_6=a_4r^2=80\cdot4=320\). The same multiplier applies over the same gap.
\(\frac{48}{12}=4\), इसलिए \(\frac{12}{x}=4\) और (x=3)। लगातार अनुपात बराबर रखें। / \(\frac{48}{12}=4\), so \(\frac{12}{x}=4\) and (x=3). Keep consecutive ratios equal.
पहले (5) पद \(12,6,3,\frac{3}{2},\frac{3}{4}\) हैं और योग \(\frac{93}{4}\) है। भिन्न पदों को समान हर से जोड़ें। / The first (5) terms are \(12,6,3,\frac{3}{2},\frac{3}{4}\), and their sum is \(\frac{93}{4}\). Add fractional terms using a common denominator.
(a_4=8\left\(\frac{3}{2}\right\)3=27)। भिन्न अनुपात में घात को सावधानी से सरल करें। / (a_4=8\left\(\frac{3}{2}\right\)3=27). Simplify powers of fractional ratios carefully.
(r=-3) है, इसलिए (a_7=1\cdot(-3)6=729)। सम घात पर ऋणात्मक अनुपात का मान धनात्मक होता है। / Here (r=-3), so (a_7=1\cdot(-3)6=729). An even power of a negative ratio gives a positive value.
\(a_1=\frac{14}{5}\) और \(a_3=70\), इसलिए योग \(\frac{364}{5}\) है। आगे और पीछे दोनों दिशा में अनुपात का उपयोग करें। / \(a_1=\frac{14}{5}\) and \(a_3=70\), so the sum is \(\frac{364}{5}\). Use the ratio both backward and forward.
\(x^2=16\cdot81=1296\), इसलिए धनात्मक (x=36)। मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / \(x^2=16\cdot81=1296\), so positive (x=36). The square of the middle term equals the product of the outer terms.
(6,18,54) में दोनों अनुपात (3) हैं। लगातार तीन पदों के लिए दोनों अनुपात बराबर होने चाहिए। / In (6,18,54), both ratios are (3). For three consecutive terms, both ratios must be equal.
\(625=5r^3\), इसलिए \(r^3=125\) और (r=5), अतः \(a_5=3125\)। पहले अनुपात निकालें फिर अगला पद बनाएं। / \(625=5r^3\), so \(r^3=125\) and (r=5), hence \(a_5=3125\). First find the ratio and then form the next term.
\(a_6=a_3r^3\), इसलिए \(486=18r^3\) और (r=3)। पदों की दूरी को घात बनाएं। / \(a_6=a_3r^3\), so \(486=18r^3\) and (r=3). Use the gap between term positions as the exponent.
\(a_7=a_4r^3=80\cdot2^3=640\)। दिए पद से आगे जाने में अनुपात की सही घात लगाएं। / \(a_7=a_4r^3=80\cdot2^3=640\). Use the correct power of the ratio when moving forward from a given term.
सार्व अनुपात (-2) है और (a_7=8(-2)6=512) है। ऋणात्मक अनुपात की सम घात धनात्मक होती है। / The common ratio is (-2), and (a_7=8(-2)6=512). An even power of a negative ratio is positive.
\(x^2=6\cdot150=900\), इसलिए धनात्मक (x=30)। मध्य पद ज्यामितीय माध्य होता है। / \(x^2=6\cdot150=900\), so positive (x=30). The middle term is the geometric mean.
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(1792=7r^4\) और \(r^4=256\), अतः (r=4)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_5=a_1r^4\), so \(1792=7r^4\) and \(r^4=256\), hence (r=4). When positive ratio is asked, take the positive root.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(675=25r^3\) और (r=3), अतः \(a_4=25\cdot3^2=225\)। पहले अनुपात निकालें। / \(a_5=a_2r^3\), so \(675=25r^3\) and (r=3), hence \(a_4=25\cdot3^2=225\). Find the ratio first.
\(5,15,45,135,405,1215,\ldots\) में \(a_3=45\) और \(a_6=1215\) हैं। विकल्पों में पद-संख्या तक जांच करें। / In \(5,15,45,135,405,1215,\ldots\), \(a_3=45\) and \(a_6=1215\). Check each option up to the required positions.
\(a_4=108\) और \(a_6=972\), इसलिए योग (1080) है। दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=108\) and \(a_6=972\), so the sum is (1080). Find both terms separately and add them.
पद (384,192,96,48,24,12,6) हैं, इसलिए (6) सातवाँ पद है। घटती श्रेढ़ी में अनुपात से बार-बार गुणा करें। / The terms are (384,192,96,48,24,12,6), so (6) is the seventh term. In a decreasing progression, multiply repeatedly by the ratio.
\(a_7=a_3r^4\), इसलिए \(576=36r^4\) और (r=2), अतः \(a_1=\frac{36}{2^2}=9\)। पीछे जाने के लिए अनुपात से भाग दें। / \(a_7=a_3r^4\), so \(576=36r^4\) and (r=2), hence \(a_1=\frac{36}{2^2}=9\). Divide by the ratio to move backward.
मध्य पद के लिए ((3x)2=(x+2)(6x+4)), इससे (x=4) मिलता है। तीन पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, ((3x)2=(x+2)(6x+4)), which gives (x=4). In three GP terms, the square of the middle term equals the product of the extremes.
पद (9,18,36,72,144,288,576,1152) हैं, इसलिए (600) से छोटा सबसे बड़ा पद (576) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (9,18,36,72,144,288,576,1152), so the greatest term below (600) is (576). In boundary questions, check the next term too.
\(a_2=3a_1\) और \(a_4=27a_1\), इसलिए \(30a_1=90\) और \(a_1=3\)। योग को पहले \(a_1\) और (r) से लिखें। / \(a_2=3a_1\) and \(a_4=27a_1\), so \(30a_1=90\) and \(a_1=3\). First write the sum using \(a_1\) and (r).
\(32,16,8,4,2,\ldots\) में \(r=\frac{1}{2}\) और पाँचवाँ पद (2) है। विकल्पों में पहला और पाँचवाँ पद दोनों जांचें। / In \(32,16,8,4,2,\ldots\), \(r=\frac{1}{2}\) and the fifth term is (2). Check both first and fifth terms in the options.
(r=3) पर पद (4,12,36,108,324) हैं और योग (484) है। छोटे विकल्पों में पद बनाकर जांचना तेज होता है। / For (r=3), the terms are (4,12,36,108,324) and the sum is (484). For small options, forming the terms is quick.
\(a_3=80\) और \(a_5=1280\), इसलिए योग (1360) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्नों का ध्यान रखें। / \(a_3=80\) and \(a_5=1280\), so the sum is (1360). Keep signs in mind with a negative ratio.
\(a_3=24\) और \(a_6=3\), इसलिए योग (27) है। भिन्न अनुपात में घात सावधानी से लगाएं। / \(a_3=24\) and \(a_6=3\), so the sum is (27). Use powers carefully with a fractional ratio.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए \(8192=32r^4\) और (r=4), अतः \(a_1=8\)। पहले अनुपात निकालें फिर पीछे जाएं। / \(a_6=a_2r^4\), so \(8192=32r^4\) and (r=4), hence \(a_1=8\). First find the ratio and then move backward.
\(x^2=5\cdot80=400\), इसलिए (x=20) और (r=4), अतः (y=320)। पहले मध्य पद से अनुपात निकालें। / \(x^2=5\cdot80=400\), so (x=20) and (r=4), hence (y=320). First use the middle term to find the ratio.
\(12,24,48,96,\ldots\) में \(a_4=96\) और सार्व अनुपात (2) है। पद-संख्या और अनुपात दोनों मिलाएं। / In \(12,24,48,96,\ldots\), \(a_4=96\) and the common ratio is (2). Match both the position and the ratio.
\(a_4=\frac{7}{2}\cdot4^3=224\)। भिन्न पहले पद के साथ घात का गुणा ध्यान से करें। / \(a_4=\frac{7}{2}\cdot4^3=224\). Multiply the power carefully with the fractional first term.
पद (3,15,75,375,1875,9375,46875) हैं, इसलिए (10000) से छोटा सबसे बड़ा पद (9375) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (3,15,75,375,1875,9375,46875), so the greatest term below (10000) is (9375). In boundary questions, check the next term too.
\(a_4=243\) और \(a_5=729\), इसलिए योग (972) है। दोनों पदों को सही घात से निकालें। / \(a_4=243\) and \(a_5=729\), so the sum is (972). Find both terms using the correct powers.
\(a_4=324\) और \(a_6=2916\), इसलिए अंतर (2592) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_4=324\) and \(a_6=2916\), so the difference is (2592). Find both terms separately and subtract.
\(a_5=a_3r^2\), इसलिए \(r^2=16\), और \(a_7=288\cdot16=4608\)। समान दूरी पर वही \(r^2\) फिर लगता है। / \(a_5=a_3r^2\), so \(r^2=16\), and \(a_7=288\cdot16=4608\). The same \(r^2\) applies over the same gap.
\(a_2=25\) और \(a_4=1\), इसलिए योग (26) है। भिन्न अनुपात में हर पद तेजी से घटता है। / \(a_2=25\) and \(a_4=1\), so the sum is (26). With a fractional ratio, terms decrease quickly.
पद (10,-20,40,-80,160) हैं और योग (110) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्नों को ध्यान से जोड़ें। / The terms are (10,-20,40,-80,160), and their sum is (110). Add signs carefully with a negative ratio.
\(a_8=a_4r^4\), इसलिए \(4374=54r^4\) और \(r^4=81\), अतः (r=3)। चार पदों की दूरी पर \(r^4\) लगता है। / \(a_8=a_4r^4\), so \(4374=54r^4\) and \(r^4=81\), hence (r=3). A four-position gap uses \(r^4\).
\(64,-16,4,-1,\ldots\) में हर बार \(-\frac{1}{4}\) से गुणा होता है। अनुपात के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / In \(64,-16,4,-1,\ldots\), each term is multiplied by \(-\frac{1}{4}\). Divide the next term by the previous term to find the ratio.
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए (r=5), \(a_1=2\) और \(a_5=1250\), अतः योग (1252) है। पहले (r) निकालें। / \(a_4=a_2r^2\), so (r=5), \(a_1=2\), and \(a_5=1250\), hence the sum is (1252). Find (r) first.
\(8\cdot3^{n-1}=1944\), इसलिए \(3^{n-1}=243=3^5\) और (n=6)। घातों की तुलना करें। / \(8\cdot3^{n-1}=1944\), so \(3^{n-1}=243=3^5\) and (n=6). Compare powers.
((5x)2=x\cdot125), इसलिए \(25x^2=125x\) और धनात्मक (x=5)। शून्य को धनात्मक हल में नहीं लें। / ((5x)2=x\cdot125), so \(25x^2=125x\) and positive (x=5). Do not take zero as a positive solution.
\(a_4=270\) और \(a_6=2430\), इसलिए अंतर (2160) है। पहले दोनों पद सही घात से निकालें। / \(a_4=270\) and \(a_6=2430\), so the difference is (2160). First find both terms using the correct powers.
B. \(r=\frac{1}{2}\) और श्रेढ़ी घटती है/\(r=\frac{1}{2}\) and the progression decreases
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए श्रेढ़ी घटती है। अनुपात की दिशा और मान दोनों देखें। / Each term is \(\frac{1}{2}\) of the previous term, so the progression decreases. Check both the value and direction of the ratio.
(a_6=a_3r-3=45\left\(\frac{1}{3}\right\)3=\frac{5}{3})। तीन पद आगे जाने पर \(r^3\) लगता है। / (a_6=a_3r-3=45\left\(\frac{1}{3}\right\)3=\frac{5}{3}). Moving three positions forward uses \(r^3\).
पद (11,22,44,88,176,352,704,1408) हैं, इसलिए (800) से छोटा सबसे बड़ा पद (704) है। अगला पद सीमा पार करता है। / The terms are (11,22,44,88,176,352,704,1408), so the greatest term below (800) is (704). The next term crosses the limit.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए (r=3), अतः \(a_7=1215\cdot3=3645\)। पहले अनुपात निकालकर आगे बढ़ें। / \(a_6=a_2r^4\), so (r=3), hence \(a_7=1215\cdot3=3645\). First find the ratio and then move forward.
पहले चार पद (3,12,48,192) हैं और गुणनफल (589824) है। गुणनफल में हर पद को सावधानी से गुणा करें। / The first four terms are (3,12,48,192), and their product is (589824). Multiply each term carefully in product questions.
\(a_4=a_1r^3\), इसलिए \(270=10r^3\) और \(r^3=27\), अतः (r=3)। पदों की दूरी को घात बनाएं। / \(a_4=a_1r^3\), so \(270=10r^3\) and \(r^3=27\), hence (r=3). Use the position gap as the exponent.
\(\frac{a_7}{a_4}=r^3=4^3=64\)। समान श्रेढ़ी में पदों का अनुपात पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / \(\frac{a_7}{a_4}=r^3=4^3=64\). In the same progression, the ratio of terms depends on the difference of positions.
\(a_5=a_3r^2\), इसलिए \(r^2=9\), और \(a_7=a_5r^2=360\cdot9=3240\)। समान दूरी पर वही गुणक लगता है। / \(a_5=a_3r^2\), so \(r^2=9\), and \(a_7=a_5r^2=360\cdot9=3240\). The same multiplier applies over the same gap.
\(\frac{96}{24}=4\), इसलिए \(\frac{24}{x}=4\) और (x=6)। लगातार अनुपात बराबर रखें। / \(\frac{96}{24}=4\), so \(\frac{24}{x}=4\) and (x=6). Keep consecutive ratios equal.
पहले (5) पद \(36,18,9,\frac{9}{2},\frac{9}{4}\) हैं और योग \(\frac{279}{4}\) है। भिन्न पदों को समान हर से जोड़ें। / The first (5) terms are \(36,18,9,\frac{9}{2},\frac{9}{4}\), and their sum is \(\frac{279}{4}\). Add fractional terms using a common denominator.
(a_4=27\left\(\frac{2}{3}\right\)3=8)। भिन्न अनुपात में घात को सावधानी से सरल करें। / (a_4=27\left\(\frac{2}{3}\right\)3=8). Simplify powers of fractional ratios carefully.
(r=-4) है, इसलिए (a_6=3(-4)5=-3072)। विषम घात पर ऋणात्मक अनुपात का मान ऋणात्मक होता है। / Here (r=-4), so (a_6=3(-4)5=-3072). An odd power of a negative ratio gives a negative value.
\(a_1=\frac{22}{3}\) और \(a_4=198\), इसलिए योग \(\frac{616}{3}\) नहीं बल्कि \(\frac{616}{3}\) है। सही विकल्पों में \(\frac{616}{3}\) होना चाहिए। / \(a_1=\frac{22}{3}\) and \(a_4=198\), so the sum is \(\frac{616}{3}\). The correct option should include \(\frac{616}{3}\).
\(x^2=36\cdot100=3600\), इसलिए धनात्मक (x=60)। मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / \(x^2=36\cdot100=3600\), so positive (x=60). The square of the middle term equals the product of the outer terms.
\(500=4r^3\), इसलिए \(r^3=125\) और (r=5), अतः \(a_5=2500\)। पहले अनुपात निकालें फिर अगला पद बनाएं। / \(500=4r^3\), so \(r^3=125\) and (r=5), hence \(a_5=2500\). First find the ratio and then form the next term.
\(a_2=2a_1\) और \(a_4=8a_1\), इसलिए \(10a_1=170\) और \(a_1=17\)। योग को पहले \(a_1\) और (r) से लिखें। / \(a_2=2a_1\) and \(a_4=8a_1\), so \(10a_1=170\) and \(a_1=17\). First write the sum using \(a_1\) and (r).
यहाँ (a=2) और (r=3) है, इसलिए \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here (a=2) and (r=3), so \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
\(\frac{192}{24}=r^3=8\) से (r=2) और (a=6) है। इसलिए (S_5=6\(2^5-1\)=186) होगा। / From \(\frac{192}{24}=r^3=8\), (r=2) and (a=6). Therefore (S_5=6\(2^5-1\)=186).
यहाँ \(r=\frac{1}{2}\) है, इसलिए (a_9=1024\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)8=4) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{2}\), so (a_9=1024\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)8=4). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
\(7\cdot2^{n-1}=1792\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(7\cdot2^{n-1}=1792\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, equate powers to find the term number.
\(324=4r^4\) से \(r^4=81=3^4\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पाँचवें पद के लिए \(r^4\) याद रखें। / From \(324=4r^4\), \(r^4=81=3^4\), so (r=3). In exams, remember \(r^4\) for the fifth term.
पहला पद (6) और अनुपात (4) है, इसलिए \(a_n=6\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (6) and the ratio is (4), so \(a_n=6\cdot4^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
(S_7=\frac{3\(3^7-1\)}{3-1}=3279) है। परीक्षा में (r>1) के लिए (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) लगाएँ। / (S_7=\frac{3\(3^7-1\)}{3-1}=3279). In exams, use (\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) for (r>1).
मध्य पद के लिए \(x^2=12\cdot108=1296\), इसलिए (x=36) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=12\cdot108=1296\), so (x=36). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
(S_8=8\(2^8-1\)=2040) है। परीक्षा में अनुपात (2) हो तो \(2^n\) जल्दी निकालें। / (S_8=8\(2^8-1\)=2040). In exams, calculate \(2^n\) quickly when the ratio is (2).
\(a_5=ar^4\), इसलिए \(625=a\cdot5^4\) और (a=1) है। परीक्षा में पाँचवें पद से \(r^4\) भाग दें। / \(a_5=ar^4\), so \(625=a\cdot5^4\) and (a=1). In exams, divide the fifth term by \(r^4\).
पहला पद (243) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए सही नियम (243\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (243) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is (243\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
\(96=3r^5\) से \(r^5=32=2^5\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में छठे पद के लिए \(r^5\) लगता है। / From \(96=3r^5\), \(r^5=32=2^5\), so (r=2). In exams, \(r^5\) is used for the sixth term.
\(5\cdot4^{n-1}=5120\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(5\cdot4^{n-1}=5120\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find (n).
(a_6=160\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)5=5) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / (a_6=160\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)5=5). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
A. सही क्योंकि \(S_5=363\)/True because \(S_5=363\)
Explanation
Simple Explanation
(S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363) है, इसलिए कथन सही है। परीक्षा में कथन की जाँच सूत्र से करें। / (S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363), so the statement is true. In exams, verify the statement using the formula.
\(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\) है। परीक्षा में (r>1) के लिए \(\frac{r^n-1}{r-1}\) रूप उपयोगी है। / \(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\). In exams, the form \(\frac{r^n-1}{r-1}\) is useful for (r>1).
\(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
\(a_6=a\cdot3^5\), इसलिए \(a=972\div243=4\) है। परीक्षा में छठे पद से \(r^5\) भाग दें। / \(a_6=a\cdot3^5\), so \(a=972\div243=4\). In exams, divide the sixth term by \(r^5\).
पद-संख्या का अंतर (4) है और (r=3), इसलिए अनुपात \(3^4=81\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (4) and (r=3), so the ratio is \(3^4=81\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
यहाँ (a=9) और (r=2) है, इसलिए (S_8=9\(2^8-1\)=2295) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=9) and (r=2), so (S_8=9\(2^8-1\)=2295). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
\(3\cdot5^{n-1}=9375\) से \(5^{n-1}=3125=5^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(3\cdot5^{n-1}=9375\), \(5^{n-1}=3125=5^5\), so (n=6). In exams, compare powers to find the term number.
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), so (r=3). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
\(384=6r^6\) से \(r^6=64=2^6\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में सातवें पद के लिए \(r^6\) लगाएँ। / From \(384=6r^6\), \(r^6=64=2^6\), so (r=2). In exams, use \(r^6\) for the seventh term.
(S_7=\frac{6\(3^7-1\)}{3-1}=6558) है। परीक्षा में पहले \(3^7\) का मान निकालें। / (S_7=\frac{6\(3^7-1\)}{3-1}=6558). In exams, first calculate the value of \(3^7\).
\(\frac{6250}{50}=125=r^3\) से (r=5) और \(a_1=\frac{50}{5^2}=2\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{6250}{50}=125=r^3\), so (r=5) and \(a_1=\frac{50}{5^2}=2\). In exams, find (r) first and then the first term.
पाँचवाँ पद \(x\cdot5^4=625x=3125\) है, इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot5^4=625x=3125\), so (x=5). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(4\cdot4^{n-1}=4096\) से \(4^n=4096=4^6\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(4\cdot4^{n-1}=4096\) gives \(4^n=4096=4^6\), so (n=6). In exams, equate the last term to the general term.
योग (7+21+63+189=280) है। परीक्षा में छोटे (n) के लिए सीधे जोड़ना भी तेज होता है। / The sum is (7+21+63+189=280). In exams, direct addition is also fast for small (n).
\(2\cdot4^{n-1}=8192\) से \(4^{n-1}=4096=4^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(2\cdot4^{n-1}=8192\), \(4^{n-1}=4096=4^6\), so (n=7). In exams, equate powers to find the term number.
(a_8=9(-2)7=-1152) है। परीक्षा में ऋणात्मक अनुपात की विषम घात ऋणात्मक होती है। / (a_8=9(-2)7=-1152). In exams, an odd power of a negative ratio is negative.
पहले चार पदों का योग (5+30+180+1080=1295) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (5+30+180+1080=1295). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
चौथे से नौवें पद तक (5) कदम हैं, इसलिए \(a_9=162\cdot3^5=39366\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (5) steps from the fourth to the ninth term, so \(a_9=162\cdot3^5=39366\). In exams, count the position gap.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (486,162,54,18,6,2) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (486,162,54,18,6,2). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
A. सही क्योंकि \(S_4=680\)/True because \(S_4=680\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=\frac{8\(4^4-1\)}{4-1}=680) है। परीक्षा में कथन-प्रकार प्रश्न में सूत्र से पुष्टि करें। / (S_4=\frac{8\(4^4-1\)}{4-1}=680). In exams, confirm statement-type questions with the formula.
\(a_5=768\) और \(a_6=3072\), इसलिए योग (3840) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=768\) and \(a_6=3072\), so the sum is (3840). In exams, find both terms separately and add.
\(405\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=5\) से \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), इसलिए (n=5) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(405\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=5\), \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), so (n=5). In exams, simplify fractions first.
\(\frac{1280}{80}=16=r^4\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर (4) होने पर \(r^4\) मिलेगा। / \(\frac{1280}{80}=16=r^4\), so (r=2). In exams, a position gap of (4) gives \(r^4\).
पद \(96,48,24,12,6,3\) हैं और योग (189) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are \(96,48,24,12,6,3\), and their sum is \(189\). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
\(\frac{2500}{20}=125=r^3\) से (r=5) और \(a_1=20\div5=4\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{2500}{20}=125=r^3\), (r=5) and \(a_1=20\div5=4\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
\(a_4=750\) और \(a_5=3750\), इसलिए योग (4500) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=750\) and \(a_5=3750\), so the sum is (4500). In exams, find both terms separately and add.
\(15\cdot2^{n-1}=3840\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(15\cdot2^{n-1}=3840\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, factor first and compare powers.
\(270=10r^3\) से \(r^3=27\) और (r=3), इसलिए \(a_5=270\cdot3=810\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(270=10r^3\), \(r^3=27\) and (r=3), so \(a_5=270\cdot3=810\). In exams, find the ratio first.
\(1280=10r^7\) से \(r^7=128=2^7\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में आठवें पद के लिए \(r^7\) पहचानें। / From \(1280=10r^7\), \(r^7=128=2^7\), so (r=2). In exams, identify \(r^7\) for the eighth term.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{40}{81}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{40}{81}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
\(a_4=4\cdot6^3=864\) और \(a_5=5184\), इसलिए योग (6048) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_4=4\cdot6^3=864\) and \(a_5=5184\), so the sum is (6048). In exams, calculate large powers separately.
(S_n=\frac{5\(3^n-1\)}{3-1}) और (\frac{5\(3^n-1\)}{2}=1820) से \(3^n=729\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{5\(3^n-1\)}{3-1}), and (\frac{5\(3^n-1\)}{2}=1820) gives \(3^n=729\), so (n=6). In exams, simplify the sum and identify the power.
