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कोष्ठक खोलने पर \(8(2x-1)=16x-8\) और \(-3(5x+4)=-15x-12\) मिलता है। अतः \(16x-8-15x-12=x-20\)। इसलिए सही रेखीय बहुपद \(x-20\) है। \(16x-12\) में दूसरे कोष्ठक पर \(-3\) का वितरण सही ढंग से नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न वाले गुणनखंड को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / On opening the brackets, \(8(2x-1)=16x-8\) and \(-3(5x+4)=-15x-12\). Therefore, \(16x-8-15x-12=x-20\). Hence, the required linear polynomial is \(x-20\). The option \(16x-12\) results from not distributing \(-3\) correctly to both terms in the second bracket. Exam tip: When a negative factor precedes a bracket, multiply every term inside by it.
A. इसका ठीक एक वास्तविक शून्यक होता है/It has exactly one real zero.
Explanation
Simple Explanation
\(a\neq0\) होने पर \(ax+b=0\) से \(x=-b/a\) मिलता है। यह केवल एक मान है, इसलिए रेखीय बहुपद का ठीक एक वास्तविक शून्यक होता है। परीक्षा में \(a\neq0\) की शर्त जाँचें। / Since \(a\neq0\), solving \(ax+b=0\) gives \(x=-b/a\). This is only one value, so a linear polynomial has exactly one real zero. Exam tip: always check that \(a\neq0\).
A. स्थिर पद का चिन्ह गलत लिया गया है; सही शून्यक \(-5\) है।/The sign of the constant term has been handled incorrectly; the correct zero is \(-5\).
Explanation
Simple Explanation
शून्यक के लिए \(p(x)=0\) रखते हैं: \(3x+15=0\Rightarrow3x=-15\Rightarrow x=-5\)। विद्यार्थी ने भाग करने के बाद ऋण चिह्न छोड़ दिया। परीक्षा में उत्तर को बहुपद में रखकर जाँचें। / For a zero, set \(p(x)=0\): \(3x+15=0\Rightarrow3x=-15\Rightarrow x=-5\). The student dropped the negative sign after division. Exam tip: substitute the value back to verify that the polynomial becomes zero.
यहाँ 2p(x)=2(8x-5)=16x-10 और 5q(x)=5(3x+11)=15x+55 है। अतः 2p(x)-5q(x)=(16x-10)-(15x+55)=16x-10-15x-55=x-65। विकल्प x+45 में q(x) के स्थिर पद 11 के साथ ऋण चिह्न का सही प्रयोग नहीं हुआ है। परीक्षा टिप: कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न होने पर भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / Here, 2p(x)=2(8x-5)=16x-10 and 5q(x)=5(3x+11)=15x+55. Therefore, 2p(x)-5q(x)=(16x-10)-(15x+55)=16x-10-15x-55=x-65. The option x+45 results from not applying the negative sign correctly to the constant term of q(x). Exam tip: When subtracting a bracket, change the sign of every term inside it.
यदि \(x=-2\), बहुपद \((4a-5)x+30\) का शून्यक है, तो इसका मान शून्य होगा: \((4a-5)(-2)+30=0\)। अतः \(-8a+10+30=0\), यानी \(-8a+40=0\), जिससे \(a=5\) प्राप्त होता है। \(a=\frac{5}{4}\) रखने पर \(x\) का गुणांक शून्य हो जाता है और व्यंजक \(30\) बनता है, इसलिए वह शून्यक नहीं दे सकता। परीक्षा टिप: दिए गए शून्यक को \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद को शून्य के बराबर करें। / If \(x=-2\) is a zero of \((4a-5)x+30\), the polynomial must equal zero at \(x=-2\): \((4a-5)(-2)+30=0\). Thus, \(-8a+10+30=0\), or \(-8a+40=0\), giving \(a=5\). For \(a=\frac{5}{4}\), the coefficient of \(x\) becomes zero and the expression is \(30\), so it cannot have a zero. Exam tip: substitute the given zero for \(x\) and equate the polynomial to zero.
शून्यक 7 होने का अर्थ है कि p(7)=0। अतः 7a+b=0। a=-4 रखने पर 7(-4)+b=0, यानी -28+b=0। इसलिए b=28। निकटतम भ्रम विकल्प -28 है, जो 7a का मान है, b का नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद ax+b के शून्यक r के लिए ar+b=0 लिखकर अज्ञात गुणांक ज्ञात करें। / Since 7 is a zero, p(7)=0. Therefore, 7a+b=0. Substituting a=-4 gives 7(-4)+b=0, or -28+b=0. Hence, b=28. The close distractor -28 is the value of 7a, not of b. Exam tip: if r is a zero of the linear polynomial ax+b, use ar+b=0 to find an unknown coefficient.
B. \(c\) का प्रत्येक वास्तविक मान/Every real value of \(c\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(4)=44+c\) और \(p(1)=11+c\) है। अतः \(p(1)+33=11+c+33=44+c=p(4)\)। यहाँ \(c\) दोनों पक्षों में समान रूप से आता है, इसलिए यह किसी भी वास्तविक मान के लिए कट जाता है। इसलिए सही विकल्प \(c\) का प्रत्येक वास्तविक मान है। \(c=0\) या \(c=33\) केवल विशेष मान हैं, आवश्यक शर्त नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों दिए गए फलन-मान निकालकर स्थिर पद को सरल करें। / \(p(4)=44+c\) and \(p(1)=11+c\). Hence, \(p(1)+33=11+c+33=44+c=p(4)\). The term \(c\) occurs equally on both sides, so it cancels for every real value of \(c\). Therefore, every real value of \(c\) is valid. \(c=0\) and \(c=33\) are only particular values, not necessary conditions. Exam tip: Evaluate the polynomial at the given inputs first, then simplify the constant terms.
(13x+9=0) से \(x=-\frac{9}{13}\) मिलता है। भिन्न शून्यक में चिन्ह और हर ध्यान रखें। / From (13x+9=0), we get \(x=-\frac{9}{13}\). Pay attention to the sign and denominator in fractional zeros.
\(\frac{8}{15}x-16=0\) से \(\frac{8}{15}x=16\) और (x=30) मिलता है। भिन्न गुणांक में उलटा गुणा करें। / From \(\frac{8}{15}x-16=0\), \(\frac{8}{15}x=16\) and (x=30). With a fractional coefficient, multiply by the reciprocal.
यहाँ p(x) और q(x) दोनों रैखिक बहुपद हैं, जिनकी डिग्री 1 है। उनका गुणनफल (x-10)(x+3)=x²-7x-30 है। इसमें x का उच्चतम घातांक 2 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 2 है। विकल्प 1 गलत है, क्योंकि वह प्रत्येक अलग-अलग बहुपद की डिग्री है, उनके गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: शून्येतर बहुपदों के गुणनफल की डिग्री सामान्यतः उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both p(x) and q(x) are linear polynomials, so each has degree 1. Their product is (x-10)(x+3)=x²-7x-30. The highest power of x is 2, so the degree of the product is 2. Option 1 is incorrect because it is the degree of each individual polynomial, not of their product. Exam tip: For non-zero polynomials, the degree of a product is usually the sum of their degrees.
दिया है \(p(x)=9x-17\)। \(p(x+3)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर पूरा \(x+3\) रखेंगे: \(p(x+3)=9(x+3)-17=9x+27-17=9x+10\)। इसलिए सही उत्तर \(9x+10\) है। \(9x+27\) में \(-17\) को घटाना भूल गया है। परीक्षा टिप: फलन में प्रतिस्थापन करते समय दिए गए पूरे व्यंजक को कोष्ठक में रखें। / Given \(p(x)=9x-17\), replace the entire \(x\) with \(x+3\): \(p(x+3)=9(x+3)-17=9x+27-17=9x+10\). Hence, \(9x+10\) is correct. \(9x+27\) results from forgetting to subtract 17. Exam tip: always put the substituted expression in brackets when evaluating a function.
दिया है \(p(x)=19-7x\)। \(p(2x)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर पूरा \(2x\) रखेंगे: \(p(2x)=19-7(2x)=19-14x\)। इसलिए सही विकल्प B है। \(38-14x\) तब मिलता यदि स्थिर पद 19 को भी दोगुना कर दिया जाता, जो प्रतिस्थापन में नहीं होता। परीक्षा टिप: फलन में \(p(2x)\) होने पर केवल इनपुट \(x\) को \(2x\) से बदलें। / Given \(p(x)=19-7x\), replace the input \(x\) by the entire expression \(2x\): \(p(2x)=19-7(2x)=19-14x\). Hence, option B is correct. \(38-14x\) would result from incorrectly doubling the constant term 19 as well; substitution changes only the input. Exam tip: In \(p(2x)\), replace every \(x\) in the rule by \(2x\).
बहुपद के गुणांक अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ भी हो सकते हैं। विकल्प A में \(x\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। B और D बहुपद नहीं हैं, जबकि C की डिग्री 2 है। परीक्षा टिप: घात जाँचें, गुणांक नहीं। / A polynomial may have irrational real coefficients. In option A, the highest power of \(x\) is 1, so its degree is 1. B and D are not polynomials, while C has degree 2. Exam tip: check exponents, not coefficients.
दिया है कि p(7)=p(-1)। अतः 7k-14=-k-14, जिससे 8k=0 और k=0 प्राप्त होता है। तब p(x)=-14 एक अचर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं, क्योंकि रेखीय बहुपद में x का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए दी गई शर्त के साथ p(x) कभी रेखीय नहीं रहेगा। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद ax+b में a≠0 होना अनिवार्य है। / Given p(7)=p(-1), we get 7k-14=-k-14. Thus, 8k=0 and k=0. Then p(x)=-14 is a constant polynomial, not a linear polynomial, because the coefficient of x must be non-zero for a linear polynomial. Therefore, under the given condition, p(x) can never remain linear. Exam tip: In a linear polynomial ax+b, a must satisfy a≠0.
पहले व्यंजक को सरल करें: (q(x)-2p(x))=(15x-6)-2(7x+2)=15x-6-14x-4=x-10। इसमें x का उच्चतम घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। स्थिर बहुपद की डिग्री 0 होती, पर यहाँ x का गुणांक 1 है, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपदों के योग या अंतर में पहले समान पदों को मिलाएँ; अग्रणी पद रद्द हो सकता है। / First simplify the expression: (q(x)-2p(x))=(15x-6)-2(7x+2)=15x-6-14x-4=x-10. The highest power of x is 1, so its degree is 1. A constant polynomial would have degree 0, but here the coefficient of x is 1, not zero. Exam tip: When adding or subtracting linear polynomials, combine like terms first because leading terms may cancel.
\(11x-29=0\) से \(x=\frac{29}{11}\) मिलता है। शून्यक के लिए बहुपद को (0) के बराबर रखें। / From \(11x-29=0\), we get \(x=\frac{29}{11}\). Set the polynomial equal to (0) to find the zero.
दिया है \(p(x)=12x-25\)। अतः \(p(x+1)=12(x+1)-25=12x-13\)। इसलिए \(p(x+1)-p(x)=(12x-13)-(12x-25)=12\)। विकल्प \(12x\) केवल रैखिक पद है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के लिए \(p(x+1)-p(x)=a\) होता है। / Given \(p(x)=12x-25\), \(p(x+1)=12(x+1)-25=12x-13\). Therefore, \(p(x+1)-p(x)=(12x-13)-(12x-25)=12\). The option \(12x\) is the linear term, not the difference. Exam tip: for a linear polynomial \(ax+b\), \(p(x+1)-p(x)=a\).
शून्यक \(-\frac{21}{\lambda}\) है। \(-\frac{21}{\lambda}>-7\) और \(\lambda>0\) से \(\lambda>3\) मिलता है। / The zero is \(-\frac{21}{\lambda}\). From \(-\frac{21}{\lambda}>-7\) and \(\lambda>0\), we get \(\lambda>3\).
A. यह \(x\)-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर काटता है/It intersects the \(x\)-axis at exactly one point.
Explanation
Simple Explanation
\(a\ne0\) होने पर \(p(x)=ax+b\) का आलेख एक असमानांतर सीधी रेखा है। यह \(x\)-अक्ष को \(x=-\frac{b}{a}\) पर केवल एक बार काटता है। परीक्षा टिप: शून्यक आलेख का \(x\)-अवरोध होता है। / Since \(a\ne0\), the graph of \(p(x)=ax+b\) is a non-horizontal straight line. It meets the \(x\)-axis once, at \(x=-\frac{b}{a}\). Exam tip: a zero is the graph’s \(x\)-intercept.
\(p(x)+q(x)=(x+5r)+(x-8r)\) है। समान पदों को मिलाने पर \(x+x=2x\) तथा \(5r-8r=-3r\) मिलता है। इसलिए योग \(2x-3r\) है। \(2x+13r\) में \(-8r\) के ऋण चिह्न को गलत तरीके से जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: बहुपद जोड़ते समय कोष्ठक हटाने के बाद प्रत्येक पद का चिह्न अवश्य जाँचें। / \(p(x)+q(x)=(x+5r)+(x-8r)\). Combining like terms gives \(x+x=2x\) and \(5r-8r=-3r\). Therefore, the sum is \(2x-3r\). The option \(2x+13r\) results from incorrectly ignoring the negative sign before \(8r\). Exam tip: When adding polynomials, remove brackets carefully and check the sign of every term.
दिया है: \(p(x)-q(x)=(x+5r)-(x-8r)=x+5r-x+8r=13r\)। \(x\) वाले पद कट जाते हैं, इसलिए परिणाम में \(x\) की कोई घात नहीं बचती। अतः \(x\) के सापेक्ष \(13r\) एक नियतांक बहुपद है। रेखीय बहुपद में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने से पहले समान चर वाले पदों को सरल करके उसकी सबसे बड़ी घात देखें। / We get \(p(x)-q(x)=(x+5r)-(x-8r)=x+5r-x+8r=13r\). The \(x\)-terms cancel, so no power of \(x\) remains. Hence, with respect to \(x\), \(13r\) is a constant polynomial. A linear polynomial must have a non-zero coefficient of \(x\). Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest power of the variable.
पहले आंतरिक फलन का मान निकालते हैं: \(p(3)=10\times3-29=1\)। अब \(p(p(3))=p(1)=10\times1-29=-19\) होगा। इसलिए सही उत्तर \(-19\) है। विकल्प 1 केवल \(p(3)\) का मान है, जबकि प्रश्न में इस मान पर फिर से \(p\) लगाने को कहा गया है। परीक्षा टिप: \(p(p(a))\) में हमेशा भीतर वाले \(p(a)\) को पहले हल करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=10\times3-29=1\). Then \(p(p(3))=p(1)=10\times1-29=-19\). Therefore, the correct answer is \(-19\). Option 1 is only the value of \(p(3)\); the question requires applying \(p\) once again to that result. Exam tip: In \(p(p(a))\), always evaluate the inner \(p(a)\) first.
पहले आंतरिक फलन का मान निकालें: p(0)=6(0)+5=5। अब p(5)=6(5)+5=35। अतः p(p(0))=35। विकल्प 30 केवल 6×5 लेने पर मिलता है, लेकिन स्थिर पद 5 भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे भीतर वाले इनपुट से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: p(0)=6(0)+5=5. Then p(5)=6(5)+5=35. Therefore, p(p(0))=35. Option 30 results from calculating only 6×5 and forgetting to add the constant term 5. Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost input first.
यदि \(x=1\) बहुपद \((n+6)x+4n-3\) का शून्यक है, तो \(x=1\) रखने पर इसका मान 0 होना चाहिए। अतः \((n+6)(1)+4n-3=0\), यानी \(5n+3=0\)। इसलिए \(n=-\frac{3}{5}\) होगा। \(n=-1\) रखने पर बहुपद का मान \(-2\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान सदैव 0 करें। / If \(x=1\) is a zero of \((n+6)x+4n-3\), substituting \(x=1\) must make the polynomial equal to 0. Thus, \((n+6)(1)+4n-3=0\), or \(5n+3=0\). Hence, \(n=-\frac{3}{5}\). For example, \(n=-1\) gives the value \(-2\), not 0, so it is incorrect. Exam tip: substitute the given zero into the polynomial and equate the result to 0.
दिया है \(p(x)=\frac{x}{8}+a\)। अतः \(x=24\) रखने पर \(p(24)=\frac{24}{8}+a=3+a\) होगा। क्योंकि \(p(24)=17\), इसलिए \(3+a=17\), जिससे \(a=14\) प्राप्त होता है। विकल्प 17, \(p(24)\) का दिया हुआ मान है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का मान दिया हो तो पहले दिए गए \(x\) को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=\frac{x}{8}+a\), substitute \(x=24\): \(p(24)=\frac{24}{8}+a=3+a\). Since \(p(24)=17\), we get \(3+a=17\), so \(a=14\). Option 17 is the given value of \(p(24)\), not the value of \(a\). Exam tip: When a polynomial value is given, first substitute the specified value of \(x\) into the expression.
पहले दोनों बहुपदों को जोड़ें: \(p(x)+q(x)=7x+a+4x-12=11x+a-12\)। शून्यक 2 है, इसलिए \(x=2\) रखने पर \(22+a-12=0\) मिलता है। अतः \(a+10=0\), इसलिए \(a=-10\)। विकल्प 0 लेने पर बहुपद का मान \(x=2\) पर 10 होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक दिया हो तो उस मान को बहुपद में रखकर उसे 0 के बराबर करें। / First add the polynomials: \(p(x)+q(x)=7x+a+4x-12=11x+a-12\). Since 2 is a zero, put \(x=2\): \(22+a-12=0\). Thus \(a+10=0\), so \(a=-10\). If \(a=0\), the value of the polynomial at \(x=2\) would be 10, not zero. Exam tip: when a zero is given, substitute that value in the polynomial and set the result equal to 0.
यदि \(-4\), बहुपद \(p(x)=(c-7)x+8c\) का शून्यक है, तो \(p(-4)=0\) होगा। अतः \(-4(c-7)+8c=0\)। सरल करने पर \(-4c+28+8c=0\), अर्थात \(4c+28=0\), जिससे \(c=-7\) प्राप्त होता है। \(c=7\) रखने पर बहुपद का स्थिर पद \(56\) होगा, इसलिए \(-4\) शून्यक नहीं बनता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) के लिए हमेशा \(p(a)=0\) रखें। / If \(-4\) is a zero of \(p(x)=(c-7)x+8c\), then \(p(-4)=0\). Thus, \(-4(c-7)+8c=0\). On simplifying, \(-4c+28+8c=0\), so \(4c+28=0\), which gives \(c=-7\). For \(c=7\), the constant term is \(56\), so \(-4\) cannot be a zero. Exam tip: for a given zero \(a\), always substitute it and use \(p(a)=0\).
यदि \(-6\), \(p(x)\) का शून्यक है, तो \(p(-6)=0\) होना चाहिए। परंतु \(p(-6)=(c-3)(-6)+6c=-6c+18+6c=18\) मिलता है, जो कभी \(0\) नहीं हो सकता। अतः \(c\) का कोई भी मान \(-6\) को इस बहुपद का शून्यक नहीं बनाता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) की जाँच के लिए सीधे \(p(a)=0\) रखें। / If \(-6\) is a zero of \(p(x)\), then \(p(-6)=0\) must hold. However, \(p(-6)=(c-3)(-6)+6c=-6c+18+6c=18\), which can never be \(0\). Hence, no value of \(c\) makes \(-6\) a zero of this polynomial. Exam tip: To test a given zero \(a\), substitute it directly and check whether \(p(a)=0\).
दिया है \(p(x)=rx-12\) तथा \(p(6)=30\)। अतः \(6r-12=30\), इसलिए \(6r=42\) और \(r=7\)। अब \(p(-2)=7(-2)-12=-14-12=-26\)। इसलिए सही विकल्प \(-26\) है। \(-14\) केवल \(7(-2)\) का मान है; उसमें स्थिर पद \(-12\) जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान वाली शर्त से अज्ञात गुणांक ज्ञात करें, फिर अपेक्षित मान रखें। / Given \(p(x)=rx-12\) and \(p(6)=30\), we have \(6r-12=30\). Thus, \(6r=42\) and \(r=7\). Now, \(p(-2)=7(-2)-12=-14-12=-26\). Hence, \(-26\) is the correct answer. \(-14\) is only the value of \(7(-2)\); the constant term \(-12\) must also be included. Exam tip: First use the given function value to find the unknown coefficient, then substitute the required input.
दिया है \(p(x)=ax+15\)। अतः \(p(2)=2a+15\) और \(p(8)=8a+15\) होंगे। शर्त \(p(2)=p(8)-30\) में रखने पर \(2a+15=8a+15-30\), अर्थात \(2a+15=8a-15\) मिलता है। इसलिए \(6a=30\) और \(a=5\) है। \(a=6\) लेने पर समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद के दिए गए मानों को पहले अलग-अलग लिखकर फिर शर्त में प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=ax+15\), we have \(p(2)=2a+15\) and \(p(8)=8a+15\). Substituting these into \(p(2)=p(8)-30\) gives \(2a+15=8a+15-30\), or \(2a+15=8a-15\). Hence, \(6a=30\), so \(a=5\). For example, \(a=6\) does not satisfy the condition. Exam tip: Write the required polynomial values separately before substituting them into the given relation.
दिया है कि \(p(x)=7x-30\)। इसलिए \(p(a)=7a-30\) होगा। शर्त \(p(a)=a\) लगाने पर \(7a-30=a\), अतः \(6a=30\) और \(a=5\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(a=6\) लेने पर \(p(6)=12\) आता है, जो 6 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(p(a)=a\) में पहले \(x\) के स्थान पर \(a\) रखकर फिर दोनों पक्षों को बराबर करें। / Given \(p(x)=7x-30\), we have \(p(a)=7a-30\). Using the condition \(p(a)=a\), \(7a-30=a\). Hence, \(6a=30\), so \(a=5\). Therefore, option B is correct. For example, if \(a=6\), then \(p(6)=12\), not 6. Exam tip: In a condition such as \(p(a)=a\), first substitute \(a\) for \(x\), then solve the resulting equation.
दिया है \(p(x)=mx+n\)। \(x=0\) रखने पर \(p(0)=n=-8\) मिलता है। अब \(p(5)=27\) से \(5m-8=27\), अतः \(5m=35\) और \(m=7\)। इसलिए \(m+n=7+(-8)=-1\)। विकल्प \(7\) केवल \(m\) का मान है, \(m+n\) का नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में \(p(0)\) हमेशा अचर पद \(n\) देता है। / Given \(p(x)=mx+n\). Substituting \(x=0\) gives \(p(0)=n=-8\). Next, \(p(5)=27\) gives \(5m-8=27\), so \(5m=35\) and \(m=7\). Therefore, \(m+n=7+(-8)=-1\). The option \(7\) is only the value of \(m\), not of \(m+n\). Exam tip: for a linear polynomial, \(p(0)\) directly gives the constant term \(n\).
दिए गए मानों का अंतर लें: \(p(2)-p(-4)=27-3=24\)। रैखिक बहुपद \(p(x)=mx+n\) में \(p(2)-p(-4)=m[2-(-4)]=6m\) होगा। अतः \(6m=24\), इसलिए \(m=4\)। \(24\) मानों का अंतर है, \(m\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: दो बिंदुओं पर रैखिक बहुपद के मान दिए हों, तो उनके अंतर को \(x\)-मानों के अंतर से भाग देकर \(m\) ज्ञात करें। / Take the difference of the given values: \(p(2)-p(-4)=27-3=24\). For the linear polynomial \(p(x)=mx+n\), \(p(2)-p(-4)=m[2-(-4)]=6m\). Hence, \(6m=24\), so \(m=4\). The value \(24\) is the difference of the function values, not the value of \(m\). Exam tip: when values of a linear polynomial at two points are given, divide the difference in polynomial values by the difference in the corresponding \(x\)-values to find \(m\).
विकल्प D में \(p(x)=x-9\) है। \(x=9\) रखने पर \(p(9)=9-9=0\) मिलता है। इसकी घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। विकल्प C में भी \(p(9)=0\) मिलता है, लेकिन उसकी घात 2 है; इसलिए वह रेखीय नहीं, द्विघात बहुपद है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद की घात हमेशा 1 होती है। / In option D, \(p(x)=x-9\). On substituting \(x=9\), we get \(p(9)=9-9=0\). Its degree is 1, so it is a linear polynomial. Option C also gives \(p(9)=0\), but its degree is 2, so it is quadratic rather than linear. Exam tip: a linear polynomial always has degree 1.
दिया है \(p(x)=8x-15\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=8(-x)-15=-8x-15\) मिलता है। अतः \(p(x)+p(-x)=(8x-15)+(-8x-15)=-30\)। \(0\) विकल्प गलत है, क्योंकि केवल \(x\) वाले पद कटते हैं; स्थिर पद \(-15\) और \(-15\) मिलकर \(-30\) देते हैं। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) निकालते समय \(x\) के हर स्थान पर कोष्ठक सहित \(-x\) रखें। / Given \(p(x)=8x-15\). Substituting \(-x\) for \(x\), \(p(-x)=8(-x)-15=-8x-15\). Therefore, \(p(x)+p(-x)=(8x-15)+(-8x-15)=-30\). Option \(0\) is incorrect because only the terms containing \(x\) cancel; the constant terms \(-15\) and \(-15\) add to \(-30\). Exam tip: while finding \(p(-x)\), replace every \(x\) with \((-x)\) using brackets.
दिया है \(p(x)=8x-15\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=8(-x)-15=-8x-15\) मिलता है। अतः \(p(x)-p(-x)=(8x-15)-(-8x-15)=16x\)। इसलिए सही उत्तर \(16x\) है। \(-30\) केवल स्थिर पदों से गलत ढंग से गणना करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) निकालते समय \(x\) वाले प्रत्येक पद में \(x\) को \(-x\) से बदलें। / Given \(p(x)=8x-15\). Replacing \(x\) with \(-x\) gives \(p(-x)=8(-x)-15=-8x-15\). Therefore, \(p(x)-p(-x)=(8x-15)-(-8x-15)=16x\). Hence, \(16x\) is correct. \(-30\) may result from incorrectly handling only the constant terms. Exam tip: while finding \(p(-x)\), replace \(x\) by \(-x\) in every term containing \(x\).
शून्यक (0) होने के लिए नियतांक पद (6s=0) होना चाहिए। (s=0) पर (x) का गुणांक (9) है इसलिए बहुपद रेखीय है। / For the zero to be (0), the constant term (6s=0). At (s=0), the coefficient of (x) is (9), so the polynomial is linear.
दिए गए बहुपदों को जोड़ने पर (p(x)+q(x))=(7x+a)+(9x-a)=16x प्राप्त होता है। यहाँ a वाले पद कट जाते हैं, इसलिए योग बहुपद a पर निर्भर नहीं करता। 16x का केवल शून्यक 0 है; x=2 रखने पर मान 32 आता है, शून्य नहीं। अतः a का कोई भी मान होने पर 2 इसका शून्यक नहीं बन सकता। परीक्षा टिप: शून्यक जाँचने के लिए दिए गए x का मान बहुपद में रखकर परिणाम 0 होना चाहिए। / Adding the given polynomials gives (p(x)+q(x))=(7x+a)+(9x-a)=16x. The terms containing a cancel, so the sum does not depend on a. The only zero of 16x is 0; at x=2, its value is 32, not 0. Therefore, no value of a can make 2 a zero of the sum. Exam tip: To check a zero, substitute the given x-value and verify that the polynomial becomes 0.
\(q(x)-p(x)=(9x-a)-(7x+a)\) है। दूसरे कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न होने पर उसके भीतर के सभी पदों के चिह्न बदलते हैं: \(9x-a-7x-a=2x-2a\)। इसलिए सही उत्तर \(2x-2a\) है। \(2x\) विकल्प में स्थिर पदों \(-a-a\) को छोड़ दिया गया है। परीक्षा टिप: बहुपदों को घटाते समय दूसरे बहुपद को कोष्ठक में रखकर प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / \(q(x)-p(x)=(9x-a)-(7x+a)\). Since a minus sign precedes the second bracket, the signs of all its terms change: \(9x-a-7x-a=2x-2a\). Therefore, the correct answer is \(2x-2a\). The option \(2x\) incorrectly omits the constant terms \(-a-a\). Exam tip: while subtracting polynomials, keep the second polynomial in brackets and change the sign of every term.
((6x-1)(x+8)) में उच्चतम पद \(6x^2\) है। इसलिए गुणनफल की डिग्री (2) है और यह रेखीय नहीं है। / In ((6x-1)(x+8)), the highest term is \(6x^2\). So the product has degree (2) and is not linear.
पहले, \(p(0)=a\cdot0+7=7\)। अतः \(p(p(0))=p(7)=7a+7\)। दिया है कि \(7a+7=63\), इसलिए \(7a=56\) और \(a=8\)। विकल्प 7 केवल \(p(0)\) का मान है, \(a\) का नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में पहले भीतर वाले फलन का मान निकालें। / First, \(p(0)=a\cdot0+7=7\). Therefore, \(p(p(0))=p(7)=7a+7\). Given \(7a+7=63\), we get \(7a=56\), so \(a=8\). Option 7 is the value of \(p(0)\), not the value of \(a\). Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first.
दिया है \(p(x)=x+a\)। अतः \(p(5)=5+a\) होगा। अब \(p(p(5))=p(5+a)=(5+a)+a=5+2a\)। इसलिए \(5+2a=19\), जिससे \(2a=14\) और \(a=7\) मिलता है। अतः विकल्प C सही है। \(14\) केवल \(2a\) का मान है, \(a\) का नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में पहले अंदर वाले फलन का मान निकालकर उसे बाहरी फलन में रखें। / Given \(p(x)=x+a\), we have \(p(5)=5+a\). Therefore, \(p(p(5))=p(5+a)=(5+a)+a=5+2a\). Hence \(5+2a=19\), so \(2a=14\) and \(a=7\). Thus, option C is correct. \(14\) is the value of \(2a\), not of \(a\). Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first and substitute its result into the outer function.
दिया है \(p(-5)=p(3)\)। अतः \(-5m+n=3m+n\), जिससे \(-8m=0\) और इसलिए \(m=0\) मिलता है। तब \(p(x)=n\), जो एक अचर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। विकल्प A दी गई समानता को तो संतुष्ट करता है, पर \(m=0\) होने के कारण बहुपद की घात 1 नहीं रहती। परीक्षा टिप: \(mx+n\) को रेखीय होने के लिए \(m\ne0\) होना आवश्यक है। / Given \(p(-5)=p(3)\), we get \(-5m+n=3m+n\). Thus \(-8m=0\), so \(m=0\). Then \(p(x)=n\), which is a constant polynomial, not a linear polynomial. Option A satisfies the given equality, but it makes the coefficient of \(x\) zero, so the degree is not 1. Exam tip: For \(mx+n\) to be linear, \(m\ne0\) is necessary.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(q(x)=\frac{5}{2}-\frac{x}{3}\) रैखिक बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें भिन्न हैं। विद्यार्थी की त्रुटि का सही विश्लेषण कौन-सा है?
A. यह रैखिक बहुपद है; \(x\) की उच्चतम घात 1 है और परिमेय गुणांक मान्य हैं।/It is a linear polynomial; the highest power of \(x\) is 1, and rational coefficients are allowed.
Explanation
Simple Explanation
\(q(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\) के रूप में \(x\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। गुणांक भिन्न हो सकते हैं; केवल घात देखकर डिग्री तय करें। परीक्षा टिप: हर को घात न मानें। / Writing \(q(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\), the highest power of \(x\) is 1, so it is linear. Fractions are valid coefficients; denominators do not decide degree. Exam tip: check powers of variables only.
दिया है
\(p(x)=13x-7\)। अतः \(p(x+2)=13(x+2)-7=13x+19\) और \(p(x-1)=13(x-1)-7=13x-20\)। इसलिए \(p(x+2)-p(x-1)=(13x+19)-(13x-20)=39\)। विकल्प 26 केवल दो इकाइयों के अंतर के लिए होता; यहाँ इनपुटों \(x+2\) और \(x-1\) का अंतर 3 है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के लिए \(p(u)-p(v)=a(u-v)\) का उपयोग करें। / Given \(p(x)=13x-7\), we get \(p(x+2)=13(x+2)-7=13x+19\) and \(p(x-1)=13(x-1)-7=13x-20\). Hence, \(p(x+2)-p(x-1)=(13x+19)-(13x-20)=39\). The value 26 would correspond to an input difference of 2, whereas \(x+2\) and \(x-1\) differ by 3. Exam tip: for a linear polynomial \(p(x)=ax+b\), use \(p(u)-p(v)=a(u-v)\).
पहले अंदर वाले फलन का मान निकालते हैं: p(3)=11×3-32=1। अब इस मान को फिर p में रखने पर p(p(3))=p(1)=11×1-32=-21 मिलता है। विकल्प 1 केवल p(3) का मान है, p(p(3)) का नहीं। परीक्षा में संयुक्त फलन में हमेशा अंदर से बाहर की ओर मान निकालें। / First evaluate the inner function: p(3)=11×3-32=1. Now substitute this value into p again: p(p(3))=p(1)=11×1-32=-21. Option 1 is only the value of p(3), not of p(p(3)). In exams, evaluate a composite function from inside to outside.
पहले, \(p(0)=15(0)+a=a\)। अतः \(p(p(0))=p(a)=15a+a=16a\)। दिया है कि \(16a=240\), इसलिए \(a=240/16=15\)। विकल्प 16, \(p(a)=16a\) में गुणांक है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें, फिर उसे बाहरी फलन में रखें। / First, \(p(0)=15(0)+a=a\). Therefore, \(p(p(0))=p(a)=15a+a=16a\). Given \(16a=240\), we get \(a=240/16=15\). Option 16 is the coefficient in \(p(a)=16a\), not the value of \(a\). Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first and then substitute its value into the outer function.
दोनों मान घटाने पर (5m=25) से (m=5) मिलता है। फिर (-3m+n=4) से (n=19), इसलिए (m+n=24) है। / Subtracting the two values gives (5m=25), so (m=5). Then (-3m+n=4) gives (n=19), so (m+n=24).
दिया है \(p(x)=16x-11\)। अतः \(p(x+2)=16(x+2)-11=16x+21\) और \(p(x-3)=16(x-3)-11=16x-59\)। इसलिए \(p(x+2)+p(x-3)=(16x+21)+(16x-59)=32x-38\)। विकल्प A में स्थिर पद का जोड़ गलत है। परीक्षा टिप: स्थानापन्न करते समय \(x-3\) को कोष्ठक में रखकर गुणा करें। / Given \(p(x)=16x-11\), \(p(x+2)=16(x+2)-11=16x+21\) and \(p(x-3)=16(x-3)-11=16x-59\). Therefore, \(p(x+2)+p(x-3)=(16x+21)+(16x-59)=32x-38\). Option A results from an incorrect addition of the constant terms. Exam tip: always keep \(x-3\) in brackets while substituting it into a polynomial.
रेखीय न रहने के लिए (x) का गुणांक (0) होना चाहिए। \(r^2-11r+30=0\) से (r=5) या (r=6) मिलता है। / For it not to be linear, the coefficient of (x) must be (0). From \(r^2-11r+30=0\), (r=5) or (r=6).
