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C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य होता है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य है। प्रतिस्थापन करने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों का समान गुणनखंड जाँचें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Substitution then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: check for a common factor in both numerator and denominator.
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानते हैं। यदि सिद्ध हो जाए कि \(p\), 3 से विभाज्य है, तो विरोधाभास के लिए \(q\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?
\(p=3k\) रखने पर \(3q^2=p^2=9k^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। तब \(p,q\) दोनों में 3 समान गुणनखंड है, जो सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा ‘समान गुणनखंड’ से पहचानें। / Put \(p=3k\). Then \(3q^2=p^2=9k^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(q\) is also divisible by 3. Thus \(p\) and \(q\) have a common factor, contradicting lowest terms. Exam tip: state the common-factor contradiction clearly.
विकल्प C में दशमलव अंकों के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है। A तथा D सांत हैं, जबकि B आवर्ती है। परीक्षा टिप: सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / In option C, the number of zeros between 1s keeps increasing, so no fixed repeating block occurs. An irrational number has a non-terminating, non-repeating decimal expansion. A and D terminate, while B repeats. Exam tip: terminating or recurring decimals are rational.
A. p और q दोनों 2 से विभाज्य पाए जाते हैं, जबकि उन्हें सह-अभाज्य माना गया था/Both p and q are divisible by 2, although they were assumed to be coprime
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ p और q सह-अभाज्य हैं। \(p^2=2q^2\) से p सम और फिर q भी सम होता है; यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: भिन्न को न्यूनतम रूप में लें। / Assume \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms. From \(p^2=2q^2\), p is even; writing \(p=2k\) then shows q is even too. This contradicts coprimality. Exam tip: begin with lowest terms.
A. मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \(q\ne0\)/Assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p,q\) are coprime integers and \(q\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास के लिए पहले \(\sqrt{3}\) को सबसे सरल रूप \(p/q\) में परिमेय मानते हैं। वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है और अंततः \(p,q\) दोनों 3 से विभाज्य निकलते हैं। परीक्षा टिप: सह-अभाज्य शर्त ही विरोधाभास बनाती है। / For contradiction, assume \(\sqrt{3}\) is rational in lowest form \(p/q\). Squaring gives \(p^2=3q^2\), which ultimately makes both \(p\) and \(q\) divisible by 3. Exam tip: the coprime condition creates the contradiction.
A. p और q दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध हो जाते हैं, जबकि वे सह-अभाज्य हैं।/Both p and q are proved divisible by 3, although they are coprime.
Explanation
Simple Explanation
p² = 3q² से p, 3 से विभाज्य होता है। p = 3k रखने पर q² = 3k² मिलता है, अतः q भी 3 से विभाज्य है। यह p और q के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सरलतम रूप की शर्त अवश्य लिखें। / From p² = 3q², p is divisible by 3. Substituting p = 3k gives q² = 3k², so q is also divisible by 3. This contradicts p and q being coprime. Exam tip: always state that p/q is in lowest terms.
A. यदि \(\sqrt{12}\) परिमेय होता, तो \(\sqrt{3}=\frac{\sqrt{12}}{2}\) भी परिमेय होता, जो विरोधाभास है।/If \(\sqrt{12}\) were rational, then \(\sqrt{3}=\frac{\sqrt{12}}{2}\) would also be rational, which is a contradiction.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), अतः \(\sqrt{3}=\frac{\sqrt{12}}{2}\)। यदि \(\sqrt{12}\) परिमेय होता, तो 2 से भाग देने पर \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होता, जो ज्ञात तथ्य के विरुद्ध है। परीक्षा में विरोधाभास स्पष्ट लिखें। / Since \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), we get \(\sqrt{3}=\frac{\sqrt{12}}{2}\). If \(\sqrt{12}\) were rational, division by 2 would make \(\sqrt{3}\) rational, a contradiction. Exam tip: state the contradiction explicitly.
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। यह अंतिम विरोधाभास की ओर ले जाता है। / \(q^2\) is divisible by (3), so (q) is also divisible by (3). This leads to the final contradiction.
A. मान लेते हैं कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में \(\sqrt{2}\) को सबसे सरल रूप \(p/q\) में परिमेय मानते हैं, जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हों। \(p^2=2q^2\) से \(p\), फिर \(q\) भी सम निकलते हैं; यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘सबसे सरल रूप’ अवश्य लिखें। / In a contradiction proof, assume \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms, with coprime integers \(p,q\). From \(p^2=2q^2\), both \(p\) and then \(q\) are even, contradicting coprimality. Exam tip: always state that the fraction is in lowest terms.
C. (a) और (b) दोनों सम हैं/Both (a) and (b) are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। दोनों सम हों तो (2) सामान्य होता है। / In lowest form, there should be no common factor except (1). If both are even, (2) is common.
D. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) सामान्य गुणनखंड बन जाता है। यह सहभाज्य शर्त को तोड़ता है। / If both are divisible by (3), common factor (3) appears. This breaks the coprime condition.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both even
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम होने का विरोधाभास मिलता है। / In contradiction method, rationality is assumed first. Then squaring gives the contradiction that both are even.
B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य होने का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में पहले परिमेय मानकर वर्ग करते हैं। फिर (3) से विभाज्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। / For \(\sqrt{3}\), we first assume rationality and square. Then divisibility by (3) conflicts with coprime condition.
एक विद्यार्थी मानता है कि
the statement “यदि किसी पूर्णांक का वर्ग 3 से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी 3 से विभाज्य है” गलत है। निम्न में से कौन-सा कथन इस भ्रांति को सही ढंग से दूर करता है?
A. किसी भी पूर्णांक को 3 से भाग देने पर शेषफल केवल 0, 1 या 2 हो सकता है; शेषफल 1 या 2 होने पर उसका वर्ग 3 से विभाज्य नहीं होता।
Explanation
Simple Explanation
किसी पूर्णांक का रूप 3q, 3q+1 या 3q+2 होता है। अंतिम दो स्थितियों में वर्ग का शेषफल 1 होता है, इसलिए वर्ग 3 से विभाज्य होने पर संख्या 3q ही होगी। परीक्षा में शेषफल-विधि याद रखें। / Any integer is of the form 3q, 3q+1, or 3q+2. The last two forms have squares leaving remainder 1 on division by 3, so a square divisible by 3 requires the integer to be 3q. Exam tip: use remainders.
B. पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3k) रखना पड़ता है/First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be used
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखने पर (q) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
A. यदि \(5+\sqrt{3}\) परिमेय होता, तो उसमें से 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होता, जो असंभव है।/If \(5+\sqrt{3}\) were rational, subtracting 5 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(5+\sqrt{3}\) परिमेय है। परिमेय संख्या 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय निकलता, जबकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: परिमेय में से परिमेय घटाने पर परिणाम परिमेय ही होता है। / Assume \(5+\sqrt{3}\) is rational. Subtracting the rational number 5 would then make \(\sqrt{3}\) rational, contradicting its irrationality. Exam tip: rational minus rational is always rational.
D. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। यही प्रमाण का मुख्य नियम है। / Prime factor (3) appears in the square only when the number has factor (3). This is the key rule of the proof.
मान लीजिए एक विद्यार्थी \
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष सही है?
A. चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है और \(3\mid p^2\), इसलिए \(3\mid p\)।/Since 3 is prime and \(3\mid p^2\), therefore \(3\mid p\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए यदि वह किसी वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, divisibility of a square by 3 implies \(3\mid p\). Substituting \(p=3k\) then makes \(q\) divisible by 3 too, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-square rule in such proofs.
B. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है/Because a rational number is written in lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। यही बाद में विरोधाभास दिखाने में काम आता है। / In lowest fraction, numerator and denominator are coprime. This helps show contradiction later.
D. दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है/Both have common factor (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। (3) सामान्य होना विरोधाभास है। / Coprime numbers have no common factor except (1). Having common factor (3) is a contradiction.
\(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p^2\) भी 3 से विभाज्य होगा। अभाज्य गुणनखंड के नियम से \(p\) 3 से विभाज्य है। आगे इसी प्रकार \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग पर विभाज्यता से मूल संख्या की विभाज्यता जाँचें। / In \(p^2=3q^2\), the right side is divisible by 3, so \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, this implies that \(p\) is divisible by 3. Substitution then shows \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: use prime divisibility of a square carefully.
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण से विभाज्य मिलता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation gives divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
C. क्योंकि प्रमाण समता और सहभाज्य पूर्णांकों से प्राप्त विरोधाभास पर आधारित है/Because the proof is based on parity and a contradiction involving coprime integers
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में मानते हैं कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) सहभाज्य हैं। वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है, जिससे \(p\) सम होता है। फिर \(q\) भी सम सिद्ध होता है। यह इस शर्त के विरुद्ध है कि \(p\) और \(q\) सहभाज्य हैं। इसलिए दशमलव विस्तार की आवश्यकता नहीं होती। परीक्षा टिप: विरोधाभास वाले प्रमाण में ‘सहभाज्य’ शर्त अवश्य लिखें। / To prove that \(\sqrt{2}\) is irrational, assume \(\sqrt{2}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Squaring gives \(p^2=2q^2\), so \(p\) is even. This then shows that \(q\) is also even, contradicting the fact that \(p\) and \(q\) are coprime. Hence, no decimal expansion is needed. Exam tip: In a contradiction proof, state the coprime condition clearly.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से तुरंत क्या निष्कर्ष निकलता है?
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(p^2\) के विभाज्य होने पर \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। बाद में \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies that \(p\) is divisible by 3. Only after writing \(p=3k\) can we show that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisor property for squares.
दोनों को परिमेय मानने पर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / Assuming either rational gives a contradiction with the coprime condition. Therefore both are irrational.
A. (m,n) सहभाज्य और \(n\neq0\)/(m,n) coprime and \(n\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या सरलतम रूप में सहभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर शून्य नहीं हो सकता। / A rational number is written in lowest form as a ratio of coprime integers. The denominator cannot be zero.
भिन्न \(\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में लेते हैं, इसलिए p और q सह-अभाज्य होते हैं। प्रमाण में \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\) और फिर \(3\mid q\) मिलता है, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: ‘न्यूनतम रूप’ अवश्य लिखें। / The fraction \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest terms, so p and q are coprime. The proof gives \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\), and then \(3\mid q\), a contradiction. Exam tip: always state “lowest terms.”
यदि
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में
\(\sqrt{3}=p/q\) को न्यूनतम रूप में माना जाए और वर्ग करने पर
\(p^2=3q^2\) मिले, तो विद्यार्थी की इस त्रुटि का सही सुधार क्या है कि
\(3\mid p^2\) से
\(3\mid p\) निष्कर्षित नहीं किया जा सकता?
A. 3 अभाज्य है; इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) होता है/Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग करने पर \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य होने से \(3\mid p\) अनिवार्य है। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो न्यूनतम रूप के विरुद्ध है। टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम लिखें। / Squaring gives \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, it must divide \(p\). Putting \(p=3k\) then shows that 3 divides \(q\) too, contradicting lowest terms. Exam tip: state the prime-divisor rule.
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \(q\ne0\)/\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p,q\) are coprime integers and \(q\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
मानते हैं कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर \(2q^2=p^2\) मिलता है; आगे दोनों सम निकलते हैं, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘सरलतम रूप’ अवश्य लिखें। / Assume \(\sqrt{2}=p/q\) with coprime integers. Squaring gives \(2q^2=p^2\); this eventually makes both integers even, contradicting coprimality. Exam tip: always state that the fraction is in lowest terms.
एक विद्यार्थी मानता है कि यदि
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। विद्यार्थी की त्रुटि पहचानिए।
A. \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(p=3k\) रखने से \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है।/If \(p\) is divisible by 3, putting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है; अतः \(p=3k\)। रखने पर \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने का विरोधाभास है। परीक्षा टिप: दोनों \(p\) और \(q\) के समान गुणनखंड तक पहुँचना जरूरी है। / From \(p^2=3q^2\), \(p\) is divisible by 3, so let \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), hence \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: complete the argument by proving a common factor of both \(p\) and \(q\).
B. परिमेय मान्यता से (p,q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Rational assumption makes both (p,q) divisible by (3), so \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
B. \(1.732\) केवल सन्निकट मान है; \(\sqrt{3}\) को न्यूनतम रूप \(p/q में मानने पर विरोधाभास प्राप्त होता है। / \(1.732\) is only an approximation; assuming \(\sqrt{3}=p / q\) in lowest terms leads to a contradiction.
Explanation
Simple Explanation
\(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है; अतः यह केवल सन्निकटन है। \(\sqrt{3}=p/q\) मानने पर \(p^2=3q^2\) से \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य होते हैं, जो न्यूनतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सन्निकट दशमलव को ठीक मान न समझें। / \(1.732^2=2.999824\), not 3, so it is only an approximation. If \(\sqrt{3}=p/q\), then \(p^2=3q^2\) makes both \(p\) and \(q\) divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: never treat a rounded decimal as an exact value.
\(p^2\) (3) से विभाज्य होने के बाद (p) भी (3) से विभाज्य होता है। इसलिए (p=3k) लिखा जाता है। / After \(p^2\) is divisible by (3), (p) is also divisible by (3). Therefore (p=3k) is written.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर \(p,q\) सह-अभाज्य लिए जाएँ, तो समीकरण \(3q^2=p^2\) से सबसे पहले कौन-सा निष्कर्ष प्राप्त होता है?
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य होने के कारण \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। टिप: अभाज्य से वर्ग की विभाज्यता पहचानें। / Since \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3. As 3 is prime, \(p\) must be divisible by 3. Substituting \(p=3k\) later makes \(q\) divisible by 3 too, contradicting coprimality. Exam tip: use prime divisibility of squares.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) है, तो \(p\) और \(q\) दोनों सम हो सकते हैं। \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में यह कथन किस कारण से त्रुटिपूर्ण है?
A. मान लिया गया भिन्न \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में होना चाहिए; दोनों सम होने पर उसे 2 से काटा जा सकता है।/The assumed fraction \(\frac{p}{q}\) must be in lowest terms; if both are even, it can be reduced by 2.
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में माना जाता है। यदि \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, तो \(p=2m, q=2n\) रखकर 2 कट जाता है; यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: “सरलतम रूप” लिखना न भूलें। / In proof by contradiction, assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) in lowest terms. If both are even, write \(p=2m, q=2n\); cancelling 2 gives a smaller equivalent fraction, a contradiction. Exam tip: always state that \(p/q\) is in lowest terms.
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास केवल परिमेय मान्यता को अस्वीकार करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / The contradiction rejects only the rationality assumption. Therefore \(\sqrt{2}\) is proved irrational.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता में त्रुटि सिद्ध करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं/Both \(p\) and \(q\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\), अतः \(p\), सम है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों चरणों में समता दिखाइए। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: establish evenness for both integers.
A. वे सरलतम भिन्न के सहभाज्य पूर्णांक हैं/They are coprime integers of the lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता में \(\sqrt{2}\) को \(\frac{m}{n}\) के सरलतम रूप में लिखा जाता है। इसलिए (m) और (n) सहभाज्य पूर्णांक हैं। / In the rational assumption, \(\sqrt{2}\) is written as \(\frac{m}{n}\) in lowest form. Therefore (m) and (n) are coprime integers.
B. वे सरलतम भिन्न के सहभाज्य पूर्णांक हैं/They are coprime integers of the lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते समय \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य पूर्णांक हैं। / When \(\sqrt{3}\) is assumed rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form. Therefore (p) and (q) are coprime integers.
C. पहले (m) सम और फिर (n) सम सिद्ध करना/To prove first (m) even and then (n) even
Explanation
Simple Explanation
दोनों के सम सिद्ध होने पर सरलतम भिन्न से विरोधाभास मिलता है। यही मध्य उद्देश्य है। / Once both are proved even, a contradiction with lowest fraction is obtained. This is the middle objective.
D. पहले (p) और फिर (q) को (3) से विभाज्य सिद्ध करना/To prove first (p) and then (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। यही प्रमाण का मध्य लक्ष्य है। / Both being divisible by (3) gives contradiction with coprime condition. This is the middle goal of the proof.
A. वर्गमूल लेने पर सीधे ऐसा निष्कर्ष नहीं मिलता/Taking square root does not directly give that conclusion
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से केवल \(a^2\) सम और फिर (a) सम मिलता है। सीधे (a=2b) लिखना सही नहीं है। / From \(a^2=2b^2\), we get only that \(a^2\) is even and then (a) is even. Writing (a=2b) directly is not correct.
A. वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं मिलता/The square relation does not directly give (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से केवल \(p^2\) का (3) से विभाज्य होना मिलता है। फिर नियम से (p) को (3k) लिखा जाता है। / From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3). Then by the rule, (p) is written as (3k).
मान लें \(\sqrt{3}=a/b\), जहाँ \(a,b\) सह-अभाज्य हैं। तब \(a^2=3b^2\), अतः \(3\mid a^2\) और इसलिए \(3\mid a\)। इससे आगे \(3\mid b\) भी मिलता है, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य \(p\) के लिए \(p\mid a^2\Rightarrow p\mid a\) याद रखें। / Assume \(\sqrt{3}=a/b\) in lowest terms. Then \(a^2=3b^2\), so \(3\mid a^2\), which implies \(3\mid a\). This subsequently gives \(3\mid b\), a contradiction. Exam tip: remember that for prime \(p\), \(p\mid a^2\Rightarrow p\mid a\).
A. यह सरलतम रूप नहीं रहेगा/It will not remain in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होने से भिन्न घटाई जा सकती है। इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है। / Since both have common factor (3), the fraction can be reduced. So the lowest form assumption breaks.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होता। इस तर्क को कठोर प्रमाण में बदलने के लिए कौन-सा कदम सही है?
A. मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं; फिर सिद्ध करें कि 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है।/Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p,q\) are coprime; then prove that 3 divides both \(p\) and \(q\).
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में \(3q^2=p^2\) मिलता है। इससे 3, \(p\) को और फिर \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: असमाप्त आवर्ती दशमलव परिमेय हो सकते हैं। / Using contradiction, \(3q^2=p^2\) implies that 3 divides \(p\), and then it also divides \(q\), contradicting coprimality. Exam tip: a non-terminating recurring decimal can still be rational.
एक विद्यार्थी मानता है कि यदि किसी संख्या का दशमलव प्रसार अनंत है, तो वह संख्या अपरिमेय होगी। निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण इस कथन को गलत सिद्ध करता है?
\(\frac{1}{3}\) का दशमलव प्रसार अनंत और आवर्ती है, फिर भी यह दो पूर्णांकों के अनुपात \(\frac{1}{3}\) में लिखा जा सकता है; अतः यह परिमेय है। \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / The decimal expansion of \(\frac{1}{3}\) is infinite but recurring, and it is a ratio of integers, so it is rational. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\pi\) are irrational. Exam tip: every recurring decimal represents a rational number.
C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है; इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग के 3 से विभाज्य होने पर मूल संख्या भी 3 से विभाज्य होती है। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime-divisibility property of squares.
A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\); अतः \(p=3k\), जहाँ \(k\) एक पूर्णांक है।/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\); hence \(p=3k\), where \(k\) is an integer.
Explanation
Simple Explanation
सही संबंध विकल्प A में है। क्योंकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए यदि \(p^2\) 3 से विभाज्य है, तो \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। अतः \(p=3k\) लिखा जा सकता है, जहाँ \(k\) पूर्णांक है। \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में इससे आगे \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के अनुमान का विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए याद रखें—यदि \(r\mid a^2\), तो \(r\mid a\)। / Option A gives the correct relation. Since 3 is prime, if \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) must also be divisible by 3. Therefore, we can write \(p=3k\), where \(k\) is an integer. In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), this ultimately shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting the assumption that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: For a prime \(r\), remember that \(r\mid a^2\) implies \(r\mid a\).
A. भिन्न को पहले सरलतम सहभाज्य रूप में मानना चाहिए/The fraction should first be assumed in lowest coprime form
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सरलतम सहभाज्य रूप के बिना अंतिम विरोधाभास स्पष्ट नहीं बनता। परीक्षा में यह शर्त जरूर लिखें। / Without lowest coprime form, the final contradiction is not clear. Write this condition in exams.
