What caution is necessary while proving the irrationality of √2 and √3?√2 और √3 की अपरिमेयता सिद्ध करते समय कौन-सी सावधानी आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The fraction should first be assumed in lowest coprime formभिन्न को पहले सरलतम सहभाज्य रूप में मानना चाहिए
The governing idea is proof by contradiction. To test whether √2 or √3 can be rational, we assume it equals a fraction a/b, where a and b are integers, b is non-zero, and gcd(a,b)=1. The lowest-form condition is essential: after squaring and using divisibility, the proof generally shows that both a and b must be even. That is impossible for a coprime pair because a common factor 2 would remain. Therefore the original rational assumption fails. Option A is correct. A zero denominator is forbidden, a decimal approximation cannot establish irrationality, and equal numerator and denominator is not part of the argument.यह प्रमाण विरोधाभास की विधि पर आधारित है। √2 या √3 को परिमेय मानते समय उसे a/b के रूप में लिखते हैं, जहाँ a और b पूर्णांक, b अशून्य तथा gcd(a,b)=1 होते हैं। सरलतम सहभाज्य रूप की शर्त बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि वर्ग करने और विभाज्यता के नियम लगाने पर सामान्यतः यह निष्कर्ष मिलता है कि a और b दोनों सम हैं। यह gcd(a,b)=1 के विपरीत है, क्योंकि तब दोनों में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड होगा। इसलिए प्रारम्भिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है और संख्या अपरिमेय होती है। अतः विकल्प A सही है। शून्य हर मानना अमान्य है, दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है और अंश-हर को समान मानने की कोई आवश्यकता नहीं है।
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