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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 18

एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होता। इस तर्क को कठोर प्रमाण में बदलने के लिए कौन-सा कदम सही है?

A student says that \(\sqrt{3}\) is irrational because its decimal expansion does not terminate. Which step correctly turns this into a rigorous proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं; फिर सिद्ध करें कि 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है।Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p,q\) are coprime; then prove that 3 divides both \(p\) and \(q\).

Explanation

Simple Explanation

विरोधाभास विधि में \(3q^2=p^2\) मिलता है। इससे 3, \(p\) को और फिर \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: असमाप्त आवर्ती दशमलव परिमेय हो सकते हैं। / Using contradiction, \(3q^2=p^2\) implies that 3 divides \(p\), and then it also divides \(q\), contradicting coprimality. Exam tip: a non-terminating recurring decimal can still be rational.

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एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होता। इस तर्क को कठोर प्रमाण में बदलने के लिए कौन-सा कदम सही है? / A student says that \(\sqrt{3}\) is irrational because its decimal expansion does not terminate. Which step correctly turns this into a rigorous proof?

Correct Answer: A. मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं; फिर सिद्ध करें कि 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है। / Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p,q\) are coprime; then prove that 3 divides both \(p\) and \(q\).. Explanation: विरोधाभास विधि में \(3q^2=p^2\) मिलता है। इससे 3, \(p\) को और फिर \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: असमाप्त आवर्ती दशमलव परिमेय हो सकते हैं। / Using contradiction, \(3q^2=p^2\) implies that 3 divides \(p\), and then it also divides \(q\), contradicting coprimality. Exam tip: a non-terminating recurring decimal can still be rational.