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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 18

एक विद्यार्थी मानता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। विद्यार्थी की त्रुटि पहचानिए।

A student argues that if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, then \(p^2=3q^2\) proves only that \(p\) is divisible by 3. Identify the student's error.

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(p=3k\) रखने से \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है।If \(p\) is divisible by 3, putting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है; अतः \(p=3k\)। रखने पर \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने का विरोधाभास है। परीक्षा टिप: दोनों \(p\) और \(q\) के समान गुणनखंड तक पहुँचना जरूरी है। / From \(p^2=3q^2\), \(p\) is divisible by 3, so let \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), hence \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: complete the argument by proving a common factor of both \(p\) and \(q\).

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एक विद्यार्थी मानता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। विद्यार्थी की त्रुटि पहचानिए। / A student argues that if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, then \(p^2=3q^2\) proves only that \(p\) is divisible by 3. Identify the student's error.

Correct Answer: A. \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(p=3k\) रखने से \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। / If \(p\) is divisible by 3, putting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality.. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है; अतः \(p=3k\)। रखने पर \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने का विरोधाभास है। परीक्षा टिप: दोनों \(p\) और \(q\) के समान गुणनखंड तक पहुँचना जरूरी है। / From \(p^2=3q^2\), \(p\) is divisible by 3, so let \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), hence \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: complete the argument by proving a common factor of both \(p\) and \(q\).