If assuming √2 is rational gives a contradiction, which assumption is proved false?यदि √2 को परिमेय मानने पर विरोधाभास मिलता है, तो कौन-सी मान्यता गलत सिद्ध होती है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: √2 is rational√2 is rational
A proof by contradiction begins by temporarily assuming the statement opposite to the desired conclusion. To prove that √2 is irrational, we assume that √2 is rational and write it as p/q in lowest form. The algebra and divisibility arguments then force both p and q to be divisible by 2, contradicting their coprimality. The contradiction therefore rejects the temporary assumption that √2 is rational. It does not reject the facts that √2 is real, positive, or greater than zero; those facts remain true. Hence option C is correct. Options A, B, and D describe valid properties of √2 and are not the assumption targeted by the contradiction.विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले उस कथन के विपरीत मान्यता ली जाती है जिसे सिद्ध करना होता है। √2 की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए प्रारंभ में यह मानते हैं कि √2 परिमेय है और उसे p/q के रूप में सरलतम रूप में लिखते हैं। आगे के बीजीय तथा विभाज्यता संबंधी चरणों से p और q दोनों 2 से विभाज्य निकलते हैं, जबकि सरलतम रूप में वे सहभाज्य होने चाहिए। यही विरोधाभास प्रारंभिक मान्यता को अस्वीकार करता है। इससे यह सिद्ध होता है कि √2 परिमेय नहीं, बल्कि अपरिमेय है। √2 का वास्तविक, धनात्मक और शून्य से बड़ा होना सही रहता है; इसलिए A, B और D गलत लक्ष्य चुनते हैं।
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