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Suppose a student writes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime, while proving that \(\sqrt{3}\) is irrational. From \(p^2=3q^2\), which conclusion about \(p\) is correct?मान लीजिए एक विद्यार्थी \
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Since 3 is prime and \(3\mid p^2\), therefore \(3\mid p\).चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है और \(3\mid p^2\), इसलिए \(3\mid p\)।
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, divisibility of a square by 3 implies \(3\mid p\). Substituting \(p=3k\) then makes \(q\) divisible by 3 too, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-square rule in such proofs.\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए यदि वह किसी वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम याद रखें।
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