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In the proof that
\(\sqrt{3}\) is irrational, suppose
\(\sqrt{3}=p/q\) is in lowest terms and squaring gives
\(p^2=3q^2\). What correctly fixes a student's error that
\(3\mid p^2\) does not imply
\(3\mid p\)?यदि
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में
\(\sqrt{3}=p/q\) को न्यूनतम रूप में माना जाए और वर्ग करने पर
\(p^2=3q^2\) मिले, तो विद्यार्थी की इस त्रुटि का सही सुधार क्या है कि
\(3\mid p^2\) से
\(3\mid p\) निष्कर्षित नहीं किया जा सकता?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\)3 अभाज्य है; इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) होता है
Squaring gives \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, it must divide \(p\). Putting \(p=3k\) then shows that 3 divides \(q\) too, contradicting lowest terms. Exam tip: state the prime-divisor rule.वर्ग करने पर \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य होने से \(3\mid p\) अनिवार्य है। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो न्यूनतम रूप के विरुद्ध है। टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम लिखें।
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