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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 18

\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानते हैं। यदि सिद्ध हो जाए कि \(p\), 3 से विभाज्य है, तो विरोधाभास के लिए \(q\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?

In the proof that \(\sqrt{3}\) is irrational, assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) in lowest terms. If \(p\) is shown to be divisible by 3, which conclusion about \(q\) is needed to obtain a contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(q\), 3 से विभाज्य है\(q\) is divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(p=3k\) रखने पर \(3q^2=p^2=9k^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। तब \(p,q\) दोनों में 3 समान गुणनखंड है, जो सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा ‘समान गुणनखंड’ से पहचानें। / Put \(p=3k\). Then \(3q^2=p^2=9k^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(q\) is also divisible by 3. Thus \(p\) and \(q\) have a common factor, contradicting lowest terms. Exam tip: state the common-factor contradiction clearly.

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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानते हैं। यदि सिद्ध हो जाए कि \(p\), 3 से विभाज्य है, तो विरोधाभास के लिए \(q\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है? / In the proof that \(\sqrt{3}\) is irrational, assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) in lowest terms. If \(p\) is shown to be divisible by 3, which conclusion about \(q\) is needed to obtain a contradiction?

Correct Answer: A. \(q\), 3 से विभाज्य है / \(q\) is divisible by 3. Explanation: \(p=3k\) रखने पर \(3q^2=p^2=9k^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। तब \(p,q\) दोनों में 3 समान गुणनखंड है, जो सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा ‘समान गुणनखंड’ से पहचानें। / Put \(p=3k\). Then \(3q^2=p^2=9k^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(q\) is also divisible by 3. Thus \(p\) and \(q\) have a common factor, contradicting lowest terms. Exam tip: state the common-factor contradiction clearly.