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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 18

एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता में त्रुटि सिद्ध करता है?

A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. On squaring, the student gets \(p^2=2q^2\). Which conclusion proves that this assumption is invalid?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैंBoth \(p\) and \(q\) are even

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=2q^2\) से \(p^2\), अतः \(p\), सम है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों चरणों में समता दिखाइए। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: establish evenness for both integers.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता में त्रुटि सिद्ध करता है? / A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. On squaring, the student gets \(p^2=2q^2\). Which conclusion proves that this assumption is invalid?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं / Both \(p\) and \(q\) are even. Explanation: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\), अतः \(p\), सम है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों चरणों में समता दिखाइए। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: establish evenness for both integers.