If p/q is in lowest form, which situation creates a contradiction in the proof of √3?यदि p/q सरलतम रूप में है, तो √3 के प्रमाण में कौन-सी स्थिति विरोधाभास उत्पन्न करती है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both p and q are divisible by 3Both p and q are divisible by 3
To prove √3 irrational, assume that √3 = p/q, where p and q are integers, q ≠ 0, and the fraction is in lowest form, so gcd(p,q) = 1. Squaring gives p² = 3q². Because 3 is prime and divides p², it must divide p; write p = 3k. Substitution then gives 9k² = 3q², so q² = 3k², which implies that 3 divides q as well. Thus both p and q have the common factor 3, contradicting the lowest-form condition. Therefore option D identifies the contradiction. Options A, B, and C are assumptions used in the proof, not contradictions.√3 की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानते हैं कि √3 = p/q है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q शून्य नहीं है और भिन्न सरलतम रूप में है; अर्थात gcd(p,q)=1। वर्ग करने पर p² = 3q² मिलता है। चूँकि 3 अभाज्य है और p² को विभाजित करता है, इसलिए 3, p को भी विभाजित करता है और p=3k लिखा जा सकता है। इसे समीकरण में रखने पर 9k²=3q², अतः q²=3k² प्राप्त होता है और q भी 3 से विभाज्य हो जाता है। इस प्रकार p तथा q दोनों में 3 सामान्य गुणनखंड आ जाता है, जो सरलतम रूप की शर्त का विरोधाभास है। इसलिए विकल्प D सही है। A, B और C प्रमाण की प्रारंभिक शर्तें हैं, विरोधाभास नहीं।
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