\(\sqrt{2}\) के विरोधाभास प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) और (\gcd(a,b)=1) मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिलता है। निर्णायक पहला विभाज्यता निष्कर्ष कौन-सा है?
\(a^2\) is even, so (a) is even. In exams, first write the evenness of the numerator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a) (2) से विभाज्य है / (a) is divisible by (2). \(a^2\) is even, so (a) is even. In exams, first write the evenness of the numerator.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\) सम है इसलिए (a) सम होगा। परीक्षा में पहले अंश की समता लिखें।
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
If prime (3) divides a square, it divides the number too. This is the basis for (p=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. If prime (3) divides a square, it divides the number too. This is the basis for (p=3r).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। यही (p=3r) का आधार है।
\(m^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. Therefore (m) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (m) (3) से विभाज्य है / (m) is divisible by (3). \(m^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. Therefore (m) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(m^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है। इसलिए (m) भी (3) से विभाज्य होगा।
C. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम/\(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even
Step 1
Concept
Simplifying gives \(b^2=2k^2\). Hence \(b^2\) is even and (b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम / \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even. Simplifying gives \(b^2=2k^2\). Hence \(b^2\) is even and (b) is even.
Step 3
Exam Tip
सरल करने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। इससे \(b^2\) सम और (b) सम होता है।
A. क्योंकि विरोधाभास के लिए (b) भी सम सिद्ध होना चाहिए/Because (b) must also be proved even for contradiction
Step 1
Concept
Only (a) being even does not break the coprime condition. Both (a) and (b) must be even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि विरोधाभास के लिए (b) भी सम सिद्ध होना चाहिए / Because (b) must also be proved even for contradiction. Only (a) being even does not break the coprime condition. Both (a) and (b) must be even.
Step 3
Exam Tip
केवल (a) सम होने से सहभाज्य शर्त नहीं टूटती। दोनों (a) और (b) सम होने चाहिए।
A. क्योंकि पहले (r) और फिर (s) दोनों सम सिद्ध होने चाहिए/Because first (r) and then (s) must both be proved even
Step 1
Concept
The contradiction with lowest fraction forms only when numerator and denominator both have common factor (2). Only \(r^2\) being even is a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि पहले (r) और फिर (s) दोनों सम सिद्ध होने चाहिए / Because first (r) and then (s) must both be proved even. The contradiction with lowest fraction forms only when numerator and denominator both have common factor (2). Only \(r^2\) being even is a middle step.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास सरलतम भिन्न से तभी बनता है जब अंश और हर दोनों में (2) सामान्य हो। केवल \(r^2\) सम होना मध्य चरण है।
C. (\gcd(a,b)\ge2), जो सरलतम रूप से विरोधाभास है/(\gcd(a,b)\ge2), which contradicts lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (2). Therefore (\gcd(a,b)=1) cannot remain true.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\gcd(a,b)\ge2), जो सरलतम रूप से विरोधाभास है / (\gcd(a,b)\ge2), which contradicts lowest form. Both have common factor (2). Therefore (\gcd(a,b)=1) cannot remain true.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(a,b)=1) नहीं रह सकता।
C. (\gcd(r,s)=1) और (\gcd(r,s)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(r,s)=1) and (\gcd(r,s)\ge2) cannot both hold
Step 1
Concept
Both have common factor (2), so the HCF is at least (2). This contradicts lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\gcd(r,s)=1) और (\gcd(r,s)\ge2) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(r,s)=1) and (\gcd(r,s)\ge2) cannot both hold. Both have common factor (2), so the HCF is at least (2). This contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य है, इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है।
B. क्योंकि \(a^2=2b^2\) पहले \(a^2\) की समता बताता है/Because \(a^2=2b^2\) first shows evenness of \(a^2\)
Step 1
Concept
This equation first proves (a) even. (b) is proved even only after putting (a=2k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि \(a^2=2b^2\) पहले \(a^2\) की समता बताता है / Because \(a^2=2b^2\) first shows evenness of \(a^2\). This equation first proves (a) even. (b) is proved even only after putting (a=2k).
Step 3
Exam Tip
इस समीकरण से पहले (a) सम सिद्ध होता है। (b) सम (a=2k) रखने के बाद सिद्ध होता है।
A. पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किए बिना हर पर निष्कर्ष लगाना/Concluding about the denominator before proving (p) divisible by (3)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then (q) follows after taking (p=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किए बिना हर पर निष्कर्ष लगाना / Concluding about the denominator before proving (p) divisible by (3). First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then (q) follows after taking (p=3r).
Step 3
Exam Tip
पहले \(p^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। फिर (p=3r) रखकर (q) का निष्कर्ष आता है।
A. \(a^2\) सम है इसलिए (a=2k) लिखें/\(a^2\) is even, so write (a=2k)
Step 1
Concept
The square relation does not directly give (a=2b). The correct step is proving (a) even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) सम है इसलिए (a=2k) लिखें / \(a^2\) is even, so write (a=2k). The square relation does not directly give (a=2b). The correct step is proving (a) even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। सही कदम (a) को सम सिद्ध करना है।
C. (r) सम सिद्ध करके (r=2t) रखने के बाद/After proving (r) even and taking (r=2t)
Step 1
Concept
First (r) even follows from \(r^2\). Then taking (r=2t) gives \(s^2=2t^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (r) सम सिद्ध करके (r=2t) रखने के बाद / After proving (r) even and taking (r=2t). First (r) even follows from \(r^2\). Then taking (r=2t) gives \(s^2=2t^2\).
Step 3
Exam Tip
पहले \(r^2\) से (r) सम मिलता है। फिर (r=2t) रखने पर \(s^2=2t^2\) मिलता है।
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p=3r) लिखें/\(p^2\) is divisible by (3), so write (p=3r)
Step 1
Concept
The square relation does not directly give (p=3q). Prime divisibility gives (p=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p=3r) लिखें / \(p^2\) is divisible by (3), so write (p=3r). The square relation does not directly give (p=3q). Prime divisibility gives (p=3r).
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं निकलता। अभाज्य विभाज्यता से (p=3r) मिलता है।
A. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)
Step 1
Concept
First (m) is proved divisible by (3). Only after taking (m=3k), the conclusion for (n) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\) / \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\). First (m) is proved divisible by (3). Only after taking (m=3k), the conclusion for (n) is obtained.
Step 3
Exam Tip
पहले (m) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (m=3k) रखने के बाद ही (n) के लिए निष्कर्ष मिलता है।
B. \(\frac{a}{b}\) से (2) से घटाई जा सकने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From \(\frac{a}{b}\), a smaller fraction reducible by (2) is obtained
Step 1
Concept
If both are even, the fraction can be reduced by (2). This opposes the lowest fraction assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{a}{b}\) से (2) से घटाई जा सकने वाली छोटी भिन्न मिलती है / From \(\frac{a}{b}\), a smaller fraction reducible by (2) is obtained. If both are even, the fraction can be reduced by (2). This opposes the lowest fraction assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न की मान्यता के विरुद्ध है।
A. भिन्न को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है/The fraction can be reduced by (2) to form a smaller equal fraction
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradicts this idea.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है / The fraction can be reduced by (2) to form a smaller equal fraction. A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradicts this idea.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी विचार से विरोधाभास है।
A. \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न बन सकती है/From \(\frac{p}{q}\), a smaller fraction reducible by (3) can be formed
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न बन सकती है / From \(\frac{p}{q}\), a smaller fraction reducible by (3) can be formed. If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप असंभव है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even
Step 1
Concept
Both being even contradicts lowest coprime form. Therefore \(\sqrt{2}\) cannot be rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / \(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even. Both being even contradicts lowest coprime form. Therefore \(\sqrt{2}\) cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं हो सकती।
A. क्योंकि अनुमान सटीक तर्क नहीं देता/Because approximation does not give exact reasoning
Step 1
Concept
Irrationality is proved by exact contradiction. In exams, write the coprime fraction argument.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि अनुमान सटीक तर्क नहीं देता / Because approximation does not give exact reasoning. Irrationality is proved by exact contradiction. In exams, write the coprime fraction argument.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता सटीक विरोधाभास से सिद्ध होती है। परीक्षा में सहभाज्य भिन्न वाला तर्क लिखें।
A. यह पूर्ण प्रमाण नहीं देता/It does not give a complete proof
Step 1
Concept
Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and contradiction are needed for proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह पूर्ण प्रमाण नहीं देता / It does not give a complete proof. Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and contradiction are needed for proof.
Step 3
Exam Tip
अनुमान केवल निकट मान देता है। प्रमाण के लिए (3) से विभाज्यता और विरोधाभास जरूरी है।
A. \(a^2\) सम \(\Rightarrow a\) सम, फिर (a=2k) से (b) सम/\(a^2\) even \(\Rightarrow a\) even, then (a=2k) gives (b) even
Step 1
Concept
The order of steps is very important. (b) even comes later by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) सम \(\Rightarrow a\) सम, फिर (a=2k) से (b) सम / \(a^2\) even \(\Rightarrow a\) even, then (a=2k) gives (b) even. The order of steps is very important. (b) even comes later by substitution.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में चरणों का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। (b) सम बाद में प्रतिस्थापन से आता है।
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow p\) (3) से विभाज्य, फिर (p=3r) से (q) (3) से विभाज्य/\(p^2\) divisible by \(3\Rightarrow p\) divisible by (3), then (p=3r) gives (q) divisible by (3)
Step 1
Concept
Divisibility is first proved for (p). The conclusion for (q) comes later by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(p^2\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow p\) (3) से विभाज्य, फिर (p=3r) से (q) (3) से विभाज्य / \(p^2\) divisible by \(3\Rightarrow p\) divisible by (3), then (p=3r) gives (q) divisible by (3). Divisibility is first proved for (p). The conclusion for (q) comes later by substitution.
Step 3
Exam Tip
पहले (p) के लिए विभाज्यता सिद्ध होती है। (q) का निष्कर्ष बाद में प्रतिस्थापन से आता है।
A. पहले (a) में और फिर (b) में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (2) is proved first in (a) and then in (b)
Step 1
Concept
In the proof, (2) becomes a common factor of both. This contradicts (\gcd(a,b)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (a) में और फिर (b) में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है / Factor (2) is proved first in (a) and then in (b). In the proof, (2) becomes a common factor of both. This contradicts (\gcd(a,b)=1).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड बनता है। यही (\gcd(a,b)=1) से विरोधाभास है।
B. पहले (p) में और फिर (q) में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (3) is proved first in (p) and then in (q)
Step 1
Concept
In the end, (3) is common in both (p) and (q). This breaks the lowest form condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पहले (p) में और फिर (q) में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है / Factor (3) is proved first in (p) and then in (q). In the end, (3) is common in both (p) and (q). This breaks the lowest form condition.
Step 3
Exam Tip
अंत में (p) और (q) दोनों में (3) सामान्य होता है। इससे सरलतम रूप की शर्त टूटती है।
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Step 1
Concept
A lowest form cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. माना गया सरलतम रूप असंभव था / The assumed lowest form was impossible. A lowest form cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है।
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. माना गया सरलतम रूप असंभव था / The assumed lowest form was impossible. A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है।
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है।
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना/Assume rational, square, get coprime contradiction through a prime factor
Step 1
Concept
Both proofs have the same framework. The only difference is the factor (2) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना, वर्ग करना, अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना / Assume rational, square, get coprime contradiction through a prime factor. Both proofs have the same framework. The only difference is the factor (2) or (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों का ढांचा समान है। फर्क केवल (2) और (3) के गुणनखंड का है।
C. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) है/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Step 1
Concept
This is a wrong shortcut while taking square roots. The correct reasoning uses parity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) है / From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b). This is a wrong shortcut while taking square roots. The correct reasoning uses parity.
Step 3
Exam Tip
यह वर्गमूल निकालने की गलत जल्दबाजी है। सही तर्क समता से चलता है।
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption conflicts with the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational. The rational assumption conflicts with the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
B. \(n^2=3u^2\) इसलिए \(3\mid n\)/\(n^2=3u^2\), so \(3\mid n\)
Step 1
Concept
After substitution \(9u^2=3n^2\) is formed. This gives \(n^2=3u^2\), so (n) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(n^2=3u^2\) इसलिए \(3\mid n\) / \(n^2=3u^2\), so \(3\mid n\). After substitution \(9u^2=3n^2\) is formed. This gives \(n^2=3u^2\), so (n) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
प्रतिस्थापन के बाद \(9u^2=3n^2\) बनता है। इससे \(n^2=3u^2\) और फिर (n) (3) से विभाज्य है।
A. \(x^2=2y^2\Rightarrow x\) सम \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) सम/\(x^2=2y^2\Rightarrow x\) even \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) even
Step 1
Concept
The evenness of numerator comes first. Then the evenness of denominator is proved by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2=2y^2\Rightarrow x\) सम \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) सम / \(x^2=2y^2\Rightarrow x\) even \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) even. The evenness of numerator comes first. Then the evenness of denominator is proved by substitution.
Step 3
Exam Tip
पहले अंश की समता आती है। फिर प्रतिस्थापन से हर की समता सिद्ध होती है।
A. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष निकालना/Taking a wrong linear conclusion from a squared equation
Step 1
Concept
A squared relation does not directly give a linear relation. The correct conclusion is that (x) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष निकालना / Taking a wrong linear conclusion from a squared equation. A squared relation does not directly give a linear relation. The correct conclusion is that (x) is even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे रैखिक संबंध नहीं मिलता। सही निष्कर्ष (x) का सम होना है।
A. क्योंकि सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं/Because the correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q)
Step 1
Concept
Seeing factor (3) in \(p^2\) proves (p) is divisible by (3). It does not force (p=3q).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं / Because the correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q). Seeing factor (3) in \(p^2\) proves (p) is divisible by (3). It does not force (p=3q).
Step 3
Exam Tip
\(p^2\) में (3) का गुणनखंड देखकर (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। इससे (p=3q) जरूरी नहीं है।
A. \(\frac{x}{y}\) सरलतम रूप में थी/\(\frac{x}{y}\) was in lowest form
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. Both even makes this assumption false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{x}{y}\) सरलतम रूप में थी / \(\frac{x}{y}\) was in lowest form. A lowest fraction cannot be reduced further. Both even makes this assumption false.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी मान्यता को गलत करता है।
A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the initial lowest form is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). Therefore the initial lowest form is impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए प्रारंभिक सरलतम रूप असंभव है।
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, prime exponents are even. This explains the conflict from the extra (2) in \(2y^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (2) must be even. In a perfect square, prime exponents are even. This explains the conflict from the extra (2) in \(2y^2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। यही \(2y^2\) में अतिरिक्त (2) से विरोध को समझाता है।
B. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, all prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (3) must be even. In a perfect square, all prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है।
A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, विरोधाभास (\gcd(m,n)=1) से आता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined, contradiction comes from (\gcd(m,n)=1)
Step 1
Concept
Non-zero denominator is a condition for fraction. The coprime condition breaks when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, विरोधाभास (\gcd(m,n)=1) से आता है / \(n\neq0\) keeps the fraction defined, contradiction comes from (\gcd(m,n)=1). Non-zero denominator is a condition for fraction. The coprime condition breaks when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना भिन्न की शर्त है। दोनों (3) से विभाज्य होने पर सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The contradiction rejects the rational assumption. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational. The contradiction rejects the rational assumption. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास परिमेय मान्यता को अस्वीकार करता है। इसलिए विपरीत कथन अपरिमेयता सही है।
A. यह सटीक विरोधाभास देता है/It gives an exact contradiction
Step 1
Concept
Decimal approximation is not a proof. The coprime fraction argument proves irrationality exactly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह सटीक विरोधाभास देता है / It gives an exact contradiction. Decimal approximation is not a proof. The coprime fraction argument proves irrationality exactly.
Step 3
Exam Tip
दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है। सहभाज्य भिन्न वाला तर्क अपरिमेयता को निश्चित रूप से सिद्ध करता है।
A. क्योंकि विभाज्यता तर्क पूर्ण प्रमाण देता है/Because divisibility reasoning gives a complete proof
Step 1
Concept
Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and coprime contradiction form the correct proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि विभाज्यता तर्क पूर्ण प्रमाण देता है / Because divisibility reasoning gives a complete proof. Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and coprime contradiction form the correct proof.
Step 3
Exam Tip
अनुमान केवल निकट मान देता है। (3) से विभाज्यता और सहभाज्य विरोधाभास सही प्रमाण हैं।
A. दोनों में परिमेय मान्यता से सरलतम भिन्न के विरुद्ध सामान्य अभाज्य गुणनखंड मिलता है/In both, rational assumption gives a common prime factor against lowest fraction
Step 1
Concept
Both proofs are based on contradiction. The only difference is the common prime (2) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में परिमेय मान्यता से सरलतम भिन्न के विरुद्ध सामान्य अभाज्य गुणनखंड मिलता है / In both, rational assumption gives a common prime factor against lowest fraction. Both proofs are based on contradiction. The only difference is the common prime (2) or (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। फर्क केवल सामान्य बनने वाला अभाज्य (2) या (3) है।
A. \(\frac{r}{s}\) (2) से घट सकती है/\(\frac{r}{s}\) can be reduced by (2)
Step 1
Concept
Both have common factor (2). Therefore the fraction cannot be in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{r}{s}\) (2) से घट सकती है / \(\frac{r}{s}\) can be reduced by (2). Both have common factor (2). Therefore the fraction cannot be in lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
B. \(\frac{m}{n}\) (3) से घट सकती है/\(\frac{m}{n}\) can be reduced by (3)
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore it cannot be a lowest fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{m}{n}\) (3) से घट सकती है / \(\frac{m}{n}\) can be reduced by (3). Both have common factor (3). Therefore it cannot be a lowest fraction.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए यह सरलतम भिन्न नहीं हो सकती।
A. सरलतम सहभाज्य रूप लिखे बिना अंतिम विरोधाभास लिख देना/Writing final contradiction without stating lowest coprime form
Step 1
Concept
Lowest form is the basis of contradiction. If omitted, the proof may look incomplete.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम सहभाज्य रूप लिखे बिना अंतिम विरोधाभास लिख देना / Writing final contradiction without stating lowest coprime form. Lowest form is the basis of contradiction. If omitted, the proof may look incomplete.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही विरोधाभास का आधार है। इसे छोड़ा तो प्रमाण अधूरा लग सकता है।
