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\(|B|=\frac{24}{4}=6\), इसलिए \(|B\times C|=6\cdot7=42\)। पहले अज्ञात समुच्चय की कार्डिनलिटी निकालें। / Since \(|B|=\frac{24}{4}=6\), \(|B\times C|=6\cdot7=42\). First find the unknown cardinality.
कुल (12) युग्म हैं, (2) युग्म रखने और (1) युग्म हटाने के बाद (9) स्वतंत्र युग्म बचते हैं। इसलिए संख्या \(2^9=512\) है। / There are (12) pairs, and after forcing (2) in and (1) out, (9) pairs remain free. Hence the number is \(2^9=512\).
\(|A\times B|=10\), इसलिए ठीक (5) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{10}{5}=252\) हैं। ठीक संख्या के लिए संयोजन लगाएँ। / \(|A\times B|=10\), so choosing exactly (5) pairs gives \(\binom{10}{5}=252\). Use combinations for exact-size subsets.
शर्त से ((8,3)) और ((5,4)) मिलते हैं, इसलिए (|R|=2)। समीकरण में (b) के संभावित मान व्यवस्थित रूप से जाँचें। / The condition gives ((8,3)) and ((5,4)), so (|R|=2). Check possible (b)-values systematically.
युग्म ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)) हैं, इसलिए संख्या (4) है। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)), so the count is (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
(a=1) पर (5), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (1) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। समानता (a=b) को शामिल न करें। / For (a=1), there are (5) pairs; for (a=2), (2); and for (a=3), (1), totaling (8). Do not include (a=b).
यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{2,3,4,5,6,7\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(a+b\) अभाज्य है और \(a<b\) है?
शर्त \(a<b\) और अभाज्य योग को साथ-साथ जाँचें। \(a=1\) के लिए \(b=2,4,6\) से योग \(3,5,7\) मिलते हैं, इसलिए 3 युग्म हैं। \(a=2\) के लिए \(b=3,5\) से 2 युग्म, \(a=3\) के लिए \(b=4\) से 1 युग्म, \(a=4\) के लिए \(b=7\) से 1 युग्म और \(a=5\) के लिए \(b=6\) से 1 युग्म मिलते हैं। कुल \(3+2+1+1+1=8\) युग्म हैं। अतः सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(a\) के लिए केवल \(b>a\) वाले मान लिखकर उनके योगों की अभाज्यता जाँचें। / Apply both conditions simultaneously. For \(a=1\), the values \(b=2,4,6\) give the prime sums \(3,5,7\), contributing 3 pairs. For \(a=2\), \(b=3,5\) contribute 2 pairs; for \(a=3\), \(b=4\) contributes 1 pair; for \(a=4\), \(b=7\) contributes 1 pair; and for \(a=5\), \(b=6\) contributes 1 pair. Thus the total is \(3+2+1+1+1=8\) pairs. Therefore, option B is correct. Exam tip: for each \(a\), list only elements \(b>a\), then test whether \(a+b\) is prime.
पूरक में विषम योग वाले युग्म होंगे और उनकी संख्या \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। पूरक गिनती में विपरीत शर्त लिखें। / The complement contains pairs with odd sum, and the count is \(2\cdot2+2\cdot2=8\). For complements, write the opposite condition.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (5,5,2,0) मान मिलते हैं, कुल (12)। हर (a) पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,5,2,0), totaling (12). Check the boundary separately for each (a).
दोनों अवयवों की समता समान होनी चाहिए और (\gcd(a,b)=1) भी चाहिए, ऐसे (7) युग्म हैं। सम-सम युग्मों में \(\gcd\) जल्दी जाँचें। / The components must have the same parity and also (\gcd(a,b)=1), giving (7) pairs. Check \(\gcd\) carefully among same-parity pairs.
यह \(a\mid b\) की शर्त है; (a=1,2,3,4) के लिए गिनती (4,4,1,2) है। कुल (11) युग्म मिलते हैं। / This is the condition \(a\mid b\); for (a=1,2,3,4), the counts are (4,4,1,2). The total is (11) pairs.
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{1,2,3,4\}\) और \(C=\{2,3,5\}\) हैं, तो \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert+\lvert(A\times B)\cap(A\times C)\rvert\) का मान क्या है?
पहले, \(B\setminus C=\{1,4\}\), इसलिए \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert=3\times2=6\)। साथ ही, \((A\times B)\cap(A\times C)=A\times(B\cap C)\) और \(B\cap C=\{2,3\}\), इसलिए इस समुच्चय में भी \(3\times2=6\) युग्म हैं। अतः कुल मान \(6+6=12\) है। परीक्षा-युक्ति: \((A\times B)\cap(A\times C)\) को \(A\times(B\cap C)\) के रूप में सरल करें। / First, \(B\setminus C=\{1,4\}\), so \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert=3\times2=6\). Also, \((A\times B)\cap(A\times C)=A\times(B\cap C)\), and \(B\cap C=\{2,3\}\), so this intersection also contains \(3\times2=6\) ordered pairs. Therefore, the total is \(6+6=12\). Exam tip: simplify \((A\times B)\cap(A\times C)\) as \(A\times(B\cap C)\) before counting elements.
(a+b=6) वाले (5) और (a=b) वाले (5) युग्म हैं, पर ((3,3)) दो बार गिना गया। इसलिए (5+5-1=9)। / There are (5) pairs with (a+b=6) and (5) with (a=b), but ((3,3)) is counted twice. Hence (5+5-1=9).
पहली शर्त के अंदर विपरीत समता वाले युग्म गिनने पर (10) मिलते हैं। संयुक्त शर्तों में पहले सीमा और फिर समता जाँचें। / Counting opposite-parity pairs under the product bound gives (10). For combined conditions, check the bound first and then parity.
संभव अंतरों को जाँचने पर अभाज्य अंतर वाले (6) युग्म मिलते हैं। ध्यान रखें कि (1) अभाज्य नहीं है। / Checking possible differences gives (6) pairs with prime difference. Remember that (1) is not prime.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{1,2,3\}\) और \(C=\{0,1\}\) हैं, तो \(A\times B\times C\) में ऐसे कितने क्रमित त्रिक \((a,b,c)\) हैं जो \(a=b+c\) को संतुष्ट करते हैं?
हर \((b,c)\) के लिए \(a=b+c\) निश्चित रूप से एक ही मान देता है। जब \(c=0\), तो \(a=1,2,3\) मिलते हैं; और जब \(c=1\), तो \(a=2,3,4\) मिलते हैं। ये सभी मान \(A\) में हैं, इसलिए कुल \(3+3=6\) क्रमित त्रिक हैं। समान \(a\) मानों को अलग-अलग \((b,c)\) युग्मों के कारण अलग त्रिक माना जाता है। परीक्षा में पहले \((b,c)\) के सभी युग्म गिनकर प्रत्येक के लिए \(a\) की वैधता जाँचें। / For every pair \((b,c)\), the equation \(a=b+c\) determines exactly one value of \(a\). When \(c=0\), the values of \(a\) are \(1,2,3\); when \(c=1\), they are \(2,3,4\). All these values belong to \(A\), so the total number of ordered triples is \(3+3=6\). Repeated values of \(a\) still correspond to different triples because their \((b,c)\) pairs are different. In an exam, count the possible \((b,c)\) pairs first and then check whether the resulting \(a\) lies in \(A\).
(\operatorname{lcm}(a,b)=6) के लिए (a,b) के मान (6) के भाजक होने चाहिए और कुल (9) युग्म मिलते हैं। भाजकों की सूची से जाँचें। / For (\operatorname{lcm}(a,b)=6), both values must divide (6), and there are (9) pairs. Check using the list of divisors.
कुल (25) युग्मों में (|a-b|>2) वाले (6) युग्म हैं, इसलिए (25-6=19)। पूरक गिनती तेज रहती है। / Among (25) total pairs, (6) pairs have (|a-b|>2), so (25-6=19). Complement counting is quicker.
शर्त a<b को संतुष्ट करने वाले युग्म हैं (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), इसलिए इनकी संख्या 6 है। शर्त a+b=5 को संतुष्ट करने वाले 4 युग्म हैं: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)। इनमें (1,4) और (2,3) दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं, इसलिए उन्हें दो बार नहीं गिनना चाहिए। अतः कुल संख्या 6+4−2=8 है। परीक्षा-युक्ति: ‘या’ वाली दो शर्तों में समावेशन-बहिष्करण सूत्र |P∪Q|=|P|+|Q|−|P∩Q| लगाएँ। / The ordered pairs satisfying a<b are (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), and (3,4), giving 6 pairs. The pairs satisfying a+b=5 are (1,4), (2,3), (3,2), and (4,1), giving 4 pairs. The pairs (1,4) and (2,3) satisfy both conditions, so they must not be counted twice. Therefore, the required number is 6+4−2=8. Exam tip: For two conditions joined by ‘or’, use |P∪Q|=|P|+|Q|−|P∩Q|.
\(a+b\le4\) वाले कुल (15) युग्म हैं और उनमें बराबर युग्म ((0,0),(1,1),(2,2)) हैं। इसलिए (15-3=12)। / There are (15) pairs with \(a+b\le4\), and equal pairs among them are ((0,0),(1,1),(2,2)). Hence (15-3=12).
(3) से विभाज्य योग वाले (12) युग्म हैं और उनमें ((3,3),(6,6)) बराबर युग्म हैं। इसलिए (12-2=10)। / There are (12) pairs with sum divisible by (3), and equal pairs among them are ((3,3),(6,6)). Hence (12-2=10).
यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(b\), \(a\) का गुणज है और \(b\ne a\) है?
जब \(a=1\), तो \(b\) के 6 संभावित गुणज हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6। जब \(a=2\), तो 3 गुणज हैं: 2, 4, 6; और जब \(a=3\), तो 2 गुणज हैं: 3, 6। अतः कुल युग्म \(6+3+2=11\) हैं। इनमें \((1,1),(2,2),(3,3)\) में \(b=a\) है, इसलिए इन्हें हटाने पर \(11-3=8\) युग्म बचते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक \(a\) के लिए \(B\) में उपलब्ध गुणज गिनें, फिर समान अवयव वाले युग्म हटाएँ। / For \(a=1\), there are 6 possible multiples of \(a\) in \(B\): 1, 2, 3, 4, 5, 6. For \(a=2\), there are 3: 2, 4, 6; and for \(a=3\), there are 2: 3, 6. Thus, the total number of pairs before applying \(b\ne a\) is \(6+3+2=11\). The three pairs \((1,1),(2,2),(3,3)\) have \(b=a\), so they must be excluded. Therefore, the required number is \(11-3=8\). Exam tip: count the available multiples for each value of \(a\), then remove the equal-coordinate pairs.
\(a^2\) के अवशेष (1,4,4,1) हैं और (B) में हर ऐसे अवशेष का एक-एक मान है। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / The residues of \(a^2\) are (1,4,4,1), and each such residue has one value in (B). Therefore there are (4) pairs.
समीकरण ((a-1)(b-1)=1) देता है, इसलिए केवल ((2,2)) मिलता है। रूपांतरण से गिनती आसान होती है। / The equation gives ((a-1)(b-1)=1), so only ((2,2)) works. Factor transformation makes counting easier.
विषम योग वाले युग्म (8) हैं, इसलिए (R) के उपसमुच्चय \(2^8=256\) हैं। पहले संबंध की कार्डिनलिटी निकालें। / There are (8) pairs with odd sum, so subsets of (R) are \(2^8=256\). First find the cardinality of the relation.
योग सम के लिए दोनों की समता समान चाहिए और (a<b) भी चाहिए। विषमों से (3) और समों से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (4)। / Even sum requires same parity, along with (a<b). Odd values give (3) pairs and even values give (1), totaling (4).
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) हैं, तो \(A\times B\) में कितने युग्म ((a,b)) ऐसे हैं जिनमें (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं या दोनों भाज्य हैं?
अभाज्य संख्याएँ (3) और भाज्य संख्याएँ (2) हैं, इसलिए गिनती \(3^2+2^2=13\) है। (1) न अभाज्य है न भाज्य। / There are (3) primes and (2) composites, so the count is \(3^2+2^2=13\). The number (1) is neither prime nor composite.
(a-b=1) से (5) और (a-b=3) से (3) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। अलग-अलग अंतरों को जोड़ें। / The condition (a-b=1) gives (5) pairs and (a-b=3) gives (3), totaling (8). Add the counts for separate differences.
विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) हैं, इसलिए (4) हटाने होंगे। विकर्ण की संख्या (|A|) होती है। / The diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)), so (4) must be removed. The number of diagonal pairs is (|A|).
तीन संख्याओं (1) से (3) के बीच योग (6) के कुल (7) क्रमित त्रिक हैं। क्रमित त्रिक में क्रम अलग गिना जाता है। / There are (7) ordered triples from (1) to (3) with sum (6). In ordered triples, order is counted separately.
योग (4) या (8) हो सकता है और अनुकूल युग्मों की कुल संख्या (6) है। शेषफल या योग-सूची से गिनें। / The sum can be (4) or (8), and the total number of valid pairs is (6). Count using remainders or a sum list.
योग (5) या (10) बनने वाले क्रमित युग्मों की संख्या (7) है। शेषफलों के पूरक जोड़ से तेज गिनती होती है। / The number of ordered pairs with sum (5) or (10) is (7). Complementary remainders give a quick count.
\(a\mid b\) वाले (16) युग्म हैं और \(b\mid a\) भी होने वाले ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are (16) pairs with \(a\mid b\), and pairs where \(b\mid a\) also holds are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Hence (16-4=12).
हर (x) के लिए (R) उसे (6-x) से और फिर वापस (x) से जोड़ता है। इसलिए \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) में (5) युग्म हैं। / For each (x), (R) maps it to (6-x) and then back to (x). Thus \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) has (5) pairs.
दोनों संख्याएँ (2) से गुणित हों और भाग देने पर परस्पर अभाज्य रहें, ऐसे (7) युग्म हैं। \(\gcd\) प्रश्न में सामान्य गुणनखंड निकालें। / Both numbers must be multiples of (2), and after division the reduced pair must be coprime, giving (7) pairs. Factor out the common divisor in \(\gcd\) questions.
पूरक में (a+b<6) वाले युग्म होंगे, जिनकी पंक्ति-गिनती (4,3,2,1) है। इसलिए कुल (10) युग्म हैं। / The complement has pairs with (a+b<6), whose row counts are (4,3,2,1). Hence there are (10) pairs.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(a+b\) सम है और \(ab\), \(3\) से विभाज्य है?
\(a+b\) के सम होने के लिए \(a\) और \(b\) की समता समान होनी चाहिए। \(ab\) के \(3\) से विभाज्य होने के लिए \(a\) या \(b\) में से कम-से-कम एक का मान \(3\) होना चाहिए, क्योंकि समुच्चय में \(3\) का एकमात्र गुणज \(3\) है। संख्या \(3\) विषम है, इसलिए दोनों संख्याएँ विषम होनी चाहिए। विषम संख्याएँ \(\{1,3,5\}\) हैं। अतः ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या \(3\times3-2\times2=9-4=5\) नहीं, बल्कि शर्त \(a=3\) या \(b=3\) लगाने पर \(3+3-1=5\) होगी। इसलिए सही उत्तर \(5\) है; दिए गए विकल्पों में यह उपलब्ध नहीं है। प्रश्न के विकल्पों में तथ्यात्मक त्रुटि है। परीक्षा-टिप: पहले समता की शर्त लगाएँ, फिर विभाज्यता की शर्त से युग्मों को छाँटें। / For \(a+b\) to be even, \(a\) and \(b\) must have the same parity. For \(ab\) to be divisible by \(3\), at least one of \(a\) or \(b\) must be \(3\), since \(3\) is the only multiple of \(3\) in the set. Because \(3\) is odd, both entries must be odd. Among the odd values \(\{1,3,5\}\), the ordered pairs with \(a=3\) or \(b=3\) number \(3+3-1=5\), where \((3,3)\) is counted only once. Thus the correct answer is \(5\), which is not present among the supplied options. The original options contain a factual error. Exam tip: apply the parity condition first, then filter the remaining ordered pairs using divisibility.
(a+b=9) वाले (4) और (ab=12) वाले (4) युग्म हैं, साझा कोई नहीं है। इसलिए कुल (8) युग्म हैं। / There are (4) pairs with (a+b=9) and (4) with (ab=12), with no overlap. Hence the total is (8).
\(R^{-1}\) में (a>b) वाली शर्त होगी, जो (a<b) के साथ एक साथ संभव नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / \(R^{-1}\) has the condition (a>b), which cannot hold together with (a<b). Therefore the intersection is empty.
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{1,2,3\}\) और \(C=\{1,2\}\) हैं, तो \(A\times B\times C\) में ऐसे कितने क्रमित त्रिक \((a,b,c)\) हैं जो \(a+b=2c+1\) को संतुष्ट करते हैं?
जब \(c=1\), तब \(a+b=3\) होना चाहिए। \(A\) और \(B\) से इसके लिए क्रमित युग्म \((1,2)\ ext{ और }(2,1)\) मिलते हैं, अर्थात 2 त्रिक। जब \(c=2\), तब \(a+b=5\) होना चाहिए और क्रमित युग्म \((2,3)\text{ और }(3,2)\) मिलते हैं, अर्थात 2 त्रिक। इसलिए कुल त्रिक \(2+2=4\) हैं। ध्यान दें कि क्रमित युग्मों में क्रम बदलने पर अलग युग्म माना जाता है। / For \(c=1\), the condition becomes \(a+b=3\). The ordered pairs from \(A\) and \(B\) are \((1,2)\) and \((2,1)\), giving 2 triples. For \(c=2\), the condition becomes \(a+b=5\), with ordered pairs \((2,3)\) and \((3,2)\), giving 2 more triples. Hence, the total number of triples is \(2+2=4\). Remember that reversing an ordered pair produces a different pair.
(a=1,2,3,4,5) के लिए योग्य (b) की गिनती (3,2,2,1,1) है, कुल (9)। विषम योग के लिए समता अलग होनी चाहिए। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of valid (b) are (3,2,2,1,1), totaling (9). Odd sum requires opposite parity.
शर्त \(a+b\le5\) उलटने पर भी वही रहती है, इसलिए (R) के सभी (10) युग्म योग्य हैं। सममित शर्त को पहचानें। / The condition \(a+b\le5\) remains the same after reversal, so all (10) pairs of (R) qualify. Recognize symmetric conditions.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=7\}\) है, तो (R) के कितने उपसमुच्चय कम से कम एक युग्म रखते हैं जिसका पहला अवयव (1) है?
(R) में (6) युग्म हैं और पहला अवयव (1) वाला केवल ((1,6)) है। उसे रखना होगा, इसलिए बाकी (5) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^5=32\) है। / There are (6) pairs in (R), and only ((1,6)) has first component (1). It must be included, so the other (5) pairs are free, giving \(2^5=32\).
(n\(A\times B\)=12) और (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) में (4) अवयव हैं। इसलिए अंतर में (12-4=8) अवयव होंगे। / (n\(A\times B\)=12), and (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) has (4) elements. So the difference has (12-4=8) elements.
अशून्य समुच्चयों के लिए \(A\times B=B\times A\) तभी होता है जब (A=B)। परीक्षा में खाली समुच्चय की शर्त जरूर देखें। / For non-empty sets, \(A\times B=B\times A\) only when (A=B). In exams, always check the empty-set condition.
यहां \(A=\{-2,2\}\) और \(B=\{2,3\}\), इसलिए (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4)। परीक्षा में पहले प्रत्येक समुच्चय के अवयव निकालें। / Here \(A=\{-2,2\}\) and \(B=\{2,3\}\), so (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4). In exams, first list each set.
( (4,2) ) में पहला अवयव (4) है जो (A) में नहीं है। परीक्षा में क्रमबद्ध युग्म में पहला स्थान (A) से और दूसरा स्थान (B) से लें। / In ( (4,2) ), the first element (4) is not in (A). In exams, take the first coordinate from (A) and the second from (B).
(\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)), जहां \(A\cap C={2,3}\) और \(B\cap D={b}\)। इसलिए कुल \(2\cdot1=2\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)), where \(A\cap C={2,3}\) and \(B\cap D={b}\). So there are \(2\cdot1=2\) elements.
हर \(a\in A\) के लिए \(a\in C\) और हर \(b\in B\) के लिए \(b\in D\), इसलिए \((a,b)\in C\times D\)। परीक्षा में दोनों निर्देशांकों की सदस्यता अलग जांचें। / Every \(a\in A\) lies in (C), and every \(b\in B\) lies in (D), so \((a,b)\in C\times D\). In exams, check membership of both coordinates separately.
\(2\in[1,3]\) और \(4\in(2,5)\), इसलिए \((2,4)\in A\times B\)। परीक्षा में बंद और खुले अंतराल के सिरों को ध्यान से देखें। / \(2\in[1,3]\) and \(4\in(2,5)\), so \((2,4)\in A\times B\). In exams, check endpoints of closed and open intervals carefully.
बराबर निर्देशांक वाले युग्म ((a,a)) रूप के होते हैं और ऐसे युग्मों की संख्या (n(A)) होती है। परीक्षा में इन्हें विकर्ण युग्म समझें। / Pairs with equal coordinates are of the form ((a,a)), and their number is (n(A)). In exams, treat them as diagonal pairs.
कुल युग्म \(7^2=49\) और बराबर निर्देशांक वाले (7) हैं। इसलिए अलग निर्देशांक वाले (49-7=42) हैं। / Total pairs are \(7^2=49\), and equal-coordinate pairs are (7). Hence distinct-coordinate pairs are (49-7=42).
संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है और (n\(A\times B\)=20)। इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{20}\) है। / A relation is any subset of \(A\times B\), and (n\(A\times B\)=20). Hence the number of relations is \(2^{20}\).
यहां (n\(A\times B\)=3\cdot2=6)। ठीक (2) युग्म चुनने की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / Here (n\(A\times B\)=3\cdot2=6). The number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{6}{2}=15\).
क्योंकि (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), इसलिए मान \(9\cdot1=9\) है। परीक्षा में युग्म बराबरी से सीधे निर्देशांक मिलाएं। / Since (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), the value is \(9\cdot1=9\). In exams, match coordinates directly from pair equality.
पहले निर्देशांक (1,2) हैं और दूसरे निर्देशांक (3,4) हैं। इसलिए \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{3,4\}\)। / The first coordinates are (1,2), and the second coordinates are (3,4). Hence \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{3,4\}\).
B. \(A=\varnothing\) या \(B=\varnothing\)/\(A=\varnothing\) or \(B=\varnothing\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन खाली तभी होता है जब कम से कम एक समुच्चय खाली हो। परीक्षा में दोनों के खाली होने की जरूरत नहीं होती। / A Cartesian product is empty when at least one set is empty. In exams, both sets need not be empty.
\(B\cup C={3,4,5}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\cdot3=6)। परीक्षा में पहले अंदर का समुच्चय सरल करें। / \(B\cup C={3,4,5}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\cdot3=6). In exams, simplify the inner set first.
(x=0) पर (3), (x=1) पर (2), और (x=2) पर (1) विकल्प हैं। कुल (3+2+1=6) युग्म मिलते हैं। / For (x=0) there are (3) choices, for (x=1) there are (2), and for (x=2) there is (1). Total pairs are (3+2+1=6).
(x=1) से (4), (x=2) से (2), (x=3) से (1), (x=4) से (1) युग्म मिलते हैं। कुल (4+2+1+1=8) है। / For (x=1) there are (4), for (x=2) there are (2), for (x=3) there is (1), and for (x=4) there is (1). Total is (4+2+1+1=8).
कुल (9) युग्म हैं और गुणनफल विषम केवल ((1,3)) तथा ((3,3)) में है। इसलिए सम गुणनफल वाले (9-2=7) हैं। / There are (9) total pairs, and the product is odd only for ((1,3)) and ((3,3)). Hence even-product pairs are (9-2=7).
(x=2) पर (1), (x=4) पर (3), और (x=6) पर (4) विकल्प हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं बल्कि (x=6) के लिए चारों (y) सही हैं, अतः कुल (8) है। / For (x=2) there is (1) choice, for (x=4) there are (3), and for (x=6) there are (4). Hence the total is (1+3+4=8), so choose the option (8).
\(A\) के प्रत्येक मान के लिए \(y=x^2\) निकालने पर क्रमशः \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\) प्राप्त होते हैं। इन चारों युग्मों में पहला अवयव \(A\) में और दूसरा अवयव \(B\) में है, इसलिए सभी \(A\times B\) के सदस्य हैं। अतः कुल \(4\) युग्म हैं। विकल्प 3 में एक युग्म छूट जाता है, जबकि विकल्प 5 में एक अतिरिक्त युग्म गिना जाता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में \(A\) के प्रत्येक \(x\) का वर्ग निकालकर जाँचें कि वह \(B\) में है या नहीं। / For each \(x\in A\), the equation \(y=x^2\) gives the pairs \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\). In every pair, the first component belongs to \(A\) and the second component belongs to \(B\), so all four pairs are in \(A\times B\). Therefore, the answer is \(4\). The value 3 misses one valid pair, while 5 counts an extra pair. Exam tip: square each element of \(A\) and count only those results that belong to \(B\).
योग सम तब होगा जब दोनों संख्याएं समान समता की हों। विषम-विषम (4) और सम-सम (1) मिलकर कुल (5) युग्म देते हैं। / The sum is even when both numbers have the same parity. Odd-odd gives (4) pairs and even-even gives (1), so total is (5).
(x+y=5) और दोनों निर्देशांक (1) से (4) में होने चाहिए। इसलिए चार युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) मिलते हैं। / (x+y=5), and both coordinates must lie from (1) to (4). Thus the four pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)).
\(B\times A\) में पहला निर्देशांक (B) से और दूसरा (A) से आता है। इसलिए ((1,a)) सही है। / In \(B\times A\), the first coordinate comes from (B) and the second from (A). Hence ((1,a)) is correct.
(\(A\times B\)\times C) का अवयव (((a,b),c)) रूप का होता है। इसलिए (((1,3),5)) सही संरचना है। / An element of (\(A\times B\)\times C) has the form (((a,b),c)). Therefore (((1,3),5)) has the correct structure.
सामान्यतः \(A\times B\neq B\times A\) क्योंकि क्रम बदल जाता है। परीक्षा में ((a,b)) और ((b,a)) को अलग समझें। / Generally \(A\times B\neq B\times A\) because the order changes. In exams, treat ((a,b)) and ((b,a)) as different.
विषम (x) मान (1,3,5) हैं और इनके वर्ग (1,9,25) (B) में हैं। इसलिए कुल (3) युग्म हैं। / The odd values of (x) are (1,3,5), and their squares (1,9,25) are in (B). Hence there are (3) pairs.
योग (3,5,7) अभाज्य हो सकते हैं। सही युग्म ((1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(3,4)) हैं, इसलिए (5) युग्म हैं। / The prime sums possible are (3,5,7). The valid pairs are ((1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(3,4)), so there are (5) pairs.
(x=1) से (4), (x=2) से (4), (x=3) से (1), और (x=4) से (2) युग्म मिलते हैं। कुल (4+4+1+2=11) है। / For (x=1) there are (4), for (x=2) there are (4), for (x=3) there is (1), and for (x=4) there are (2). Total is (11).
कुल (9) युग्म हैं और बराबर निर्देशांक वाले (3) हैं। इसलिए \(x\neq y\) वाले (9-3=6) युग्म हैं। / There are (9) total pairs and (3) equal-coordinate pairs. Hence pairs with \(x\neq y\) are (9-3=6).
(x=2) पर (4,6,10), (x=3) पर (6,15), और (x=5) पर (10,15) सही हैं। कुल (3+2+2=7) नहीं बल्कि ((5,15)) सहित (7) है, इसलिए सही विकल्प (7) होना चाहिए। / For (x=2), (4,6,10) work; for (x=3), (6,15) work; for (x=5), (10,15) work. The total is (3+2+2=7), so the correct option is (7).
योग (3) या (6) हो सकता है। सही युग्म ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)) हैं, इसलिए (5) युग्म हैं। / The sum can be (3) or (6). Valid pairs are ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)), so there are (5) pairs.
समीकरण (xy-x-y=0) से ((x-1)(y-1)=1) मिलता है। धनात्मक पूर्णांकों में केवल ((2,2)) सही है, इसलिए संख्या (1) है। / The equation (xy-x-y=0) gives ((x-1)(y-1)=1). Among positive integers, only ((2,2)) works, so the count is (1).
यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:|x-2|\le2}\) और \(B={y\in\mathbb{N}:y^2-5y+6=0}\), तो \(A\times B\) में (x+y) अभाज्य होने वाले क्रमित युग्मों की संख्या कितनी है?
यहां \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(B=\{2,3\}\) हैं। जांचने पर (x+y) अभाज्य वाले (6) युग्म मिलते हैं, इसलिए पहले समुच्चय स्पष्ट करें। / Here \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(B=\{2,3\}\). On checking, (6) pairs have (x+y) prime, so first write the sets clearly.
पहले स्थान पर आने वाले तत्व (1,4) हैं और दूसरे स्थान पर आने वाले तत्व (2,3) हैं। \(A\times B\) में क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The first coordinates are (1,4) and the second coordinates are (2,3). Order is very important in \(A\times B\).
(a=1,2,3,4) पर मान्य (b) की संख्याएं क्रमशः (4,4,1,0) हैं। कुल (9) युग्म हैं, इसलिए हर पहले घटक पर शर्त लगाएं। / For (a=1,2,3,4), the valid numbers of (b) are (4,4,1,0). Total is (9), so apply the condition for each first coordinate.
(n\(A\times B\)=3\cdot2=6) और फिर \(6\cdot4=24\)। युग्म का तत्व भी अगले कार्तीय गुणन में एक तत्व माना जाता है। / (n\(A\times B\)=3\cdot2=6) and then \(6\cdot4=24\). An ordered pair is treated as one element in the next Cartesian product.
केवल ((2,3)) और ((3,2)) के लिए (\operatorname{lcm}(a,b)=6) है। ध्यान रखें कि (6) दूसरे समुच्चय (B) में नहीं है। / Only ((2,3)) and ((3,2)) have (\operatorname{lcm}(a,b)=6). Remember that (6) is not in the second set (B).
(n\(A\times B\)=mn) और (n\(B\times A\)=nm), इसलिए दोनों बराबर हैं। बराबर संख्या का अर्थ बराबर समुच्चय होना जरूरी नहीं है। / (n\(A\times B\)=mn) and (n\(B\times A\)=nm), so they are equal. Equal cardinality does not necessarily mean equal sets.
यदि (A=B), तो दोनों गुणन में वही सभी क्रमित युग्म मिलते हैं। केवल तत्वों की संख्या बराबर होना पर्याप्त नहीं है। / If (A=B), both products contain exactly the same ordered pairs. Equal number of elements alone is not enough.
दोनों कार्तीय गुणनों में समान क्रमित युग्म केवल ((2,2)) है। क्रमित युग्म में ((1,2)) और ((2,1)) अलग होते हैं। / The only common ordered pair in both Cartesian products is ((2,2)). In ordered pairs, ((1,2)) and ((2,1)) are different.
\(B=\{2,3,5,7\}\) है; योग सम तब होगा जब दोनों की समता समान हो। कुल युग्म \(2\cdot1+3\cdot3=11\) नहीं, बल्कि (A) में सम (2) और विषम (3) से \(2\cdot1+3\cdot3=11\) मिलते हैं, इसलिए विकल्पों में त्रुटि जांचें। / \(B=\{2,3,5,7\}\); the sum is even when both have the same parity. Even in (A) gives \(2\cdot1\) and odd gives \(3\cdot3\), total (11), so check options carefully.
(a=1) पर (3), (a=2) पर (3), (a=3) पर (1), और (a=4) पर (1) युग्म मिलते हैं। कुल (8) है, इसलिए प्रत्येक पहले निर्देशांक को अलग जांचें। / For (a=1) there are (3), for (a=2) there are (3), for (a=3) there is (1), and for (a=4) there is (1). Total is (8), so test each first coordinate separately.
(ab=0) के लिए (a=0) से (3) युग्म और (b=0) से (3) युग्म मिलते हैं, लेकिन ((0,0)) दो बार गिना गया है। इसलिए कुल (3+3-1=5) है। / For (ab=0), (a=0) gives (3) pairs and (b=0) gives (3) pairs, but ((0,0)) is counted twice. Hence total is (3+3-1=5).
(a=1) पर (3), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (1) विकल्प मिलते हैं। कुल (6) है और असमता में क्रम ध्यान से देखें। / For (a=1) there are (3), for (a=2) there are (2), and for (a=3) there is (1) choice. Total is (6), and the order in inequality matters.
(a=2) पर केवल (9), (a=3) पर (4,10), और (a=5) पर (4,6,9) में से (4,6,9) मिलते हैं, कुल (6) है। अतः दिए विकल्पों में सही संख्या होनी चाहिए (6), इसलिए विकल्प नहीं मिलते। / For (a=2), only (9); for (a=3), (4,10); for (a=5), (4,6,9), giving total (6). Therefore the correct count should be (6), so the listed options do not match.
(n\(A\times B\)=12) और समान भाग (\(A\cap B\)\times\(A\cap B\)) के (4) युग्म हैं। इसलिए अंतर में (12-4=8) युग्म होंगे। / (n\(A\times B\)=12), and the common part (\(A\cap B\)\times\(A\cap B\)) has (4) pairs. So the difference has (12-4=8) pairs.
\(B=\{-2,2\}\) है और युग्म ((2,-2)) तथा ((-2,2)) मिलते हैं। समीकरण लगाते समय दोनों निर्देशांक का समुच्चय अलग रखें। / \(B=\{-2,2\}\), and the pairs are ((2,-2)) and ((-2,2)). Keep the sets of both coordinates separate while applying the equation.
कार्तीय गुणन दूसरे घटक में संघ पर वितरित होता है। सूत्र (A\times\(B\cup C\)=\(A\times B\)\cup\(A\times C\)) याद रखें। / Cartesian product distributes over union in the second component. Remember (A\times\(B\cup C\)=\(A\times B\)\cup\(A\times C\)).
B. \(A=\varnothing\) या \(B=\varnothing\)/\(A=\varnothing\) or \(B=\varnothing\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन खाली तभी होगा जब कम से कम एक समुच्चय खाली हो। दोनों का खाली होना जरूरी नहीं है। / The Cartesian product is empty when at least one of the sets is empty. Both sets need not be empty.
पहले समुच्चय के संघ की संख्या ज्ञात करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=4+5-2=7\)। अब \(n(A\cap B)=2\) है। कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\), इसलिए \(n\big((A\cap B)\times(A\cup B)\big)=2\times7=14\)। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: संघ की संख्या निकालते समय प्रतिच्छेद की संख्या एक बार घटाना न भूलें। / First find the cardinality of the union: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=4+5-2=7\). Since \(n(A\cap B)=2\), use the Cartesian-product formula \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\): \(n\big((A\cap B)\times(A\cup B)\big)=2\times7=14\). Therefore, option C is correct. Exam tip: when finding the cardinality of a union, subtract the intersection once to avoid double-counting.
(a=1,2,3,4,5) पर क्रमशः (4,3,3,2,2) विकल्प मिलते हैं। कुल (14) है, इसलिए हर (a) के लिए (b) गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the numbers of choices are (4,3,3,2,2). Total is (14), so count (b) for each (a).
हर \(a\in A\) के लिए (b=2a) लेने पर तीनों (b) समुच्चय (B) में हैं। क्रमित युग्म का पहला घटक (A) से ही होना चाहिए। / For each \(a\in A\), (b=2a) lies in (B). The first coordinate must come from (A).
\(a\) के प्रत्येक मान के लिए \(b=a^2\) निकालें: \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\) और \(3^2=9\)। ये सभी मान \(B\) में हैं, इसलिए क्रमित युग्म \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\) मिलते हैं। अतः कुल \(4\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में \(A\) के प्रत्येक अवयव का नियम के अनुसार प्रतिबिंब निकालकर जाँचें कि वह \(B\) में है या नहीं। / For each value of \(a\), calculate \(b=a^2\): \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\). Every resulting value belongs to \(B\), giving the ordered pairs \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\). Therefore, the total number of pairs is \(4\). Exam tip: Apply the given rule to every element of \(A\) and count only those results that lie in \(B\).
पांचों (a) मानों के वर्ग (4,1,0,1,4) सभी (B) में हैं। इसलिए प्रत्येक (a) से एक युग्म बनेगा। / The squares of all five (a)-values are (4,1,0,1,4), all in (B). Therefore each (a) gives one pair.
युग्म ((1,8)), ((2,4)) और ((4,2)) बनते हैं। गुणन में संख्या समान हो सकती है, पर क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदलता है। / The pairs are ((1,8)), ((2,4)), and ((4,2)). Values may multiply the same way, but changing positions changes an ordered pair.
योग (4) देने वाले सभी क्रमित युग्म ((1,3),(2,2),(3,1)) हैं। संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / All ordered pairs with sum (4) are ((1,3),(2,2),(3,1)). A relation is a subset of \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=16), इसलिए ठीक (2) युग्म चुनने के तरीके \({}^{16}C_2=120\) हैं। संबंध गिनते समय उपसमुच्चय चयन का विचार लगाएं। / (n\(A\times B\)=16), so the number of ways to choose exactly (2) pairs is \({}^{16}C_2=120\). Use subset selection when counting relations.
\(A\times B\) में \(3\cdot2=6\) युग्म हैं और हर संबंध इसका उपसमुच्चय है। इसलिए कुल संबंध \(2^6=64\) हैं। / \(A\times B\) has \(3\cdot2=6\) pairs, and each relation is a subset of it. Hence total relations are \(2^6=64\).
योग विषम तब होगा जब एक संख्या विषम और दूसरी सम हो। (A) में (2) विषम और (1) सम हैं, (B) में (2) सम और (1) विषम हैं, इसलिए \(2\cdot2+1\cdot1=5\)। / The sum is odd when one number is odd and the other is even. (A) has (2) odd and (1) even elements, while (B) has (2) even and (1) odd elements, so \(2\cdot2+1\cdot1=5\).
\(\frac{a}{b}\) के पूर्णांक होने के लिए \(b\), \(a\) का भाजक होना चाहिए। \(a=2\) के लिए \(b=1,2\), अर्थात् 2 युग्म; \(a=4\) के लिए \(b=1,2,4\), अर्थात् 3 युग्म; और \(a=6\) के लिए \(b=1,2,3\), अर्थात् 3 युग्म मिलते हैं। इसलिए कुल युग्म \(2+3+3=8\) हैं। ध्यान दें कि \((a,b)\) क्रमित युग्म है, इसलिए \(a\) के प्रत्येक मान के लिए अनुमत \(b\) अलग-अलग गिने जाते हैं। / For \(\frac{a}{b}\) to be an integer, \(b\) must be a divisor of \(a\). For \(a=2\), the possible values of \(b\) are \(1,2\), giving 2 pairs; for \(a=4\), they are \(1,2,4\), giving 3 pairs; and for \(a=6\), they are \(1,2,3\), giving 3 pairs. Thus, the total is \(2+3+3=8\). Since \((a,b)\) is an ordered pair, count the valid values of \(b\) separately for each value of \(a\).
दिए गए समुच्चयों में \(a,b\) के मान केवल 1, 2, 3 या 4 हो सकते हैं। समीकरण \(a^2+b^2=25\) के लिए \(3^2+4^2=25\), इसलिए \((3,4)\) और \((4,3)\) दो क्रमित युग्म मिलते हैं। \((3,4)\) और \((4,3)\) अलग-अलग युग्म हैं क्योंकि क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की गिनती करते समय उलटे क्रम को अलग युग्म मानें। / Since both sets contain only 1, 2, 3, and 4, the equation \(a^2+b^2=25\) is satisfied by \(3^2+4^2=25\). Thus, the ordered pairs are \((3,4)\) and \((4,3)\), giving a total of 2. These are distinct because order matters in a Cartesian product. Exam tip: when counting ordered pairs, treat reversed pairs as different unless the question concerns unordered pairs.
क्योंकि \(|A|=|B|=3\), इसलिए \(|A\times B|=3\times3=9\) क्रमित युग्म होंगे। इनमें \(a=b\) वाले केवल \((1,1),(2,2),(3,3)\), अर्थात् 3 युग्म हैं। अतः \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(9-3=6\) है। विकल्प 9 सभी युग्मों की संख्या है, केवल असमान अवयवों वाले युग्मों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान समुच्चयों के लिए \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(n^2-n=n(n-1)\) होती है। / Since \(|A|=|B|=3\), the Cartesian product contains \(3\times3=9\) ordered pairs. Exactly 3 pairs have equal components: \((1,1),(2,2),(3,3)\). Therefore, the number with \(a\ne b\) is \(9-3=6\). Option 9 counts all pairs, not just those with unequal components. Exam tip: for two identical sets of \(n\) elements, the number of pairs with unequal components is \(n^2-n=n(n-1)\).
युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। \(A\times A\) में दोनों घटक उसी समुच्चय से आते हैं। / The pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). In \(A\times A\), both coordinates come from the same set.
अभाज्य न होने वाले युग्म ((2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4),(5,5)) हैं। कुल (25-6=19) युग्म परस्पर अभाज्य हैं। / The non-coprime pairs are ((2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4),(5,5)). Thus (25-6=19) pairs are relatively prime.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। ((x,1)) में क्रम उल्टा है, इसलिए यह सदस्य नहीं है। / In \(A\times B\), the first coordinate must be from (A) and the second from (B). In ((x,1)), the order is reversed, so it is not a member.
\(A\cup B={1,2,3,4}\) में (4) तत्व हैं और (C) में (2) तत्व हैं। इसलिए \(4\cdot2=8\) युग्म बनेंगे। / \(A\cup B={1,2,3,4}\) has (4) elements and (C) has (2) elements. Hence \(4\cdot2=8\) pairs are formed.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), इसलिए इसमें 3 तत्व हैं; तथा \(B\cap C=\{2,4\}\), इसलिए इसमें 2 तत्व हैं। कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\) होती है। अतः \(3\times2=6\)। परीक्षा टिप: कार्तीय गुणनफल की संख्या निकालने के लिए दोनों समुच्चयों की संख्याएँ गुणा करें, उन्हें जोड़ें नहीं। / First find the intersections: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), which has 3 elements, and \(B\cap C=\{2,4\}\), which has 2 elements. The number of ordered pairs in a Cartesian product is \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\). Hence, \(3\times2=6\). Exam tip: multiply the cardinalities of the two sets for a Cartesian product; do not add them.
\(B\setminus A={4}\), इसलिए (A) के प्रत्येक तत्व के साथ (4) दूसरा घटक बनेगा। अंतर निकालकर ही गुणन करें। / \(B\setminus A={4}\), so (4) becomes the second coordinate with each element of (A). Find the difference before multiplying.
(a>b) चाहिए; युग्म ((2,1),(3,1),(3,2)) हैं। धनात्मक अंतर के लिए पहले घटक को बड़ा होना चाहिए। / We need (a>b); the pairs are ((2,1),(3,1),(3,2)). For a positive difference, the first coordinate must be larger.
प्रत्येक \(a\) के लिए \(B\) से ऐसे \(b\) गिनते हैं जो \(b>a\) हों। \(a=1,2,3,4\) के लिए क्रमशः विकल्पों की संख्या \(3,3,3,2\) है। इसलिए कुल संख्या \(3+3+3+2=11\) है। विकल्प 10 में किसी एक स्थिति की एक वैध पसंद छूट जाती है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्म \((a,b)\) होते हैं, इसलिए प्रत्येक \(a\) को स्थिर रखकर गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For each fixed value of \(a\), count the elements of \(B\) that are greater than it. For \(a=1,2,3,4\), the respective numbers of choices are \(3,3,3,2\). Hence, the total is \(3+3+3+2=11\). The distractor 10 results from missing one valid choice in one of these cases. Exam tip: Since \(A \times B\) contains ordered pairs \((a,b)\), fix each value of \(a\) and count the permissible values of \(b\).
योगों में अभाज्य मान (3,5,7) आते हैं; वैध युग्म ((1,2),(2,3),(2,5),(3,2)) और ((1,4)) नहीं है, इसलिए सही कुल (4) है। विकल्प जांचते समय केवल उपलब्ध तत्वों का प्रयोग करें। / Prime sums possible are (3,5,7); the valid pairs are ((1,2),(2,3),(2,5),(3,2)), and ((1,4)) is not allowed, so the correct total is (4). Use only available elements while checking options.
प्रत्येक a के लिए उन b मानों की गणना करें जिनके लिए a+b≤5 है। a=1 पर b के 3 मान, a=2 पर 3 मान, a=3 पर 2 मान और a=4 पर 1 मान संभव हैं। इसलिए कुल क्रमित युग्मों की संख्या 3+3+2+1=9 है। ध्यान रखें कि कार्तीय गुणनफल में क्रम महत्वपूर्ण होता है और प्रत्येक युग्म (a,b) के रूप में लिया जाता है। / Count the possible values of b for each value of a such that a+b≤5. For a=1, there are 3 choices of b; for a=2, 3 choices; for a=3, 2 choices; and for a=4, 1 choice. Thus, the total number of ordered pairs is 3+3+2+1=9. Exam tip: In a Cartesian product, order matters, so each pair is counted as (a,b).
जब a=1, तब B के सभी 4 अवयव 1 के गुणज हैं, इसलिए 4 युग्म मिलते हैं। जब a=2, तब केवल 6 और 12, 2 के गुणज हैं, इसलिए 2 युग्म मिलते हैं। जब a=3, तब 3, 6, 9 और 12 सभी 3 के गुणज हैं, इसलिए 4 युग्म मिलते हैं। अतः कुल युग्म 4+2+4=10 हैं। परीक्षा में प्रत्येक a के लिए B में उसके गुणज अलग-अलग गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For a=1, all 4 elements of B are multiples of 1, giving 4 pairs. For a=2, only 6 and 12 are multiples of 2, giving 2 pairs. For a=3, all four elements 3, 6, 9 and 12 are multiples of 3, giving 4 pairs. Therefore, the total number of pairs is 4+2+4=10. In an exam, count the suitable values of b separately for each value of a to avoid missing or repeating a pair.
सम योग के लिए दोनों संख्याएं समान समता की होनी चाहिए। (A) में (2) सम और (1) विषम हैं, (B) में (2) सम और (2) विषम हैं, इसलिए \(2\cdot2+1\cdot2=6\)। / For an even sum, both numbers must have the same parity. (A) has (2) even and (1) odd elements, while (B) has (2) even and (2) odd elements, so \(2\cdot2+1\cdot2=6\).
समुच्चय \(A\) के सभी सदस्य विषम हैं और समुच्चय \(B\) के सभी सदस्य सम हैं। विषम संख्या और सम संख्या का योग हमेशा विषम होता है; इसलिए प्रत्येक क्रमित युग्म \((a,b)\) के लिए \(a+b\) विषम होगा। ‘अभाज्य’ विकल्प निश्चित नहीं है, क्योंकि \(3+6=9\) अभाज्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विषम \(\pm\) सम का परिणाम हमेशा विषम होता है। / Every element of \(A\) is odd, while every element of \(B\) is even. The sum of an odd number and an even number is always odd, so \(a+b\) is odd for every ordered pair \((a,b)\) in \(A\times B\). ‘Prime’ is not guaranteed because \(3+6=9\), which is composite. Exam tip: the sum or difference of an odd and an even number is always odd.
यदि A×B = B×A और A, B अरिक्त हैं, तो किसी b∈B के लिए (a,b)∈A×B होने से a∈B मिलता है; अतः A⊆B। इसी प्रकार B⊆A, इसलिए A=B। परीक्षा टिप: क्रमित युग्मों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / If A×B = B×A and both sets are non-empty, choose b∈B. From (a,b)∈A×B=B×A, we get a∈B, so A⊆B; similarly B⊆A. Hence A=B. Exam tip: order matters in ordered pairs.
क्योंकि B के सभी अवयव धनात्मक हैं, \(a^b=1\) तभी होगा जब \(a=1\)। अतः क्रमित युग्म \((1,1),(1,2),(1,3)\) इस शर्त को संतुष्ट करते हैं। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। \(a=0\) के लिए मान 0 और \(a=2\) के लिए मान 1 से अधिक होगा। परीक्षा-टिप: घातांक धनात्मक होने पर \(1^b=1\) को सीधे पहचानें। / Since every element of B is positive, \(a^b=1\) holds only when \(a=1\). Thus the ordered pairs \((1,1),(1,2),(1,3)\) satisfy the condition, giving a total of 3 pairs. For \(a=0\), the value is 0, while for \(a=2\), the value is greater than 1. Exam tip: when the exponent is positive, immediately check the base \(a=1\) for a value of 1.
|a − b| = 2 के लिए क्रमित युग्म हैं: (1, 3), (3, 1), (2, 4) और (4, 2)। अतः कुल 4 युग्म हैं। (1, 3) और (3, 1) जैसे दोनों क्रम अलग-अलग क्रमित युग्म माने जाते हैं; केवल अव्यवस्थित युग्म गिनने पर उत्तर 2 आता। परीक्षा में A × B के युग्मों में क्रम का महत्त्व याद रखें। / The ordered pairs satisfying |a − b| = 2 are (1, 3), (3, 1), (2, 4), and (4, 2). Therefore, the total number of pairs is 4. The pairs (1, 3) and (3, 1) are distinct because the order matters in a Cartesian product; counting them as one would incorrectly give 2. In an exam, remember that pairs in A × B are ordered pairs.
समान पहला घटक (A) है, इसलिए दूसरा घटक (B) और (C) दोनों में होना चाहिए। अतः (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\))। / The first component is the same set (A), so the second component must lie in both (B) and (C). Thus (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)).
(b=a+2) चाहिए, इसलिए युग्म ((1,3)), ((2,4)) और ((1,? )) नहीं, केवल (2) युग्म हैं। शर्त को पहले समीकरण में बदलें और उपलब्ध तत्व जांचें। / We need (b=a+2), so the valid pairs are ((1,3)) and ((2,4)), only (2) pairs. Convert the condition into an equation and then check available elements.
(a=1,2,3,4) पर मान क्रमशः (0,0,2,3) नहीं बल्कि (0,1,2,3) हैं, कुल (6) है। सीमा वाली असमता में बराबरी को न भूलें। / For (a=1,2,3,4), the counts are (0,1,2,3), totaling (6). Do not forget equality in a boundary inequality.
