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डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), इसलिए पूरक में (96-16=80) सदस्य हैं। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), the complement has (96-16=80) elements.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24) है। इसलिए पूरक में (120-24=96) सदस्य होंगे। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24). Therefore the complement has (120-24=96) elements.
असमानता से \(3\le x\le 6\) मिलता है, इसलिए (A) में (4) सदस्य हैं। (U) में (25) सदस्य हैं, अतः (n(A')=25-4=21) नहीं बल्कि (21) होता है। / The inequality gives \(3\le x\le 6\), so (A) has (4) elements. Since (U) has (25) elements, (n(A')=25-4=21).
यहाँ (A=[-5,2]) और (B=(-2,4)) है, इसलिए \(A'\cap B=(2,4)\) होगा। इसका पूरक (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)) है। / Here (A=[-5,2]) and (B=(-2,4)), so \(A'\cap B=(2,4)\). Its complement is (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)).
(-5) (A) में नहीं है, (1) और (4) (A) में हैं, और (9) (A) में नहीं है। सिरों को देखकर पूरक ([-5,1)\cup(4,9]) होगा। / The point (-5) is not in (A), (1) and (4) are in (A), and (9) is not in (A). Checking endpoints gives ([-5,1)\cup(4,9]).
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\subseteq C\) से \(C'\subseteq B'\subseteq A'\) मिलता है। / Taking complements reverses inclusion. Hence \(A\subseteq B\subseteq C\) gives \(C'\subseteq B'\subseteq A'\).
(A-B) में (3) के वे गुणज हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (14-2=12) है। इसलिए (n((A-B)')=42-12=30) नहीं बल्कि (30) होता है। / (A-B) contains multiples of (3) that are not divisible by (7), and their count is (14-2=12). Therefore (n((A-B)')=42-12=30).
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(5,8)=40) के गुणज आएंगे। (40) तक केवल (1) ऐसा सदस्य है, इसलिए पूरक (39) है। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(5,8)=40). Up to (40), there is only (1) such element, so the complement is (39).
पहले A ∪ B = {a, b, c, e, f, i} ज्ञात करें। अब इसका U के सापेक्ष पूरक लेने पर U में उपस्थित, लेकिन A ∪ B में अनुपस्थित अवयव मिलते हैं: {d, g}। विकल्प D गलत है क्योंकि f, A ∪ B में पहले से शामिल है। परीक्षा-युक्ति: (A ∪ B)' निकालने के लिए पहले संघ बनाकर उसे U से घटाएँ। / First, A ∪ B = {a, b, c, e, f, i}. Its complement relative to U contains the elements that are in U but not in A ∪ B, namely {d, g}. Option D is incorrect because f already belongs to A ∪ B. Exam tip: To find the complement of a union, form the union first and then remove its elements from the universal set.
\(|x+1|\ge 4\) से \(x+1\le -4\) या \(x+1\ge 4\), अतः \(A=(-\infty,-5]\cup[3,\infty)\) है। इसलिए \(\mathbb{R}\) में इसका पूरक \(A'=(-5,3)\) होगा। \(-5\) और \(3\) स्वयं \(A\) में शामिल हैं, इसलिए वे पूरक में शामिल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\ge r\) में हल सामान्यतः बाहरी अंतराल होते हैं, जबकि उसका पूरक आंतरिक खुला अंतराल होता है। / From \(|x+1|\ge 4\), we get \(x+1\le -4\) or \(x+1\ge 4\). Thus, \(A=(-\infty,-5]\cup[3,\infty)\). Its complement in \(\mathbb{R}\) is therefore \(A'=(-5,3)\). The endpoints \(-5\) and \(3\) are included in \(A\), so they cannot be included in its complement. Exam tip: For \(|x-a|\ge r\), the solution lies in the two outer intervals, and its complement is the open interval between the boundary points.
(B) की सम संख्याओं में से पूर्ण वर्ग (4) और (16) हटेंगे। इसलिए \(A'\cap B\) में बाकी सम संख्याएं आएंगी। / From the even numbers in (B), the perfect squares (4) and (16) are removed. Therefore \(A'\cap B\) contains the remaining even numbers.
(B) और (B') असंयुक्त होते हैं, इसलिए \(A\cap B\) और \(A\cap B'\) भी असंयुक्त हैं। दो असंयुक्त समान समुच्चय केवल \(\varnothing\) हो सकते हैं, इसलिए \(A=\varnothing\) आवश्यक है। / (B) and (B') are disjoint, so \(A\cap B\) and \(A\cap B'\) are also disjoint. Two equal disjoint sets must be \(\varnothing\), so \(A=\varnothing\) is necessary.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28) है। इसलिए पूरक (72-28=44) नहीं बल्कि (44) है। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28). Therefore the complement is (72-28=44).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B=[0,6]\), इसलिए पूरक (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)) है। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B=[0,6]\), the complement is (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)).
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (36) तक अभाज्य संख्याएं (11) हैं। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. There are (11) primes up to (36).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{x\in\mathbb{Z}\mid -5\le x\le 15\}\) तथा \(A=\{x\in U\mid x\equiv 2 \pmod{5}\}\) है, तो \(n(A')\) का मान क्या है? यहाँ \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है।
\(-5\) से \(15\) तक कुल \(15-(-5)+1=21\) पूर्णांक हैं, इसलिए \(n(U)=21\)। \(x\equiv 2 \pmod{5}\) वाले सदस्य \(-3,2,7,12\) हैं, अतः \(n(A)=4\)। पूरक समुच्चय के लिए \(n(A')=n(U)-n(A)=21-4=17\)। विकल्प 4 केवल \(A\) के सदस्यों की संख्या बताता है, पूरक की नहीं। परीक्षा टिप: परिमित समुच्चय में \(n(A')=n(U)-n(A)\) सूत्र का प्रयोग करें। / There are \(15-(-5)+1=21\) integers from \(-5\) to \(15\), so \(n(U)=21\). The integers satisfying \(x\equiv 2 \pmod{5}\) are \(-3,2,7,12\), hence \(n(A)=4\). Therefore, \(n(A')=n(U)-n(A)=21-4=17\). Option 4 gives the cardinality of \(A\), not its complement. Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
(n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60) है। क्योंकि (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), इसलिए (n\(A\cup B\)=300-60=240) है। / (n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60). Since (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), (n\(A\cup B\)=300-60=240).
\(A\) में सार्वत्रिक समुच्चय के वे सदस्य हैं जो 12 से छोटे या बराबर हैं, इसलिए \(A'=\{13,14,15,16,17,18,19,20\}\)। अब \(A'\cap B\) में इसी समुच्चय के केवल विषम सदस्य लिए जाएंगे, जो \(\{13,15,17,19\}\) हैं। विकल्प B में सम संख्याएं हैं और विकल्प D केवल \(A'\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय निकालें, फिर दिए गए समुच्चय से प्रतिच्छेद करें। / The set \(A\) contains all elements of the universal set that are less than or equal to 12, so \(A'=\{13,14,15,16,17,18,19,20\}\). Intersecting this with \(B\) retains only the odd elements, giving \(\{13,15,17,19\}\). Option B contains the even elements, while option D is just \(A'\), not its intersection with \(B\). Exam tip: find the complement first, then take the intersection with the other set.
\(A\cup B'=U\) का पूरक लेने पर \(A'\cap B=\varnothing\) मिलता है। इसलिए (B) का हर सदस्य (A) में है। / Taking the complement of \(A\cup B'=U\) gives \(A'\cap B=\varnothing\). Therefore every element of (B) is in (A).
असमानता \(x^2+2x-8<0\) का हल (-4<x<2) है। इसलिए पूरक में (\(-\infty,-4]\cup[2,\infty\)) आएगा। / The solution of \(x^2+2x-8<0\) is (-4<x<2). Hence the complement is (\(-\infty,-4]\cup[2,\infty\)).
(64) तक (4) से विभाज्य संख्याएं (16) हैं। इनमें (4,8,16,32,64) (2) की घातें हैं, इसलिए (11) नहीं बल्कि (11) बचते हैं। / There are (16) numbers divisible by (4) up to (64). Among them (4,8,16,32,64) are powers of (2), so (11) remain.
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है और उसमें से (B) के (1,3,5,13) हटेंगे। इसलिए ({7,9,11,15,17}) बचेगा। / (A') is the set of odd numbers, and (1,3,5,13) from (B) are removed. Thus ({7,9,11,15,17}) remains.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (30) के (3) गुणज हैं, इसलिए पूरक (100-3=97) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (30), so the complement is (100-3=97).
\(A=[-7,-1)\) और \(B=(-3,5]\) का उभयनिष्ठ भाग \(A\cap B=(-3,-1)\) है। \(-3\), \(B\) में नहीं है और \(-1\), \(A\) में नहीं है, इसलिए दोनों सिरों को उभयनिष्ठ भाग में शामिल नहीं किया जाता। \(\mathbb{R}\) में इस खुले अंतराल का पूरक \(( -\infty,-3]\cup[-1,\infty)\) होगा। विकल्प C में \(-3\) और \(-1\) को गलत ढंग से बाहर रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: खुले अंतराल का पूरक लेते समय उसके दोनों अंतिम बिंदु शामिल हो जाते हैं। / The common part of \(A=[-7,-1)\) and \(B=(-3,5]\) is \(A\cap B=(-3,-1)\). The point \(-3\) is not in \(B\), and \(-1\) is not in \(A\), so neither endpoint belongs to the intersection. The complement of this open interval in \(\mathbb{R}\) is \(( -\infty,-3]\cup[-1,\infty)\). Option C incorrectly excludes \(-3\) and \(-1\). Exam tip: when taking the complement of an open interval, both endpoints are included.
\(A\cap B'\) में विषम लेकिन अभाज्य नहीं संख्याएं आती हैं। (23) अभाज्य है, इसलिए सही समुच्चय ({1,9,15,21}) होना चाहिए। / \(A\cap B'\) contains odd numbers that are not prime. Since (23) is prime, the correct set is ({1,9,15,21}).
किसी समुच्चय और उसके पूरक में कोई भी समान अवयव नहीं होता, इसलिए \\(A'\\cap A=\\varnothing\\)। सार्वत्रिक समुच्चय \\(U\\) के सापेक्ष \\(\\varnothing\\)'=U\, अतः \\(A'\\cap A\\)'=U\। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: \\(A\\cap A'=\\varnothing\\) और \\(\\varnothing'=U\\) को याद रखें। / A set and its complement have no common elements, so \\(A'\\cap A=\\varnothing\\). Taking the complement relative to the universal set gives \\(\\varnothing'=U\\), hence \\(A'\\cap A\\)'=U\. Therefore, option A is correct. Exam tip: remember the identities \\(A\\cap A'=\\varnothing\\) and \\(\\varnothing'=U\\).
ऐसी संख्याएं (2,7,12,17,22,27,32,37,42,47) हैं, यानी (10) सदस्य। इसलिए (n(A')=50-10=40) है। / Such numbers are (2,7,12,17,22,27,32,37,42,47), so there are (10) elements. Hence (n(A')=50-10=40).
(A) में वे पूर्णांक हैं जिनका परिमाण (4) से अधिक है। पूरक में \(|x|\le 4\) वाले पूर्णांक आएंगे। / (A) contains integers whose absolute value is greater than (4). The complement contains integers satisfying \(|x|\le 4\).
पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिए जाते हैं। इसलिए \(A'=\{0\}\) और \(B'=\{1\}\)। अतः \(A'\cup B'=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}\)। परीक्षा-युक्ति: जो अवयव किसी समुच्चय में नहीं होते, वे उसके पूरक में होते हैं। / Complements are taken relative to the universal set \(U=\mathbb{R}\). Since \(A\) excludes only 0, \(A'=\{0\}\); similarly, \(B'=\{1\}\). Therefore, \(A'\cup B'=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}\). Exam tip: identify the elements excluded from each set before finding its complement.
\(B\) में U की सभी विषम संख्याएँ हैं, इसलिए उसके पूरक \(B'\) में U की सभी सम संख्याएँ होंगी। \(A\) में 5 के गुणज \(\{5,10,15,20,25,30,35\}\) हैं। इन दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ सदस्य \(10,20,30\) हैं, अतः \(B'\cap A=\{10,20,30\}\)। विकल्प C केवल \(A\) है और उसमें विषम गुणज भी शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) की सीमा अवश्य ध्यान में रखें। / The set \(B\) contains all odd elements of \(U\), so its complement \(B'\) contains all even elements of \(U\). The multiples of 5 in \(A\) are \(\{5,10,15,20,25,30,35\}\). The common elements of \(B'\) and \(A\) are therefore \(10,20,30\), so \(B'\cap A=\{10,20,30\}\). Option C is just \(A\) and incorrectly includes the odd multiples of 5. Exam tip: Always take a complement with respect to the given universal set \(U\).
पहले A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16} प्राप्त होता है। U के वे अवयव जो इस संघ में नहीं हैं, अर्थात {5, 7, 10, 11, 13, 14}, उसका पूरक बनाते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B स्वयं A ∪ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में से संबंधित समुच्चय के अवयव हटाएँ। / First, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16}. The elements of U that are not in this union are {5, 7, 10, 11, 13, 14}, so this is the complement of A ∪ B. Hence, option A is correct. Option B is the union itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the specified universal set.
\(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष \(A=(-\infty,2]\) का पूरक \(A'=(2,\infty)\) होगा, क्योंकि 2 समुच्चय \(A\) में शामिल है। इसी प्रकार \(B=[-1,\infty)\) का पूरक \(B'=(-\infty,-1)\) है, क्योंकि −1 समुच्चय \(B\) में शामिल है। कोई वास्तविक संख्या एक साथ 2 से बड़ी और −1 से छोटी नहीं हो सकती, इसलिए \(A'\cap B'=\varnothing\) है। विकल्प \((2,\infty)\) केवल \(A'\) है, उनका प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय अंतराल के सिरों पर खुले और बंद कोष्ठकों को ध्यान से बदलें। / With respect to \(U=\mathbb{R}\), the complement of \(A=(-\infty,2]\) is \(A'=(2,\infty)\), since 2 belongs to \(A\). Similarly, the complement of \(B=[-1,\infty)\) is \(B'=(-\infty,-1)\), since −1 belongs to \(B\). No real number can be both greater than 2 and less than −1, so \(A'\cap B'=\varnothing\). The option \((2,\infty)\) represents only \(A'\), not the intersection. Exam tip: While taking complements of intervals, check endpoint inclusion carefully.
(A) में (3) के गुणज हैं और (B) में (9) के गुणज हैं। इसलिए \(A\cap B'\) में (3) के वे गुणज हैं जो (9) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (3) and (B) contains multiples of (9). Thus \(A\cap B'\) contains multiples of (3) that are not multiples of (9).
(A) का कोई सदस्य (B') में नहीं है, इसलिए (A) का हर सदस्य (B) में होगा। अतः \(A\subseteq B\) है। / No element of (A) is in (B'), so every element of (A) must be in (B). Hence \(A\subseteq B\).
(7) के गुणज (7,14,21,28,35,42,49) हैं। इनमें केवल (49) पूर्ण वर्ग है, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य (A') में हैं। / The multiples of (7) are (7,14,21,28,35,42,49). Only (49) is a perfect square, so (6) elements are in (A').
समुच्चय \(A\) में \(3\) शामिल नहीं है क्योंकि शर्त \(x<3\) है, इसलिए \(3\) उसके पूरक में शामिल होगा। दूसरी ओर, \(8\) समुच्चय \(A\) में शामिल है क्योंकि \(x\ge 8\), इसलिए \(8\) पूरक में शामिल नहीं होगा। अतः \(A'=\{x\in\mathbb{R}\mid 3\le x<8\}=[3,8)\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय असमिकाओं को उलटकर सीमा-बिंदुओं की समावेशिता अवश्य जाँचें। / The number \(3\) is not in \(A\), because the condition is \(x<3\); hence \(3\) belongs to the complement. The number \(8\) is in \(A\), because \(x\ge 8\); hence \(8\) is excluded from the complement. Therefore, \(A'=\{x\in\mathbb{R}\mid 3\le x<8\}=[3,8)\). Exam tip: when finding a complement, reverse the inequality conditions and carefully check whether each endpoint is included.
\(A'\cap B'\) वे संख्याएं हैं जो (2) और (3) दोनों से विभाज्य नहीं हैं। (2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (40) हैं, इसलिए पूरक (20) है। / \(A'\cap B'\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). Numbers divisible by (2) or (3) are (40), so the complement is (20).
\(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\) हैं। इसलिए \(A'\cup B'\) में (3,4,5) को छोड़कर सभी सदस्य हैं। / \(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\). Thus \(A'\cup B'\) contains all elements except (3,4,5).
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में 1 से 32 तक कुल 32 संख्याएँ हैं। इनमें 16 सम और 16 विषम संख्याएँ हैं। चूँकि \(A\) में सम संख्याएँ हैं, इसलिए उसके पूरक \(A'\) में 16 विषम संख्याएँ होंगी। अतः \(n(A'\times A')=n(A')\times n(A')=16\times16=256\)। याद रखें: यदि किसी समुच्चय में \(m\) अवयव हों, तो उसके कार्तीय वर्ग में \(m^2\) क्रमित युग्म होते हैं। / The universal set \(U\) contains 32 numbers, of which 16 are even and 16 are odd. Since \(A\) contains the even numbers, its complement \(A'\) contains the 16 odd numbers. Therefore, \(n(A'\times A')=n(A')\times n(A')=16\times16=256\). Exam tip: if a set has \(m\) elements, its Cartesian square contains \(m^2\) ordered pairs.
(45) तक (3) के (15) गुणज हैं। इनमें (9) के (5) गुणज (A) में हैं, इसलिए (15-5=10) बचते हैं। / There are (15) multiples of (3) up to (45). Among them (5) multiples of (9) are in (A), so (15-5=10) remain.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A\cup B\) के पूरक में वे तत्व होते हैं जो न \(A\) में हैं, न \(B\) में; अतः \((A\cup B)'=A'\cap B'\)। विकल्प A में प्रतिच्छेद के पूरक का नियम गलत लगाया गया है। परीक्षा टिप: संघ और प्रतिच्छेद बदलते हैं। / By De Morgan’s law, an element outside \(A\cup B\) belongs to neither \(A\) nor \(B\), so it must lie in both \(A'\) and \(B'\). Hence \((A\cup B)'=A'\cap B'\). Option A uses the wrong operation. Exam tip: complement swaps union and intersection.
(4) से विभाज्य सभी सदस्य (A') में दिए गए हैं। इसलिए (A) में (4) से विभाज्य कोई सदस्य नहीं है। / All elements divisible by (4) are listed in (A'). Therefore (A) has no element divisible by (4).
एक ही सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष पूरक लेने की क्रिया एक-एक होती है। \(A'=B'\) के दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \(A=B\) मिलता है। \(A\cup B=U\) आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: पूरक हमेशा उसी \(U\) के सापेक्ष लें। / Taking complements with respect to the same universal set \(U\) is a one-to-one operation. Taking complements on both sides of \(A'=B'\) gives \(A=B\). The condition \(A\cup B=U\) is not necessary. Exam tip: always identify the universal set before using complement laws.
(B) में (9,18,27,36,45,54) हैं। इनमें (18,36,54) (6) से विभाज्य हैं, इसलिए \(A'\cap B\) में (9,27,45) यानी (3) सदस्य हैं। / (B) contains (9,18,27,36,45,54). Among them (18,36,54) are divisible by (6), so \(A'\cap B\) has (9,27,45), that is (3) elements.
समीकरण \(x^2=4\) के वास्तविक हल \(x=-2\) और \(x=2\) हैं, इसलिए \(A=\{-2,2\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष पूरक \(A'=U\setminus A=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\) होगा। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए समीकरण से समुच्चय \(A\) ज्ञात करें, फिर सार्वत्रिक समुच्चय में से उसके अवयव हटाएँ। / The real solutions of \(x^2=4\) are \(x=-2\) and \(x=2\), so \(A=\{-2,2\}\). With respect to the universal set \(\mathbb{R}\), its complement is \(A'=U\setminus A=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: first find the elements of the given set, then remove them from the universal set.
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। इसलिए (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), जिसकी संख्या (50) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Hence (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), whose cardinality is (50).
A. ({1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22})
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) में सम पूर्ण वर्ग (4) और (16) हैं। इन्हें (U) से हटाने पर पूरक मिलता है। / \(A\cap B\) contains even perfect squares (4) and (16). Removing them from (U) gives the complement.
(A) में (3) के (27) गुणज हैं और (B) में (27) के (3) गुणज हैं। इसलिए \(B'\cap A\) में (27-3=24) सदस्य हैं। / (A) has (27) multiples of (3), and (B) has (3) multiples of (27). Hence \(B'\cap A\) has (27-3=24) elements.
द्वि-पूरक नियम के अनुसार किसी भी समुच्चय के लिए \\((A')'=A\\) होता है। यहाँ \\(A\\) के सापेक्ष पूरक \\((-1,6)\\) है, क्योंकि \\-1 और 6 मूल समुच्चय में शामिल हैं। इसका फिर से पूरक लेने पर वे दोनों सीमांत बिंदु और बाहरी अंतराल वापस मिल जाते हैं, इसलिए \\((A')'=(-\\infty,-1]\\cup[6,\\infty)\\) है। परीक्षा-युक्ति: द्वि-पूरक में समुच्चय हमेशा अपने मूल रूप में लौट आता है। / By the double-complement law, \\((A')'=A\\) for every set. Here, the complement of \\(A\\) in \\(\\mathbb{R}\\) is \\((-1,6)\\), since \\-1 and 6 are included in \\(A\\). Taking the complement once more restores both endpoints and the two outer intervals, giving \\((-\\infty,-1]\\cup[6,\\infty)\\). Exam tip: the complement of a complement always returns the original set.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार A′ ∩ B′ = (A ∪ B)′। U में 10 के 9 गुणज और 18 के 5 गुणज हैं। दोनों में समान तत्व केवल 90 है, क्योंकि 10 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य 90 है। इसलिए n(A ∪ B) = 9 + 5 − 1 = 13 और n(A′ ∩ B′) = 90 − 13 = 77। परीक्षा-टिप: समावेशन-बहिष्करण में समान तत्वों को एक बार घटाना न भूलें; ऐसा न करने पर 76 प्राप्त होगा। / By De Morgan’s law, A′ ∩ B′ = (A ∪ B)′. There are 9 multiples of 10 and 5 multiples of 18 in U. Their only common element is 90, since the least common multiple of 10 and 18 is 90. Thus, n(A ∪ B) = 9 + 5 − 1 = 13, and n(A′ ∩ B′) = 90 − 13 = 77. Exam tip: In the inclusion–exclusion formula, subtract the common elements once; failing to do so gives the distractor 76.
