Level 27 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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B. (4)
अवशेष (0,1,2,3) के अनुसार (4) वर्ग बनते हैं। ऐसे प्रश्नों में भाजक के अनुसार अवशेष गिनें। / There are (4) classes according to remainders (0,1,2,3). In such questions, count the possible remainders.
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A. \(\{1,4,7\}\)
क्योंकि \(7\equiv 1 \pmod{3}\), इसलिए \([7]\) में समुच्चय \(A\) के वे सभी तत्व होंगे जिन्हें 3 से भाग देने पर शेषफल 1 मिले। ऐसे तत्व 1, 4 और 7 हैं, अतः \([7]=\{1,4,7\}\)। विकल्प B में शेषफल 0 और विकल्प C में शेषफल 2 वाले तत्व हैं; विकल्प D केवल 7 को लेकर अधूरा है। परीक्षा टिप: \([a]\) ज्ञात करने के लिए दिए गए तत्व के समान modulo वर्ग वाले सभी तत्व चुनें। / Since \(7\equiv 1 \pmod{3}\), the class \([7]\) contains all elements of \(A\) that leave remainder 1 when divided by 3. These elements are 1, 4, and 7, so \([7]=\{1,4,7\}\). Option B contains elements with remainder 0, option C contains elements with remainder 2, and option D is incomplete because it omits 1 and 4. Exam tip: To find \([a]\), collect every element of the set that is congruent to \(a\) modulo the given number.
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B. (220)
\(A\times B\) में \(3\cdot4=12\) युग्म हैं। ठीक (3) युग्म चुनने की संख्या \(\binom{12}{3}=220\) है। / \(A\times B\) has \(3\cdot4=12\) pairs. The number of ways to choose exactly (3) pairs is \(\binom{12}{3}=220\).
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How many reflexive relations on \(A=\{1,2,3,4\}\) have \((1,2)\notin R\)?
B. \(2^{11}\)
(4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं और ((1,2)) निषिद्ध है। शेष (11) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{11}\) है। / The (4) diagonal pairs are compulsory and ((1,2)) is forbidden. The remaining (11) pairs are free, so the count is \(2^{11}\).
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If (A) has (6) elements, what is the number of symmetric relations on (A)?
C. \(2^{21}\)
सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। (n=6) रखने पर \(2^{21}\) मिलता है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). Putting (n=6), we get \(2^{21}\).
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If (A) has (5) elements, what is the number of reflexive and antisymmetric relations on (A)?
B. \(3^{10}\)
प्रतिवर्तीता से सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हो जाते हैं। हर अविकर्ण जोड़े के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए संख्या \(3^{10}\) है। / Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory. Each off-diagonal unordered pair has (3) choices, so the count is \(3^{10}\).
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On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), (aRb) if and only if \(a^2\leq b^2\). Choose the correct statement.
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर प्रतिसममित नहींReflexive and transitive but not antisymmetric
\(a^2\leq a^2\) से प्रतिवर्तीता और असमानता से संक्रामिता मिलती है। पर ((-1,1)) और ((1,-1)) दोनों सत्य हैं जबकि \(-1\neq1\)। / \(a^2\leq a^2\) gives reflexivity and the inequality gives transitivity. But ((-1,1)) and ((1,-1)) are both true while \(-1\neq1\).
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On real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\in\mathbb{Q}\). What type of relation is it?
A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation
\(a-a=0\in\mathbb{Q}\) है और परिमेय संख्याएं ऋण तथा योग में बंद रहती हैं। इसलिए यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / \(a-a=0\in\mathbb{Q}\), and rational numbers are closed under negatives and addition. Hence it is reflexive, symmetric and transitive.
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On real numbers, (aRb) if and only if (a-b) is irrational. Which statement is correct?
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामीSymmetric but neither reflexive nor transitive
यदि (a-b) अपरिमेय है तो (b-a) भी अपरिमेय है। लेकिन (a-a=0) अपरिमेय नहीं और अपरिमेय अंतरों का योग परिमेय हो सकता है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational. But (a-a=0) is not irrational and the sum of irrational differences can be rational.
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On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (R={(a,b):\(a+b\equiv 0 \pmod{5}\)}). How many ordered pairs are in (R)?
B. (5)
हर (a) के लिए ठीक एक (b) है जिससे योग (5) से विभाज्य हो। इसलिए कुल (5) क्रमित युग्म हैं। / For each (a), there is exactly one (b) making the sum divisible by (5). Hence there are (5) ordered pairs.
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On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a+2b\equiv 0 \pmod{3}\)}). Which pair belongs to (R)?
A. ((1,1))
((1,1)) के लिए \(1+2\cdot1=3\), जो (3) से विभाज्य है। विकल्पों में शर्त सीधे रखकर जांचना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For ((1,1)), \(1+2\cdot1=3\), which is divisible by (3). Substituting each option is the safest method.
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A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation
हर अवयव स्वयं को विभाजित करता है और स्वयं के बराबर है। विभाज्यता तथा \(\leq\) मिलकर प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी गुण देते हैं। / Each element divides itself and is equal to itself. Divisibility together with \(\leq\) gives reflexive, antisymmetric and transitive properties.
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On \(A=\{2,3,4,6,9\}\), \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)>1\}\). Choose the correct statement.
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहींReflexive and symmetric but not transitive
हर (a>1) के लिए (\gcd(a,a)>1) है और (\gcd(a,b)=\gcd(b,a))। पर (2R6) और (6R3) सत्य हैं जबकि (2R3) असत्य है। / For every (a>1), (\gcd(a,a)>1), and (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)). But (2R6) and (6R3) are true while (2R3) is false.
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On integers, (aRb) if and only if (a-b) is a multiple of (2). Which class is ([11])?
A. सभी विषम पूर्णांकAll odd integers
(11) विषम है और (a-b) सम होने का अर्थ समान सम-विषमता है। इसलिए ([11]) सभी विषम पूर्णांकों का वर्ग है। / (11) is odd and (a-b) being even means the same parity. Hence ([11]) is the class of all odd integers.
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A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation
हर रेखा अपने समानांतर है और समानांतरता सममित होती है। एक ही दिशा की समानांतर रेखाओं से संक्रामिता भी मिलती है। / Every line is parallel to itself and parallelism is symmetric. Lines parallel to the same direction also give transitivity.
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On lines in a plane, (lRm) if and only if \(l\perp m\). What is correct for this relation?
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामीSymmetric but neither reflexive nor transitive
यदि \(l\perp m\), तो \(m\perp l\), इसलिए सममिति है। कोई रेखा स्वयं पर लंब नहीं होती और लंबता संक्रामी नहीं होती। / If \(l\perp m\), then \(m\perp l\), so symmetry holds. No line is perpendicular to itself and perpendicularity is not transitive.
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A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation
हर त्रिभुज स्वयं से समरूप है। समरूपता सममित और संक्रामी भी होती है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / Every triangle is similar to itself. Similarity is also symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.
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A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation
हर विद्यार्थी का जन्म महीना अपने जैसा ही है। समान जन्म महीना सममित और संक्रामी भी होता है। / Every student has the same birth month as himself or herself. Having the same birth month is also symmetric and transitive.
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A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation
मैट्रिक्स में सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और मैट्रिक्स सममित है। युग्म ({1,3}) का पूरा वर्ग बनता है, इसलिए संक्रामिता भी सही है। / All diagonal entries of the matrix are (1) and the matrix is symmetric. The pair ({1,3}) forms a complete class, so transitivity also holds.
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A. प्रतिवर्ती और प्रतिसममित पर संक्रामी नहींReflexive and antisymmetric but not transitive
सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और कोई विपरीत अविकर्ण जोड़ा साथ नहीं है। पर ((1,2)) और ((2,3)) हैं जबकि ((1,3)) नहीं है। / All diagonal entries are (1) and no opposite off-diagonal pair occurs together. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
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B. (3)
आवश्यक युग्म ((1,4),(2,5),(1,5)) हैं। श्रृंखला में छूटे हुए अप्रत्यक्ष युग्म जोड़ना याद रखें। / The required pairs are ((1,4),(2,5),(1,5)). In a chain, add the missing indirect pairs.
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A. ((1,3),(2,4),(1,4))
श्रृंखला \(1\to2\to3\to4\) में आगे पहुंचने वाले युग्म चाहिए। इसलिए ((1,3),(2,4),(1,4)) जुड़ेंगे। / In the chain \(1\to2\to3\to4\), all forward reachable pairs are needed. Hence ((1,3),(2,4),(1,4)) are added.
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C. (14)
समतुल्यता संबंध में हर वर्ग के अंदर सभी युग्म होते हैं। कुल युग्म \(2^2+3^2+1^2=14\) हैं। / An equivalence relation contains all pairs within each class. The total number of pairs is \(2^2+3^2+1^2=14\).
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C. 13
समतुल्यता संबंध में दो तत्व तभी संबंधित होते हैं जब वे एक ही विभाजन-वर्ग में हों। 2 तत्वों वाले वर्ग \(\{1,4\}\) से \(2^2=4\) क्रमित युग्म मिलते हैं, जबकि 3 तत्वों वाले वर्ग \(\{2,3,5\}\) से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। अतः कुल \(4+9=13\) क्रमित युग्म होंगे। विकल्प 9 केवल बड़े वर्ग के युग्मों को गिनता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक विभाजन-वर्ग के आकार का वर्ग करके उनका योग करें। / In the equivalence relation induced by a partition, two elements are related exactly when they belong to the same block. The block \(\{1,4\}\) contributes \(2^2=4\) ordered pairs, and the block \(\{2,3,5\}\) contributes \(3^2=9\) ordered pairs. Therefore, the total is \(4+9=13\). Option 9 counts only the pairs from the larger block. Exam tip: square the size of each block and add the results.
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What is the total number of equivalence relations on a set with (3) elements?
B. (5)
समतुल्यता संबंधों की संख्या विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। (3) अवयवों के विभाजनों की संख्या (5) है। / The number of equivalence relations equals the number of partitions. A set of (3) elements has (5) partitions.
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How many equivalence relations on a (4)-element set have exactly (2) equivalence classes?
B. (7)
यह (4) अवयवों को (2) अरिक्त वर्गों में बांटने की संख्या है। इसका मान (S(4,2)=7) होता है। / This is the number of ways to partition (4) elements into (2) non-empty classes. Its value is (S(4,2)=7).
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A. \(\{1,3,5,7\}\)
\([1]_R\) में वे सभी \(b\in A\) होंगे जिनके लिए \(b^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{8}\)। सभी विषम संख्याओं का वर्ग 8 से भाग देने पर शेषफल 1 देता है: \(1^2,3^2,5^2,7^2\equiv 1 \pmod{8}\)। इसलिए \([1]_R=\{1,3,5,7\}\)। विकल्प B सभी सम संख्याएँ देता है, जिनके वर्ग का शेषफल 1 नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \([a]_R\) ज्ञात करने के लिए समुच्चय के प्रत्येक \(b\) पर \(b^2\equiv a^2 \pmod{8}\) जाँचें। / The class \([1]_R\) contains all \(b\in A\) such that \(b^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{8}\). Every odd number has square congruent to 1 modulo 8, so \(1^2,3^2,5^2,7^2\equiv 1 \pmod{8}\). Hence \([1]_R=\{1,3,5,7\}\). Option B lists the even elements, whose squares are not congruent to 1 modulo 8. Exam tip: To find \([a]_R\), test each element \(b\) of the set using \(b^2\equiv a^2 \pmod{8}\).
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A. \(\{-1,2\}\)
\([-1]\) में वे सभी तत्व होंगे जो \(-1\) के समतुल्य हैं, अर्थात जिनके साथ \(-1\) का अंतर 3 से विभाज्य हो। समुच्चय \(A\) में \(2-(-1)=3\), इसलिए \(2\equiv -1 \pmod{3}\); अतः \([-1]=\{-1,2\}\)। विकल्प B में दिए तत्व \(1\) और \(-2\) एक-दूसरे के समतुल्य हैं, लेकिन \(-1\) के नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्ग को खोजने के लिए दिए गए तत्व से 3 के पूर्णांक गुणजों का अंतर रखने वाले केवल उसी समुच्चय के तत्व चुनें। / The class \([-1]\) contains all elements of \(A\) that are congruent to \(-1\) modulo 3, meaning their difference from \(-1\) is divisible by 3. Since \(2-(-1)=3\), we have \(2\equiv -1 \pmod{3}\), so \([-1]=\{-1,2\}\). The elements in option B form the class of \(1\), not of \(-1\). Exam tip: To find a congruence class modulo 3, select from the given set the elements that differ from the representative by a multiple of 3.
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On positive integers, (aRb) if and only if \(a\mid b\) and \(b\mid a\). Which relation is this?
A. पहचान जैसा समतुल्यता संबंधIdentity-like equivalence relation
धनात्मक पूर्णांकों में \(a\mid b\) और \(b\mid a\) से (a=b) मिलता है। इसलिए यह पहचान संबंध जैसा प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / For positive integers, \(a\mid b\) and \(b\mid a\) imply (a=b). Hence it behaves like the identity relation and is reflexive, symmetric and transitive.
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On non-zero integers, (aRb) if and only if \(\frac{a}{b}>0\). What type of relation is it?
A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation
\(\frac{a}{b}>0\) का अर्थ है कि (a) और (b) का चिह्न समान है। समान चिह्न होना प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / \(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign. Having the same sign is reflexive, symmetric and transitive.
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On \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\), (aRb) if and only if (ab>0). What are its equivalence classes?
A. धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएंPositive and negative real numbers
(ab>0) तब होता है जब दोनों संख्याओं के चिह्न समान हों। इसलिए दो वर्ग धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बनते हैं। / (ab>0) happens when both numbers have the same sign. Hence the two classes are positive and negative real numbers.
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A. प्रतिवर्ती और सममित, लेकिन संक्रामी नहींReflexive and symmetric, but not transitive
किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए \(|a-a|=0\leq2\), इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। साथ ही \(|a-b|=|b-a|\), इसलिए यह सममित है। लेकिन 0R2 और 2R4 सत्य हैं, जबकि \(|0-4|=4>2\), अतः 0R4 असत्य है और संबंध संक्रामी नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: संक्रामिता जाँचने के लिए ऐसे तीन उदाहरण चुनें जिनमें पहले दो अंतर सीमा के बराबर हों। / For every real number a, \(|a-a|=0\leq2\), so the relation is reflexive. Also, \(|a-b|=|b-a|\), so it is symmetric. However, 0R2 and 2R4 are true, whereas \(|0-4|=4>2\), making 0R4 false; hence the relation is not transitive. Therefore, option A is correct. Exam tip: To test transitivity, choose three numbers where the first two differences are within the allowed limit but the total difference exceeds it.
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On real numbers, (aRb) if and only if (a+b=0). What type of relation is it?
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामीSymmetric but neither reflexive nor transitive
(a+b=0) से (b+a=0) भी मिलता है। पर (aRa) के लिए (2a=0) चाहिए और संक्रामिता भी सामान्यतः नहीं मिलती। / From (a+b=0), we also get (b+a=0). But (aRa) needs (2a=0), and transitivity does not hold in general.
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On real numbers, (aRb) if and only if \(a^3=b^3\). What type of relation is it?
A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation
वास्तविक संख्याओं में \(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है। इसलिए यह पहचान संबंध की तरह समतुल्यता संबंध है। / For real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b). Hence it is an equivalence relation like the identity relation.
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A. \(\{2,8,14\}\)
\([8]=\{a\in A:a\equiv 8 \pmod{6}\}\)। चूँकि \(8\) को \(6\) से विभाजित करने पर शेषफल \(2\) आता है, इसलिए \(A\) में वे सभी संख्याएँ चाहिए जिनका \(6\) से भाग देने पर शेषफल \(2\) हो। ये संख्याएँ \(2,8,14\) हैं, अतः \([8]=\{2,8,14\}\)। विकल्प B में \(15\) का शेषफल \(3\) है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: तुल्यता वर्ग ज्ञात करने के लिए दिए गए अवयव के समान modulo शेषफल वाले सभी अवयव चुनें। / The equivalence class is \([8]=\{a\in A:a\equiv 8 \pmod{6}\}\). Since 8 leaves remainder 2 when divided by 6, we select all elements of \(A\) that also leave remainder 2: \(2,8,14\). Hence, \([8]=\{2,8,14\}\). Option B is incorrect because 15 leaves remainder 3 on division by 6. Exam tip: To find an equivalence class, collect every element having the same remainder modulo the given number.
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If (A) has (5) elements, how many relations on (A) are both symmetric and antisymmetric?
A. \(2^5\)
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर कोई अविकर्ण युग्म नहीं आ सकता। केवल (5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5\) है। / If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can occur. Only the (5) diagonal pairs are free, so the count is \(2^5\).
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A. (1)
प्रतिवर्तीता सभी विकर्ण युग्म अनिवार्य करती है। सममिति और प्रतिसममिति साथ होने से कोई अविकर्ण युग्म नहीं रह सकता, इसलिए केवल पहचान संबंध संभव है। / Reflexivity makes all diagonal pairs compulsory. Symmetry and antisymmetry together forbid off-diagonal pairs, so only the identity relation is possible.
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If a relation (R) satisfies \(R=R^{-1}\), which property does (R) definitely have?
A. सममितिSymmetry
\(R=R^{-1}\) का अर्थ है कि हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में है। यही सममिति की परिभाषा है। / \(R=R^{-1}\) means that with every ((a,b)), the pair ((b,a)) is also in the relation. This is exactly the definition of symmetry.
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If \(R=\{(1,2),(2,4),(3,1)\}\), what is \(R^{-1}\)?
A. ({(2,1),(4,2),(1,3)})
व्युत्क्रम संबंध में हर क्रमित युग्म के स्थान बदलते हैं। इसलिए ((1,2),(2,4),(3,1)) से ((2,1),(4,2),(1,3)) मिलते हैं। / In the inverse relation, the positions in each ordered pair are interchanged. Thus ((1,2),(2,4),(3,1)) become ((2,1),(4,2),(1,3)).
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What is the range of the relation \(R=\{(x,y): y=x^2,\ x\in\{-2,-1,0,1,2\}\}\)?
A. \(\{0,1,4\}\)
दिए गए प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=x^2\) निकालने पर मान \(4,1,0,1,4\) मिलते हैं। परास में केवल अलग-अलग \(y\)-मान लिखे जाते हैं, इसलिए परास \(\{0,1,4\}\) है। विकल्प B दिए गए \(x\)-मानों का समुच्चय है, जो संबंध का प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए पहले दिए गए प्रांत के प्रत्येक मान पर फलन लागू करें और दोहराए गए परिणामों को एक बार ही लिखें। / For each given value of \(x\), calculating \(y=x^2\) gives \(4,1,0,1,4\). The range contains only distinct \(y\)-values, so it is \(\{0,1,4\}\). Option B is the set of given \(x\)-values, which is the domain, not the range. Exam tip: Apply the rule to every domain value and list repeated output values only once.
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C. 4
प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(b=a+2\) लेने पर क्रमशः \((1,3),(2,4),(3,5),(4,6)\) प्राप्त होते हैं। इन सभी में दूसरा अवयव \(B\) में है, इसलिए ये चारों युग्म \(R\) में शामिल हैं। अतः सही उत्तर 4 है। परीक्षा-टिप: किसी संबंध की संख्या ज्ञात करते समय परिभाषा की शर्त जाँचकर हर डोमेन अवयव से बनने वाले मान गिनें; केवल \(|A\times B|\) न गिनें। / For each \(a\in A\), the condition \(b=a+2\) gives the pairs \((1,3),(2,4),(3,5),(4,6)\). In every case, the second component belongs to \(B\), so all four pairs are in \(R\). Therefore, the correct answer is 4. Exam tip: To count the elements of a relation, apply its defining condition to each domain element rather than counting all possible pairs in \(A\times B\).
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B. (3)
प्रतिवर्तीता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चाहिए। इनमें केवल ((1,1)) है, इसलिए (3) युग्म जोड़ने होंगे। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Only ((1,1)) is present, so (3) pairs must be added.
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B. (2)
((1,2)) और ((2,1)) पहले से साथ हैं। ((2,4)) के लिए ((4,2)) और ((3,4)) के लिए ((4,3)) जोड़ना होगा। / ((1,2)) and ((2,1)) are already paired. For ((2,4)), add ((4,2)), and for ((3,4)), add ((4,3)).
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C. (13)
संबंध (1,2,3) को एक वर्ग और (4,5) को दूसरा वर्ग बनाता है। कुल युग्म \(3^2+2^2=13\) होंगे। / The relation connects (1,2,3) into one class and (4,5) into another. The total number of pairs is \(3^2+2^2=13\).
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A. क्योंकि यह संक्रामी नहीं हैBecause it is not transitive
संबंध \(R\) प्रतिवर्ती है, क्योंकि \((1,1),(2,2),(3,3)\) इसमें उपस्थित हैं। यह सममित भी है, क्योंकि \((1,2)\) के साथ \((2,1)\) और \((1,3)\) के साथ \((3,1)\) उपस्थित हैं। लेकिन \((2,1)\in R\) तथा \((1,3)\in R\), जबकि \((2,3)\notin R\); इसलिए संक्रामिता का गुण विफल होता है और \(R\) समतुल्यता संबंध नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समतुल्यता संबंध जाँचने के लिए पहले प्रतिवर्तिता, सममितता और संक्रामिता—तीनों गुणों की जाँच करें। / The relation \(R\) is reflexive because \((1,1),(2,2),(3,3)\) are present. It is also symmetric because \((2,1)\) accompanies \((1,2)\), and \((3,1)\) accompanies \((1,3)\). However, \((2,1)\in R\) and \((1,3)\in R\), whereas \((2,3)\notin R\). Thus transitivity fails, so \(R\) is not an equivalence relation. Exam tip: Check all three properties—reflexivity, symmetry, and transitivity—when testing an equivalence relation.
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A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation
उपसमुच्चय संबंध \(\subseteq\) प्रतिवर्ती है, क्योंकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। यह प्रतिसममित भी है: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)। साथ ही यह संक्रामी है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। यह समतुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि सामान्यतः सममिति नहीं होती; उदाहरण के लिए \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), परंतु \(\{1,2\}\nsubseteq\{1\}\)। परीक्षा-टिप: आंशिक क्रम की जाँच के लिए प्रतिवर्तिता, प्रतिसममिति और संक्रामिता तीनों जाँचें। / The subset relation \(\subseteq\) is reflexive because every set is a subset of itself. It is antisymmetric: if \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then \(A=B\). It is also transitive, so it is a partial order relation. It is not an equivalence relation because it is generally not symmetric; for example, \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), but \(\{1,2\}\nsubseteq\{1\}\). Exam tip: To identify a partial order, check reflexivity, antisymmetry, and transitivity.
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On (\mathcal{P}({1,2})), (ARB) if and only if \(A\cap B=\varnothing\). Choose the correct statement.
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामीSymmetric but neither reflexive nor transitive
\(A\cap B=B\cap A\), इसलिए संबंध सममित है। पर \({1}\cap{1}\neq\varnothing\) और संक्रामिता भी सामान्यतः नहीं मिलती। / \(A\cap B=B\cap A\), so the relation is symmetric. But \({1}\cap{1}\neq\varnothing\), and transitivity does not hold in general.
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A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation
किसी भी c\(A\in\mathcal{P}(X)c\) के लिए c(|A|=|A|c), इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। यदि c(|A|=|B|c), तो c(|B|=|A|c), इसलिए यह सममित है। साथ ही, c(|A|=|B|c) और c(|B|=|C|c) से c(|A|=|C|c), इसलिए यह संक्रामी भी है। अतः यह समतुल्यता संबंध है; विकल्प B, C और D केवल एक गुण बताते हैं और अन्य गुणों की उपेक्षा करते हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध को समतुल्यता संबंध कहने के लिए प्रतिवर्तिता, सममितता और संक्रामिता तीनों जाँचें। / For every c\(A\in\mathcal{P}(X)c\), c(|A|=|A|c), so the relation is reflexive. If c(|A|=|B|c), then c(|B|=|A|c), so it is symmetric. Also, c(|A|=|B|c) and c(|B|=|C|c) imply c(|A|=|C|c), so it is transitive. Therefore, it is an equivalence relation; options B, C and D identify only one property and ignore the others. Exam tip: To classify a relation as an equivalence relation, verify reflexivity, symmetry and transitivity.
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A. \({\sqrt{2}+q:q\in\mathbb{Q}}\)
\([\sqrt{2}]\) में वे सभी (x) हैं जिनके लिए \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\)। इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\) जहां \(q\in\mathbb{Q}\)। / \([\sqrt{2}]\) contains all (x) such that \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\). Hence \(x=\sqrt{2}+q\) where \(q\in\mathbb{Q}\).
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If (R) is a symmetric relation and \((5,9)\in R\), which statement must be true?
A. \((9,5)\in R\)
सममित संबंध में \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होता है। इसलिए ((5,9)) से ((9,5)) अनिवार्य है। / In a symmetric relation, if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) also. Therefore ((5,9)) forces ((9,5)).
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