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(k=2) पर विविक्तकर (16-8=8), जो धनात्मक पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक और अपरिमेय होंगे। / For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए \(\alpha+\beta=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\)। करणी सरल करना जरूरी है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so \(\alpha+\beta=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\). Simplifying radicals is important.
A. वास्तविक गुणांकों वाला द्विघात बहुपद/Quadratic polynomial with real coefficients
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) वास्तविक लेकिन अपरिमेय है, इसलिए गुणांक वास्तविक हैं पर सभी परिमेय नहीं। घात (2) होने से यह द्विघात है। / \(\sqrt{2}\) is real but irrational, so the coefficients are real but not all rational. Since the degree is (2), it is quadratic.
योग \(1+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{3}\) है, इसलिए शून्यक (1) और \(\sqrt{3}\) हैं। परीक्षा में \(x^2-Sx+P\) से तुलना करें। / The sum is \(1+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{3}\), so the zeroes are (1) and \(\sqrt{3}\). Compare with \(x^2-Sx+P\) in exams.
योग (14) है, इसलिए (p=-14)। गुणनफल (49-13=36) है, इसलिए (q=36) और (p+q=22)। / The sum is (14), so (p=-14). The product is (49-13=36), so (q=36) and (p+q=22).
(p(x)=x\(x-\sqrt{5}\)), इसलिए शून्यक (0) और \(\sqrt{5}\) हैं। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड निकालना तेज तरीका है। / (p(x)=x\(x-\sqrt{5}\)), so the zeroes are (0) and \(\sqrt{5}\). Taking the common factor is a fast method in exams.
(\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}) है। परीक्षा में बीच का पद (2ab) न छोड़ें। / (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}). Do not miss the middle term (2ab) in exams.
क्योंकि (\(2\sqrt{2}\)2=8) और बीच का पद \(-4\sqrt{2}x\) है। अतः यह पूर्ण वर्ग है। / Because (\(2\sqrt{2}\)2=8) and the middle term is \(-4\sqrt{2}x\). Hence it is a perfect square.
A. योग (2a) और गुणनफल \(a^2-5\) हैं/Sum is (2a) and product is \(a^2-5\)
Explanation
Simple Explanation
(\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) और (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5)। यही बहुपद से मेल खाता है। / (\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) and (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5). These match the polynomial.
\(x^2=5+2\sqrt{6}\) और फिर (\(x^2-5\)2=24), इसलिए \(x^4-10x^2+1=0\) है। परीक्षा में दो वर्गमूलों के योग से कभी द्विघात नहीं बल्कि चतुर्थ घात संबंध भी बन सकता है। / Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
द्विघात में गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(\frac{-2}{1}=-2\) है। / In a quadratic, the product is \(\frac{c}{a}\). Here it is \(\frac{-2}{1}=-2\).
\(x-2=\sqrt{5}\), इसलिए ((x-2)2=5) से \(x^2-4x-1=0\) मिलता है। परीक्षा में वर्ग करके अपरिमेय हटाएं। / Since \(x-2=\sqrt{5}\), squaring gives ((x-2)2=5), so \(x^2-4x-1=0\). In exams square to remove the radical.
A. दो भिन्न अपरिमेय वास्तविक शून्यक/Two distinct irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(D=36-28=8) है। (8) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / (D=36-28=8). It is positive but not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
\(x-3=-\sqrt{2}\), इसलिए ((x-3)2=2) से \(x^2-6x+7=0\) है। परीक्षा में \(a-\sqrt{b}\) को भी इसी विधि से संभालें। / Since \(x-3=-\sqrt{2}\), ((x-3)2=2), hence \(x^2-6x+7=0\). Handle \(a-\sqrt{b}\) the same way in exams.
\(x^2=11\), इसलिए \(x^4=121\) और मान (0) है। परीक्षा में उच्च घात को \(x^2\) से सरल करें। / Since \(x^2=11\), \(x^4=121\), so the value is (0). In exams reduce higher powers using \(x^2\).
(\(\sqrt{2}\)3=2\sqrt{2}), इसलिए \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\) है। परीक्षा में (\(\sqrt{a}\)3=a\sqrt{a}) याद रखें। / (\(\sqrt{2}\)3=2\sqrt{2}), so \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\). Remember (\(\sqrt{a}\)3=a\sqrt{a}).
स्थिर पद शून्यकों के गुणनफल के बराबर है। (\(2\sqrt{2}\)\(3\sqrt{2}\)=12) है। / The constant term equals the product of the zeroes. (\(2\sqrt{2}\)\(3\sqrt{2}\)=12).
(\(\sqrt{3}\)3=3\sqrt{3}), इसलिए \(3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में घात को सरल करना मुख्य कदम है। / (\(\sqrt{3}\)3=3\sqrt{3}), so \(3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0\). Simplifying powers is the key step in such questions.
C. सिर्फ \(\sqrt{2}\) ही अकेला अपरिमेय शून्यक हो और गुणांक परिमेय रहें/Only \(\sqrt{2}\) is the sole irrational zero while coefficients stay rational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में अपरिमेय शून्यक अपने संयुग्मी के साथ आता है। परीक्षा में अकेले अपरिमेय मूल पर संदेह करें। / In a quadratic with rational coefficients an irrational zero comes with its conjugate. In exams be suspicious of a lone irrational root.
गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(c=\sqrt{2}\) और (a=1), इसलिए गुणनफल \(\sqrt{2}\) है। / The product is \(\frac{c}{a}\). Here \(c=\sqrt{2}\) and (a=1), so the product is \(\sqrt{2}\).
योग (2) और गुणनफल (1-2=-1), इसलिए बहुपद \(x^2-2x-1\) है। परीक्षा में चिन्हों को ठीक रखें। / The sum is (2) and the product is (1-2=-1), so the polynomial is \(x^2-2x-1\). Keep signs correct in exams.
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\) है। हर का परिमेयकरण करने से उत्तर सरल होता है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\). Rationalising the denominator simplifies the answer.
धनात्मक पूर्णांक (m) के लिए \(\sqrt{m}\) परिमेय तभी होगा जब (m) पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / For a positive integer (m), \(\sqrt{m}\) is rational only when (m) is a perfect square. Identifying perfect squares is important in exams.
गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\) है। समान करणी कट सकती है। / The product is \(\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\). Like radicals can cancel.
(98) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें। / (98) is not a perfect square, so \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) is irrational. In exams extract perfect-square factors.
A. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{6}\) विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) से मिलते हैं। इसलिए वही शून्यक हैं। / The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and product \(\sqrt{6}\) match the option \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\). Hence those are the zeroes.
अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूल अलग अपरिमेय होते हैं और उनका योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में स्वतंत्र वर्गमूलों को जोड़कर परिमेय न मानें। / Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
योग \(2-\sqrt{5}\) है, इसलिए (x) का गुणांक (-\(2-\sqrt{5}\)=\sqrt{5}-2) है। गुणनफल \(-2\sqrt{5}\) भी सही है। / The sum is \(2-\sqrt{5}\), so the coefficient of (x) is (-\(2-\sqrt{5}\)=\sqrt{5}-2). The product \(-2\sqrt{5}\) also matches.
A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{2}\), irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(a=3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में समान करणी वाले पद जोड़ें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(a=3\sqrt{2}\), irrational. Combine like radicals in exams.
दोनों शून्यक \(\sqrt{3}\) हैं, इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) है। \(x^2+kx+3\) में योग (-k) है, अतः \(k=-2\sqrt{3}\)। / Both zeroes are \(\sqrt{3}\), so the sum is \(2\sqrt{3}\). In \(x^2+kx+3\), the sum is (-k), hence \(k=-2\sqrt{3}\).
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए अंतर \(\sqrt{3}\) है। परीक्षा में पहले सरलीकरण करें। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the difference is \(\sqrt{3}\). Simplify first in exams.
(r=2) पर (D=16-8=8) है। यह धनात्मक और अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
(xy=\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{2}\)2=6-2=4) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन से समय बचता है। / (xy=\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{2}\)2=6-2=4). Conjugate multiplication saves time in exams.
(r=3) पर (D=16-12=4) है, जो पूर्ण वर्ग है। इसलिए शून्यक परिमेय हैं। / For (r=3), (D=16-12=4), which is a perfect square. Therefore the zeroes are rational.
\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण करें। / \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\). Rationalise the denominator in exams.
\(x^2-6x+7\) में (D=36-28=8) है। गुणांक परिमेय हैं और शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे। / For \(x^2-6x+7\), (D=36-28=8). The coefficients are rational and the zeroes are \(3\pm\sqrt{2}\).
(\frac{2}{\sqrt{3}+1}\times\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\(\sqrt{3}-1\)}{2}=\sqrt{3}-1) है। परीक्षा में संयुग्मी से हर परिमेय बनता है। / (\frac{2}{\sqrt{3}+1}\times\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\(\sqrt{3}-1\)}{2}=\sqrt{3}-1). The conjugate makes the denominator rational.
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=4-7=-3\)। इसलिए (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=16+6=22)। / \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=4-7=-3\). Thus (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=16+6=22).
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\) है। परीक्षा में समान करणी काट सकते हैं। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\). In exams common radical factors can be cancelled.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ योग (10) और गुणनफल (25-6=19), इसलिए उत्तर \(\frac{10}{19}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the sum is (10) and product is (25-6=19), so the answer is \(\frac{10}{19}\).
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), जो वास्तविक और अपरिमेय है। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल को वास्तविक संख्या न मानें। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), which is real and irrational. In exams do not treat the square root of a negative number as real.
शून्यकों का योग (10) और गुणनफल (19) है। अतः \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{10}{19}\)। / The sum of zeroes is (10) and the product is (19). Hence \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{10}{19}\).
दूसरा शून्यक \(6+2\sqrt{5}\) होगा। योग (12) और गुणनफल (36-20=16), इसलिए बहुपद \(x^2-12x+16\) है। / The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
\(x-1=-\sqrt{5}\), इसलिए ((x-1)2=5) से \(x^2-2x-4=0\) मिलता है। परीक्षा में अपरिमेय भाग अलग करके वर्ग करें। / Since \(x-1=-\sqrt{5}\), ((x-1)2=5), so \(x^2-2x-4=0\). Isolate the irrational part and square in exams.
