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A. (\left\(3,0\right\)) और (\left\(0,-8\right\))/(\left\(3,0\right\)) and (\left\(0,-8\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=0) पर (x=3) और (x=0) पर (y=-8)। ऋण अवरोध को ग्राफ में सही दिशा में अंकित करें। / At (y=0), (x=3), and at (x=0), (y=-8). Plot the negative intercept in the correct direction on the graph.
A. (\left\(0,-4\right\)) और (\left\(16,0\right\))/(\left\(0,-4\right\)) and (\left\(16,0\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=-4) और (y=0) पर (x=16)। अवरोध निकालते समय कौन-सा चर शून्य रखा है, यह ध्यान रखें। / At (x=0), (y=-4), and at (y=0), (x=16). While finding intercepts, note which variable is kept zero.
A. (\left\(5,0\right\)) और (\left\(0,-9\right\))/(\left\(5,0\right\)) and (\left\(0,-9\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=0) पर (x=5) और (x=0) पर (y=-9)। ऋण अवरोध को सही दिशा में अंकित करें। / At (y=0), (x=5), and at (x=0), (y=-9). Plot the negative intercept in the correct direction.
A. (\left\(0,-4\right\)) और (\left\(12,0\right\))/(\left\(0,-4\right\)) and (\left\(12,0\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=-4) और (y=0) पर (x=12)। अवरोध निकालते समय कौन-सा चर शून्य रखा है, यह ध्यान रखें। / At (x=0), (y=-4), and at (y=0), (x=12). While finding intercepts, note which variable is kept zero.
A. (\left\(4,0\right\)) और (\left\(0,-7\right\))/(\left\(4,0\right\)) and (\left\(0,-7\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=0) पर (x=4) और (x=0) पर (y=-7)। ऋण अवरोध को सही दिशा में अंकित करें। / At (y=0), (x=4), and at (x=0), (y=-7). Plot the negative intercept in the correct direction.
A. (\left\(10,0\right\)) और (\left\(0,6\right\))/(\left\(10,0\right\)) and (\left\(0,6\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=0) रखने पर (x=10) और (x=0) रखने पर (y=6)। अवरोधों से रेखा खींचना आसान होता है। / Putting (y=0) gives (x=10), and putting (x=0) gives (y=6). Intercepts make line drawing easier.
A. ( (10,0) ) और ( (0,4) )/( (10,0) ) and ( (0,4) )
Explanation
Simple Explanation
(y=0) रखने पर (x=10) और (x=0) रखने पर (y=4)। अवरोधों से ग्राफ जल्दी और साफ बनता है। / Putting (y=0) gives (x=10), and putting (x=0) gives (y=4). Intercepts make the graph quick and clear.
(y=0) पर (x=4) और (x=0) पर (y=6)। अवरोधों से रेखा जल्दी खींची जा सकती है। / At (y=0), (x=4), and at (x=0), (y=6). Intercepts help draw the line quickly.
(y=0) पर (x=18) और (x=0) पर (y=18)। ये दो अवरोध रेखा बनाने के लिए पर्याप्त हैं। / When (y=0), (x=18), and when (x=0), (y=18). These two intercepts are enough to draw the line.
(y=0) पर (x=14) और (x=0) पर (y=14)। ये दो अवरोध रेखा खींचने के लिए पर्याप्त हैं। / When (y=0), (x=14), and when (x=0), (y=14). These two intercepts are enough to draw the line.
(y=0) पर (x=6) और (x=0) पर (y=6)। ये दो बिंदु रेखा खींचने के लिए पर्याप्त हैं। / When (y=0), (x=6), and when (x=0), (y=6). These two points are enough to draw the line.
गुणनखंड शून्य करने पर (x=1) और (x=-4) मिलते हैं। (x)-प्रतिच्छेद को ((x,0)) रूप में लिखें। / Making the factors zero gives (x=1) and (x=-4). Write (x)-intercepts as ((x,0)).
शून्यक प्रतिच्छेद बिंदु का (x)-निर्देशांक होता है। (y=0) को शून्यक न लिखें। / A zero is the (x)-coordinate of the intercept point. Do not write (y=0) as the zero.
समान ढाल और अलग अवरोध का अर्थ अलग समांतर रेखाएँ है। इसलिए वे कभी नहीं कटतीं। / Same slope and different intercepts mean distinct parallel lines. Therefore, they never intersect.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को अलग समानांतर बनाते हैं। इसलिए युग्म असंगत होता है। / Same slope and different intercepts make the lines distinct parallel. Therefore, the pair is inconsistent.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को अलग समानांतर बनाते हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / Same slope and different intercepts make the lines distinct parallel. Therefore, there is no common solution.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को अलग समानांतर बनाते हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / Same slope and different intercepts make the lines distinct parallel. Therefore, there is no common solution.
समान ढाल और अलग अवरोध से रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / Same slope and different intercepts make the lines parallel and distinct. Therefore there is no common solution.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को समानांतर बनाते हैं। समानांतर अलग रेखाएं कोई हल नहीं देतीं। / Same slope and different intercepts make the lines parallel. Distinct parallel lines give no solution.
समान ढाल और अलग (y)-अवरोध वाली रेखाएं समांतर होती हैं। इसलिए उनका कोई प्रतिच्छेद नहीं होता। / Lines with equal slopes and different (y)-intercepts are parallel. Therefore they have no intersection.
समान ढाल और अलग (y)-अवरोध वाली रेखाएं समांतर होती हैं। इसलिए उनका कोई प्रतिच्छेद नहीं होता। / Lines with equal slopes and different (y)-intercepts are parallel. Therefore they have no intersection.
दोनों में ढाल (2) है लेकिन अवरोध (5) और (-3) अलग हैं। इसलिए ये समांतर अलग-अलग रेखाएं हैं। / Both have slope (2), but intercepts (5) and (-3) are different. Hence they are distinct parallel lines.
समान ढाल और अलग (y)-अवरोध वाली रेखाएं समांतर होती हैं। इसलिए उनका कोई प्रतिच्छेद नहीं होता। / Lines with equal slopes and different (y)-intercepts are parallel. Therefore they have no intersection.
\(p(x)=x^2-ax=x(x-a)\) के रूप में गुणनखंड करते हैं; इसलिए \(p(x)=0\) होने पर \(x=0\) या \(x=a\)। x-अक्ष पर कटान बिंदु उन x मूल्यों के लिए y=0 होने पर बिंदु होते हैं, अतः कटान (0,0) और (a,0) होंगे। निकटवर्ती भ्रांति: विकल्प B में \(-a\) लिया गया है जो संकेत की गलती है — यहाँ गुणनखंड \(x-a\) से जड़ \(+a\) आती है न कि \(-a\)। परीक्षा सुझाव: तेजी से शून्य खोजने के लिए \(p(x)=0\) रखें और सामान्य गुणक \(x\) बाहर निकालें। / Factor: \(p(x)=x^2-ax=x(x-a)\). Setting \(p(x)=0\) gives \(x=0\) or \(x=a\), so the x-intercepts are (0,0) and (a,0). Closest distractor: option B uses \(-a\) — this comes from a sign mistake; the factor is \(x-a\) so the root is \(+a\), not \(-a\). Exam tip: always set \(p(x)=0\) and factor to find zeros quickly.
दूरी दोनों बिंदुओं के x-निर्देशांकों का परास मान (absolute difference) है: \,|10-2|=8। इसलिए सही उत्तर 8 है। विकल्प B (12) गलत है क्योंकि कुछ विद्यार्थी बिंदुओं को जोड़कर (10+2) ग़लत रूप से 12 लेते हैं, जबकि दूरी के लिए घटाव का परास लेते हैं। परीक्षा-टिप: दो x-अक्ष कटानों की दूरी निकालने के लिए हमेशा \,|x2-x1| का प्रयोग करें। / Distance on the number line is the absolute difference of the x-coordinates: \,|10-2|=8. Hence 8 is correct. Option B (12) is incorrect — it comes from wrongly adding the coordinates (10+2) instead of taking their difference. Exam tip: use \,|x2-x1| to find distance between two x-intercepts quickly.
(y=0) रखने पर (x=4), और (x=0) रखने पर (y=-9)। अवरोध ग्राफ बनाने के लिए सुविधाजनक बिंदु देते हैं। / Putting (y=0) gives (x=4), and putting (x=0) gives (y=-9). Intercepts give convenient points for graphing.
(y=0) रखने पर (x=3), और (x=0) रखने पर (y=-7)। अवरोध ग्राफ बनाने के लिए सरल और उपयोगी बिंदु देते हैं। / Putting (y=0) gives (x=3), and putting (x=0) gives (y=-7). Intercepts give simple and useful points for graphing.
(y=0) रखने पर (x=4) और (x=0) रखने पर (y=-10)। अवरोधों से ग्राफ जल्दी और साफ बनता है। / Putting (y=0) gives (x=4), and putting (x=0) gives (y=-10). Intercepts make the graph quick and clear.
(y=0) रखने पर (x=4) और (x=0) रखने पर (y=-3)। अवरोधों से रेखा जल्दी खींची जा सकती है। / Putting (y=0) gives (x=4), and putting (x=0) gives (y=-3). Intercepts help draw the line quickly.
((4,0)) और ((0,3)) दोनों समीकरण (3x+4y=12) को संतुष्ट करते हैं। ग्राफ बनाते समय दो सही बिंदु पर्याप्त होते हैं। / Both ((4,0)) and ((0,3)) satisfy (3x+4y=12). Two correct points are enough to draw a line.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=6)। अवरोधों से रेखा जल्दी और सही बनती है। / At (y=0), (x=8), and at (x=0), (y=6). Intercepts help draw the line quickly and correctly.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=6)। पहले (x)-अवरोध और फिर (y)-अवरोध लिखें। / At (y=0), (x=8), and at (x=0), (y=6). Write the (x)-intercept first and then the (y)-intercept.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=4)। दो सही बिंदु मिलने पर रेखा आसानी से बनती है। / When (y=0), (x=8), and when (x=0), (y=4). Once two correct points are found, the line is easy to draw.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=4)। सही दो बिंदु मिलें तो रेखा आसानी से बनती है। / When (y=0), (x=8), and when (x=0), (y=4). Once two correct points are found, the line is easy to draw.
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। (x)-अक्ष पर बिंदु ((3,0)) और ((4,0)) होंगे। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). The (x)-axis points are ((3,0)) and ((4,0)).
(x)-अक्ष पर (p(x)=0), इसलिए \(x^2-5=0\) से \(x=\pm\sqrt{5}\) है। ग्राफ में (x)-कट शून्यक होते हैं। / On the (x)-axis, (p(x)=0), so \(x^2-5=0\) gives \(x=\pm\sqrt{5}\). The (x)-intercepts are the zeroes.
गुणनखंडों से शून्यक (-1), (2), और (4) हैं। तीन अलग शून्यक तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद देते हैं। / The factors give zeroes (-1), (2), and (4). Three distinct zeroes give three distinct (x)-intercepts.
(x-2-2x-8=(x-4)(x+2)) है। अतः (x=4) और (x=-2) पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलेगा। / (x-2-2x-8=(x-4)(x+2)). So the graph meets the (x)-axis at (x=4) and (x=-2).
\(x^2-9=0\) से \(x=\pm3\) मिलता है। शून्यक हमेशा (x)-अक्ष पर ((x,0)) रूप में दिखते हैं। / Solving \(x^2-9=0\) gives \(x=\pm3\). Zeroes appear on the (x)-axis as ((x,0)).
माध्य \(\frac{-4+6+16}{3}=6\) है। टिप: पहले कटान बिंदुओं से (x)-मान पढ़ें। / The mean is \(\frac{-4+6+16}{3}=6\). Tip: first read the (x)-values from intersection points.
(x-2-hx=x(x-h)) है, इसलिए शून्यक (0) और (h) हैं। टिप: सामान्य (x) गुणनखंड निकालें। / (x-2-hx=x(x-h)), so the zeroes are (0) and (h). Tip: factor out the common (x).
A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (13) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
(x-2-13x-68=(x-17)(x+4)) है, इसलिए शून्यक (17) और (-4) हैं। टिप: गुणनखंडों से कटान बिंदु लिखें। / (x-2-13x-68=(x-17)(x+4)), so the zeroes are (17) and (-4). Tip: write intersection points from factors.
बहुपद ((x-n)(x-(n+3))) है इसलिए शून्यक (n) और (n+3) हैं। टिप: शून्यकों को ((x,0)) में लिखें। / The polynomial is ((x-n)(x-(n+3))), so the zeroes are (n) and (n+3). Tip: write zeroes as ((x,0)).
माध्य \(\frac{-3+5+13}{3}=5\) है। टिप: पहले कटान बिंदुओं से (x)-मान पढ़ें। / The mean is \(\frac{-3+5+13}{3}=5\). Tip: first read the (x)-values from intersection points.
(x-2-ex=x(x-e)) है, इसलिए शून्यक (0) और (e) हैं। टिप: सामान्य (x) गुणनखंड निकालें। / (x-2-ex=x(x-e)), so the zeroes are (0) and (e). Tip: factor out the common (x).
A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (11) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
(x-2-9x-52=(x-13)(x+4)) है, इसलिए शून्यक (13) और (-4) हैं। टिप: गुणनखंडों से कटान बिंदु लिखें। / (x-2-9x-52=(x-13)(x+4)), so the zeroes are (13) and (-4). Tip: write intersection points from factors.
बहुपद ((x-m)(x-(m-1))) है, इसलिए शून्यक (m) और (m-1) हैं। टिप: शून्यकों को ((x,0)) में लिखें। / The polynomial is ((x-m)(x-(m-1))), so the zeroes are (m) and (m-1). Tip: write zeroes as ((x,0)).
माध्य \(\frac{-2+4+10}{3}=4\) है। टिप: पहले कटान बिंदुओं से (x)-मान पढ़ें। / The mean is \(\frac{-2+4+10}{3}=4\). Tip: first read the (x)-values from intersection points.
(x-2-cx=x(x-c)) है इसलिए शून्यक (0) और (c) हैं। टिप: सामान्य (x) गुणनखंड निकालें। / (x-2-cx=x(x-c)), so the zeroes are (0) and (c). Tip: factor out the common (x).
A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0))/Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (9) है इसलिए दूसरा शून्यक (5) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
(x-2-8x-33=(x-11)(x+3)) है इसलिए शून्यक (11) और (-3) हैं। टिप: गुणनखंडों से बिंदु ((x,0)) बनाएं। / (x-2-8x-33=(x-11)(x+3)), so the zeroes are (11) and (-3). Tip: form ((x,0)) points from factors.
यह ((x-u)(x-v)) है इसलिए शून्यक (u) और (v) हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) बिंदु के रूप में लिखें। / It is ((x-u)(x-v)), so the zeroes are (u) and (v). Tip: write each zero as the point ((x,0)).
माध्य \(\frac{-1+3+7}{3}=3\) है। टिप: पहले कटान बिंदुओं से (x)-मान पढ़ें। / The mean is \(\frac{-1+3+7}{3}=3\). Tip: first read the (x)-values from intersection points.
(x-2-bx=x(x-b)) है, इसलिए शून्यक (0) और (b) हैं। टिप: सामान्य (x) गुणनखंड निकालें। / (x-2-bx=x(x-b)), so the zeroes are (0) and (b). Tip: factor out the common (x).
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
(x-2-4x-21=(x-7)(x+3)) है, इसलिए शून्यक (7) और (-3) हैं। टिप: गुणनखंडों से बिंदु ((x,0)) बनाएं। / (x-2-4x-21=(x-7)(x+3)), so the zeroes are (7) and (-3). Tip: form ((x,0)) points from factors.
यह ((x-m)(x-n)) है इसलिए शून्यक (m) और (n) हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) में लिखें। / It is ((x-m)(x-n)), so the zeroes are (m) and (n). Tip: write each zero as ((x,0)).
यदि किसी बहुपद के ग्राफ़ पर निम्नलिखित मान दिए गए हों: \(p(-4)=0\), \(p(0)=3\), \(p(2)=0\), \(p(5)=0\)। इनमें से कितने दिए गए \(x\)-मान बहुपद के शून्यक (zeros) हैं?
शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(5)=0\) हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। \(p(0)=3\) शून्य नहीं है। परीक्षात्मक टिप: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ वक्र x-अक्ष (यानी \(y=0\)) को काटता है। / A zero is an \(x\) such that \(p(x)=0\). Here \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(5)=0\), so there are three zeros. \(p(0)=3\) is not a zero. Exam tip: on the graph, zeros are the x-values where the curve meets the x-axis (y=0).
A. \(\left(\frac{5}{2},0\right),\ \left(-\frac{5}{2},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर कटबिंदु बहुपद के शून्य (zeros) होते हैं। \(p(x)=4x^2-25=0\) से, यह अंतर वर्ग (difference of squares) के रूप में लिखा जा सकता है: \((2x)^2-5^2=0\) अर्थात् \((2x-5)(2x+5)=0\)। अतः \(2x-5=0\) या \(2x+5=0\) से \(x=\pm\frac{5}{2}\)। इसलिए कटबिंदु \(\left(\frac{5}{2},0\right)\) और \(\left(-\frac{5}{2},0\right)\) हैं। नज़दीकी भूल: विकल्प B तब होगा जब कोई \(2x\) को अनदेखा कर के सीधे \(x=\pm5\) ले लेता है — यह गलत है। परीक्षा सुझाव: \(4x^2-25\) को \((2x)^2-5^2\) समझकर तुरंत गुणनखंड करें या दोनों पक्ष का वर्गमूल लेते समय \(\pm\) याद रखें और \(x\) के गुणांक से भाग दें। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Set \(p(x)=4x^2-25=0\). Recognize a difference of squares: \((2x)^2-5^2=0\), so \((2x-5)(2x+5)=0\). Thus \(2x-5=0\) or \(2x+5=0\) giving \(x=\pm\tfrac{5}{2}\). Therefore the intercepts are \(\left(\tfrac{5}{2},0\right)\) and \(\left(-\tfrac{5}{2},0\right)\). Closest distractor B arises from forgetting the factor 2 (mistakenly taking \(x=\pm5\)). Exam tip: factor as a difference of squares or take square roots remembering the \(\pm\) and divide by the coefficient of \(x\).
A. दूसरा (3), कटान ((2,0)), ((3,0))/Other (3), intersections ((2,0)), ((3,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक (3) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (5), so the other zero is (3). Tip: immediately convert a zero to ((x,0)).
किसी बहुपद का शून्यक a होने पर ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर काटता है क्योंकि उस x‑मान पर y = 0 होता है। इसलिए शून्यक −2, 3, 7 के लिए कटान बिंदु क्रमशः (−2,0), (3,0), (7,0) होंगे — यह विकल्प B है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें y-अक्ष के इंटरसेप्ट (0,a) दिये गये हैं, न कि x-अक्ष के। विकल्प D केवल चिन्हों में उलटफेर दिखाता है और विकल्प C बिनाहयान रूप से संख्याओं को जोड़ता है; दोनों अमान्य जोड़ हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को पहले निर्देशांक (x‑मान) में लिखें और y को शून्य रखें — यानी हर शून्यक के लिए (a,0)। / If a polynomial has a zero a, the graph meets the x-axis at (a,0) because y = 0 at that x-value. Thus for zeros −2, 3 and 7 the intersection points are (−2,0), (3,0), (7,0), which is option B. Option A lists points on the y-axis (0,a), not x-axis points. Option D shows sign errors and option C mismatches x and y values, so both are incorrect. Exam tip: convert each root a directly to (a,0) — first coordinate equals the root, second coordinate is 0.
(x-2+2x-15=(x+5)(x-3)), इसलिए शून्यक (-5) और (3) हैं। टिप: गुणनखंडों से बिंदु ((x,0)) बनाएं। / (x-2+2x-15=(x+5)(x-3)), so the zeroes are (-5) and (3). Tip: form points ((x,0)) from factors.
बहुपद ((x-a)(x-b)) के बराबर है, इसलिए शून्यक (a) और (b) हैं। टिप: गुणनखंड रूप को ग्राफ कटान से जोड़ें। / The polynomial equals ((x-a)(x-b)), so the zeroes are (a) and (b). Tip: connect factor form with graph intersections.
x-अक्ष पर काटने के बिंदु शून्यक होते हैं, अतः शून्यक हैं \(-5\) और \(5\)। इनका गुणनफल \((-5)\times5= -25\) होता है। विकल्प B (25) तब गलत है जब ऋणात्मक चिह्न नजरअंदाज कर दिया जाए — यहाँ चिह्न महत्वपूर्ण है। विकल्प A और D असंबंधित हैं (0 तब होता यदि कोई शून्यक 0 हो, और 10 किसी दो मूल्यों का योग या अन्य संयोग हो सकता है)। परीक्षात्मक टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु सीधे शून्यक होते हैं और गुणा करते समय चिह्न का ध्यान रखें। / The x-intercepts are the zeroes, so the roots are \(-5\) and \(5\). Their product is \((-5)\times5=-25\). Option B (25) would be the absolute product ignoring the sign, which is incorrect here. Options A and D are unrelated (0 would occur if one root were 0; 10 might arise from a sum or other operation). Exam tip: read signs carefully — x-intercepts give the exact zeros including their signs, then multiply.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु के x-निर्देशांक ही बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक हैं \\((a), (0), (-a)\\)। इनका योग \\((a+0+(-a)=0)\\)। निकटवर्ती गलती वाले विकल्प \\((2a)\\) को चुनने वाले विद्यार्थी अक्सर \\(|a|+|a|\\) की तरह सोच लेते हैं; पर वास्तविक योग में विपरीत चिह्न मायने रखता है। परीक्षात्मक सुझाव: माता-पिता (opposite) जोड़े तुरंत शून्य कर देते हैं—विपरीत संख्याओं को जोड़ते समय उनका जोड़ शून्य होगा। / The x-intercepts give the zeros of the polynomial: the zeros are \\((a), (0), (-a)\\). Their sum is \\((a+0+(-a)=0)\\). A common wrong choice is \\((2a)\\) — that arises if one mistakenly adds absolute values or ignores the negative sign. Exam tip: pair opposite numbers first; they cancel to zero.
x-अक्ष पर कटान बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ \(p(x)=0\) अर्थात् बिंदु का स्वरूप \((a,0)\) होता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(-3)=0\) और \(p(8)=0\) हैं, अतः कटान बिंदु \((-3,0)\) और \((8,0)\) हैं। विकल्प B में \((2,5)\) दिया है पर \(p(2)=5\) शून्य नहीं है, इसलिए वह x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा सलाह: हमेशा देखें कि दिया गया बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है या नहीं (यानी क्या \(p(a)=0\))। / An x-axis intersection occurs at points \((a,0)\) where \(p(a)=0\). Since \(p(-3)=0\) and \(p(8)=0\), the x-intercepts are \((-3,0)\) and \((8,0)\). Option B lists \((2,5)\), but \(p(2)=5\) is not zero, so that point is not on the x-axis. Exam tip: to find x-intercepts from function values, check which input values give \(p(x)=0\).
कारक शून्य करने पर (x=-2) और (x=7) मिलते हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) बिंदु में बदलें। / Setting the factors to zero gives (x=-2) and (x=7). Tip: convert each zero into the point ((x,0)).
x-अक्ष पर कटान बिंदु शून्यक (roots) होते हैं, यहाँ शून्यक 3 और 12 हैं। उनका अंकगणितीय औसत \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\) है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A (15) केवल 3 और 12 का योग है; विकल्प D (36) उनका गुणनफल है; विकल्प B (9) किसी ग़लत गणना या संख्या के गलत पढ़ने से आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी द्विघात के शून्यकों α और β का औसत \\(-\frac{b}{2a}\\) से भी शीघ्र ज्ञात किया जा सकता है। / The x-intercepts are the zeros (roots) 3 and 12. The arithmetic mean is \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\), so option C is correct. Option A (15) is the sum 3+12; option D (36) is the product 3×12; option B (9) is an incorrect result from a miscalculation or misreading. Exam tip: For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the average of the two roots equals \(-\frac{b}{2a}\).
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)) इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। टिप: गुणनखंड बनाकर कटान बिंदु लिखें। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). Tip: factor and then write intersection points.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु के x-समन्वय बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक हैं ",-1", "2" और "4"। अतः गुणनफल \\((-1)\times2\times4=-8\\) होता है। सबसे निकटभ्रष्ट विकल्प C (8) केवल संख्याओं का गुणन सही है पर् चिन्ह गलत है; A और D स्पष्ट अंकगणितीय गलतियाँ हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर दिए गए x-समन्वयों को सीधे गुणा करें, और ऋणात्मक चिह्न का ध्यान रखें। / The x-coordinates of x-axis intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -1, 2 and 4, so the product is \\((-1)\times2\times4=-8\\). The closest distractor C (8) results from ignoring the negative sign; A and D are simple arithmetic mismatches. Exam tip: multiply the x-intercepts (including their signs) to get the product of zeros.
p(x) के शून्यक उन x मानों को कहते हैं जिनके लिए p(x)=0।\n\n
equation: \(2x^2-8=0\). दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(x^2-4=0\) मिलता है, इसलिए \(x^2=4\) और \(x=\pm2\)। अतः शून्यक 2 और −2 हैं।\n\nनज़दीकी विचलन (option B) गलत है क्योंकि वहाँ \(x^2=4\) से सीधे \(x=\pm4\) लेना गलत वर्गमूल है।\nटिप: हमेशा पहले समान गुणक से भाग करके सरल करें, फिर वर्गमूल लें। / Zeroes are x-values where p(x)=0.\n\nStarting with \(2x^2-8=0\), divide both sides by 2 to get \(x^2-4=0\). Thus \(x^2=4\) and \(x=\pm2\). Therefore the zeroes are 2 and −2.\n\nWhy the closest distractor (option B) is wrong: it incorrectly gives ±4, which would come from the mistaken step of taking the square root incorrectly.\nExam tip: factor out or divide by common factors first, then take square roots of positive results carefully.
x-अक्ष के परकीय बिंदु शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -10 और 0 हैं। उनका गुणनफल (-10) × 0 = 0 होगा क्योंकि किसी भी संख्या का 0 से गुणनफल 0 होता है. निकटवर्ती विचलन: 100 विकल्प तब गलत है जब कोई |−10|×|−10| मानकर भूल कर देता है। परीक्षा टिप: यदि आलेख origin (0,0) पर कटता है तो 0 एक शून्यक जरूर है। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -10 and 0, so their product is (-10) × 0 = 0 because any number multiplied by 0 equals 0. Closest distractor: 100 is wrong; it would arise only if one mistakenly multiplied 10 by 10. Exam tip: if the graph passes through the origin (0,0), 0 is always one of the roots.
शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य हो और समीकरण \(p(x)=0\) पूरा हो। \(p(x)=x^2-1\) के लिए \(p(\pm1)=1-1=0\), अतः बिंदु (-1,0) और (1,0) ग्राफ़ पर शून्यक हैं। परन्तु \(p(0)=0^2-1=-1\), अतः बिंदु (0,-1) में y = -1 है और यह शून्यक नहीं दर्शाता। निकटतम भ्रामक विकल्प D गलत है क्योंकि वह कहता है कि दोनों (-1,0) और (1,0) शून्यक नहीं हैं—वास्तव में दोनों शून्यक हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a,b) की जाँचना हो तो p(a) निकालें; यदि p(a)=0 और b=0 हों तो वह शून्यक है। / Zeros (roots) occur where the graph has y = 0, i.e., where \(p(x)=0\). For \(p(x)=x^2-1\), \(p(\pm1)=1-1=0\), so (-1,0) and (1,0) are zeros. But \(p(0)=0^2-1=-1\), so (0,-1) has y = -1 and is not a zero. The closest distractor D is wrong because it claims both (-1,0) and (1,0) are not zeros, whereas both actually are. Exam tip: to test a point (a,b), compute p(a); if p(a)=0 (and b=0 on the graph) then it's a zero.
बहुलक के शून्य वे x‑मान हैं जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता/छूता है, यानी y = 0। दिए गए बिंदुओं में केवल (−3, 0) और (8, 0) की दूसरी निर्देशांक शून्य है, इसलिए वही शून्यक दिखाते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि (0,4) का y = 4 ≠ 0; विकल्प A और D भी गैर‑शून्य y वाले बिंदु शामिल करते हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को चुनते समय उसका दूसरा निर्देशांक (y) अवश्य देखें — y = 0 होना चाहिए। / Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis, i.e. y = 0. From the given points only (−3, 0) and (8, 0) have y = 0, so they are the zeros. Option C is incorrect because (0, 4) has y = 4 ≠ 0; options A and D include points with nonzero y. Exam tip: always check the second coordinate — zeros occur where y = 0 (x‑intercepts).
x-अक्ष पर कटान के बिंदु ही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यकों का योग सीधे उन x-मूल्यों को जोड़कर मिलता है: \(-2+1+5=4\)। विकल्प A (8) तब गलत होगा जब कोई अभ्यर्थी मात्र मानों के परिमाण जोड़ दे (\(|-2|+|1|+|5|=8\)), जो सही नहीं है क्योंकि संकेत (-) महत्वपूर्ण है। परीक्षा-सुझाव: जोड़ते समय हर शून्य का संकेत ध्यान से लें; सिर्फ x-मूल्यों को जोड़ें, y-संयोजन को नहीं। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial, so sum the x-values: \(-2+1+5=4\). Option A (8) is incorrect—someone might have added absolute values (2+1+5=8), which ignores the negative sign. Exam tip: always keep the signs of the zeros while summing; only use the x-coordinates of intercepts.
हर रेखीय कारक को शून्य मानकर शून्यांक निकाले जाते हैं: \(x+7=0\) से \(x=-7\) और \(x-1=0\) से \(x=1\)। x-अक्ष पर y का मान 0 होता है, अतः बिंदु \\((-7,0)\\) और \\((1,0)\\) होंगे। विकल्प A में संकेत उल्टे हैं, विकल्प B y-अक्ष के बिंदु हैं और विकल्प D अनावश्यक अवयव दे रहा है। परीक्षा टिप: प्रत्येक कारक को 0 के बराबर रखें और प्राप्त x-मूलों के साथ y=0 लिखें। / Set each linear factor to zero: \(x+7=0\) gives \(x=-7\) and \(x-1=0\) gives \(x=1\). For x-axis intercepts y=0, so the points are (-7,0) and (1,0). Option A has the signs reversed; option B lists y-axis points; option D gives unrelated coordinates. Exam tip: equate each factor to zero to find x-zeros, then pair with y=0 for the intercepts.
कटान बिंदुओं के पहले निर्देशांक शून्यक होते हैं। टिप: दूसरे निर्देशांक को (0) देखकर बिंदु चुनें। / The first coordinates of intersection points are the zeroes. Tip: choose points whose second coordinate is (0).
शून्यक (-3), (2), (8) हैं और सबसे छोटा (-3) है। टिप: ऋणात्मक संख्या धनात्मक से छोटी होती है। / The zeroes are (-3), (2), (8), and the smallest is (-3). Tip: a negative number is smaller than a positive number.
शून्यक वे x-मान हैं जिन पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए \(p(x)=0\) रखें: \(-x^2+25=0\) से \(x^2=25\) और अतः \(x=\pm5\)। वैकल्पिक रूप से विभाजन करें: \(-x^2+25=-(x^2-25)=-(x-5)(x+5)\) से भी शून्यक \(x=5, -5\) मिलते हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह 25 को x के रूप में ले रहा है — यहाँ 25 y का मान (ऊपर की ओर शिखर) नहीं x-मूल है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(0)=25\), न कि 0। टिप: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और यदि संभव हो तो घटक निकाल कर (factor) जांचें। / Zeros are x-values where the polynomial equals zero, so set \(p(x)=0\): \(-x^2+25=0\) gives \(x^2=25\) and hence \(x=\pm5\). You can also factor: \(-x^2+25=-(x^2-25)=-(x-5)(x+5)\), yielding \(x=5,-5\). Option B is incorrect because it mistakes 25 (a y-value in the vertex) for the x-root. Option C is wrong since \(p(0)=25\), not 0. Exam tip: set the polynomial equal to zero first and factor when possible to find roots quickly.
x-अक्ष पर कटान बिंदु (a,0) का अर्थ है कि उस फ़ंक्शन/बहुपद का मान x=a पर शून्य है। अतः (a,0), (b,0), (c,0) से शून्यक क्रमशः a, b, c होते हैं। विकल्प A तब ही सही होगा जब a=b=c=0, जो सामान्य रूप में सत्य नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि a+0 = a आदि लिखा जा सकता है — यह सिर्फ अनावश्यक रूप है, न कि अमान्य। विकल्प D गलत है क्योंकि दिए गए तीनों कटान बिंदु तीनों शून्य दर्शाते हैं, न कि केवल c। परीक्षा-टिप: किसी x-अक्ष कटान (α,0) से सीधे α को शून्यक समझें। / An x-intercept (a,0) means the function (or polynomial) equals zero at x=a, so the zeros are a, b and c respectively. Choice A would only be true if a=b=c=0, which need not hold. Choice C is incorrect because a+0 = a (writing it that way is valid but redundant). Choice D is wrong because all three intercepts give zeros, not only c. Exam tip: read the x-coordinate of an x-intercept (α,0) as a zero of the polynomial.
B. (0), (2) और (5) शून्यक हैं/(0), (2) and (5) are zeroes
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपद p(x) का ग्राफ बिंदु (a,0) पर x-अक्ष को काटता है, तो उस बिंदु का x-कोऑर्डिनेट a बहुपद का शून्य (root) या शून्यक होता है क्योंकि p(a)=0। यहाँ दिया गया है कि ग्राफ (0,0), (2,0) और (5,0) पर काटता है, अतः x=0, x=2 और x=5 तीनों शून्यक हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प D गलत है क्योंकि वह (0,0) को नजरअंदाज कर रहा है। परीक्षा टिप: (0,0) को अक्सर अनदेखा कर दिया जाता है — किसी भी इंटरसेप्ट को ध्यान से पढ़कर बताइए कि x-कोऑर्डिनेट शून्यक है। / If the graph of a polynomial p(x) passes through (a,0), then a is a zero of the polynomial because p(a)=0. Given intersections at (0,0), (2,0) and (5,0), the zeros are x=0, x=2 and x=5. The closest distractor (D) is incorrect because it ignores the origin (0,0). Exam tip: never skip the origin — treat (0,0) as a valid x-intercept giving the zero x=0.
B. वे परस्पर विपरीत हैं/They are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर काटने के बिंदु उस फलन के शून्यक (zeros) के x-मान देते हैं; यहाँ शून्यक -4 और 4 हैं। ये एक-दूसरे के विपरीत हैं क्योंकि 4 = -(-4)। विकल्प A गलत है क्योंकि -4 ≠ 4; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि एक शून्य धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है। परीक्षा सुझाव: यदि x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु ±a के रूप में होते हैं तो शून्यकों का योग 0 होता है और बहुपद में \(x^2 - a^2\) गुणक होगा। / The x-intercepts give the zeros of the function: here the zeros are -4 and 4. They are opposites because 4 = -(-4). Option A is incorrect since -4 and 4 are not equal; options C and D are wrong because one root is positive and the other is negative. Exam tip: zeros at ±a imply sum 0 and the polynomial has factor \(x^2 - a^2\), which helps quickly identify symmetric roots.
(x)-अक्ष कटान पर (y=p(x)=0) होता है। टिप: कटान बिंदु से फलन मान सीधे पढ़ें। / At an (x)-axis intersection, (y=p(x)=0). Tip: read the function value directly from the intersection point.
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद तब होते हैं जब p(x)=0 होता है.
प्रशीलन: \(x^2-16=0\) से \(x^2=16\) और इसलिए \(x=\pm4\). अतः x-अक्ष पर बिंदु (4,0) और (-4,0) होंगे।
निकटतम भ्रम (option A) का कारण: कुछ छात्र x और y निर्देशांक को उलट कर या साइन भूल कर (0,16) लिख सकते हैं — वास्तविक y-अक्ष पर छेदन \(p(0)= -16\) इसलिए (0,-16) होता, न कि (0,16)।
टिप: समाधान तेज़ी से लिखने के लिए बहुपद को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\) — शून्य के लिए प्रत्येक कारक को शून्य लें। / x-intercepts occur where p(x)=0.
Reason: solve \(x^2-16=0\) giving \(x^2=16\) and hence \(x=\pm4\). Therefore the graph meets the x-axis at (4,0) and (-4,0).
Closest distractor (option A) arises from swapping coordinates or sign errors — note that p(0) = -16, so the y-intercept is (0,-16), not (0,16) or (16,0).
Exam tip: factor the quadratic as \(x^2-16=(x-4)(x+4)\) and set each factor to zero to find zeros quickly.
B. जो (x)-अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करे/One that touches the (x)-axis at only one point
Explanation
Simple Explanation
कोई भी वास्तविक शून्यक उस बिंदु का x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ (x)-अक्ष को काटता या स्पर्श करता है। यदि ग्राफ केवल एक ही बिंदु पर (x)-अक्ष को स्पर्श करता है तो उस ग्राफ का केवल एक विशिष्ट वास्तविक शून्यक होगा — यह अक्सर गुणनखंड की गुणता (multiplicity) के कारण होता है (दोहरे मूल पर स्पर्श)। विकल्प A में दो अलग-अलग कटाव होंगे इसलिए दो वास्तविक शून्यक होंगे। विकल्प C में कोई भी कटाव नहीं होगा इसलिए शून्य वास्तविक शून्यक हैं। विकल्प D केवल तब संभव है जब फलन शून्य-फलन (zero polynomial) हो; सामान्य गैर-शून्य बहुपद के लिए ऐसा नहीं होता। परिक्षा टिप: x-अक्ष से मिलने के बिंदुओं की गिनती करो — अगर ग्राफ को स्पर्श करता है और पार नहीं करता तो वह एक ही अलग शून्यक दे सकता है (समासम्य गुणता अक्सर सम होने पर स्पर्श, विषम होने पर पार)। / Real zeros correspond to x-intercepts of the graph. A graph that touches the x-axis at exactly one point has exactly one distinct real zero (this often indicates a repeated root with even multiplicity). Option A crosses the x-axis at two distinct points → two real zeros. Option C does not meet the x-axis → no real zeros. Option D would give infinitely many zeros only if the function is the zero polynomial (coincides with the x-axis), which is not the typical non-zero polynomial case. Exam tip: count distinct x-intercepts; if the curve merely touches (tangent) the axis at a point it represents a repeated root, while crossing indicates an odd multiplicity root.
किसी भी बहुपद के ग्राफ का x-अक्ष छेद (x‑अंतर) तब होता है जब उसके मान y = 0 हों, अर्थात् \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-3)=0\) और \(p(4)=0\) दिए हैं, इसलिए छेद बिंदु (-3, 0) और (4, 0) हैं। विकल्प A में (0,5) y‑समन है, x‑अक्ष पर नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा‑टिप: सीधे उन x‑मानों को चुनें जिनके लिए \(p(x)=0\); वहाँ y‑समन हमेशा 0 होता है। / An x‑intercept occurs where the graph has y = 0, i.e. where \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) and \(p(4)=0\), the graph meets the x‑axis at (-3, 0) and (4, 0). Option A is incorrect because (0, 5) has y ≠ 0 and is not on the x‑axis. Exam tip: To find x‑intercepts, look for the x‑values that make \(p(x)=0\); those x's give points (x, 0).
शून्यक (-6) और (2) हैं, इसलिए गुणनफल (-12) है। टिप: (y)-निर्देशांक को गुणन में शामिल न करें। / The zeroes are (-6) and (2), so the product is (-12). Tip: do not include the (y)-coordinate in the product.
x-अक्ष पर जिस बिंदु पर परवलय कटती है, उन बिंदुओं के x-निर्देशांक ही परवलय के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -1 और 4 हैं, अतः उनका योग = -1 + 4 = 3 है। निकटवर्ती भ्रामक उत्तरों की व्याख्या: -3 अक्सर तब मिलता है जब कोई साइन भूलकर उल्टा कर दे (जैसे 1 − 4 = -3), और 4 या -4 तब होते हैं जब केवल एक मान लिया गया हो या साइन पूरी तरह गलत हो। टिप: x-अक्ष के छेदन बिंदुओं से सीधे x-मूल पढ़ें और साइन पर ध्यान दें। / The x-coordinates of the x-axis intercepts are the zeros of the parabola. Here the zeros are -1 and 4, so their sum is -1 + 4 = 3. Why distractors are wrong: -3 typically arises from a sign error (confusing -1 + 4 with 1 − 4), while 4 or -4 result from using only one root or taking incorrect signs. Exam tip: read the x-values of intercept points directly and watch the signs carefully.
x-अक्ष पर कटाव के लिए y-अर्थात् \(p(x)=0\) होना चाहिए। \(p(x)=(x-2)(x+5)\) में प्रत्येक कारक को शून्य रखें: \(x-2=0\) से \(x=2\) और \(x+5=0\) से \(x=-5\)। अतः x-अक्ष पर कटाव के बिंदु (2,0) और (-5,0) हैं। विकल्प B में संकेतों को उल्टा लिया गया है (सामान्य गलती), विकल्प C में x- और y-अक्ष की जगह बदल दी गयी है — वास्तव में \(p(0)= -10\) इसलिए y-अक्ष पर कटाव (0,-10) होगा, और विकल्प D अर्थहीन जोड़ी है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटाव ज्ञात करने के लिए \(p(x)=0\) में प्रत्येक कारक को अलग से शून्य मानें; y-अक्ष के लिए x=0 लगाएँ। / x-axis intersections occur where \(p(x)=0\). For \(p(x)=(x-2)(x+5)\), set each factor to zero: \(x-2=0\) gives \(x=2\); \(x+5=0\) gives \(x=-5\). Hence the x-intercepts are (2,0) and (-5,0). Option B shows the signs reversed (common sign-error). Option C confuses x- and y-intercepts — in fact \(p(0)=-10\), so the y-intercept is (0,-10). Option D is an incorrect pair of points. Exam tip: To find x-intercepts set \(p(x)=0\); to find y-intercept put \(x=0\).
बहुपद के शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ y=0 को काटता है (यानी x‑अक्ष के छेद)। दिए गए बिंदुओं में (1,0) और (4,0) x‑अक्ष पर हैं इसलिए शून्यक 1 और 4 हैं। (0,6) y‑अक्ष पर है (y=6), इसलिए 6 शून्यक नहीं है। निकटतम भ्रमित विकल्प C गलत है क्योंकि उसने 6 को भी शामिल किया जो y‑मान है न कि कोई x‑मान जहाँ y=0। टिप: शून्यक खोजते समय हमेशा बिंदु का y‑मान चेक करें — केवल y=0 वाले बिंदु दें। / Zeros (roots) of a polynomial are the x‑values where the graph meets y=0 (the x‑axis). Here (1,0) and (4,0) lie on the x‑axis, so the zeros are 1 and 4. The point (0,6) is a y‑intercept (y=6), so 6 is not a zero. The closest distractor (C) is wrong because it incorrectly includes 6, which is a y‑coordinate, not an x‑coordinate with y=0. Exam tip: verify y=0 for any intercept before calling its x‑value a root.
x-अक्ष पर जो बिंदु ग्राफ काटता है वे बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक \\(-1\\) और \\(+1\\) हैं, अतः उनका योग \\(-1+1=0\\) है। सबसे संभावित भ्रम विकल्प B (2) तब होता है जब कोई मानों के परिमाण (absolute values) जोड़ देता है। परीक्षा टिप: यदि शून्यक सममित रूप से \(±a\) हैं तो उनका योग हमेशा 0 होगा। / Points where the graph crosses the x-axis are the zeros. Here the zeros are \(-1\) and \(+1\), so their sum is \(-1+1=0\). The common mistake giving option B (2) comes from adding absolute values instead of signed numbers. Exam tip: For symmetric roots \(±a\) the sum is always 0; use signs carefully when adding roots.
शून्यक की परिभाषा के अनुसार किसी संख्या \(a\) के लिए \(a\) शून्यक तभी होता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(2)=3\) है जो शून्य नहीं है, अतः \(2\) शून्यक नहीं है। ज्यामितीय रूप से शून्यक वह x‑समानांतर बिंदु होता है जहाँ आलेख x‑अक्ष (y=0) को छूता है; बिंदु \((2,3)\) x‑अक्ष के ऊपर है। नजदीकी विचलन "निर्धारित नहीं किया जा सकता" गलत है क्योंकि \(p(2)\) का मान दिया हुआ है; "केवल द्विघात में हाँ" गलत है क्योंकि डिग्री का कोई संबंध नहीं है — शर्त हमेशा \(p(a)=0\) है। टिप: किसी बिंदु के लिए y‑निर्देशांक को देखें — शून्य होने पर ही x मान शून्यक होता है। / By definition a number \(a\) is a zero (root) of a polynomial only if \(p(a)=0\). Here \(p(2)=3\), which is not zero, so 2 is not a root. Geometrically roots are x‑intercepts where the graph meets the x‑axis (y=0); the point \((2,3)\) lies above the x‑axis. The distractor "Cannot be determined" is wrong because the value \(p(2)\) is explicitly given; "Only for quadratics" is also incorrect since degree does not change the condition \(p(a)=0\). Exam tip: always check whether the y‑value equals 0 to decide if an x‑value is a root.
x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु के x‑मान ही बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक −5 और 2 हैं, अतः उनका योग (−5)+2 = −3। विकल्प B (3) उस स्थिति में गलत होगा जब केवल मानों का चिह्न उल्टा ले लिया गया हो; विकल्प C (7) तब आता है जब मात्र परिमाणों को जोड़ा गया हो (|−5|+|2|), अतः वे गलत हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं से सीधे x‑समन्वय लें और जोड़ें। / The x-coordinates of the points where the graph meets the x-axis are the zeroes. Here the zeroes are −5 and 2, so the sum is (−5)+2 = −3. Option B (3) would be a sign error; option C (7) corresponds to adding absolute values (|−5|+|2|) and is therefore incorrect. Exam tip: directly take the x-values of the intercepts as the roots and add them.
किसी ग्राफ के \(x\)-अक्ष के साथ कटान बिंदुओं के \(x\)-निर्धेषश (coordinates) ही उसके वास्तविक शून्यक होते हैं क्योंकि वहाँ \(y=0\) होता है। अतः दिए गए कटान बिंदुओं \(-3\) और \(5\) के कारण शून्यक \(-3\) और \(5\) हैं। सबसे नज़दीकी विलक्ष्य (option B) गलत है क्योंकि वहाँ संकेत उलट दिए गए हैं; option C और D भी दिए हुए कटान से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: किसी भी फलन के शून्यक ज्ञात करने के लिए उस बिंदु के \(x\)-मान लें जहाँ \(y=0\)। / The x-intercepts give the zeros because at those points the function value is \(y=0\). Therefore the zeros are the x-values \(-3\) and \(5\). The closest distractor (B) is wrong due to sign reversal; C and D do not match the given intercepts. Exam tip: read off the x-coordinates of points where the graph meets the \(x\)-axis — those are the zeros (roots).
शून्यक (x)-अक्ष कटावों के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (u), (v), और (w) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the (x)-axis intersections. Therefore the zeroes are (u), (v), and (w).
तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु तीन अलग वास्तविक शून्यक बताते हैं। उनके (x)-निर्देशांक ही शून्यक हैं। / Three distinct (x)-axis points show three distinct real zeroes. Their (x)-coordinates are the zeroes.
शून्यकों को (x)-निर्देशांक बनाकर (y=0) लिया जाता है। इसलिए कटाव बिंदु ((-1,0)), ((3,0)), और ((8,0)) होंगे। / Use the zeroes as (x)-coordinates and take (y=0). So the intersection points are ((-1,0)), ((3,0)), and ((8,0)).
