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खींचने का आवश्यक बल सतह बदलने के कारण प्राप्त मापा गया परिणाम है। इसलिए यह आश्रित चर है। / The required pulling force is the measured outcome produced when the surface is changed. Therefore it is the dependent variable.
D. परिणाम का वास्तविक कारण पता लगाना कठिन होगा/It will be difficult to identify the real cause of the result
Explanation
Simple Explanation
कई कारक बदलने पर यह पता नहीं चलता कि परिणाम किस कारण आया। एक समय में एक मुख्य कारक बदलें। / When several factors change it becomes unclear what caused the result. Change one main factor at a time.
D. परिणाम का वास्तविक कारण पहचानना कठिन होगा/It will be difficult to identify the actual cause of the result
Explanation
Simple Explanation
एक साथ कई कारक बदलने से परिणाम का कारण स्पष्ट नहीं रहता। निष्पक्ष जांच के लिए एक ही कारक बदलें। / Changing several factors together makes the cause of the result unclear. Change only one factor for a fair test.
नियंत्रित चर समान रखे जाते हैं ताकि निष्पक्ष तुलना हो सके। परीक्षा में स्थिर कारक पहचानें। / Controlled variables are kept constant to ensure a fair comparison. Identify fixed factors.
समान रखे गए जल और मिट्टी नियंत्रित चर हैं। परीक्षा में स्थिर परिस्थितियों को नियंत्रित चर मानें। / Water and soil kept the same are controlled variables. In exams treat constant conditions as controlled variables.
A. नमक की मात्रा और पानी का आयतन/Amount of salt and volume of water
Explanation
Simple Explanation
नमक की मात्रा और पानी का आयतन समान रखने से केवल तापमान का प्रभाव देखा जाएगा। नियंत्रित चर निष्पक्ष जांच के लिए जरूरी हैं। / Keeping the amount of salt and volume of water constant isolates the effect of temperature. Controlled variables are essential for a fair test.
B. निर्धारित कार्य में सही उत्तरों की संख्या/Number of correct responses on a standard task
Explanation
Simple Explanation
मानक कार्य में सही उत्तर एकाग्रता का मापने योग्य संकेत देता है। परीक्षा में अमूर्त अवधारणा के लिए परिचालन मापन चुनें। / Correct responses on a standard task provide a measurable indicator of concentration. Choose operational measures for abstract concepts.
A. पानी के प्रभाव को स्पष्ट रूप से जानने के लिए/To identify the effect of water clearly
Explanation
Simple Explanation
पौधे की वृद्धि पर प्रकाश, मिट्टी, तापमान और बीज का प्रकार जैसे कई कारक प्रभाव डालते हैं। इन सभी को समान रखने पर वृद्धि में आया अंतर केवल पानी की मात्रा के कारण माना जा सकता है। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य कारकों को बदल देने पर यह पता नहीं चलेगा कि प्रभाव पानी का है या किसी दूसरे कारक का। परीक्षा टिप: निष्पक्ष परीक्षण में केवल एक स्वतंत्र चर बदला जाता है। / Plant growth is affected by several factors, such as light, soil, temperature, and type of seed. If these are kept the same, any difference in growth can be linked to the amount of water only. Therefore, option A is correct. If other factors also change, it will not be clear whether water or another factor caused the result. Exam tip: In a fair test, change only one independent variable.
A. वे प्रश्न को परीक्षण योग्य बनाते हैं/They make the question testable
Explanation
Simple Explanation
माप योग्य कारक, जैसे तापमान, समय, द्रव्यमान या लंबाई, के लिए संख्यात्मक आँकड़े एकत्र किए जा सकते हैं। इन आँकड़ों के आधार पर प्रश्न का प्रयोग या अवलोकन द्वारा परीक्षण किया जाता है, इसलिए विकल्प A सही है। प्रश्न का आकर्षक दिखना उसे वैज्ञानिक रूप से जाँचने योग्य नहीं बनाता। परीक्षा टिप: वैज्ञानिक प्रश्न में ऐसे कारक पहचानें जिन्हें मापा या दर्ज किया जा सके। / Measurable factors, such as temperature, time, mass, or length, allow numerical data to be collected. This data can be used to test a question through observation or experiment, so option A is correct. Making a question attractive does not make it scientifically testable. Exam tip: Look for factors that can be measured or recorded in a scientific question.
अन्य कारकों को समान रखने से केवल बदले गए कारक का प्रभाव पता चलता है। परीक्षा में निष्पक्ष जाँच का नियम याद रखें। / Keeping other factors the same shows the effect of only the changed factor. In exams remember the rule of a fair test.
C. जब एक कारक का प्रभाव निष्पक्ष रूप से जाँचना हो/When the effect of one factor must be tested fairly
Explanation
Simple Explanation
नियंत्रित कारक अन्य प्रभावों को स्थिर रखते हैं और निष्पक्ष जाँच संभव बनाते हैं। परीक्षा में उचित परीक्षण की शर्तें पहचानें। / Controlled factors keep other influences constant and allow a fair test. Identify conditions of a fair investigation.
C. उन्हें समान रखना चाहिए/They should be kept the same
Explanation
Simple Explanation
अन्य कारकों को समान रखने से स्वतंत्र चर का प्रभाव स्पष्ट होता है। इसे निष्पक्ष जांच कहते हैं। / Keeping other factors the same makes the effect of the independent variable clear. This is called a fair test.
B. एक समय में एक मुख्य कारक पर केंद्रित किया जाए/Focus on one main factor at a time
Explanation
Simple Explanation
एक मुख्य कारक पर ध्यान देने से उसके प्रभाव की स्पष्ट जाँच होती है। परीक्षा में केंद्रित प्रश्न पहचानें। / Focusing on one main factor allows its effect to be tested clearly. Identify focused questions.
B. नमूना व्यापक जनसंख्या का प्रतिनिधि नहीं हो सकता/The sample may not represent the wider population
Explanation
Simple Explanation
बड़ा नमूना भी पक्षपातपूर्ण चयन की समस्या दूर नहीं करता। परीक्षा में नमूना आकार के साथ प्रतिनिधिकता भी जाँचें। / A large sample does not remove biased selection. Examine representativeness along with sample size.
B. कारण और प्रभाव का स्पष्ट संबंध जाँचना/To test a clear cause-and-effect relationship
Explanation
Simple Explanation
अन्य कारक स्थिर रखने से देखे गए प्रभाव को स्वतंत्र चर से जोड़ा जा सकता है। परीक्षा में नियंत्रित चर का उद्देश्य समझें। / Keeping other factors constant allows the observed effect to be linked to the independent variable. Understand the purpose of controls.
नियंत्रित चर समान रखने से केवल स्वतंत्र चर का प्रभाव देखा जाता है। परीक्षा में स्थिर कारक पहचानें। / Keeping controlled variables the same allows the effect of the independent variable to be observed. Identify constant factors.
नियंत्रित चर प्रयोग के दौरान समान रखे जाते हैं ताकि निष्पक्ष तुलना हो सके। परीक्षा में स्थिर कारकों को नियंत्रित चर पहचानें। / Controlled variables are kept the same to ensure a fair comparison. Identify constant factors as controlled variables.
दावे की विश्वसनीयता प्रमाण और समान परिणामों की पुनरावृत्ति से बढ़ती है। लोकप्रियता वैज्ञानिक समर्थन नहीं है। / A claim becomes more reliable through evidence and repeated similar results. Popularity is not scientific support.
D. परिणाम का सही कारण पहचानना कठिन होगा/It will be difficult to identify the true cause of the result
Explanation
Simple Explanation
कई कारक बदलने से यह पता लगाना कठिन होता है कि प्रभाव किस कारण से हुआ। एक समय में एक कारक बदलें। / Changing several factors makes it difficult to know which caused the effect. Change one factor at a time.
D. वे कारक जिन्हें बदला नहीं जा रहा/Factors that are not being changed
Explanation
Simple Explanation
निष्पक्ष परीक्षण में जांचे जा रहे कारक के अलावा अन्य स्थितियां समान रखी जाती हैं। इससे तुलना उचित होती है। / In a fair test conditions other than the tested factor are kept the same. This makes comparison valid.
B. लागत मांग और प्रतिस्पर्धी कीमत/Cost demand and competitor price
Explanation
Simple Explanation
उचित मूल्य निर्धारण में लागत ग्राहक मांग और बाजार की कीमत देखी जाती है। परीक्षा में इन तीनों को याद रखें। / Proper pricing considers cost customer demand and market prices. Remember all three.
C. लागत ग्राहक की भुगतान क्षमता और प्रतिस्पर्धी कीमत/Cost customer willingness to pay and competitor prices
Explanation
Simple Explanation
उचित मूल्य निर्धारण में लागत मांग और बाजार की स्थिति का संतुलन आवश्यक है। परीक्षा में मूल्य निर्धारण के कारक याद रखें। / Proper pricing requires a balance of cost demand and market conditions. Remember the factors affecting pricing.
B. नमूना पूरी जनसंख्या का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता/The sample may not represent the whole population
Explanation
Simple Explanation
सीमित डिजिटल पहुँच वाला नमूना पक्षपाती निष्कर्ष दे सकता है। परीक्षा में डेटा संग्रह और प्रतिनिधित्व का संबंध देखें। / A sample limited by digital access may produce biased conclusions. Consider the link between data collection and representation in exams.
C. अपनी अध्ययन योजना और अभ्यास का समय सुधारना/Improving personal study plan and practice time
Explanation
Simple Explanation
अध्ययन योजना और अभ्यास व्यक्ति के अपने नियंत्रण में होते हैं। परीक्षा में नियंत्रण योग्य और अनियंत्रित कारकों में अंतर करें। / Study planning and practice are within personal control. In exams distinguish controllable and uncontrollable factors.
B. मैं नियमित अभ्यास समय प्रबंधन और शांत प्रयास पर ध्यान दूँगा/I will focus on regular practice time management and calm effort
Explanation
Simple Explanation
अभ्यास और समय प्रबंधन व्यक्ति के नियंत्रण में होते हैं। परीक्षा में परिणाम और प्रक्रिया का अंतर पहचानें। / Practice and time management are within personal control. Distinguish outcome from process.
एक वृत्त आलेख में सबसे बड़ा खंड देखने में छोटा लगता है क्योंकि उसे गहरे रंग की पतली सीमा से दिखाया गया है और छोटे खंड को बाहर खींचा गया है। मुख्य समस्या क्या है?
C. दृश्य जोर वास्तविक अनुपात से मेल नहीं खाता/Visual emphasis does not match the actual proportion
Explanation
Simple Explanation
दृश्य जोर दर्शक की धारणा बदल सकता है। प्रमुखता आंकड़ों के अर्थ के अनुरूप होनी चाहिए। / Visual emphasis can alter the viewer's perception. Prominence should match the meaning of the data.
C. दूरी बनाने या जाने की इच्छा/Desire to create distance or leave
Explanation
Simple Explanation
पीछे हटना और पैरों की दिशा दूरी या जाने की इच्छा दिखा सकती है। मुस्कान अकेले पूरे भाव का प्रमाण नहीं है। / Pulling back and foot direction may indicate distance or a desire to leave. A smile alone does not prove the complete emotion.
A. सतह पर नमी और रंग की मोटाई का असमान वितरण/Uneven distribution of moisture and paint thickness on the surface
Explanation
Simple Explanation
सतह पर नमी या रंग की मोटाई समान न होने पर अलग-अलग भाग अलग गति से सूखते हैं। इससे रंग की परत में असमान संकुचन होता है और किनारे भीतर की ओर खिंचकर टेढ़े-मेढ़े दिख सकते हैं। विकल्प B में एकसमान ब्रश-लोड और स्ट्रोक परत को अधिक समान बनाते हैं, इसलिए वह कारण नहीं है। परीक्षा टिप: रंग भरते समय पतली, समान परत लगाएँ और सतह की नमी नियंत्रित रखें। / When moisture and paint thickness are uneven, different parts of the layer dry at different rates. This causes unequal shrinkage, so the edges may pull inward and become irregular. Option B promotes a more even layer, so it is not the likely cause. Exam tip: apply a thin, uniform layer and control surface moisture.
D. इससे कागज की ऊपरी सतह फटने का जोखिम घटता है/It reduces the risk of tearing the paper surface
Explanation
Simple Explanation
कम कोण पर धीरे हटाने से खिंचाव सतह के समानांतर रहता है। चित्र पूरी तरह सूखा होना चाहिए। / Slow removal at a low angle keeps the pull more parallel to the surface. The painting should be fully dry.
B. नीचे की परत को अधिक समय तक सूखने दें और कम स्ट्रोक करें/Let the lower layer dry longer and use fewer strokes
Explanation
Simple Explanation
अधसूखी परत और अधिक रगड़ रंग को उठा सकते हैं। परीक्षा में सूखी परत पर हल्के सीमित स्ट्रोक करें। / A partly dry layer and excessive rubbing can lift paint. In exams use light limited strokes over a dry layer.
B. वस्तु के रूप और प्रकाश की दिशा पर/On the object's form and the direction of light
Explanation
Simple Explanation
पड़ी छाया वस्तु के आकार और प्रकाश की दिशा के अनुसार बदलती है। परीक्षा में छाया बनाने से पहले दोनों का अवलोकन करें। / A cast shadow changes according to the object's shape and the direction of light. Observe both before drawing the shadow in exams.
D. अंतराल, घनत्व, दिशा, रेखा गुण, रंग तीव्रता, विरोध और विराम/Spacing, density, direction, line quality, colour intensity, contrast, and pauses
Explanation
Simple Explanation
ये कारक eye speed और emotional tone दोनों प्रभावित करते हैं। परीक्षा में pace और mood को अलग भी जाँचें। / These factors affect both eye speed and emotional tone. Exam tip: also evaluate pace and mood separately.
D. अंतराल, घनत्व, दिशा, माप, विरोध और विराम/Spacing, density, direction, scale, contrast, and pauses
Explanation
Simple Explanation
ये कारक मिलकर eye movement की चाल तय करते हैं। परीक्षा में किसी एक संकेत पर निर्भर न रहें। / Together these factors determine the pace of eye movement. Exam tip: do not rely on only one clue.
D. अंतराल, घनत्व, दिशा, माप और विरोध/Spacing, density, direction, scale, and contrast
Explanation
Simple Explanation
ये सभी कारक दृष्टि की चाल को तेज या धीमा करते हैं। परीक्षा में pace analysis में संयुक्त प्रभाव देखें। / All these factors make the eye move faster or slower. Exam tip: observe their combined effect in pace analysis.
B. पुनरावृत्ति अंतराल दिशा और परिवर्तन/Repetition spacing direction and variation
Explanation
Simple Explanation
लय का सही विश्लेषण पुनरावृत्ति अंतराल दिशा और परिवर्तन देखकर किया जाता है। ये सभी दृश्य गति को प्रभावित करते हैं। / Rhythm is correctly analysed by observing repetition spacing direction and variation. All of these affect visual movement.
D. अंतराल, तत्वों की घनता, दिशा और माप/Spacing, density, direction, and scale of elements
Explanation
Simple Explanation
ये कारक दृष्टि की चाल को तेज या धीमा बनाते हैं। परीक्षा में pace analysis में चारों देखें। / These factors make the eye move faster or slower. Exam tip: observe all four when analysing pace.
D. साझा प्रकाश, वातावरण और परिप्रेक्ष्य रखना/Maintaining shared lighting, atmosphere, and perspective
Explanation
Simple Explanation
साझा वातावरण और दृष्टिकोण अलग रूपों को एक दृश्य में जोड़ते हैं। परीक्षा में environmental harmony पहचानें। / A shared environment and viewpoint connect different forms within one scene. Exam tip: identify environmental harmony.
C. उसकी दिशा मोटाई मान और स्थान/Its direction thickness value and placement
Explanation
Simple Explanation
रेखा का विरोधाभास कई दृश्य गुणों के संयुक्त प्रभाव से तय होता है। परीक्षा में केवल दिशा नहीं बल्कि स्थान और मान भी देखें। / Line contrast depends on the combined effect of several visual qualities. In exams observe placement and value as well as direction.
A. जब elements center से circular order में फैलते हैं/When elements spread in circular order from the center
Explanation
Simple Explanation
Radial arrangement center को strong focal area बना सकता है। परीक्षा में radial balance और focus का संबंध याद रखें। / Radial arrangement can make the center a strong focal area. Exam tip: remember relation of radial balance and focus.
A. type, material, light, scale, function, mood, hierarchy और context/Type, material, light, scale, function, mood, hierarchy, and context
Explanation
Simple Explanation
Expert texture critique technical और conceptual factors साथ देखती है। परीक्षा में multi-factor analysis करें। / Expert texture critique observes technical and conceptual factors together. Exam tip: do multi-factor analysis.
A. hue, value, saturation, light, culture, audience, hierarchy और mood/Hue, value, saturation, light, culture, audience, hierarchy, and mood
Explanation
Simple Explanation
Expert colour analysis technical और contextual factors साथ पढ़ती है। परीक्षा में multi-factor approach अपनाएं। / Expert colour analysis reads technical and contextual factors together. Exam tip: use a multi-factor approach.
A. गहरापन, तीव्रता और क्षेत्रफल/Darkness, intensity, and area
Explanation
Simple Explanation
गहरा, तेज या बड़ा रंग क्षेत्र भारी लग सकता है। परीक्षा में colour balance के लिए visual weight देखें। / A dark, intense, or large colour area can feel heavy. Exam tip: observe visual weight for colour balance.
A. hue, value, saturation, scheme, context, mood, readability और hierarchy/Hue, value, saturation, scheme, context, mood, readability, and hierarchy
Explanation
Simple Explanation
Hard level colour analysis में technical और communicative factors साथ पढ़े जाते हैं। परीक्षा में multi-factor analysis करें। / Hard-level colour analysis reads technical and communicative factors together. Exam tip: do multi-factor analysis.
A. basic solid, proportion, planes, light, shadow, texture और space relation/Basic solid, proportion, planes, light, shadow, texture, and space relation
Explanation
Simple Explanation
Form analysis में structure, surface और light सभी शामिल हैं। परीक्षा में multi-factor observation करें। / Form analysis includes structure, surface, and light. Exam tip: make multi-factor observation.
A. रचना में focal conflict बन सकता है/A focal conflict can occur in the composition
Explanation
Simple Explanation
जब visual elements अलग दिशाओं में जोर देते हैं तो viewer का ध्यान बंट सकता है। परीक्षा में shape, colour और focus को साथ पढ़ें। / When visual elements emphasize different directions, the viewer's attention can split. Exam tip: read shape, colour, and focus together.
A. size, fill, colour darkness और placement/Size, fill, colour darkness, and placement
Explanation
Simple Explanation
Visual weight shape के आकार और उसकी स्थिति से बदलता है। परीक्षा में balance के लिए visual weight देखें। / Visual weight changes with shape size and position. Exam tip: observe visual weight for balance.
A. मोटाई, दिशा, दबाव और गति/Thickness, direction, pressure, and speed
Explanation
Simple Explanation
रेखा का चरित्र कई गुणों के संयुक्त प्रभाव से बनता है। परीक्षा में line character के गुण याद रखें। / Line character is formed by the combined effect of several qualities. Exam tip: remember qualities of line character.
A. सहयोग या संपर्क की इच्छा और अस्वीकार के बीच तनाव/Tension between a desire for connection or help and rejection
Explanation
Simple Explanation
एक हाथ का आगे बढ़ना संपर्क, सहायता या मेल-मिलाप की इच्छा दिखा सकता है, जबकि दूसरे हाथ का पीछे हटना झिझक, भय या अस्वीकार का संकेत देता है। इन विपरीत हावभावों से संबंध में तनाव या भावनात्मक दूरी व्यक्त होती है। विकल्प B गलत है क्योंकि पूर्ण विश्वास में सामान्यतः दोनों हावभाव एक-दूसरे के अनुकूल होते हैं। परीक्षा टिप: चित्र में शरीर की दिशा और हाथों के हावभाव को पात्रों की भावना तथा संबंध के संकेत के रूप में पढ़ें। / An outstretched hand may suggest a wish to connect, help, or reconcile, while a withdrawing hand can indicate hesitation, fear, or rejection. Together, these opposing gestures express tension or emotional distance in a relationship. Option B is incorrect because complete trust is usually shown through gestures that respond positively to each other. Exam tip: read the direction and gesture of hands as clues to characters’ feelings and relationships.
A. सार्वजनिक स्थान, दृश्य संदेश और शहरी संदर्भ/Public space, visual message, and urban context
Explanation
Simple Explanation
सड़क कला शहर के सार्वजनिक स्थानों से संवाद कर सकती है। परीक्षा में urban context को पहचानें। / Street art can communicate with public spaces of the city. Exam tip: identify urban context.
A. सहमति नियंत्रण भुगतान आयु जोखिम और गरिमा/Consent control payment age risk and dignity
Explanation
Simple Explanation
शोषण की पहचान कई वास्तविक परिस्थितियों को साथ देखकर होती है। परीक्षा में multi factor analysis करें। / Exploitation is identified by examining many real conditions together. Use multi factor analysis in exams.
A. स्वतंत्र आयोग नियम समानता गुप्त मतदान और पारदर्शी गणना/Independent commission rules equality secret ballot and transparent counting
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र और निष्पक्ष चुनाव कई सुरक्षा उपायों से मिलकर बनते हैं। परीक्षा में इन्हें अलग-अलग उदाहरणों के साथ याद करें। / Free and fair elections are built through many safeguards. Remember them with separate examples for exams.
D. निवास स्थान मत प्रभाव का आधार नहीं हो सकता/Place of residence cannot be a basis of vote effect
Explanation
Simple Explanation
रहने की जगह से नागरिक के मत का प्रभाव नहीं बदलना चाहिए। परीक्षा में क्षेत्र आधारित असमानता पहचानें। / Place of residence should not change a citizen's vote effect. Exam tip: identify region based inequality.
A. प्रति प्रतिनिधि वोट प्रभाव की असमानता/Inequality of vote effect per representative
Explanation
Simple Explanation
बहुत अलग मतदाता संख्या प्रतिनिधि चुनने में वोट के प्रभाव को असमान बना सकती है। परीक्षा में सीट और मतदाता अनुपात पर ध्यान दें। / Very different voter numbers can make vote effect unequal in choosing representatives. Exam tip: note the seat-voter ratio.
C. एक व्यक्ति एक मत एक मूल्य/One person one vote one value
Explanation
Simple Explanation
स्थान के आधार पर मत मूल्य घटाना राजनीतिक समानता के विरुद्ध है। परीक्षा में ग्रामीण और शहरी मत का समान मूल्य लिखें। / Reducing vote value by location is against political equality. In exams write equal value of rural and urban votes.
A. स्थान आधारित असमान राजनीतिक प्रभाव/Location-based unequal political effect
Explanation
Simple Explanation
स्थान के आधार पर वोट का प्रभाव बदलना समान वोट मूल्य को कमजोर कर सकता है। परीक्षा में वोट प्रभाव को भी देखें। / Changing vote effect by location can weaken equal vote value. Exam tip: check vote effect too.
A. क्षेत्रीय आधार पर मत असमानता/Vote inequality on regional basis
Explanation
Simple Explanation
रहने के स्थान से वोट का मूल्य अलग नहीं होना चाहिए। परीक्षा में क्षेत्र आधारित मत मूल्य असमानता पहचानें। / Place of residence should not change vote value. Exam tip: identify area based vote inequality.
A. समान राजनीतिक प्रभाव टूटता है/Equal political effect breaks
Explanation
Simple Explanation
स्थान के आधार पर वोट प्रभाव बदलना राजनीतिक बराबरी के विरुद्ध है। परीक्षा में प्रभाव और मूल्य को साथ देखें। / Changing vote effect by location is against political equality. Exam tip: see effect and value together.
B. ग्रामीण और शहरी वोट मूल्य असमान है/Rural and urban vote value is unequal
Explanation
Simple Explanation
ग्रामीण या शहरी आधार पर वोट मूल्य अलग होना राजनीतिक समानता को तोड़ता है। परीक्षा में स्थान आधारित असमानता पहचानें। / Different vote value by rural or urban location breaks political equality. Exam tip: identify place-based inequality.
\(x^2+4x+4=(x+2)^2=(x+2)(x+2)\), इसलिए यह दो रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है। विकल्प B में विवर्तक \(b^2-4ac=16-20=-4\) है, अतः उसके वास्तविक रैखिक गुणनखंड नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग त्रिपद पहचानें। / \(x^2+4x+4=(x+2)^2=(x+2)(x+2)\), so it is a product of two linear factors. For option B, the discriminant is \(b^2-4ac=16-20=-4\), so it has no real linear factors. Exam tip: spot perfect-square trinomials.
विस्तार में मध्य पद (4x+6x=10x) है। परीक्षा में द्विपदों की स्थिर संख्याओं का योग लें। / In the expansion, the middle term is (4x+6x=10x). Exam tip: add the constants of the binomials.
\(p^2-16q^2=p^2-(4q)^2=(p-4q)(p+4q)\), इसलिए इसके गुणनखंड संयुग्म द्विपद हैं। C समान द्विपद का वर्ग है। परीक्षा में ऋण चिह्न से जुड़े दो पूर्ण वर्ग पहचानें। / \(p^2-16q^2=p^2-(4q)^2=(p-4q)(p+4q)\), so its factors are conjugate binomials. C is a repeated-binomial square. Exam tip: spot two squares separated by a minus sign.
पहचान \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) में \(a=p\) और \(b=q\) रखने पर \(p^2-q^2=(p-q)(p+q)\) मिलता है। \((p-q)^2\) में मध्य पद \(-2pq\) आता है। परीक्षा में वर्गों के अंतर को पहचानकर तुरंत दो संयुग्म गुणनखंड लिखें। / Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), put \(a=p\) and \(b=q\) to get \(p^2-q^2=(p-q)(p+q)\). In \((p-q)^2\), the middle term is \(-2pq\), so it is different. Exam tip: look for a subtraction between two squares.
\(9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2=(3a-2b)(3a-2b)\), इसलिए यह दो समान रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है। यहाँ \(9a^2=(3a)^2\), \(4b^2=(2b)^2\) तथा मध्य पद \(2\times3a\times(-2b)=-12ab\) है। विकल्प B में अंतिम पद ऋणात्मक है, जबकि समान रैखिक गुणनखंडों के वर्ग में अंतिम पद धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग त्रिपद के लिए पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद को \(\pm2pq\) से जाँचें। / \(9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2=(3a-2b)(3a-2b)\), so it is the product of two identical linear factors. Here \(9a^2=(3a)^2\), \(4b^2=(2b)^2\), and the middle term is \(2\times3a\times(-2b)=-12ab\). In option B, the last term is negative, whereas the square of a linear binomial has a positive last square term. Exam tip: for a perfect-square trinomial, take the square roots of the first and last terms and verify the middle term using \(\pm2pq\).
समान रैखिक गुणनखंड होने पर व्यंजक \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\) के रूप में होगा। अतः \(p=2r\) और \(q=r^2\), इसलिए \(p^2=4q\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के मध्य पद को \(2r\) से मिलाएँ। / With identical linear factors, the expression has the form \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\). Thus \(p=2r\) and \(q=r^2\), giving \(p^2=4q\). Exam tip: compare the middle coefficient with \(2r\) when spotting a perfect square.
\(x^2-y^2\) वर्गों के अंतर का रूप है: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\)। गुणा करने पर \(+xy\) और \(-xy\) कट जाते हैं। परीक्षा में समान वर्गों के बीच ऋण चिह्न देखें। / \(x^2-y^2\) is a difference of squares: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\). On multiplication, \(+xy\) and \(-xy\) cancel. In exams, look for a minus sign between two square terms.
दो समान द्विपदों का गुणनफल, जैसे \((x+3)(x+3)=(x+3)^2\), पूर्ण वर्ग त्रिपद कहलाता है। दो वर्गों का अंतर \((a+b)(a-b)\) से बनता है, इसलिए वह समान गुणनखंडों वाला नहीं है। परीक्षा में समान दोनों गुणनखंड देखकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / The product of identical binomials, such as \((x+3)(x+3)=(x+3)^2\), is a perfect-square trinomial. A difference of squares has factors \((a+b)(a-b)\), which are not identical. Exam tip: identical binomial factors signal a perfect square.
क्रॉस पद (10x) और (3x) मिलकर (13x) देते हैं। परीक्षा में अग्र गुणांक और स्थिर पद दोनों से विकल्प जांचें। / The cross terms (10x) and (3x) combine to (13x). In exams check options using both leading coefficient and constant term.
पहचान \((x+p)(x-p)=x^2-p^2\) में मध्य पद कट जाता है। इसलिए \(x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)\) है। \(x^2+18x+81\) पूर्ण वर्ग है, संयुग्म द्विपदों का गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: विपरीत अचर पद हों तो \(x\) का मध्य पद शून्य होता है। / In \((x+p)(x-p)=x^2-p^2\), the middle terms cancel. Hence \(x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)\). \(x^2+18x+81\) is a perfect square, not a product of conjugate binomials. Exam tip: opposite constants give a zero middle term.
((x-3)(x-6)=x-2-9x+18), इसलिए (b=9) है। परीक्षा में ऋण चिन्ह के कारण (b) धनात्मक रहता है। / ((x-3)(x-6)=x-2-9x+18), so (b=9). In exams (b) remains positive because the expression has (-bx).
((x+3)(x+7)=x-2+10x+21), इसलिए (p=10) है। परीक्षा में मध्य पद स्थिर संख्याओं के योग से बनता है। / ((x+3)(x+7)=x-2+10x+21), so (p=10). In exams the middle term comes from the sum of the constants.
(3+5=8) और \(3\cdot5=15\) है। परीक्षा में योग मध्य गुणांक और गुणनफल स्थिर पद से मिलाएं। / (3+5=8) and \(3\cdot5=15\). In exams match the sum with the middle coefficient and the product with the constant term.
समान रैखिक गुणनखंड, जैसे \((x-3)(x-3)=(x-3)^2\), एक दोहरा मूल देते हैं। इसलिए परवलय x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है, काटता नहीं। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड दिखें तो दोहरा मूल पहचानें। / Identical linear factors, such as \((x-3)(x-3)=(x-3)^2\), give a repeated root. Hence the parabola touches the x-axis at one point rather than crossing it. Exam tip: equal factors indicate a double root.
\(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), इसलिए इसके दोनों रैखिक गुणक समान हैं। \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\) में गुणक अलग हैं। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाइए। / \(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), so both linear factors are identical. In contrast, \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\) has different factors. Exam tip: compare the middle term with \(2ab\).
\(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), इसलिए इसके गुणक संयुग्मी हैं। विकल्प C और D पूर्ण वर्ग हैं, जबकि \(x^2+49\) अंतर-वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^2-b^2\) में मध्य पद नहीं होता। / \(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), so its factors are conjugates. Options C and D are perfect squares, while \(x^2+49\) is not a difference of squares. Exam tip: \(a^2-b^2\) has no middle term.
\(x^2-6x+9\) में पहला और अंतिम पद \(x^2\) तथा \(3^2\) हैं, और मध्य पद \(-2\times x\times3=-6x\) है। इसलिए \(x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2\)। विकल्प A के गुणनखंड अलग हैं। परीक्षा टिप: समान गुणनखंडों के लिए मध्य पद \(\pm2ab\) जाँचें। / In \(x^2-6x+9\), the first and last terms are \(x^2\) and \(3^2\), while the middle term is \(-2\times x\times3=-6x\). Hence \(x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2\). Option A has unequal factors. Exam tip: check whether the middle term is \(\pm2ab\).
\(x^2-25=x^2-5^2\), इसलिए \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) से यह \((x-5)(x+5)\) बनता है। \(x^2+25\) वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: घटाव का चिह्न पहचानें। / \(x^2-25=x^2-5^2\), so using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), it becomes \((x-5)(x+5)\). \(x^2+25\) is a sum of squares. Exam tip: look for a subtraction sign between perfect squares.
\(x^2-49=x^2-7^2\), इसलिए यह वर्गों का अंतर है और \((x-7)(x+7)\) बनता है। B तथा D पूर्ण वर्ग हैं, वर्गों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: बीच का पद न हो और घटाव हो तो वर्गों का अंतर जाँचें। / \(x^2-49=x^2-7^2\), so it is a difference of squares and factorises as \((x-7)(x+7)\). B and D are perfect squares, not differences of squares. Exam tip: look for two squares joined by a minus sign.
((2x+3)(5x+8)) से \(10x^2+16x+15x+24\) मिलता है। परीक्षा में मध्य पद के दोनों हिस्से जोड़कर देखें। / ((2x+3)(5x+8)) gives \(10x^2+16x+15x+24\). Exam tip: add both parts of the middle term.
\(x^2+10x+25\) में \(25=5^2\) और मध्य पद \(2\times x\times5=10x\) है। इसलिए यह \((x+5)^2\) बनता है। \(x^2+10x+24\) में स्थिर पद 25 नहीं है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के लिए मध्य पद जाँचें। / In \(x^2+10x+25\), \(25=5^2\) and the middle term is \(2\times x\times5=10x\). Hence it equals \((x+5)^2\). In \(x^2+10x+24\), the constant term is not 25. Exam tip: verify the middle term for a perfect square.
समूह (a(a+b)+c(a+b)) बनता है इसलिए ((a+b)(a+c)) मिलता है। परीक्षा में चार पदों में समूह बनाना सीखें। / Grouping gives (a(a+b)+c(a+b)), so the factor is ((a+b)(a+c)). Exam tip: learn grouping in four-term expressions.
समूह (m(n+p)+q(n+p)) बनता है इसलिए ((m+q)(n+p)) मिलता है। परीक्षा में समान द्विपद कोष्ठक देखें। / Grouping gives (m(n+p)+q(n+p)), so the factor is ((m+q)(n+p)). Exam tip: look for the common binomial bracket.
(3+4=7) और \(3\cdot4=12\) है इसलिए सही गुणनखंड ((x+3)(x+4)) हैं। परीक्षा में योग और गुणनफल दोनों मिलाएं। / Since (3+4=7) and \(3\cdot4=12\), the correct factors are ((x+3)(x+4)). Exam tip: match both sum and product.
यह वर्गों का अंतर है जहां (9a-2=(3a)2) और (25b-2=(5b)2) है। परीक्षा में दोनों पदों के वर्गमूल लें। / This is a difference of squares where (9a-2=(3a)2) and (25b-2=(5b)2). Exam tip: take square roots of both terms.
\(x^2+7x+10\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=49-40=9\) पूर्ण वर्ग है। इसके मूल \(-5\) और \(-2\) हैं, अतः \((x+5)(x+2)\) मिलता है। परीक्षा में विवर्तक के पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें। / For \(x^2+7x+10\), the discriminant is \(b^2-4ac=49-40=9\), a perfect square. Its roots are \(-5\) and \(-2\), so it factors as \((x+5)(x+2)\). In exams, check whether the discriminant is a perfect square.
x-2+x+1 के लिए विवर्तक b-2-4ac = 1-4 = -3 है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है; इसलिए इसके पूर्णांक रैखिक गुणनखंड नहीं बनते। शेष विकल्पों में क्रमशः अंतर-वर्ग, (x+2)(x+3) और (x-2)2 मिलता है। परीक्षा टिप: पहले विवर्तक जाँचें। / For x-2+x+1, the discriminant is b-2-4ac = 1-4 = -3, not a perfect square, so it has no linear factors with integer coefficients. The others factor as a difference of squares, (x+2)(x+3), and (x-2)2. Exam tip: check the discriminant first.
\(x^2-2x-1\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए इसके मूल पूर्णांक नहीं हैं और यह पूर्णांक गुणांकों वाले रैखिक गुणनखंडों में नहीं टूटता। परीक्षा टिप: पहले विवर्तक का पूर्ण वर्ग होना जाँचें। / For \(x^2-2x-1\), the discriminant is \(b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\), which is not a perfect square. Hence its roots are not integers, so it has no linear factorisation with integer coefficients. Exam tip: check whether the discriminant is a perfect square first.
\(8x^3+27y^3=(2x)^3+(3y)^3\) घनों का योग है। \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) से इसका एक गुणनखंड \(2x+3y\) मिलता है। \(8x^3-27y^3\) में \(2x-3y\) आता है। परीक्षा में पहले पदों को पूर्ण घन के रूप में पहचानें। / \(8x^3+27y^3=(2x)^3+(3y)^3\) is a sum of cubes. Using \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), one factor is \(2x+3y\). In contrast, \(8x^3-27y^3\) gives \(2x-3y\). Exam tip: first rewrite terms as perfect cubes.
\(x^2-10x+25\) में विवर्तक \(b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=0\) है, इसलिए इसके दोनों रैखिक गुणनखंड समान हैं: \((x-5)^2\)। विकल्प B का विवर्तक धनात्मक है, इसलिए उसके दो अलग गुणनखंड होंगे। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड के लिए विवर्तक शून्य जाँचें। / For \(x^2-10x+25\), the discriminant is \(b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=0\), so it has equal linear factors: \((x-5)^2\). Option B has a positive discriminant and therefore two distinct factors. Exam tip: a zero discriminant indicates a repeated factor.
(9p-2=(3p)2) और (16q-2=(4q)2) है। परीक्षा में दोनों वर्गमूल लेकर संयुग्म गुणनखंड लिखें। / (9p-2=(3p)2) and (16q-2=(4q)2). In exams, take both square roots and write conjugate factors.
((3x+1)(x-5)=3x-2-14x-5) है। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर पद के लिए विपरीत चिन्हों वाले गुणनखंड देखें। / ((3x+1)(x-5)=3x-2-14x-5). In exams look for factors with opposite signs when the constant is negative.
\(x^2\) को एक नया पद मानकर द्विघात की तरह गुणनखंड करें। परीक्षा में \(x^4\) वाले प्रश्न को \(u=x^2\) सोचकर हल करें। / Treat \(x^2\) as a new term and factor like a quadratic. Exam tip: for \(x^4\) type questions, think \(u=x^2\).
\(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\) है, इसलिए इसके पूर्णांक गुणांकों वाले रैखिक गुणनखंड नहीं बनते। विकल्प A में \((x+2)(x+3)\) बनता है। परीक्षा में स्थिर पद के गुणनफल वाले युग्म जाँचें। / \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), so it has no linear factors with integer coefficients. In contrast, option A is \((x+2)(x+3)\). Exam tip: test factor pairs of the constant term systematically.
((5x+2)(3x-4)) से \(15x^2-20x+6x-8\) मिलता है। परीक्षा में (-14x) नहीं बल्कि (-2x) के लिए सही जोड़ी चुनें। / ((5x+2)(3x-4)) gives \(15x^2-20x+6x-8\). Exam tip: choose the pair that gives (-2x), not (-14x).
पहले (a-2+2ab+b-2=(a+b)2), फिर \(c^2\) का अंतर लें। परीक्षा में मिश्रित पहचान को दो चरणों में हल करें। / First (a-2+2ab+b-2=(a+b)2), then take the difference with \(c^2\). Exam tip: solve mixed identities in two steps.
((3x-2y)(4x-5y)) से \(12x^2-15xy-8xy+10y^2\) मिलता है। परीक्षा में दोनों ऋणात्मक मध्य पद जोड़ें। / ((3x-2y)(4x-5y)) gives \(12x^2-15xy-8xy+10y^2\). Exam tip: add both negative middle terms.
(3y) और (-2y) का योग (y) और गुणनफल \(-6y^2\) है। परीक्षा में (y) वाले पदों के चिन्ह देखें। / The sum of (3y) and (-2y) is (y), and the product is \(-6y^2\). Exam tip: watch the signs of (y)-terms.
\(16p^2=(4p)^2\), \(9q^2=(3q)^2\) तथा मध्य पद \(-24pq=-2(4p)(3q)\) है। अतः यह \((4p-3q)^2\) है। परीक्षा में वर्ग पदों के साथ मध्य पद का मिलान करें। / Here, \(16p^2=(4p)^2\), \(9q^2=(3q)^2\), and \(-24pq=-2(4p)(3q)\). Hence it is \((4p-3q)^2\). Exam tip: match the middle term with \(\pm2ab\).
\(x^2+10x+25\) में \(x^2\) और \(25=5^2\) वर्ग हैं तथा मध्य पद \(10x=2\cdot x\cdot5\) है। इसलिए यह \((x+5)^2\) है। \(x^2+10x+20\) में 20, \(5^2\) नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / In \(x^2+10x+25\), the end terms are \(x^2\) and \(5^2\), and the middle term is \(2\cdot x\cdot5\). Hence it equals \((x+5)^2\). In \(x^2+10x+20\), 20 is not \(5^2\). Exam tip: always verify the middle term using \(2ab\).
((4a-5)(3a+2)) फैलाने पर \(12a^2+8a-15a-10\) मिलता है। परीक्षा में विपरीत चिन्हों वाले पदों का योग ध्यान से करें। / Expanding ((4a-5)(3a+2)) gives \(12a^2+8a-15a-10\). Exam tip: add opposite-signed terms carefully.
\(x^2+5x+7\) के लिए ऐसे दो पूर्णांक चाहिए जिनका गुणनफल 7 और योग 5 हो। 1 और 7 का योग 8 है, इसलिए यह संभव नहीं है। जबकि \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) है। परीक्षा टिप: पहले गुणनफल, फिर योग जाँचें। / For \(x^2+5x+7\), two integers must have product 7 and sum 5. The pair 1 and 7 has sum 8, so such factors do not exist. In contrast, \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). Exam tip: check the product first, then the sum.
