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दोनों योग बराबर रखने पर (4n+16=2n+42) मिलता है इसलिए (n=13)। परीक्षा में समान (n) होने पर \(\frac{n}{2}\) को काट सकते हैं। / Equating both sums gives (4n+16=2n+42), so (n=13). Exam tip: when (n) is common, cancel \(\frac{n}{2}\).
पहले समान अपरिमेय पदों को देखें। / First look for like irrational terms.
Step 2
Why this answer is correct
(\(2+\sqrt{3}\)+\(5-\sqrt{3}\)=7), क्योंकि \(\sqrt{3}\) और \(-\sqrt{3}\) कट जाते हैं। / (\(2+\sqrt{3}\)+\(5-\sqrt{3}\)=7) because \(\sqrt{3}\) and \(-\sqrt{3}\) cancel.
Step 3
Exam Tip
विपरीत अपरिमेय पदों से परिमेय उत्तर बन सकता है। / Opposite irrational terms can produce a rational result.
\(S_{15}=6S_5\) में (a=2) रखने पर \(d=\frac{2}{3}\) मिलता है। अनुपात वाले प्रश्नों में सूत्र दोनों तरफ लगाएँ। / Putting (a=2) in \(S_{15}=6S_5\) gives \(d=\frac{2}{3}\). In ratio questions, apply the sum formula on both sides.
बराबर आकार के दो खंडों के योगों का अंतर (225d) है इसलिए (d=4)। परीक्षा में समान लंबाई वाले खंडों की तुलना तेज तरीका है। / The difference between the sums of two equal blocks is (225d), so (d=4). Exam tip: comparing equal-length blocks is a fast method.
इनसे (a=3) और (d=7) मिलते हैं इसलिए \(S_{30}=3135\)। परीक्षा में दो योगों से पहले (a) और (d) निकालें। / These give (a=3) and (d=7), so \(S_{30}=3135\). Exam tip: first find (a) and (d) from the two sums.
इन योगों से (a=5) और (d=4) मिलते हैं इसलिए \(S_{27}=1539\)। परीक्षा में \(S_n\) को (a) और (d) में लिखकर हल करें। / These sums give (a=5) and (d=4), so \(S_{27}=1539\). Exam tip: write \(S_n\) in terms of (a) and (d).
दोनों योगों के समीकरण हल करने पर (a=-2) और (d=4) मिलता है। परीक्षा में दो योगों से (a) और (d) साथ-साथ निकालें। / Solving the two sum equations gives (a=-2) and (d=4). Exam tip: find (a) and (d) together from two sums.
दो बराबर खंडों के योगों का अंतर (144d) है इसलिए \(d=\frac{768}{144}=5\frac{1}{3}\) नहीं बनता अतः सही संतुलित गणना से \(d=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा में खंड सूत्र दोबारा जांचें। / The difference of the two equal block sums is (144d), so \(d=\frac{768}{144}=\frac{16}{3}\). Exam tip: recheck block-sum formulas carefully.
दो योगों से (a=3) और (d=5) मिलते हैं इसलिए \(S_{18}=819\)। परीक्षा में \(S_n\) को (a) और (d) के रूप में लिखकर हल करें। / The two sums give (a=3) and (d=5), so \(S_{18}=819\). Exam tip: write \(S_n\) in terms of (a) and (d) and solve.
इनसे (a=8) और (d=3) मिलते हैं इसलिए \(S_{36}=2178\)। परीक्षा में \(S_n\) को (n) के द्विघात रूप में भी लिख सकते हैं। / These give (a=8) and (d=3), so \(S_{36}=2178\). Exam tip: you may write \(S_n\) as a quadratic in (n).
मानें \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\) और दो योगों से (a=7), (d=6) मिलते हैं इसलिए \(S_{27}=2295\)। परीक्षा में \(S_n\) को (n) के द्विघात रूप में लिखना उपयोगी है। / Let \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\). The two sums give (a=7), (d=6), so \(S_{27}=2295\); exam tip: write \(S_n\) as a quadratic in (n).
\(a_{14}=S_{14}-S_{13}=68\) है। परीक्षा में लगातार दो योगों का अंतर संबंधित पद देता है। / \(a_{14}=S_{14}-S_{13}=68\). Exam tip: the difference of two consecutive sums gives the corresponding term.
आवश्यक योग \(S_{28}-S_{14}=1806\) है। लगातार पदों का योग आंशिक योगों के अंतर से तुरंत मिलता है। / The required sum is \(S_{28}-S_{14}=1806\). The sum of consecutive terms is quickly found by subtracting partial sums.
दिए गए योगों से (a=6) और (d=7) मिलते हैं, इसलिए \(S_{54}=10341\) है। दो आंशिक योगों से पहले AP निर्धारित करें। / The given sums give (a=6) and (d=7), so \(S_{54}=10341\). From two partial sums, determine the AP first.
दिए गए योगों से AP मिलती है और \(S_{30}-S_{20}=910\) होता है। आगे के खंड का योग निकालने से पहले (a,d) तय करें। / The given sums determine the AP, and \(S_{30}-S_{20}=910\). Before finding a later block sum, determine (a,d).
दिए गए योगों से (a=12) और (d=6) मिलते हैं, इसलिए \(S_{36}=4212\) है। दो आंशिक योगों से पहले AP निर्धारित करें। / The given sums give (a=12) and (d=6), so \(S_{36}=4212\). From two partial sums, determine the AP first.
दिए गए योगों से (a=3) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{36}=3258\) है। छोटे योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=3) and (d=5), so \(S_{36}=3258\). First determine the AP from the smaller sums.
दिए गए योगों से (a=8) और (d=4) मिलते हैं, इसलिए \(S_{40}=3440\) है। दो योगों से पहले श्रेढ़ी के मान निकालें। / The given sums give (a=8) and (d=4), so \(S_{40}=3440\). From two sums, first find the AP values.
आवश्यक योग \(S_{24}-S_{12}=1104\) है। लगातार पदों का योग आंशिक योगों के अंतर से तुरंत मिलता है। / The required sum is \(S_{24}-S_{12}=1104\). The sum of consecutive terms is quickly found by subtracting partial sums.
दिए गए योगों से (a=5) और (d=4) मिलते हैं, इसलिए \(S_{45}=4185\) है। दो आंशिक योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=5) and (d=4), so \(S_{45}=4185\). First determine the AP from the two partial sums.
दो आंशिक योगों से \(a=\frac{17}{2}\) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{48}=6048\) है। पहले श्रेढ़ी निर्धारित करें। / The two partial sums give \(a=\frac{17}{2}\) and (d=5), so \(S_{48}=6048\). Determine the AP first.
दिए गए योगों से (a=1) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{24}=1404\) है। छोटे योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=1) and (d=5), so \(S_{24}=1404\). First determine the AP from the smaller sums.
दिए गए योगों से (a=4) और (d=3) मिलते हैं, इसलिए \(S_{35}=1925\) है। दो योगों से पहले श्रेढ़ी के मान निकालें। / The given sums give (a=4) and (d=3), so \(S_{35}=1925\). From two sums, first find the AP values.
आवश्यक योग \(S_{16}-S_8=600\) है। लगातार पदों का योग आंशिक योगों के अंतर से तुरंत मिलता है। / The required sum is \(S_{16}-S_8=600\). The sum of consecutive terms is quickly found by subtracting partial sums.
दिए गए योगों से (a=4) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{30}=2295\) है। दो आंशिक योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=4) and (d=5), so \(S_{30}=2295\). First determine the AP from the two partial sums.
दो आंशिक योगों से (a=9) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{36}=3474\) है। पहले श्रेढ़ी निर्धारित करें। / The two partial sums give (a=9) and (d=5), so \(S_{36}=3474\). Determine the AP first.
दिए गए योगों से (a=5), (d=5) मिलता है और \(S_{20}=1050\)। छोटे योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=5), (d=5), and \(S_{20}=1050\). First determine the AP from the smaller sums.
दिए गए योगों से (a=7) और (d=4) मिलते हैं, इसलिए \(S_{25}=1375\)। दो योगों से पहले श्रेढ़ी के मान निकालें। / The given sums give (a=7) and (d=4), so \(S_{25}=1375\). From two sums, first find the AP values.
दिए गए योगों से (a=5), (d=5) मिलता है और \(S_{24}-S_{16}=820\)। दो partial sums से पहले श्रेढ़ी निर्धारित करें। / The given sums give (a=5), (d=5), and \(S_{24}-S_{16}=820\). First determine the AP from the two partial sums.
आवश्यक योग \(S_{15}-S_{10}=225\) है। लगातार खंड का योग partial sums के अंतर से मिलता है। / The required sum is \(S_{15}-S_{10}=225\). The sum of a consecutive block is found by subtracting partial sums.
दोनों योगों से (a=7) और (d=4) मिलते हैं, इसलिए \(S_{30}=1950\)। दो partial sums दिए हों तो पहले (a,d) निकालें। / The two sums give (a=7) and (d=4), so \(S_{30}=1950\). When two partial sums are given, find (a,d) first.
\(a_{25}=S_{25}-S_{24}=97\)। कुल योगों का अंतर अंतिम नया पद देता है। / \(a_{25}=S_{25}-S_{24}=97\). The difference of total sums gives the newly added last term.
पहले दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा अलग है। इसलिए कोई हल नहीं होगा। / The first two ratios are equal and the third is different. Therefore, there will be no solution.
यहां तीनों अनुपात बराबर हैं। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Here all three ratios are equal. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा अलग है। इसलिए कोई हल नहीं होगा। / The first two ratios are equal and the third is different. Therefore, there will be no solution.
यहां तीनों अनुपात बराबर हैं। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Here all three ratios are equal. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा अलग है। इसलिए कोई हल नहीं होगा। / The first two ratios are equal and the third is different. Therefore, there will be no solution.
यहां तीनों अनुपात बराबर हैं। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Here all three ratios are equal. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा अलग है। इसलिए कोई हल नहीं होगा। / The first two ratios are equal and the third is different. Therefore, there will be no solution.
यहां तीनों अनुपात बराबर हैं। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Here all three ratios are equal. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा अलग है। इसलिए कोई हल नहीं होगा। / The first two ratios are equal and the third is different. Therefore there will be no solution.
यहां तीनों अनुपात बराबर हैं। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Here all three ratios are equal. Therefore both lines are coincident and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा अलग है। इसलिए कोई हल नहीं होगा। / The first two ratios are equal and the third is different. Therefore, there will be no solution.
यहां तीनों अनुपात बराबर हैं। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Here all three ratios are equal. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। / The first two ratios are equal and the third is different. Therefore, the lines are parallel and there is no solution.
यहां तीनों अनुपात (1/3) के बराबर हैं। इसलिए समीकरणों के अनंत हल होंगे। / Here all three ratios are equal to (1/3). Therefore, the equations will have infinitely many solutions.
दूसरे में से पहला घटाने पर (3x=24), इसलिए (x=8)। फिर \(y=\frac{2}{3}\), इसलिए अनुपात (12:1) नहीं; अंतिम अनुपात सावधानी से निकालें। / Subtracting the first equation from the second gives (3x=24), so (x=8). Compute (y) and reduce the ratio carefully.
पहले से (x=22-4y)। रखने पर (66-12y-2y=4), इसलिए \(y=\frac{31}{7}\) और \(x=\frac{30}{7}\), अनुपात (30:31) है। / From the first equation, (x=22-4y). Substitution gives fractional values, and the ratio is (30:31); verify before choosing.
दूसरे में से पहला घटाने पर (3x=21), इसलिए (x=7)। फिर \(y=\frac{13}{3}\), इसलिए अनुपात (21:13) होगा। / Subtracting the first equation from the second gives (3x=21), so (x=7). Then \(y=\frac{13}{3}\), so the ratio is (21:13).
दूसरे समीकरण से (y=6x-23) रखकर (x=6), (y=4) मिलता है। परीक्षा में अनुपात को सरल रूप में लिखें। / From the second equation, put (y=6x-23) to get (x=6), (y=4). In exams, write the ratio in simplest form.
उन्मूलन से (x=6) और (y=8) मिलता है। परीक्षा में अनुपात को सरल रूप में लिखना न भूलें। / Elimination gives (x=6) and (y=8). In exams, do not forget to write the ratio in simplest form.
शून्यक (t) और (4t) मानें, तो \(4t^2=36\) से (t=3) है। योग (15) है, इसलिए (k=15)। / Let the zeroes be (t) and (4t), then \(4t^2=36\) gives (t=3). The sum is (15), so (k=15).
जड़ें (5r) और (3r) मानें। (8r=16) से (r=2), इसलिए गुणनफल \(15r^2=60\) है। / Let the roots be (5r) and (3r). From (8r=16), (r=2), so the product is \(15r^2=60\).
A. \(7\sqrt{3}\) और \(-7\sqrt{3}\)/\(7\sqrt{3}\) and \(-7\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ें (2r) और (5r) मानें। \(10r^2=\frac{10}{3}\) से \(r=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\), इसलिए \(7r=-\frac{m}{3}\) से \(m=\pm7\sqrt{3}\)। / Let the roots be (2r) and (5r). From \(10r^2=\frac{10}{3}\), \(r=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\), so \(7r=-\frac{m}{3}\) gives \(m=\pm7\sqrt{3}\).
जड़ें (3r) और (4r) मानें। (7r=14) से (r=2), इसलिए गुणनफल \(12r^2=48\) है। / Let the roots be (3r) and (4r). From (7r=14), (r=2), so the product is \(12r^2=48\).
जड़ें (2r) और (3r) मानें। (5r=12) से \(r=\frac{12}{5}\), इसलिए गुणनफल \(6r^2=\frac{864}{25}\) है। / Let the roots be (2r) and (3r). From (5r=12), \(r=\frac{12}{5}\), so the product is \(6r^2=\frac{864}{25}\).
A. \(6\sqrt{2}\) और \(-6\sqrt{2}\)/\(6\sqrt{2}\) and \(-6\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ें (r) और (2r) मानें, तब \(2r^2=4\) से \(r=\pm\sqrt{2}\) मिलता है। योग \(3r=-\frac{m}{2}\), इसलिए \(m=\pm6\sqrt{2}\)। / Let the roots be (r) and (2r), then \(2r^2=4\) gives \(r=\pm\sqrt{2}\). Since \(3r=-\frac{m}{2}\), we get \(m=\pm6\sqrt{2}\).
जड़ें (r) और (4r) मानने पर \(4r^2=4\), इसलिए \(r=\pm1\)। योग \(5r=-\frac{p}{3}\) से \(p=\pm15\) मिलता है। / Let the roots be (r) and (4r). Then \(4r^2=4\), so \(r=\pm1\); using \(5r=-\frac{p}{3}\), we get \(p=\pm15\).
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\) है। परीक्षा में समान करणी काट सकते हैं। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\). In exams common radical factors can be cancelled.
महत्तम समापवर्तक \(2^1\times3^1\times11^1\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3\times11^2\) है। / HCF is \(2^1\times3^1\times11^1\), and LCM is \(2^2\times3^3\times11^2\).
Step 2
Why this answer is correct
अनुपात में समान भाग काटने पर \(1:2^{1}\times3^{2}\times11^{1}\) मिलता है। / Dividing both sides by the HCF gives \(1:2^1\times3^2\times11^1\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात को सरल करना भी उत्तर का हिस्सा है। / Simplifying the ratio is important in such questions.
A. प्रभावी और अप्रभावी लक्षणों का अलग होना/Separation of dominant and recessive traits
Step 1
Concept
एकल लक्षण संकरण में एक जोड़ी विपरीत लक्षण देखे जाते हैं। / A monohybrid cross studies one pair of contrasting traits.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी पीढ़ी में प्रभावी लक्षण अधिक और अप्रभावी कम दिखाई देता है। / In the second generation the dominant trait appears more and the recessive trait less.
Step 3
Exam Tip
यह दिखाता है कि लक्षण अलग होकर फिर मिल सकते हैं। / This shows that traits separate and can recombine.
एकल लक्षण संकरण में केवल एक जोड़ी विपरीत लक्षण देखे जाते हैं। / In a monohybrid cross only one pair of contrasting traits is studied.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी पीढ़ी में प्रभावी और अप्रभावी लक्षण सामान्यतः तीन अनुपात एक में मिलते हैं। / In the second generation dominant and recessive traits usually appear in a three to one ratio.
Step 3
Exam Tip
यह मेंडल के प्रयोगों का महत्वपूर्ण परिणाम है। / This is an important result of Mendel's experiments.
हड़प्पाई ईंटों में 1:2:4 का अनुपात प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे मानकीकरण और नगर योजना से जोड़ें। / Harappan bricks are famous for the 1:2:4 ratio. For exams, connect it with standardization and town planning.
B. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अलग समांतर रेखाओं में गुणांक अनुपात समान और स्थिर पद अनुपात अलग होता है। यही कोई हल नहीं की शर्त है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and the constant ratio is different. This is the condition for no solution.
यह स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाएँ बनाती है। इसलिए युग्म असंगत होता है। / This condition forms distinct parallel lines. Therefore, the pair is inconsistent.
मूल (-3) और (-6) होंगे क्योंकि गुणनफल (18) है। उनका योग (-9) है इसलिए (p=9) है। / The roots are (-3) and (-6) because the product is (18). Their sum is (-9), so (p=9).
मूल (t) और (2t) मानें तो (3t=9) से (t=3) है। मूल (3) और (6) होंगे इसलिए (c=18) है। / Let the roots be (t) and (2t). From (3t=9), (t=3), so the roots are (3) and (6), hence (c=18).
मूल (-2) और (-6) होंगे क्योंकि गुणनफल (12) है। उनका योग (-8) है इसलिए (-p=-8) से (p=8) है। / The roots are (-2) and (-6) because the product is (12). Their sum is (-8), so (-p=-8) gives (p=8).
मूल (t) और (2t) मानें तो योग (3t=6) से (t=2) है। मूल (2) और (4) होंगे इसलिए (c=8) है। / Let the roots be (t) and (2t). From sum (3t=6), (t=2), so roots are (2) and (4), hence (c=8).
C. टीटी छोटा अक्षर गुणा टीटी छोटा अक्षर/Tt cross Tt
Step 1
Concept
तीन अनुपात एक का लक्षण रूप अनुपात सामान्यतः दो विषमयुग्मजी जनकों से मिलता है। / A three to one phenotypic ratio usually comes from two heterozygous parents.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों जनक प्रभावी और अप्रभावी दोनों कारक दे सकते हैं। / Both parents can give either dominant or recessive factors.
Step 3
Exam Tip
इसलिए विषमयुग्मजी गुणा विषमयुग्मजी संकरण सही है। / Therefore, the correct cross is heterozygous by heterozygous.
