What is the correct ratio relation for 4x − 5y + 7 = 0 and 8x − 10y + 9 = 0?समीकरण 4x − 5y + 7 = 0 और 8x − 10y + 9 = 0 के लिए सही अनुपात संबंध क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 4/8 = (−5)/(−10) ≠ 7/94/8 = (−5)/(−10) ≠ 7/9
For two equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, the relation a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ indicates distinct parallel lines and no solution. Here, 4/8 = 1/2. Also, (−5)/(−10) = 1/2, so the first two ratios are equal. However, 7/9 is not equal to 1/2, so the constant-term ratio is different. Therefore the correct relation is 4/8 = (−5)/(−10) ≠ 7/9, which is option A. The equal first two ratios show equal direction or equal slope, while the unequal constant ratio shows that the lines are distinct rather than coincident. Option C would represent coincident lines and infinitely many solutions.दो समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो रेखाएँ अलग समानांतर होती हैं और कोई हल नहीं होता। यहाँ 4/8 = 1/2 है। इसी प्रकार (−5)/(−10) = 1/2 है, इसलिए पहले दो अनुपात बराबर हैं। लेकिन 7/9 का मान 1/2 नहीं है, इसलिए स्थिर पदों का अनुपात अलग है। अतः सही संबंध 4/8 = (−5)/(−10) ≠ 7/9 है और विकल्प A सही है। पहले दो बराबर अनुपात रेखाओं की समान दिशा या समान ढाल बताते हैं, जबकि अलग स्थिर अनुपात बताता है कि रेखाएँ एक-दूसरे पर संपाती नहीं हैं। विकल्प C संपाती रेखाओं और अनंत हलों की स्थिति दर्शाता है।
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