Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: (p,q) को सरलतम रूप में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिए/The square of an odd number should be odd
Step 1
Concept
The square of an odd integer is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) is proved even. चरण 1: विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहाँ \(p^2\) सम है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस प्रकार (p) सम सिद्ध होता है।
A. (p=2k) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है/Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
First (p) is proved even, so (p=2k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Thus \(q^2\) is even and hence (q) is even. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है, इसलिए (p=2k)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और इसलिए (q) सम होता है।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है/Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Thus both (p) and (q) are found even. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं।
If both numerator and denominator are divisible by (2), the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। चरण 2: यदि अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो भिन्न (2) से घट सकती है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
(p=2m) shows \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) shows \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they make (2) a common factor. चरण 1: (p=2m) बताता है कि \(2\mid p\)। चरण 2: (q=2n) बताता है कि \(2\mid q\)। चरण 3: दोनों मिलकर (2) को साझा गुणनखंड बनाते हैं।
A. सम होना अकेले कारण नहीं है; प्रमाण में सरलतम भिन्न का विरोधाभास चाहिए/Being even alone is not the reason; the proof needs contradiction of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
The fact that (2) is even is not enough by itself.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof assumes \(\sqrt{2}\) rational and shows numerator and denominator both even.
Step 3
Exam Tip
Write the full reason, not a short guess. चरण 1: केवल (2) का सम होना पर्याप्त कारण नहीं है। चरण 2: असली प्रमाण में \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: कारण को पूरा लिखें, छोटा अनुमान नहीं।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
We initially assumed that \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption led to a common factor in a lowest-form fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial rational assumption is proved false. चरण 1: हमने शुरुआत में \(\sqrt{2}\) को परिमेय माना था। चरण 2: उसी मान्यता से सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड आ गया। चरण 3: इसलिए प्रारंभिक परिमेय मान्यता झूठी सिद्ध होती है।
If both (p) and (q) are even, \(\frac{p}{q}\) can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को (2) से घटाया जा सकता है। चरण 3: यही सरलतम रूप के विरुद्ध है।
Therefore this fact is used twice in an important way. चरण 1: पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
A fraction in lowest form cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This breaks the rational assumption. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसी से परिमेय मान्यता टूटती है।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा/Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
Step 1
Concept
From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
This is the second evenness conclusion in the proof. चरण 1: \(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। चरण 3: यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है।
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है/Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Do not stop the proof midway; write until the final conflict. चरण 1: \(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। चरण 2: पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें।
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना/The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
So the lowest-form condition fails. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है।
A. \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we get \(2\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (2) is prime, \(2\mid p\).
Step 3
Exam Tip
In such proofs, state the prime-factor rule clearly. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(2\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (2) अभाज्य है, इसलिए \(2\mid p\) होगा। चरण 3: ऐसे प्रमाण में अभाज्य गुणनखंड का नियम साफ लिखना चाहिए।
This rule is used immediately in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि (x) विषम होता, तो \(x^2\) विषम होता। चरण 2: दिया है कि \(x^2\) सम है, इसलिए (x) सम होना चाहिए। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह नियम तुरंत काम आता है।
A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
Coprime numbers cannot both be even.
Step 2
Why this answer is correct
Both being even means (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Hence the rational assumption is proved false. चरण 1: सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। चरण 2: दोनों सम होने का मतलब है कि (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
This parity fact is very important in the proof. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। चरण 3: यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है।
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना/Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
Contradiction occurs only when both have common factor (2). चरण 1: केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। चरण 2: (a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले।
A. पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है/First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\), then (a), is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
To prove (b) even, (a=2k) must be substituted.
Step 3
Exam Tip
Jumping directly to (b) is an order error. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से तुरंत \(a^2\) और फिर (a) सम मिलता है। चरण 2: (b) को सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) रखना पड़ता है। चरण 3: सीधे (b) पर जाना प्रमाण की क्रम-गलती है।
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Hence (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना निश्चित है।
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा/Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Only then can (b) be proved even. चरण 1: (a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। चरण 2: (a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है।
If both are even, both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Then their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) is refuted. चरण 1: दोनों सम होने पर (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: तब उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। चरण 3: इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त खंडित होती है।
A. यह सहअभाज्य मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/This contradicts the coprime assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
If both are even, (2) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the assumption that (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: यह (p) और (q) के सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है/After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained
Step 1
Concept
First (p) is proved even from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: पहले \(p^2=2q^2\) से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है/This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Skipping order is considered an error in proof writing. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है।
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, (a) and (b) have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
In a lowest-form fraction, numerator and denominator should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So this contradicts the rational assumption and proves \(\sqrt{2}\) irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (a) और (b) में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर का साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह परिमेय मान्यता के विरुद्ध जाता है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है/First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Skipping the order makes the proof weak. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have any common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So the statement that they are coprime becomes false. चरण 1: दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने की बात असत्य हो जाती है।
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता/If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Therefore (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना चाहिए।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced further by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: दोनों सम होने पर अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (2) से और घटाया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
(p) and (q) were assumed coprime at the start.
Step 2
Why this answer is correct
Both even shows common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is a contradiction, so \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: (p) और (q) को शुरू में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होना साझा गुणनखंड (2) दिखाता है। चरण 3: यह विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे/Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
Both even means numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
So it cannot be in lowest form. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) must be even. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस तरह (p) सम होना तय है।
A. (p) और (q) के सहअभाज्य होने से/The coprime nature of (p) and (q)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore it directly contradicts their being coprime. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 3: इसलिए यह सीधे सहअभाज्य होने से टकराता है।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
First (p) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
Common factor (2) breaks the coprime condition. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। चरण 3: साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है।
A. सरलतम रूप की मान्यता टूटती है/The lowest form assumption breaks
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks and gives a contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों सम मिलने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है और विरोधाभास मिलता है।
An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore in (p=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Mentioning the type of (k) makes the proof clear. चरण 1: सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (p=2k) में (k) पूर्णांक है। चरण 3: (k) का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Because both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers have no common factor except (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता।
Finding a common factor contradicts the lowest-form condition. चरण 1: सम संख्या हमेशा (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम हैं, इसलिए (2) दोनों का साझा गुणनखंड है। चरण 3: साझा गुणनखंड मिलना सरलतम रूप की शर्त से टकराता है।
An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
So in (a=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
It is good to mention the type of (k) in such forms. चरण 1: सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (a=2k) में (k) पूर्णांक होता है। चरण 3: ऐसे रूपों में (k) का प्रकार साफ लिखना अच्छा होता है।
A. क्योंकि तब दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because then both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (a) and (b) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the coprime condition. चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (a) और (b) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है।
A. \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
The common factor (2) creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समीकरण \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: (2) वाला साझा गुणनखंड ही विरोधाभास बनाता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers do not have a common factor other than (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता।
A. (p=2k), जहां (k) पूर्णांक है/(p=2k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
An even number is completely divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore if (p) is even, we can write (p=2k).
Step 3
Exam Tip
Writing an even number as (2k) makes the proof easier. चरण 1: सम संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए (p) सम होने पर (p=2k) लिखा जा सकता है। चरण 3: प्रमाण में सम संख्या को (2k) लिखना आसान रास्ता देता है।
If the square of an integer is even, then the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
This small fact is very important in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। चरण 3: यह छोटी बात \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में बहुत महत्वपूर्ण है।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
A non-terminating decimal can still be rational if it is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
In \(0.37373737\ldots\), the block (37) repeats, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check for a repeating block. चरण 1: असांत दशमलव परिमेय भी हो सकता है, यदि उसमें आवर्तन हो। चरण 2: \(0.37373737\ldots\) में (37) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: असांत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; आवर्ती भाग को ध्यान से पहचानें।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें।
Multiplying by just one (2) gives the smallest even multiple.
Step 3
Exam Tip
When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily. चरण 1: दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
An even number must contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the fourth option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check evenness. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल चौथे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें।
To make the smallest even multiple, multiplying by one (2) is enough.
Step 3
Exam Tip
When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily. चरण 1: दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
Only the third option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, calculating the whole number is not necessary. चरण 1: सम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वही सम संख्या को दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं है।
An even number must have (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the third option contains (2), so it forms an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check even or odd. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या बनाएगा। चरण 3: सम या विषम पहचानने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
The given number is odd because it has no factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
To make the smallest even multiple, multiply by only one (2).
Step 3
Exam Tip
Do not increase exponents unnecessarily when the smallest value is asked. चरण 1: दी गई संख्या विषम है क्योंकि इसमें (2) नहीं है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटी शर्त पूरी करने के लिए अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
A number is even if its prime factorisation contains (2).
Step 2
Why this answer is correct
Only the first option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, look only for the factor (2). चरण 1: कोई संख्या सम तभी होती है जब उसमें (2) अभाज्य गुणनखंड हो। चरण 2: केवल पहले विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वह सम संख्या है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरे गुणा की जरूरत नहीं, केवल (2) देखें।
Power of (2) has (2) choices, (1) or (2); each of (3,5,7) has (2) choices. Total (=16).
Step 3
Exam Tip
For even factors, exclude the case \(2^0\). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) यानी (2) तरीके; (3,5,7) प्रत्येक के लिए (2) तरीके। कुल \(2\times2\times2\times2=16\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय \(2^0\) वाला मामला छोड़ दें।
A. क्योंकि 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक चक्र में आते हैं/Because division by 11 gives remainders from 0 to 10 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 11, possible remainders are from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Eleven consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 11. चरण 1: 11 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 10 तक होते हैं। चरण 2: ग्यारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 11 से विभाज्य होगी।
For eleven times the number, the remainder part is \(11\times12=132\).
Step 2
Why this answer is correct
\(132=61\times2+10\), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: ग्यारह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(11\times12=132\) होगा। चरण 2: \(132=61\times2+10\), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times46=322\).
Step 2
Why this answer is correct
\(322=47\times6+40\), so the remainder should be 40.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times46=322\) होगा। चरण 2: \(322=47\times6+40\), इसलिए शेषफल 40 होना चाहिए। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
A. क्योंकि 7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक चक्र में आते हैं/Because division by 7 gives remainders from 0 to 6 in a cycle
Step 1
Concept
The possible remainders on division by 7 are 0, 1, 2, 3, 4, 5, and 6.
Step 2
Why this answer is correct
Seven consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 7. चरण 1: 7 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं। चरण 2: सात लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 7 से विभाज्य होगी।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times6=42\).
Step 2
Why this answer is correct
(42=32+10), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result again by the divisor. चरण 1: सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times6=42\) होगा। चरण 2: (42=32+10), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से घटाएं।
When a number is divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An even number has remainder (0), so its form is (2q).
Step 3
Exam Tip
Remember (2q) and (2q+1) for even and odd number questions. चरण 1: किसी संख्या को (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: सम संख्या में शेषफल (0) होता है, इसलिए रूप (2q) है। चरण 3: सम और विषम के प्रश्न में (2q) और (2q+1) याद रखें।
This simplifies to (2q). चरण 1: सम संख्या (2) से पूर्ण विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए शेषफल (0) होगा और रूप (a=2q+0) बनेगा। चरण 3: इसे सरल करके (2q) लिखा जाता है।
B. वे सुनकर और गाकर साझा भावना पैदा करते थे/They created shared feeling through hearing and singing
Step 1
Concept
Songs and slogans spread more through hearing and singing than reading.
Step 2
Why this answer is correct
So people with different levels of education could connect with them.
Step 3
Exam Tip
While explaining mass participation, mention oral culture. चरण 1: गीत और नारे पढ़ने से अधिक सुनने और गाने से फैलते हैं। चरण 2: इसलिए अलग-अलग शिक्षा स्तर वाले लोग भी उनसे जुड़ सके। चरण 3: जनभागीदारी समझाते समय मौखिक संस्कृति का महत्व लिखें।
A. वे अलग अलग क्षेत्रों को भारतीय सांस्कृतिक विरासत के हिस्से के रूप में दिखाती थीं/They showed different regions as parts of Indian cultural heritage
Step 1
Concept
Folk tales may belong to a region.
Step 2
Why this answer is correct
Their collection showed that India’s diverse cultures together formed a larger heritage.
Step 3
Exam Tip
Connect regional culture with national heritage. चरण 1: लोककथाएं किसी क्षेत्र से जुड़ी हो सकती हैं। चरण 2: उनका संग्रह दिखाता था कि भारत की विविध संस्कृति मिलकर बड़ी विरासत बनाती है। चरण 3: क्षेत्रीयता को राष्ट्रीय विरासत से जोड़ें।
A. क्योंकि उन्हें देखना और सुनना आसान था/Because they were easy to see and hear
Step 1
Concept
Not everyone could read long texts.
Step 2
Why this answer is correct
Flags and songs spread national feeling in simple ways.
Step 3
Exam Tip
Mention the power of visual and audio symbols. चरण 1: हर व्यक्ति लंबे लेख नहीं पढ़ पाता। चरण 2: झंडे और गीत सरल तरीके से राष्ट्रीय भावना पहुंचाते थे। चरण 3: दृश्य और श्रव्य प्रतीकों की शक्ति लिखें।
A. बड़ा राष्ट्रीय लक्ष्य और तत्काल जन समस्याएं साथ चल रही थीं/The large national goal and immediate public problems were moving together
Step 1
Concept
Complete independence gave the larger goal.
Step 2
Why this answer is correct
The eleven demands brought everyday problems forward.
Step 3
Exam Tip
Understand the movement as a link between aim and public demands. चरण 1: पूर्ण स्वराज ने दूर का लक्ष्य दिया। चरण 2: ग्यारह मांगों ने रोजमर्रा की समस्याओं को सामने रखा। चरण 3: आंदोलन को लक्ष्य और जन मांगों के मेल से समझें।
A. क्योंकि नमक हर वर्ग की दैनिक आवश्यकता था/Because salt was a daily need of every class
Step 1
Concept
Salt was necessary in the lives of both rich and poor.
Step 2
Why this answer is correct
Tax on it burdened wide society.
Step 3
Exam Tip
Write salt tax as the most people-centred issue. चरण 1: नमक अमीर और गरीब दोनों के जीवन में जरूरी था। चरण 2: उस पर कर लगना व्यापक समाज पर बोझ था। चरण 3: नमक कर को सबसे जनस्पर्शी मुद्दा लिखें।
A. क्योंकि उनमें अलग वर्गों की आर्थिक और राजनीतिक चिंताएं शामिल थीं/Because they included economic and political concerns of different groups
Step 1
Concept
The demands included a common issue like salt tax.
Step 2
Why this answer is correct
Some demands helped connect different social groups.
Step 3
Exam Tip
Treat the eleven demands as an effort to widen the movement. चरण 1: मांगों में नमक कर जैसा आम मुद्दा था। चरण 2: कुछ मांगें अलग सामाजिक समूहों को जोड़ने में सहायक थीं। चरण 3: ग्यारह मांगों को आंदोलन को व्यापक बनाने की कोशिश मानें।
A. इसने औपनिवेशिक कानून को खुले रूप से चुनौती दी और पूरे देश को प्रेरित किया/It openly challenged a colonial law and inspired the whole country
Step 1
Concept
The act was small but the symbol was large.
Step 2
Why this answer is correct
By making salt, Gandhi challenged the law and inspired others.
Step 3
Exam Tip
In history measure impact by meaning, not size. चरण 1: क्रिया छोटी थी पर उसका प्रतीक बड़ा था। चरण 2: नमक बनाकर गांधीजी ने कानून को चुनौती दी और लोगों को वैसा करने की प्रेरणा दी। चरण 3: इतिहास में प्रभाव को आकार से नहीं बल्कि अर्थ से मापें।
A. वे जन भागीदारी और नैतिक दबाव पर आधारित अहिंसक संघर्ष चाहते थे/He wanted non-violent struggle based on mass participation and moral pressure
Step 1
Concept
For Gandhi, means were as important as ends.
Step 2
Why this answer is correct
Non-violence gave both broad participation and moral strength.
Step 3
Exam Tip
Explain the relation between means and goals in Gandhian politics. चरण 1: गांधीजी के लिए साधन भी लक्ष्य जितने महत्वपूर्ण थे। चरण 2: अहिंसा से व्यापक भागीदारी और नैतिक शक्ति दोनों मिलती थीं। चरण 3: गांधीवादी राजनीति में साधन और उद्देश्य का संबंध लिखें।
A. क्योंकि वे आर्थिक राहत के साथ राजनीतिक दबाव बनाने का साधन भी थीं/Because they were also a tool to build political pressure along with economic relief
Step 1
Concept
The demands included issues linked with people's difficulties.
Step 2
Why this answer is correct
Gandhi gave the government a chance to respond and created a basis for protest if it refused.
Step 3
Exam Tip
See the demands as a strategic document. चरण 1: मांगों में जनता की कठिनाइयों से जुड़े मुद्दे थे। चरण 2: उन्हें रखकर गांधीजी ने सरकार को सुधार का अवसर दिया और अस्वीकार होने पर आंदोलन का आधार बनाया। चरण 3: मांगों को रणनीतिक दस्तावेज की तरह देखें।
A. क्योंकि यह गरीब और अमीर दोनों के जीवन से जुड़ी थी/Because it affected both poor and rich people
Step 1
Concept
Salt was not needed by only one class.
Step 2
Why this answer is correct
So the demand to remove salt tax reached ordinary families easily.
Step 3
Exam Tip
Link popularity with wide social reach. चरण 1: नमक किसी एक वर्ग की जरूरत नहीं था। चरण 2: इसलिए नमक कर हटाने की मांग आम परिवारों तक आसानी से पहुंची। चरण 3: उत्तर में जनप्रियता का कारण सामाजिक व्यापकता से जोड़ें।
A. बड़ा राष्ट्रीय लक्ष्य और तत्काल जन समस्याएं साथ चल रही थीं/The large national goal and immediate public problems were moving together
Step 1
Concept
Complete independence gave the larger goal.
Step 2
Why this answer is correct
The eleven demands brought everyday problems forward.
Step 3
Exam Tip
Understand the movement as a link between aim and public demands. चरण 1: पूर्ण स्वराज ने दूर का लक्ष्य दिया। चरण 2: ग्यारह मांगों ने रोजमर्रा की समस्याओं को सामने रखा। चरण 3: आंदोलन को लक्ष्य और जन मांगों के मेल से समझें।
A. संवैधानिक असंतोष से जन अवज्ञा तक विस्तार/Expansion from constitutional dissatisfaction to mass disobedience
Step 1
Concept
The Simon Commission intensified the question of representation.
Step 2
Why this answer is correct
Complete independence and Dandi March took the struggle to mass disobedience.
Step 3
Exam Tip
Read this sequence from background to action. चरण 1: साइमन आयोग ने प्रतिनिधित्व का प्रश्न तेज किया। चरण 2: पूर्ण स्वराज और दांडी यात्रा ने संघर्ष को जन अवज्ञा तक पहुंचाया। चरण 3: इस क्रम को पृष्ठभूमि से कार्रवाई तक पढ़ें।
