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A. यदि किसी पूर्णांक का वर्ग 3 से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी 3 से विभाज्य है/If the square of an integer is divisible by 3, then the integer is also divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
किसी पूर्णांक को 3q, 3q+1 या 3q+2 लिखें। इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 1 होते हैं; अतः वर्ग 3 से विभाज्य होने पर पूर्णांक भी विभाज्य होगा। परीक्षा में शेषफल-विधि याद रखें। / Write an integer as 3q, 3q+1, or 3q+2. Their squares leave remainders 0, 1, and 1 respectively, so a square divisible by 3 requires the integer to be divisible by 3. Exam tip: use remainder classes.
A. \(3\sqrt{2}\) को 3 से भाग देने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है/Dividing \(3\sqrt{2}\) by 3 would make \(\sqrt{2}\) rational, which is impossible
Explanation
Simple Explanation
यदि \(3\sqrt{2}\) परिमेय हो, तो 3 से भाग देने पर \(\sqrt{2}\) भी परिमेय होगा। यह \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने से विरोध है। विकल्प C गलत है; अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल भी परिमेय हो सकता है। परीक्षा टिप: अशून्य परिमेय से भाग देने पर परिमेयता बनी रहती है। / If \(3\sqrt{2}\) were rational, dividing it by 3 would make \(\sqrt{2}\) rational. This contradicts the known irrationality of \(\sqrt{2}\). Option C is false because two irrational numbers can have a rational product. Exam tip: rationality is preserved when dividing by a non-zero rational number.
यदि
ext{\(\sqrt{3}\)} को
ext{\(\frac{p}{q}\)} के रूप में, जहाँ
ext{\(p\)} और
ext{\(q\)} सह-अभाज्य हैं, मानकर विरोधाभास विधि से प्रमाण किया जाए, तो विरोधाभास उत्पन्न करने वाला निष्कर्ष कौन-सा है?
A. p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both p and q are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 also divides \(q\). This contradicts their being coprime. Exam tip: use the prime-factor property carefully.
p/q को न्यूनतम रूप में लेने पर p और q सह-अभाज्य होते हैं। प्रमाण में दोनों का 3 से विभाज्य निकलना इसी शर्त का विरोधाभास है; केवल दोनों विषम होना पर्याप्त नहीं। परीक्षा टिप: ‘lowest terms’ दिखे तो सह-अभाज्य लिखें। / Taking p/q in lowest terms makes p and q coprime. The proof reaches a contradiction when both are divisible by 3; merely being odd is irrelevant. Exam tip: “lowest terms” means coprime numerator and denominator.
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में \(\sqrt{3}=p/q\) मानकर \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य लिया जाता है। अंत में \(p\) और \(q\) दोनों के 3 से विभाज्य निकलने पर कौन-सा निष्कर्ष सही है?
A. यह मान्यता कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, असत्य सिद्ध होती है/The assumption that \(p\) and \(q\) are coprime is disproved
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं, तो उनका एक सामान्य गुणनखंड 3 है। यह उनके सह-अभाज्य होने की प्रारम्भिक शर्त के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा ‘न्यूनतम रूप’ वाली मान्यता पर दिखाइए। / If both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, they have the common factor 3. This contradicts the initial condition that they are coprime, so \(\sqrt{3}\) cannot be rational. Exam tip: state clearly that the fraction was assumed to be in lowest terms.
एक विद्यार्थी मानता है कि यदि किसी पूर्णांक का वर्ग 2 से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक स्वयं भी 2 से विभाज्य होगा।
कौन-सा उदाहरण या तर्क उसके कथन को सही सिद्ध करता है?
A. यदि पूर्णांक विषम हो, तो उसका वर्ग भी विषम होता है; इसलिए 2 से विभाज्य वर्ग का मूल पूर्णांक सम होगा।
Explanation
Simple Explanation
विषम पूर्णांक को \(2n+1\) लिखने पर उसका वर्ग \(4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1\) विषम होता है। अतः वर्ग सम होने पर पूर्णांक सम होगा। परीक्षा में विषम-सम का प्रतिलोम तर्क लिखें। / Write an odd integer as \(2n+1\). Its square is \(4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1\), which is odd. Hence, if a square is even, the integer must be even. Exam tip: use the contrapositive argument.
A. \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं/\(p\) and \(q\) are coprime
Explanation
Simple Explanation
न्यूनतम रूप का अर्थ है कि \(p\) और \(q\) का कोई 1 से बड़ा समान गुणनखंड नहीं है, अर्थात \(\gcd(p,q)=1\)। प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से दोनों 3 से विभाज्य निकलते हैं, जो इसी शर्त का विरोध है। परीक्षा टिप: ‘न्यूनतम रूप’ को हमेशा सह-अभाज्य से जोड़ें। / Lowest terms means that \(p\) and \(q\) have no common factor greater than 1, so \(\gcd(p,q)=1\). From \(p^2=3q^2\), the proof shows that both are divisible by 3, contradicting this condition. Exam tip: connect “lowest terms” with coprime integers.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=2q^2\) से वह \(p=2m\) लिखता है और फिर \(q^2=2m^2\) प्राप्त करता है। विद्यार्थी कहता है कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, इसलिए \(q\) विषम होना चाहिए। इस कथन का सही सुधार क्या है?
A. \(q\) सम है; अतः \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, जो उनकी सह-अभाज्यता के विरुद्ध है।/\(q\) is even; therefore, both \(p\) and \(q\) are even, contradicting their coprimality.
Explanation
Simple Explanation
\(q^2=2m^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है, इसलिए \(q\) भी सम है। पहले \(p\) सम मिला था; अतः दोनों में 2 समान गुणनखंड है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग का मूल भी सम होता है। / The equation \(q^2=2m^2\) makes \(q^2\) even, so \(q\) must be even. Since \(p\) was already even, both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: if a square is even, its integer root is even.
वर्ग संबंध से सीधे (c=2d) नहीं मिलता। सही तर्क \(c^2\) सम से (c) सम तक जाता है। / The square relation does not directly give (c=2d). The correct reasoning goes from \(c^2\) even to (c) even.
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का वर्ग पर प्रभाव याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-divisibility property of squares.
यदि
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में माना जाए और
\(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो
\(p\) और
\(q\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष इस धारणा का विरोध करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से
\(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए
\(p\) भी 3 से विभाज्य होगा।
\(p=3k\) रखने पर
\(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः
\(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सबसे सरल रूप की शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या यदि वर्ग को विभाजित करे, तो वह संख्या को भी विभाजित करती है। / Since
\(p^2=3q^2\),
\(p^2\) is divisible by 3, so
\(p\) is divisible by 3. Put
\(p=3k\); then
\(q^2=3k^2\), so
\(q\) is also divisible by 3. This contradicts lowest terms. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
C. h-2, 3 से विभाज्य होना चाहिए, जिससे h भी 3 से विभाज्य होता है/h-2 must be divisible by 3, which implies that h is also divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
समीकरण h² = 3k² से h², 3 से विभाज्य है। अभाज्य संख्या 3 के लिए यदि 3 किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस संख्या को भी विभाजित करती है। अतः 3, h को विभाजित करेगा, जो दी गई शर्त कि h, 3 से विभाज्य नहीं है, के विरुद्ध है। विकल्प A आवश्यक नहीं है; इस चरण पर असंगति सीधे h के बारे में मिलती है। परीक्षा टिप: अभाज्य p के लिए p | n² होने पर p | n लिखें। / From h² = 3k², h² is divisible by 3. Since 3 is prime, if it divides the square of an integer, it must also divide that integer. Hence 3 divides h, contradicting the given condition that h is not divisible by 3. Option A is not the required contradiction; the contradiction at this step concerns h directly. Exam tip: For a prime p, use p | n² ⇒ p | n.
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है, क्योंकि 3 पूर्ण वर्ग नहीं है; इसका अभाज्य गुणनखंड 3 की घात 1 है, जो विषम है। \(\sqrt{9}=3\) परिमेय है। परीक्षा में जाँचें कि सभी घातें सम हैं या नहीं। / \(\sqrt{3}\) is irrational because 3 is not a perfect square: its prime factor 3 has exponent 1, which is odd. In contrast, \(\sqrt{9}=3\) is rational. Exam tip: a perfect square has only even prime exponents.
मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। इस मान्यता से कौन-सा निष्कर्ष निकलता है, जो भिन्न के निम्नतम रूप में होने का विरोध करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं/Both \(p\) and \(q\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\), अतः \(p\), सम है। \(p=2r\) रखने पर \(q^2=2r^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में सम वर्ग वाला नियम याद रखें। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Put \(p=2r\); then \(q^2=2r^2\), so \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: an even square has an even root.
रवि ने
ext{\(\sqrt{3}\)}
की अपरिमेयता के प्रमाण में माना कि
ext{\(\sqrt{3}=p/q\)}
, जहाँ
ext{\(p\)}
और
ext{\(q\)}
सह-अभाज्य हैं।
ext{\(p^2=3q^2\)}
से वह कहता है कि केवल
ext{\(p\)}
3 से विभाज्य है,
ext{\(q\)}
के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। उसकी त्रुटि को कौन-सा तथ्य ठीक करता है?
A. यदि 3, \(q^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(q\) को भी विभाजित करता है।/If 3 divides \(q^2\), then 3 also divides \(q\).
Explanation
Simple Explanation
3 अभाज्य है। \(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / Since 3 is prime, \(p^2=3q^2\) implies that 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 divides \(q\) as well. This contradicts that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालने के लिए कौन-सा कथन सही है?
A. यदि किसी अभाज्य संख्या से किसी पूर्णांक का वर्ग विभाज्य हो, तो वह पूर्णांक भी उस अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है/If a prime divides the square of an integer, then it also divides that integer.
Explanation
Simple Explanation
3 एक अभाज्य संख्या है। \(3\mid p^2=p\times p\) होने पर अभाज्य गुणनखंड के नियम से \(3\mid p\) मिलता है। \(p\) का 9 का गुणज होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा में अभाज्य विभाज्यता का नियम याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2=p\times p\) implies \(3\mid p\) by the prime-divisor property. It does not imply that \(p\) is divisible by 9. Exam tip: apply this rule only when the divisor is prime.
B. \(d\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(c,d)=1) विरोधाभास का आधार है/\(d\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(c,d)=1) is the basis of contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
C. \(k\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(h,k)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(k\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(h,k)=1) gives final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(k\neq0\) परिमेय भिन्न के लिए जरूरी है। (\gcd(h,k)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है। / \(k\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(h,k)=1) breaks when both are divisible by (3).
A. यदि \(3\mid n^2\), तो \(3\mid n\)/If \(3\mid n^2\), then \(3\mid n\)
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। तब \(p^2=3q^2\), इसलिए \(3\mid p^2\)। क्योंकि 3 अभाज्य है, \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकलता है। \(p=3k\) रखने पर यह भी मिलता है कि \(3\mid q\), जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(3\mid n^2\) होने पर \(n\) का 3 होना आवश्यक नहीं, केवल उसका 3 से विभाज्य होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रमाणों में अभाज्य संख्या के वर्ग को विभाजित करने वाले गुण का प्रयोग पहचानें। / Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Then \(p^2=3q^2\), so \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). On writing \(p=3k\), we also obtain \(3\mid q\), which contradicts the fact that \(p\) and \(q\) are coprime. Option B is incorrect because divisibility of \(n^2\) by 3 does not mean that \(n=3\); it means that \(n\) is divisible by 3. Exam tip: In irrationality proofs, look for the prime-divisibility property that forces both numerator and denominator to have a common factor.
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-विधि प्रमाण में, मान लेते हैं कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करने के लिए आवश्यक है?
A. 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है/3 divides both \(p\) and \(q\)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है; अतः अभाज्य गुणनखंड गुण के कारण 3, \(p\) को भी विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग पर अभाज्य विभाज्यता को मूल संख्या तक ले जाएँ। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so the prime-factor property gives 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then 3 also divides \(q\), contradicting coprimality. Exam tip: transfer prime divisibility from a square back to its base.
A. दोनों सम होने पर विरोधाभास/Contradiction when both are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही (\gcd(c,d)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना अंतिम विरोधाभास नहीं बनता। / Lowest form gives (\gcd(c,d)=1). Without it, both even does not become the final contradiction.
A. दावा सही है, क्योंकि \(q^2\) के 3 से विभाज्य होने पर \(q\) 3 से विभाज्य होगा, और फिर \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा।/The claim is correct because if \(q^2\) is divisible by 3, then \(q\) is divisible by 3, and hence \(p\) is also divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(3p^2=q^2\) से \(q^2\) 3 से विभाज्य है, अतः \(q=3r\) होगा। रखने पर \(3p^2=9r^2\), इसलिए \(p^2=3r^2\) और \(p\) भी 3 से विभाज्य है। परीक्षा-टिप: अभाज्य संख्या यदि वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / From \(3p^2=q^2\), \(q^2\) is divisible by 3, so \(q=3r\). Substituting gives \(3p^2=9r^2\), hence \(p^2=3r^2\); therefore, \(p\) is divisible by 3. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। समीकरण \(3q^2=p^2\) मिलने पर निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष सही है?
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(p\) must be divisible by 3. Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-factor rule for square terms.
C. क्योंकि शुरुआत में (h,k) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because initially (h,k) should be coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(h,k)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction obtained at the end. Initially (\gcd(h,k)=1) is assumed.
मान लें \(\sqrt{3}=a/b\), जहाँ \(a,b\) सह-अभाज्य हैं। तब \(a^2=3b^2\), इसलिए \(3\mid a^2\) और आवश्यक गुण से \(3\mid a\) मिलता है। आगे \(3\mid b\) भी मिलता है, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य \(p\) के लिए \(p\mid a^2\Rightarrow p\mid a\) याद रखें। / Assume \(\sqrt{3}=a/b\) with coprime integers \(a,b\). Then \(a^2=3b^2\), so \(3\mid a^2\); the key property gives \(3\mid a\). It later gives \(3\mid b\) too, contradicting coprimality. Exam tip: for prime \(p\), remember \(p\mid a^2\Rightarrow p\mid a\).
यदि
\(\sqrt{2}=\frac{h}{k}\), जहाँ \(h\) और \(k\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, मानकर विरोधाभास विधि से प्रमाण किया जाए, तो कौन-सा निष्कर्ष इस धारणा का विरोधाभास सिद्ध करता है?
A. \(h\) और \(k\) दोनों सम हैं/Both \(h\) and \(k\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(h^2=2k^2\) से \(h^2\), अतः \(h\), सम होता है। \(h=2m\) रखने पर \(k^2=2m^2\), इसलिए \(k\) भी सम है। दोनों का 2 से विभाज्य होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास में दोनों का समान गुणनखंड दिखाइए। / From \(h^2=2k^2\), \(h^2\), and hence \(h\), is even. Put \(h=2m\); then \(k^2=2m^2\), so \(k\) is even too. A common factor 2 contradicts coprimality. Exam tip: establish evenness of both integers.
A. यदि 3 किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करता है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करता है।/If 3 divides the square of an integer, it also divides that integer.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{3}=p/q\) सरलतम रूप में है। \(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए p को भी। यही विरोधाभास तक ले जाता है; B की दिशा उलटी है। टिप: p और q को सह-अभाज्य लिखें। / Let \(\sqrt{3}=p/q\) be in lowest terms. From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so it divides p. This leads to the contradiction; B gives only the reverse implication. Exam tip: state that p and q are coprime.
A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों को (2) से भाग देना तभी संभव है जब (2) सामान्य गुणनखंड हो। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Dividing both by (2) is possible only when (2) is a common factor. This contradicts lowest form.
एक विद्यार्थी ने मान लिया कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। समीकरण का वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। इससे सही निष्कर्ष कौन-सा है?
B. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है/Both \(p\) and \(q\) are even, contradicting their being coprime
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। मानें \(p=2r\); तब \(4r^2=2q^2\), अतः \(q^2=2r^2\) और \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य मान्यता का विरोध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग का मूल भी सम होता है। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2r\): \(4r^2=2q^2\), hence \(q^2=2r^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a square is even, its integer root is even.
(d) सम सिद्ध करने के लिए (c=2u) रखकर आगे काम करना पड़ता है। परीक्षा में हर की समता सीधे न लिखें। / To prove (d) even, (c=2u) must be substituted first. In exams, do not write denominator even directly.
A. परिभाषात्मक प्रतिस्थापन/Definitional substitution
Explanation
Simple Explanation
किसी संख्या के (3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि उसे (3r) लिखा जा सकता है। इससे आगे (k) की विभाज्यता सिद्ध होती है। / A number divisible by (3) can be written as (3r). This later proves divisibility of (k).
दोनों में (2) सामान्य होने पर भिन्न घटकर \(\frac{u}{v}\) बनती है। इसलिए पुराना रूप सरलतम नहीं था। / If both have common factor (2), the fraction reduces to \(\frac{u}{v}\). So the old form was not lowest.
C. वह टूट जाती है क्योंकि (3) सामान्य गुणनखंड है/It breaks because (3) is a common factor
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों में (3) होना इस शर्त के विरुद्ध है। / In a lowest fraction, numerator and denominator are coprime. Having (3) in both contradicts this condition.
एक विद्यार्थी दावा करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय है और उसे सबसे सरल रूप \(\frac{p}{q}\) में लिखता है, जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। यदि \(p^2=3q^2\), तो इस दावे में त्रुटि क्या है?
B. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हो जाते हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है।/Both \(p\) and \(q\) become divisible by 3, contradicting that they are coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सबसे सरल रूप की शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग के किसी अभाज्य से विभाज्य होने पर संख्या भी उसी अभाज्य से विभाज्य होती है। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\): \(9k^2=3q^2\), hence \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number.
A. यदि \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\), जहाँ \(r\) परिमेय है, तो \(\sqrt{3}=r-\sqrt{2}\) होगा; इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय है।
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\), जहाँ \(r\) परिमेय है। तब \(\sqrt{3}=r-\sqrt{2}\) से सीधे निष्कर्ष नहीं निकलता, क्योंकि परिमेय में से अपरिमेय घटाने पर अपरिमेय ही मिल सकता है। सही जाँच के लिए वर्ग करें: \(r^2=5+2\sqrt{6}\), अतः \(\sqrt{6}=(r^2-5)/2\) परिमेय होगा, जो असंभव है। परीक्षा टिप: ऐसे योग को सिद्ध करने में वर्ग करके मूल पद अलग करें। / Assume \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\), with \(r\) rational. Option A is not a valid conclusion because rational minus irrational can still be irrational. Squaring gives \(r^2=5+2\sqrt{6}\), so \(\sqrt{6}=(r^2-5)/2\) would be rational, a contradiction. Exam tip: square a sum of surds to isolate the remaining radical.
A. हर बार भिन्न को (2) से घटाया जा सकेगा/The fraction can be reduced by (2) again
Explanation
Simple Explanation
यदि सरलतम भिन्न भी घटे, तो और छोटी भिन्न मिलती रहेगी। यह सरलतम रूप की संभावना को अस्वीकार करता है। / If even a lowest fraction reduces, smaller fractions would keep appearing. This rejects the possibility of a lowest form.
यदि कोई विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) एक परिमेय संख्या \(r\) है, तो इस दावे में विरोधाभास सिद्ध करने के लिए निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष सही है?
C. \(\sqrt{2}=\dfrac{r^2-1}{2r}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय हो जाएगा/\(\sqrt{2}=\dfrac{r^2-1}{2r}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(r=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)। तब \(\sqrt{3}=r-\sqrt{2}\) लिखकर वर्ग करने पर \(3=r^2+2-2r\sqrt{2}\) मिलता है। अतः \(\sqrt{2}=(r^2-1)/(2r)\) परिमेय होगा, जो असंभव है। परीक्षा में वर्ग करने के बाद पदों को सावधानी से अलग करें। / Assume \(r=\sqrt{2}+\sqrt{3}\). Then \(\sqrt{3}=r-\sqrt{2}\); on squaring, \(3=r^2+2-2r\sqrt{2}\). Hence \(\sqrt{2}=(r^2-1)/(2r)\) would be rational, a contradiction. Exam tip: isolate the radical carefully after squaring.
A. अनंत दशमलव प्रसार वाला प्रत्येक संख्या अपरिमेय नहीं होता; वह आवर्ती भी हो सकता है।/Not every non-terminating decimal is irrational; it may be recurring.
Explanation
Simple Explanation
केवल अनंत दशमलव प्रसार से अपरिमेयता सिद्ध नहीं होती, क्योंकि \(\frac{1}{3}=0.333\ldots\) अनंत होते हुए भी परिमेय है। अपरिमेय दशमलव अनंत और अनावर्ती होता है। परीक्षा में आवर्ती तथा अनावर्ती प्रसार का अंतर याद रखें। / A non-terminating decimal alone does not prove irrationality: \(\frac{1}{3}=0.333\ldots\) goes on forever but is rational. An irrational number has a non-terminating, non-recurring decimal expansion. Exam tip: distinguish recurring from non-recurring decimals.
A. अभाज्य गुणनखंड का वर्ग में प्रवेश मूल संख्या से होता है/A prime factor enters a square from the original number
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग में तभी आएगा जब मूल संख्या में हो। यही प्रमाण का मुख्य नियम है। / Prime (3) appears in a square only if it appears in the original number. This is the key rule of the proof.
C. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\)/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2\) के अभाज्य गुणनखंडों में प्रत्येक घात सम होती है। अतः \(3\mid p^2\) होने पर \(p\) में 3 का गुणनखंड अवश्य होगा, यानी \(3\mid p\)। \(9\mid p\) आवश्यक नहीं है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंडों की घातों का नियम याद रखें। / Every prime factor in \(p^2\) has an even exponent. Thus, if \(3\mid p^2\), the factor 3 must already occur in \(p\), so \(3\mid p\). It need not imply \(9\mid p\). Exam tip: use prime-factor exponents in irrationality proofs.
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A. यह सुनिश्चित करने के लिए कि \(p\) और \(q\) दोनों सम नहीं हैं/To ensure that \(p\) and \(q\) are not both even
Explanation
Simple Explanation
न्यूनतम रूप में \(p\) और \(q\) का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम मिलता है और फिर \(q\) भी सम निकलता है, जो विरोधाभास है। परीक्षा-टिप: ‘न्यूनतम रूप’ का अर्थ सहभाज्य समझें। / In lowest terms, \(p\) and \(q\) have no common factor. From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even, and then \(q\) is also even, giving a contradiction. Exam tip: link lowest terms with coprime numerator and denominator.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर उसे \(p^2=3q^2\) मिलता है और वह निष्कर्ष निकालता है कि \(p\) 3 से विभाज्य है। प्रमाण को पूरा करने के लिए अगला आवश्यक कदम क्या है?
A. Show that \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p=3k\) मानें। रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों संख्याओं का समान गुणनखंड अवश्य दिखाएँ। / From \(p^2=3q^2\), let \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: establish divisibility of both numerator and denominator.
A. तब \(1/x=\sqrt{3}-\sqrt{2} परिमेय होगा; दोनों को जोड़ने पर \(2\sqrt{3}\) परिमेय होगा, जो असंभव है। / Then \(1 / x=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) would be rational; adding them gives \(2\sqrt{3}\) rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
\((\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1\), अतः \(x\) परिमेय होने पर उसका व्युत्क्रम भी परिमेय होगा। जोड़ने से \(2\sqrt{3}\) परिमेय मिलता है, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: संयुग्म का गुणनफल पहले जाँचें। / Since \((\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1\), a rational \(x\) would have a rational reciprocal. Their sum would make \(2\sqrt{3}\) rational, a contradiction. Exam tip: first check the product of conjugates.
A. उसने सन्निकट मान को ठीक मान मान लिया है/She has treated an approximation as an exact value.
Explanation
Simple Explanation
\(1.732\), \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट मान है, ठीक मान नहीं; क्योंकि \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। 3 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: \(=\) और \(\approx\) का अंतर अवश्य पहचानें। / \(1.732\) is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value, since \(1.732^2=2.999824\), not 3. As 3 is not a perfect square, \(\sqrt{3}\) is irrational. Exam tip: always distinguish \(=\) from \(\approx\).
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) हो और \(p,q\) सह-अभाज्य हों, तो \(p^2=2q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य रूप से निकलता है?
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए \(p\) सम है। फिर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग की समता याद रखें। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even. The square of an integer is even only when the integer itself is even, so \(p\) is even. Substitution then makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: use parity of squares carefully.
A. 1.732 केवल \(\sqrt{3}\) का सन्निकट मान है, उसका सटीक मान नहीं है।/1.732 is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value.
Explanation
Simple Explanation
1.732 एक सीमित दशमलव सन्निकटन है। वास्तव में \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। इसलिए \(\frac{1732}{1000}\) परिमेय है, पर वह \(\sqrt{3}\) नहीं है। परीक्षा में सन्निकट और सटीक मान में अंतर रखें। / 1.732 is a terminating decimal approximation. In fact, \(1.732^2=2.999824\), not 3. Thus \(\frac{1732}{1000}\) is rational, but it is not equal to \(\sqrt{3}\). Exam tip: distinguish an approximate decimal from an exact value.
A. \(n\) एक पूर्ण वर्ग है/\(n\) is a perfect square
Explanation
Simple Explanation
यदि \(n=k^2\), जहाँ \(k\) पूर्णांक है, तो \(\sqrt{n}=k\), जो परिमेय है। केवल सम या भाज्य होना पर्याप्त नहीं है; जैसे \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें सम देखें। / If \(n=k^2\) for an integer \(k\), then \(\sqrt{n}=k\), which is rational. Being even or composite alone is not enough; for example, \(\sqrt{6}\) is irrational. Exam tip: in prime factorisation, all exponents must be even for a perfect square.
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए यदि वह किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करे, तो उस पूर्णांक को भी विभाजित करता है; अतः \(3\mid p\)। फिर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम का उल्लेख करें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, if it divides the square of an integer, it divides that integer; hence \(3\mid p\). This later gives \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: explicitly state the prime-divisor property.
रीमा कहती है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=2q^2\) से केवल \(p\) सम है; इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध नहीं होता। रीमा के तर्क में कौन-सी आवश्यक बात छूट गई है?
A. \(p\) सम होने पर \(p=2k\) रखने से \(q\) भी सम सिद्ध होता है, जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है।/If \(p\) is even, write \(p=2k\); then \(q\) is also even, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(p\) सम होने पर \(p=2k\) लें। तब \(4k^2=2q^2\), अतः \(q^2=2k^2\) और \(q\) भी सम है। दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड होना सह-अभाज्य मान्यता का विरोध है। परीक्षा में विरोधाभास अवश्य लिखें। / If \(p=2k\), then \(4k^2=2q^2\), so \(q^2=2k^2\) and hence \(q\) is even too. Thus both have factor 2, contradicting coprimality. In exams, state this contradiction explicitly.
अनुमानित दशमलव प्रमाण नहीं देता। सही प्रमाण सहभाज्य भिन्न और अभाज्य विभाज्यता से बनता है। / Approximate decimal does not give proof. The correct proof uses lowest fraction and prime divisibility.
