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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=2q^2\) से वह \(p=2m\) लिखता है और फिर \(q^2=2m^2\) प्राप्त करता है। विद्यार्थी कहता है कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, इसलिए \(q\) विषम होना चाहिए। इस कथन का सही सुधार क्या है?

A student assumes \(\sqrt{2}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, to prove that \(\sqrt{2}\) is irrational. From \(p^2=2q^2\), the student writes \(p=2m\) and obtains \(q^2=2m^2\). The student says that since \(p\) and \(q\) are coprime, \(q\) must be odd. What is the correct correction to this statement?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(q\) सम है; अतः \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, जो उनकी सह-अभाज्यता के विरुद्ध है।\(q\) is even; therefore, both \(p\) and \(q\) are even, contradicting their coprimality.

Explanation

Simple Explanation

\(q^2=2m^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है, इसलिए \(q\) भी सम है। पहले \(p\) सम मिला था; अतः दोनों में 2 समान गुणनखंड है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग का मूल भी सम होता है। / The equation \(q^2=2m^2\) makes \(q^2\) even, so \(q\) must be even. Since \(p\) was already even, both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: if a square is even, its integer root is even.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=2q^2\) से वह \(p=2m\) लिखता है और फिर \(q^2=2m^2\) प्राप्त करता है। विद्यार्थी कहता है कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, इसलिए \(q\) विषम होना चाहिए। इस कथन का सही सुधार क्या है? / A student assumes \(\sqrt{2}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, to prove that \(\sqrt{2}\) is irrational. From \(p^2=2q^2\), the student writes \(p=2m\) and obtains \(q^2=2m^2\). The student says that since \(p\) and \(q\) are coprime, \(q\) must be odd. What is the correct correction to this statement?

Correct Answer: A. \(q\) सम है; अतः \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, जो उनकी सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। / \(q\) is even; therefore, both \(p\) and \(q\) are even, contradicting their coprimality.. Explanation: \(q^2=2m^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है, इसलिए \(q\) भी सम है। पहले \(p\) सम मिला था; अतः दोनों में 2 समान गुणनखंड है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग का मूल भी सम होता है। / The equation \(q^2=2m^2\) makes \(q^2\) even, so \(q\) must be even. Since \(p\) was already even, both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: if a square is even, its integer root is even.