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B. जब (c) और (d) दोनों सम सिद्ध होते हैं/When both (c) and (d) are proved even
Step 1
Concept
If both are even, (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts (\gcd(c,d)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. जब (c) और (d) दोनों सम सिद्ध होते हैं / When both (c) and (d) are proved even. If both are even, (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts (\gcd(c,d)=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर (\gcd(c,d)\ge2) होगा। यही (\gcd(c,d)=1) से विरोधाभास देता है।
A. क्योंकि \(h^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(h^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
If prime (3) divides \(h^2\), it also divides (h). Therefore (h=3r) is written.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \(h^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(h^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. If prime (3) divides \(h^2\), it also divides (h). Therefore (h=3r) is written.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) यदि \(h^2\) को विभाजित करे तो (h) को भी विभाजित करता है। इसलिए (h=3r) लिखा जाता है।
A. पहले (c) सम और फिर (c=2u) रखना जरूरी है/First (c) even and then (c=2u) must be used
Step 1
Concept
\(c^2=2d^2\) first shows evenness of \(c^2\). Evenness of (d) comes after substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (c) सम और फिर (c=2u) रखना जरूरी है / First (c) even and then (c=2u) must be used. \(c^2=2d^2\) first shows evenness of \(c^2\). Evenness of (d) comes after substitution.
Step 3
Exam Tip
\(c^2=2d^2\) पहले \(c^2\) की समता दिखाता है। (d) की समता प्रतिस्थापन के बाद मिलती है।
A. क्योंकि पहले (h) (3) से विभाज्य सिद्ध कर (h=3r) रखना पड़ता है/Because first (h) must be proved divisible by (3) and written as (h=3r)
Step 1
Concept
The first conclusion is about (h). The conclusion about (k) comes after taking (h=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि पहले (h) (3) से विभाज्य सिद्ध कर (h=3r) रखना पड़ता है / Because first (h) must be proved divisible by (3) and written as (h=3r). The first conclusion is about (h). The conclusion about (k) comes after taking (h=3r).
Step 3
Exam Tip
पहला निष्कर्ष (h) के लिए होता है। (k) का निष्कर्ष (h=3r) रखने के बाद आता है।
The square relation does not directly give (c=2d). The correct reasoning goes from \(c^2\) even to (c) even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(c^2=2d^2\Rightarrow c=2d\). The square relation does not directly give (c=2d). The correct reasoning goes from \(c^2\) even to (c) even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (c=2d) नहीं मिलता। सही तर्क \(c^2\) सम से (c) सम तक जाता है।
A. \(c^2\) विषम होना चाहिए पर \(2d^2\) सम है/\(c^2\) should be odd but \(2d^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(2d^2\) is always even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(c^2\) विषम होना चाहिए पर \(2d^2\) सम है / \(c^2\) should be odd but \(2d^2\) is even. The square of an odd number is odd. But \(2d^2\) is always even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। पर \(2d^2\) हमेशा सम है।
C. \(h^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(h^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Step 1
Concept
If (h) has no factor (3), then \(h^2\) also has no factor (3). The equation says the opposite.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(h^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है / \(h^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible. If (h) has no factor (3), then \(h^2\) also has no factor (3). The equation says the opposite.
Step 3
Exam Tip
यदि (h) में (3) नहीं है तो \(h^2\) में भी (3) नहीं होगा। समीकरण इसके विपरीत बताता है।
A. \(\frac{c}{d}\) को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है/\(\frac{c}{d}\) can be reduced by (2) to get a smaller equal fraction
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradict this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{c}{d}\) को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है / \(\frac{c}{d}\) can be reduced by (2) to get a smaller equal fraction. A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradict this.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी से विरोधाभास है।
A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाया जा सकता है/\(\frac{h}{k}\) can be reduced by (3)
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the assumed lowest fraction is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाया जा सकता है / \(\frac{h}{k}\) can be reduced by (3). Both have common factor (3). Therefore the assumed lowest fraction is impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए मानी गई सरलतम भिन्न असंभव है।
A. (\gcd(c,d)=1) होते हुए \(2\mid c\) और \(2\mid d\)/While (\gcd(c,d)=1), \(2\mid c\) and \(2\mid d\)
Step 1
Concept
If both have factor (2), then (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(c,d)=1) होते हुए \(2\mid c\) और \(2\mid d\) / While (\gcd(c,d)=1), \(2\mid c\) and \(2\mid d\). If both have factor (2), then (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) होने से (\gcd(c,d)\ge2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है।
C. (\gcd(h,k)=1) होते हुए \(3\mid h\) और \(3\mid k\)/While (\gcd(h,k)=1), \(3\mid h\) and \(3\mid k\)
Step 1
Concept
If both have factor (3), then (\gcd(h,k)\ge3). This contradicts (\gcd(h,k)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\gcd(h,k)=1) होते हुए \(3\mid h\) और \(3\mid k\) / While (\gcd(h,k)=1), \(3\mid h\) and \(3\mid k\). If both have factor (3), then (\gcd(h,k)\ge3). This contradicts (\gcd(h,k)=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) का गुणनखंड है तो (\gcd(h,k)\ge3) होगा। यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है।
B. \(d\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(c,d)=1) विरोधाभास का आधार है/\(d\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(c,d)=1) is the basis of contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(d\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(c,d)=1) विरोधाभास का आधार है / \(d\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(c,d)=1) is the basis of contradiction. Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है।
C. \(k\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(h,k)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(k\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(h,k)=1) gives final contradiction
Step 1
Concept
\(k\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(h,k)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(k\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(h,k)=1) अंतिम विरोधाभास देता है / \(k\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(h,k)=1) gives final contradiction. \(k\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(h,k)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(k\neq0\) परिमेय भिन्न के लिए जरूरी है। (\gcd(h,k)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है।
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) सम \(\rightarrow\) (d) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) even \(\rightarrow\) (d) even \(\rightarrow\) contradiction
Step 1
Concept
This is the standard order of contradiction proof. Each step depends on the previous step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) सम \(\rightarrow\) (d) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) even \(\rightarrow\) (d) even \(\rightarrow\) contradiction. This is the standard order of contradiction proof. Each step depends on the previous step.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास प्रमाण का मानक क्रम है। हर चरण पिछले चरण पर निर्भर करता है।
B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (k) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) divisible by (3) \(\rightarrow\) (k) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), the chain of divisibility by (3) is necessary. Finally the coprime condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (k) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) divisible by (3) \(\rightarrow\) (k) divisible by (3) \(\rightarrow\). In the proof of \(\sqrt{3}\), the chain of divisibility by (3) is necessary. Finally the coprime condition breaks.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला जरूरी है। अंत में सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. दोनों सम होने पर विरोधाभास/Contradiction when both are even
Step 1
Concept
Lowest form gives (\gcd(c,d)=1). Without it, both even does not become the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम होने पर विरोधाभास / Contradiction when both are even. Lowest form gives (\gcd(c,d)=1). Without it, both even does not become the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही (\gcd(c,d)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना अंतिम विरोधाभास नहीं बनता।
B. दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास/Contradiction when both are divisible by (3)
Step 1
Concept
Lowest form makes (h) and (k) coprime. Only then both divisible by (3) is a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास / Contradiction when both are divisible by (3). Lowest form makes (h) and (k) coprime. Only then both divisible by (3) is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप से (h) और (k) सहभाज्य होते हैं। तभी दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास है।
A. क्योंकि शुरुआत में (c,d) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because (c,d) should initially be coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both even is the derived contradiction in the proof. It should not be the initial assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि शुरुआत में (c,d) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए / Because (c,d) should initially be coprime in lowest form. Both even is the derived contradiction in the proof. It should not be the initial assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत की मान्यता नहीं बनाते।
C. क्योंकि शुरुआत में (h,k) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because initially (h,k) should be coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both divisible by (3) is the contradiction obtained at the end. Initially (\gcd(h,k)=1) is assumed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्योंकि शुरुआत में (h,k) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए / Because initially (h,k) should be coprime in lowest form. Both divisible by (3) is the contradiction obtained at the end. Initially (\gcd(h,k)=1) is assumed.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(h,k)=1) माना जाता है।
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. माना गया सरलतम रूप असंभव था / The assumed lowest form was impossible. A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है।
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना और सामान्य अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना/Assume rational, square, and get coprime contradiction using a common prime factor
Step 1
Concept
Both proofs use contradiction. The only difference is the central prime (2) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना, वर्ग करना और सामान्य अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना / Assume rational, square, and get coprime contradiction using a common prime factor. Both proofs use contradiction. The only difference is the central prime (2) or (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर चलते हैं। अंतर केवल केंद्रीय अभाज्य (2) और (3) का है।
A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Dividing both by (2) is possible only when (2) is a common factor. This contradicts lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Dividing both by (2) is possible only when (2) is a common factor. This contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों को (2) से भाग देना तभी संभव है जब (2) सामान्य गुणनखंड हो। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है।
C. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the initially assumed lowest form becomes impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). Therefore the initially assumed lowest form becomes impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए शुरुआत में माना गया सरलतम रूप असंभव हो जाता है।
To prove (d) even, (c=2u) must be substituted first. In exams, do not write denominator even directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (d) भी सम है / (d) is also even. To prove (d) even, (c=2u) must be substituted first. In exams, do not write denominator even directly.
Step 3
Exam Tip
(d) सम सिद्ध करने के लिए (c=2u) रखकर आगे काम करना पड़ता है। परीक्षा में हर की समता सीधे न लिखें।
A. परिभाषात्मक प्रतिस्थापन/Definitional substitution
Step 1
Concept
A number divisible by (3) can be written as (3r). This later proves divisibility of (k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिभाषात्मक प्रतिस्थापन / Definitional substitution. A number divisible by (3) can be written as (3r). This later proves divisibility of (k).
Step 3
Exam Tip
किसी संख्या के (3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि उसे (3r) लिखा जा सकता है। इससे आगे (k) की विभाज्यता सिद्ध होती है।
If both have common factor (2), the fraction reduces to \(\frac{u}{v}\). So the old form was not lowest.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{c}{d}=\frac{u}{v}\). If both have common factor (2), the fraction reduces to \(\frac{u}{v}\). So the old form was not lowest.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य होने पर भिन्न घटकर \(\frac{u}{v}\) बनती है। इसलिए पुराना रूप सरलतम नहीं था।
C. वह टूट जाती है क्योंकि (3) सामान्य गुणनखंड है/It breaks because (3) is a common factor
Step 1
Concept
In a lowest fraction, numerator and denominator are coprime. Having (3) in both contradicts this condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. वह टूट जाती है क्योंकि (3) सामान्य गुणनखंड है / It breaks because (3) is a common factor. In a lowest fraction, numerator and denominator are coprime. Having (3) in both contradicts this condition.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों में (3) होना इस शर्त के विरुद्ध है।
A. (h) अनिवार्य रूप से (3) का गुणज है/(h) is necessarily a multiple of (3)
Step 1
Concept
Since \(3\mid h^2\) and (3) is prime, \(3\mid h\). \(9\mid h\) is not necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (h) अनिवार्य रूप से (3) का गुणज है / (h) is necessarily a multiple of (3). Since \(3\mid h^2\) and (3) is prime, \(3\mid h\). \(9\mid h\) is not necessary.
Step 3
Exam Tip
\(3\mid h^2\) और (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid h\)। \(9\mid h\) जरूरी नहीं है।
A. हर बार भिन्न को (2) से घटाया जा सकेगा/The fraction can be reduced by (2) again
Step 1
Concept
If even a lowest fraction reduces, smaller fractions would keep appearing. This rejects the possibility of a lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर बार भिन्न को (2) से घटाया जा सकेगा / The fraction can be reduced by (2) again. If even a lowest fraction reduces, smaller fractions would keep appearing. This rejects the possibility of a lowest form.
Step 3
Exam Tip
यदि सरलतम भिन्न भी घटे, तो और छोटी भिन्न मिलती रहेगी। यह सरलतम रूप की संभावना को अस्वीकार करता है।
A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाकर छोटी समान भिन्न मिलती है/Reducing \(\frac{h}{k}\) by (3) gives a smaller equal fraction
Step 1
Concept
Both have common factor (3). This is impossible in a lowest fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाकर छोटी समान भिन्न मिलती है / Reducing \(\frac{h}{k}\) by (3) gives a smaller equal fraction. Both have common factor (3). This is impossible in a lowest fraction.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है।
A. यदि (c) विषम हो तो \(c^2\) विषम होगा/If (c) is odd, then \(c^2\) is odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. Therefore if \(c^2\) is even, (c) cannot be odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि (c) विषम हो तो \(c^2\) विषम होगा / If (c) is odd, then \(c^2\) is odd. The square of an odd number is odd. Therefore if \(c^2\) is even, (c) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
विषम का वर्ग विषम होता है। इसलिए \(c^2\) सम होने पर (c) विषम नहीं हो सकता।
A. अभाज्य गुणनखंड का वर्ग में प्रवेश मूल संख्या से होता है/A prime factor enters a square from the original number
Step 1
Concept
Prime (3) appears in a square only if it appears in the original number. This is the key rule of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अभाज्य गुणनखंड का वर्ग में प्रवेश मूल संख्या से होता है / A prime factor enters a square from the original number. Prime (3) appears in a square only if it appears in the original number. This is the key rule of the proof.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) वर्ग में तभी आएगा जब मूल संख्या में हो। यही प्रमाण का मुख्य नियम है।
A. सिर्फ (c) सम सिद्ध करके रुकना/Stopping after proving only (c) even
Step 1
Concept
(c) even is a correct middle step, but (d) must also be even for final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सिर्फ (c) सम सिद्ध करके रुकना / Stopping after proving only (c) even. (c) even is a correct middle step, but (d) must also be even for final contradiction.
Step 3
Exam Tip
(c) सम सही मध्य चरण है, पर अंतिम विरोधाभास के लिए (d) भी सम चाहिए।
It is correct that (h) is divisible by (3), but (k) must also be proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (h) (3) से विभाज्य है / (h) is divisible by (3). It is correct that (h) is divisible by (3), but (k) must also be proved divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(h) का (3) से विभाज्य होना सही है, लेकिन (k) भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है।
A. दोनों सम (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव/Both even (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) lowest form impossible
Step 1
Concept
This is the correct line of final contradiction. A lowest form should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव / Both even (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) lowest form impossible. This is the correct line of final contradiction. A lowest form should not have a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम विरोधाभास की सही रेखा है। सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए।
A. दोनों (3) से विभाज्य (\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव/Both divisible by (3\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) lowest form impossible
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the assumption (\gcd(h,k)=1) becomes impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों (3) से विभाज्य (\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव / Both divisible by (3\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) lowest form impossible. Both have common factor (3). Therefore the assumption (\gcd(h,k)=1) becomes impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(h,k)=1) की मान्यता असंभव हो जाती है।
If a prime divides a square, it also divides the original number. This is the correct rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (3) अभाज्य है / Because (3) is prime. If a prime divides a square, it also divides the original number. This is the correct rule.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। यही सही नियम है।
A. यह (\gcd(c,d)=1) से विरोधाभास है/This contradicts (\gcd(c,d)=1)
Step 1
Concept
Both becoming even contradicts lowest form. After this, reject the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह (\gcd(c,d)=1) से विरोधाभास है / This contradicts (\gcd(c,d)=1). Both becoming even contradicts lowest form. After this, reject the rational assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलना सरलतम रूप से विरोधाभास है। इसके बाद परिमेय मान्यता अस्वीकार करें।
C. यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है/This contradicts (\gcd(h,k)=1)
Step 1
Concept
Both divisible by (3) conflicts with coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है / This contradicts (\gcd(h,k)=1). Both divisible by (3) conflicts with coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से टकराता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
Approximate decimal does not give proof. The correct proof uses lowest fraction and prime divisibility.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनुमानित दशमलव मान / Approximate decimal value. Approximate decimal does not give proof. The correct proof uses lowest fraction and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
अनुमानित दशमलव प्रमाण नहीं देता। सही प्रमाण सहभाज्य भिन्न और अभाज्य विभाज्यता से बनता है।
