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A. यह सांत है क्योंकि हर का अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हैं/It is terminating because the denominator has only (2) and (5) as prime factors
Explanation
Simple Explanation
\(40=2^3\times5\), इसलिए दशमलव सांत होगा। परीक्षा में हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / \(40=2^3\times5\), so the decimal will terminate. In exams, check the prime factors of the denominator.
हर में (3) है, जो (2) या (5) नहीं है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator contains (3), which is not (2) or (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
\(72=36\times2\), इसलिए \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)। बड़े पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / \(72=36\times2\), so \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). Take out the largest perfect square.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), जो परिमेय है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational. The product of two irrational numbers is not always irrational.
C. यह असांत अनावर्ती दशमलव है/It is a non-terminating non-recurring decimal
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होता है। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग पहचानें। / \(\sqrt{3}\) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. Identify perfect squares in square roots.
हर में \(2^2\) और \(5^3\) हैं, इसलिए अधिक घात (3) है। दशमलव (3) स्थानों तक सांत होगा। / The denominator has \(2^2\) and \(5^3\), so the larger power is (3). The decimal terminates after (3) places.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए \(\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)। समान करणी पदों को जोड़ें। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so \(\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\). Add like surd terms.
\(\frac{9}{4}\) परिमेय है लेकिन पूर्णांक नहीं है। हर शून्य न हो तो भिन्न परिमेय होती है। / \(\frac{9}{4}\) is rational but not an integer. A fraction with non-zero denominator is rational.
(7) हर में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। यह फिर भी परिमेय संख्या है। / The denominator (7) is neither (2) nor (5), so the decimal is non-terminating recurring. It is still rational.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)। अंतर \(2\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). The difference is \(2\sqrt{2}\).
B. हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या होती है/Every irrational number is a real number
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। इसलिए हर अपरिमेय संख्या वास्तविक है। / Real numbers include both rational and irrational numbers. Therefore every irrational number is real.
हर में (2) की अधिकतम घात (4) है। \(5^2\) को \(5^4\) बनाने के बाद दशमलव (4) स्थानों तक होगा। / The highest power of (2) in the denominator is (4). After making \(5^2\) into \(5^4\), the decimal has (4) places.
क्योंकि \(18>16=4^2\), इसलिए \(\sqrt{18}>4\)। तुलना के लिए दोनों ओर वर्ग करें। / Because \(18>16=4^2\), so \(\sqrt{18}>4\). Square both sides for comparison.
परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है। उदाहरण \(\sqrt{2}+3\) है। / The sum of a rational and an irrational number is always irrational. Example is \(\sqrt{2}+3\).
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)। योग \(7\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\). The sum is \(7\sqrt{5}\).
आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। इसलिए \(0.\overline{37}\) को \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सकता है। / A recurring decimal is rational. Therefore \(0.\overline{37}\) can be written in \(\frac{p}{q}\) form.
C. अपरिमेय क्योंकि दशमलव असांत अनावर्ती है/Irrational because the decimal is non-terminating non-recurring
Explanation
Simple Explanation
दशमलव चलता रहता है और कोई निश्चित आवृत्ति नहीं है। ऐसे दशमलव अपरिमेय होते हैं। / The decimal continues and has no fixed repetition. Such decimals are irrational.
\(147=49\times3\), इसलिए \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\)। पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / \(147=49\times3\), so \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\). Take the perfect square outside.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए योग \(3\sqrt{2}\) है। वर्गमूलों को सीधे अंदर जोड़ना गलत है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(3\sqrt{2}\). Do not directly add numbers inside roots.
A. क्योंकि \(6=2\times3\) और हर में (3) है/Because \(6=2\times3\) and the denominator contains (3)
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप में हर में (3) होने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। सांत दशमलव के लिए केवल (2) और (5) चाहिए। / Since the denominator in simplest form contains (3), the decimal is non-terminating recurring. A terminating decimal needs only (2) and (5).
\(\sqrt{10}\) (3) और (4) के बीच है, जबकि \(\sqrt{17}\) (4) और (5) के बीच है। इसलिए (4) बीच में है। / \(\sqrt{10}\) lies between (3) and (4), while \(\sqrt{17}\) lies between (4) and (5). Therefore (4) lies between them.
दोनों ओर वर्ग करने पर (a=81) मिलता है। वर्गमूल समीकरण में वर्ग करना उपयोगी है। / Squaring both sides gives (a=81). Squaring is useful in square root equations.
\(\sqrt{75}\div\sqrt{3}=\sqrt{25}=5\)। दोनों रूप समान हैं, इसलिए सावधानी से विकल्प पढ़ें। / \(\sqrt{75}\div\sqrt{3}=\sqrt{25}=5\). Both forms are equal, so read options carefully.
\(0.\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)। आवर्ती अंक को (9) के हर में लिखें। / \(0.\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). Write the repeating digit over (9).
\(200=100\times2\), इसलिए \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें। / \(200=100\times2\), so \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\). Take out the largest perfect square.
परिमेय (2) और अपरिमेय \(\sqrt{3}\) का योग अपरिमेय होता है। ऐसे प्रश्न में संख्या का प्रकार पहचानें। / The sum of rational (2) and irrational \(\sqrt{3}\) is irrational. In such questions, identify the type of each number.
हर में (7) है, इसलिए दशमलव सांत नहीं होगा। परिमेय संख्या होने से यह असांत आवर्ती होगा। / The denominator contains (7), so the decimal will not terminate. Since it is rational, it will be non-terminating recurring.
दशमलव में (27) बार-बार दोहर रहा है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। हर आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / The block (27) repeats in the decimal, so it is recurring. Every recurring decimal is rational.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। इसलिए \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). So \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}\).
शून्येतर परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय रहता है। यह गुण अक्सर विकल्पों में पूछा जाता है। / The product of a non-zero rational number and an irrational number remains irrational. This property is often tested in options.
A. (1) और (1) भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज बनाकर कर्ण लेना/Make a right triangle with sides (1) and (1), then take the hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
\(1^2+1^2=2\), इसलिए कर्ण \(\sqrt{2}\) होगा। संख्या रेखा पर वही कर्ण लंबाई स्थानांतरित करें। / \(1^2+1^2=2\), so the hypotenuse is \(\sqrt{2}\). Transfer that hypotenuse length to the number line.
C. दशमलव आवर्ती है और \(\frac{2}{7}\) के बराबर है/The decimal is recurring and equal to \(\frac{2}{7}\)
Explanation
Simple Explanation
(0.285714) का ब्लॉक दोहरता है और यह \(\frac{2}{7}\) का दशमलव रूप है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / The block (0.285714) repeats and it is the decimal form of \(\frac{2}{7}\). A recurring decimal is rational.
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। योग \(7\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The sum is \(7\sqrt{2}\).
B. यह सामान्य रूप से सही नियम नहीं है/It is not a generally true rule
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूलों को जोड़ने में अंदर की संख्याएँ सीधे नहीं जोड़ी जातीं। जैसे \(\sqrt{4}+\sqrt{9}\ne\sqrt{13}\)। / Numbers inside roots are not added directly when adding square roots. For example, \(\sqrt{4}+\sqrt{9}\ne\sqrt{13}\).
परिमेय संख्या \(\frac{m}{n}\) रूप में होती है जहाँ (m) और (n) पूर्णांक होते हैं। हर शून्य नहीं होना चाहिए। / A rational number is in the form \(\frac{m}{n}\), where (m) and (n) are integers. The denominator must not be zero.
\(\sqrt{11}\) (3) और (4) के बीच है और \(\sqrt{15}\) भी (3) और (4) के बीच है। केवल (3) छोटा है, बीच में कोई पूर्ण संख्या नहीं आती। / \(\sqrt{11}\) and \(\sqrt{15}\) both lie between (3) and (4). No whole number lies strictly between them.
C. कोई पूर्ण संख्या नहीं है/There is no whole number
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{11}\approx3.3\) और \(\sqrt{15}\approx3.9\), इसलिए इनके बीच कोई पूर्ण संख्या नहीं है। अनुमान लगाते समय निकटतम वर्ग देखें। / \(\sqrt{11}\approx3.3\) and \(\sqrt{15}\approx3.9\), so there is no whole number between them. Use nearest squares while estimating.
हर को परिमेय करने के लिए संयुग्मी \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) से गुणा करें। हर (7-5=2) बनता है। / To rationalise the denominator, multiply by the conjugate \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). The denominator becomes (7-5=2).
हर में \(2^3\) और \(5^5\) हैं, इसलिए अधिक घात (5) है। दशमलव (5) स्थानों तक सांत होगा। / The denominator has \(2^3\) and \(5^5\), so the larger power is (5). The decimal terminates after (5) places.
क्योंकि \(80<81=9^2\), इसलिए \(\sqrt{80}<9\)। वर्गमूल तुलना में निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / Because \(80<81=9^2\), so \(\sqrt{80}<9\). In square root comparison, check the nearest perfect square.
((0.03)2=0.0009), इसलिए \(\sqrt{0.0009}=0.03\)। दशमलव स्थानों को ध्यान से गिनें। / ((0.03)2=0.0009), so \(\sqrt{0.0009}=0.03\). Count decimal places carefully.
C. कोई पूर्ण संख्या नहीं है/There is no whole number
Explanation
Simple Explanation
दोनों वर्गमूल (4) और (5) के बीच हैं, पर \(\sqrt{18}>4\) और \(\sqrt{19}<5\) है। इसलिए इनके बीच कोई पूर्ण संख्या नहीं है। / Both square roots lie between (4) and (5), but \(\sqrt{18}>4\) and \(\sqrt{19}<5\). Therefore there is no whole number between them.
\(\sqrt{121}=11\) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{121}=11\) is rational and \(\sqrt{2}\) is irrational. The sum of a rational and an irrational number is irrational.
C. अपरिमेय क्योंकि यह असांत अनावर्ती है/Irrational because it is non-terminating non-recurring
Explanation
Simple Explanation
दशमलव अनंत तक चलता है और कोई निश्चित आवृत्ति नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। / The decimal continues forever and has no fixed repetition. Therefore it is an irrational number.
