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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर उसे \(p^2=3q^2\) मिलता है और वह निष्कर्ष निकालता है कि \(p\) 3 से विभाज्य है। प्रमाण को पूरा करने के लिए अगला आवश्यक कदम क्या है?

A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. On squaring, the student gets \(p^2=3q^2\) and concludes that \(p\) is divisible by 3. What is the next essential step to complete the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. Show that \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(p=3k\) मानें। रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों संख्याओं का समान गुणनखंड अवश्य दिखाएँ। / From \(p^2=3q^2\), let \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: establish divisibility of both numerator and denominator.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर उसे \(p^2=3q^2\) मिलता है और वह निष्कर्ष निकालता है कि \(p\) 3 से विभाज्य है। प्रमाण को पूरा करने के लिए अगला आवश्यक कदम क्या है? / A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. On squaring, the student gets \(p^2=3q^2\) and concludes that \(p\) is divisible by 3. What is the next essential step to complete the proof?

Correct Answer: A. Show that \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime.. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(p=3k\) मानें। रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों संख्याओं का समान गुणनखंड अवश्य दिखाएँ। / From \(p^2=3q^2\), let \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: establish divisibility of both numerator and denominator.