\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-आधारित प्रमाण में अभाज्य संख्या 3 का कौन-सा गुण निर्णायक रूप से प्रयुक्त होता है?

Correct Answer: A. यदि \(3\mid n^2\), तो \(3\mid n\) / If \(3\mid n^2\), then \(3\mid n\). Explanation: मान लें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। तब \(p^2=3q^2\), इसलिए \(3\mid p^2\)। क्योंकि 3 अभाज्य है, \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकलता है। \(p=3k\) रखने पर यह भी मिलता है कि \(3\mid q\), जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(3\mid n^2\) होने पर \(n\) का 3 होना आवश्यक नहीं, केवल उसका 3 से विभाज्य होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रमाणों में अभाज्य संख्या के वर्ग को विभाजित करने वाले गुण का प्रयोग पहचानें। / Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Then \(p^2=3q^2\), so \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). On writing \(p=3k\), we also obtain \(3\mid q\), which contradicts the fact that \(p\) and \(q\) are coprime. Option B is incorrect because divisibility of \(n^2\) by 3 does not mean that \(n=3\); it means that \(n\) is divisible by 3. Exam tip: In irrationality proofs, look for the prime-divisibility property that forces both numerator and denominator to have a common factor.