In proving the irrationality of
ext{\(\sqrt{3}\)}
, Ravi assumes that
ext{\(\sqrt{3}=p/q\)}
, where
ext{\(p\)}
and
ext{\(q\)}
are coprime. From
ext{\(p^2=3q^2\)}
, he says that only
ext{\(p\)}
is divisible by 3 and nothing can be concluded about
ext{\(q\)}
. Which fact corrects his error?रवि ने
ext{\(\sqrt{3}\)}
की अपरिमेयता के प्रमाण में माना कि
ext{\(\sqrt{3}=p/q\)}
, जहाँ
ext{\(p\)}
और
ext{\(q\)}
सह-अभाज्य हैं।
ext{\(p^2=3q^2\)}
से वह कहता है कि केवल
ext{\(p\)}
3 से विभाज्य है,
ext{\(q\)}
के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। उसकी त्रुटि को कौन-सा तथ्य ठीक करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: If 3 divides \(q^2\), then 3 also divides \(q\).यदि 3, \(q^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(q\) को भी विभाजित करता है।
Since 3 is prime, \(p^2=3q^2\) implies that 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 divides \(q\) as well. This contradicts that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.3 अभाज्य है। \(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है।
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