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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

रवि ने ext{\(\sqrt{3}\)} की अपरिमेयता के प्रमाण में माना कि ext{\(\sqrt{3}=p/q\)} , जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य हैं। ext{\(p^2=3q^2\)} से वह कहता है कि केवल ext{\(p\)} 3 से विभाज्य है, ext{\(q\)} के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। उसकी त्रुटि को कौन-सा तथ्य ठीक करता है?

In proving the irrationality of ext{\(\sqrt{3}\)} , Ravi assumes that ext{\(\sqrt{3}=p/q\)} , where ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are coprime. From ext{\(p^2=3q^2\)} , he says that only ext{\(p\)} is divisible by 3 and nothing can be concluded about ext{\(q\)} . Which fact corrects his error?

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Correct Answer

A. यदि 3, \(q^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(q\) को भी विभाजित करता है।If 3 divides \(q^2\), then 3 also divides \(q\).

Explanation

Simple Explanation

3 अभाज्य है। \(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / Since 3 is prime, \(p^2=3q^2\) implies that 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 divides \(q\) as well. This contradicts that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.

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रवि ने ext{\(\sqrt{3}\)} की अपरिमेयता के प्रमाण में माना कि ext{\(\sqrt{3}=p/q\)} , जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य हैं। ext{\(p^2=3q^2\)} से वह कहता है कि केवल ext{\(p\)} 3 से विभाज्य है, ext{\(q\)} के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। उसकी त्रुटि को कौन-सा तथ्य ठीक करता है? / In proving the irrationality of ext{\(\sqrt{3}\)} , Ravi assumes that ext{\(\sqrt{3}=p/q\)} , where ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are coprime. From ext{\(p^2=3q^2\)} , he says that only ext{\(p\)} is divisible by 3 and nothing can be concluded about ext{\(q\)} . Which fact corrects his error?

Correct Answer: A. यदि 3, \(q^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। / If 3 divides \(q^2\), then 3 also divides \(q\).. Explanation: 3 अभाज्य है। \(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / Since 3 is prime, \(p^2=3q^2\) implies that 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 divides \(q\) as well. This contradicts that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.