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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

मानक विरोधाभास प्रमाण में मान लें कि display?

In the standard proof by contradiction, suppose that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. From \(p^2=3q^2\), which deduction is essential for obtaining the contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(3\mid p\)

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए यदि वह किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करे, तो उस पूर्णांक को भी विभाजित करता है; अतः \(3\mid p\)। फिर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम का उल्लेख करें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, if it divides the square of an integer, it divides that integer; hence \(3\mid p\). This later gives \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: explicitly state the prime-divisor property.

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मानक विरोधाभास प्रमाण में मान लें कि display? / In the standard proof by contradiction, suppose that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. From \(p^2=3q^2\), which deduction is essential for obtaining the contradiction?

Correct Answer: A. \(3\mid p\). Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए यदि वह किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करे, तो उस पूर्णांक को भी विभाजित करता है; अतः \(3\mid p\)। फिर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम का उल्लेख करें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, if it divides the square of an integer, it divides that integer; hence \(3\mid p\). This later gives \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: explicitly state the prime-divisor property.