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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-विधि प्रमाण में, मान लेते हैं कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करने के लिए आवश्यक है?

In a proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which conclusion from \(p^2=3q^2\) is needed to establish the contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है3 divides both \(p\) and \(q\)

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है; अतः अभाज्य गुणनखंड गुण के कारण 3, \(p\) को भी विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग पर अभाज्य विभाज्यता को मूल संख्या तक ले जाएँ। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so the prime-factor property gives 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then 3 also divides \(q\), contradicting coprimality. Exam tip: transfer prime divisibility from a square back to its base.

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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-विधि प्रमाण में, मान लेते हैं कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करने के लिए आवश्यक है? / In a proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which conclusion from \(p^2=3q^2\) is needed to establish the contradiction?

Correct Answer: A. 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है / 3 divides both \(p\) and \(q\). Explanation: \(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है; अतः अभाज्य गुणनखंड गुण के कारण 3, \(p\) को भी विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग पर अभाज्य विभाज्यता को मूल संख्या तक ले जाएँ। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so the prime-factor property gives 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then 3 also divides \(q\), contradicting coprimality. Exam tip: transfer prime divisibility from a square back to its base.