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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। इस मान्यता से कौन-सा निष्कर्ष निकलता है, जो भिन्न के निम्नतम रूप में होने का विरोध करता है?

Suppose \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion follows from this assumption and contradicts the fraction being in lowest terms?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैंBoth \(p\) and \(q\) are even

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=2q^2\) से \(p^2\), अतः \(p\), सम है। \(p=2r\) रखने पर \(q^2=2r^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में सम वर्ग वाला नियम याद रखें। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Put \(p=2r\); then \(q^2=2r^2\), so \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: an even square has an even root.

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मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। इस मान्यता से कौन-सा निष्कर्ष निकलता है, जो भिन्न के निम्नतम रूप में होने का विरोध करता है? / Suppose \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion follows from this assumption and contradicts the fraction being in lowest terms?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं / Both \(p\) and \(q\) are even. Explanation: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\), अतः \(p\), सम है। \(p=2r\) रखने पर \(q^2=2r^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में सम वर्ग वाला नियम याद रखें। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Put \(p=2r\); then \(q^2=2r^2\), so \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: an even square has an even root.