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Every element is related to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The pair ((1,2)) has its reverse ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The classes are ({1,2}) and ({3}), so no extra pair is needed. चरण 1: संबंध में हर तत्व का स्वयं से संबंध है, इसलिए यह स्वतुल्य है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता भी पूरी है। चरण 3: ({1,2}) और ({3}) अलग वर्ग बनाते हैं, इसलिए कोई नया युग्म जोड़ने की जरूरत नहीं है।
Integers related to (20) must differ from (20) by a multiple of (6).
Step 2
Why this answer is correct
(20) gives remainder (2) on division by (6), so all integers with remainder (2) are in its class.
Step 3
Exam Tip
In modulo-class questions, first find the remainder of the given element. चरण 1: (20) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (20) से अंतर (6) का गुणज हो। चरण 2: (20) को (6) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है, इसलिए समान शेष (2) वाले पूर्णांक इसी वर्ग में होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए तत्व का शेष निकालें और उसी शेष वाले सभी तत्व चुनें।
Integers related to (7) must differ from (7) by a multiple of (4).
Step 2
Why this answer is correct
(-1,3,7,11) all have the same remainder (3) on division by (4).
Step 3
Exam Tip
For such questions, group all elements with the same remainder. चरण 1: (7) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (7) से अंतर (4) से विभाज्य हो। चरण 2: (-1,3,7,11) सभी (4) से समान शेष (3) देते हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग निकालते समय समान शेष वाले सभी तत्वों को एक साथ लिखें।
Only pairs with the same remainder belong to this relation.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has remainder (1), while (5) has remainder (2), so ((1,5)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
For each option, compare the remainders after division by (3). चरण 1: समान शेष वाले युग्म ही इस संबंध में आते हैं। चरण 2: (1) का शेष (1) है और (5) का शेष (2) है, इसलिए ((1,5)) संबंध में नहीं होगा। चरण 3: विकल्प जांचते समय दोनों संख्याओं को (3) से भाग देकर शेष मिलाएँ।
(1,3) are odd and (2,4) are even, so the two equivalence classes are ({1,3}) and ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
Equivalence classes must form non-overlapping groups. चरण 1: संबंध समान प्रकृति यानी सम-सम या विषम-विषम पर आधारित है। चरण 2: (1,3) विषम हैं और (2,4) सम हैं, इसलिए दो अलग तुल्यता वर्ग बनते हैं। चरण 3: तुल्यता वर्गों को हमेशा ऐसे समूहों में लिखें जिनमें प्रत्येक दो तत्व आपस में संबंधित हों।
In an equivalence relation, every element of a class is related to every element of the same class.
Step 2
Why this answer is correct
({a,c}) contributes \(2^2=4\) pairs and ({b,d}) contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
The total is (4+4=8), with no cross-class pairs. चरण 1: तुल्यता संबंध में एक ही वर्ग के प्रत्येक तत्व का उसी वर्ग के हर तत्व से संबंध होता है। चरण 2: ({a,c}) से \(2^2=4\) युग्म और ({b,d}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (4+4=8) होंगे, अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते।
The statement connects two related pairs to a third pair.
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly transitivity.
Step 3
Exam Tip
An equivalence relation must be reflexive, symmetric, and transitive. चरण 1: दिए गए कथन में संबंध दो कदमों से तीसरे संबंध तक जा रहा है। चरण 2: यही संक्रमणता का अर्थ है कि (a) से (b) और (b) से (c) हो तो (a) से (c) भी हो। चरण 3: तुल्यता संबंध में तीनों गुण याद रखें: स्वतुल्यता, सममितता और संक्रमणता।
A key property of equivalence classes is that they are either disjoint or exactly equal.
Step 2
Why this answer is correct
\([x]\cap[y]\neq\varnothing\) means the two classes share at least one element.
Step 3
Exam Tip
Therefore the two classes must be equal; this is a useful rule in partition questions. चरण 1: तुल्यता वर्गों का एक मुख्य गुण है कि वे या तो अलग-अलग होते हैं या पूरी तरह समान होते हैं। चरण 2: \([x]\cap[y]\neq\varnothing\) बताता है कि दोनों वर्गों में कम से कम एक समान तत्व है। चरण 3: इसलिए दोनों वर्ग समान होंगे; यह विभाजन आधारित प्रश्नों में बहुत उपयोगी नियम है।
Equality is the standard example of an equivalence relation. चरण 1: (a-b=0) का अर्थ (a=b) है। चरण 2: समानता संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रमण होता है। चरण 3: परीक्षा में समानता वाला संबंध अक्सर सबसे सरल तुल्यता संबंध होता है।
Division by (3) gives possible remainders (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
The classes are ({3,6},{1,4},{2,5}).
Step 3
Exam Tip
In modulo relations, equivalence classes are based on remainders. चरण 1: (3) से भाग देने पर संभावित शेष (0,1,2) हैं। चरण 2: इन्हीं शेषों के अनुसार वर्ग ({3,6},{1,4},{2,5}) बनते हैं। चरण 3: समान शेष वाला संबंध हमेशा शेषों की संख्या के अनुसार वर्ग देता है।
C. जब वह स्वतुल्य, सममित और संक्रमण हो/When it is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
An equivalence relation is defined by three properties.
Step 2
Why this answer is correct
One or two properties are not enough.
Step 3
Exam Tip
Always test reflexivity, symmetry, and transitivity separately. चरण 1: तुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों पर आधारित है। चरण 2: केवल एक या दो गुण पर्याप्त नहीं होते। चरण 3: किसी भी प्रश्न में पहले स्वतुल्यता, फिर सममितता, फिर संक्रमणता अलग-अलग जांचें।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
The universal relation contains all ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the required pairs for reflexivity, symmetry, and transitivity are present.
Step 3
Exam Tip
On any set, \(A\times A\) is an equivalence relation. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए सभी आवश्यक युग्म स्वतुल्यता, सममितता और संक्रमणता के लिए मौजूद होते हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में \(A\times A\) हमेशा तुल्यता संबंध का अच्छा उदाहरण है।
B. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं है/Because it is not reflexive
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pairs, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, the empty relation cannot be an equivalence relation. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई भी युग्म नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता पूरी नहीं होती। चरण 3: गैर-रिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध तुल्यता संबंध नहीं होता।
(a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a+b) and (b+c) are even, then (a) and (c) have the same parity, so it is transitive. चरण 1: (a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: (a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है, इसलिए सममितता है। चरण 3: यदि (a+b) और (b+c) सम हैं, तो (a) और (c) की सम-विषम प्रकृति समान होगी; इसलिए संक्रमणता भी है।
A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है/Because reflexivity fails
Step 1
Concept
Reflexivity needs (aRa) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
Once reflexivity fails, the relation cannot be an equivalence relation. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) के लिए होना चाहिए। चरण 2: (a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। चरण 3: जैसे ही स्वतुल्यता टूटती है, संबंध तुल्यता संबंध नहीं हो सकता।
Elements related to (2) must have absolute value (2).
Step 2
Why this answer is correct
Both (-2) and (2) have absolute value (2).
Step 3
Exam Tip
To find an equivalence class, apply the relation condition to the chosen element. चरण 1: (2) से वही तत्व संबंधित होंगे जिनका निरपेक्ष मान (2) हो। चरण 2: (-2) और (2) दोनों का निरपेक्ष मान (2) है। चरण 3: तुल्यता वर्ग बनाते समय मूल शर्त को सीधे लक्ष्य तत्व पर लागू करें।
Every point has the same (x)-coordinate as itself.
Step 2
Why this answer is correct
If two points have the same (x)-coordinate, the order does not matter.
Step 3
Exam Tip
Equality of (x)-coordinates also passes through a third point, so transitivity holds. चरण 1: हर बिंदु का (x)-निर्देशांक स्वयं के समान होता है। चरण 2: यदि दो बिंदुओं के (x)-निर्देशांक समान हैं, तो उल्टे क्रम में भी समान रहेंगे। चरण 3: तीन बिंदुओं में पहले-दूसरे और दूसरे-तीसरे का (x)-निर्देशांक समान हो तो पहले-तीसरे का भी समान होगा।
An equivalence class is the block that contains the given element.
Step 2
Why this answer is correct
(4) lies in ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
When a partition is given, choose the block containing the element. चरण 1: तुल्यता वर्ग वही समूह है जिसमें दिया गया तत्व आता है। चरण 2: (4), समूह ({1,4}) में है। चरण 3: विभाजन दिए जाने पर अलग गणना करने की जरूरत नहीं, बस तत्व वाला समूह चुनें।
A partition has non-empty, non-overlapping blocks whose union is the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) and ({3,4}) are disjoint and cover (A).
Step 3
Exam Tip
Every equivalence relation creates a partition. चरण 1: विभाजन में समूह खाली नहीं होते, आपस में कटते नहीं और उनका संघ पूरा समुच्चय होता है। चरण 2: ({1,2}) और ({3,4}) अलग-अलग हैं और मिलकर पूरा (A) देते हैं। चरण 3: हर तुल्यता संबंध समुच्चय का विभाजन बनाता है।
In an equivalence relation, related elements belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (aRb) implies ([a]=[b]).
Step 3
Exam Tip
If two equivalence classes overlap, they are actually equal. चरण 1: तुल्यता संबंध में संबंधित तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। चरण 2: इसलिए (aRb) होने पर ([a]=[b]) होता है। चरण 3: यदि दो तुल्यता वर्गों में एक भी समान तत्व हो, तो वे पूरी तरह समान होते हैं।
(1) and (3) are related to each other, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (4) are related only to themselves.
Step 3
Exam Tip
Connected related elements form groups, while isolated elements form singleton classes. चरण 1: (1) और (3) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक ही वर्ग में हैं। चरण 2: (2) और (4) केवल स्वयं से संबंधित हैं। चरण 3: वर्ग लिखते समय जुड़े हुए तत्वों को समूह में और अकेले तत्वों को एकल वर्ग में रखें।
If two numbers share the same last digit through a middle number, the first and third also share it. चरण 1: हर संख्या का अंतिम अंक अपने अंतिम अंक के समान होता है। चरण 2: समान अंतिम अंक का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। चरण 3: यदि दो-दो संख्याओं का अंतिम अंक समान है, तो पहली और तीसरी का भी समान होगा।
A. वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जिनका अंतिम अंक (3) है/All natural numbers ending in (3)
Step 1
Concept
The last digit of (23) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
So numbers like (3,13,23,33) belong to the same class.
Step 3
Exam Tip
The class is built using the defining property of the relation. चरण 1: (23) का अंतिम अंक (3) है। चरण 2: इसलिए (3,13,23,33) जैसे सभी प्राकृतिक संख्याएँ उसी वर्ग में आएँगी। चरण 3: वर्ग का आधार ठीक वही गुण होता है जिससे संबंध परिभाषित है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
The identity relation contains all pairs ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Since only identical elements are paired, symmetry and transitivity also hold.
Step 3
Exam Tip
The identity relation is an equivalence relation on any set. चरण 1: पहचान संबंध में सभी ((a,a)) युग्म होते हैं। चरण 2: केवल समान तत्वों के युग्म होने से सममितता और संक्रमणता भी पूरी होती है। चरण 3: पहचान संबंध हर समुच्चय पर तुल्यता संबंध होता है।
Division by (5) gives only remainders (0,1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
Integers with the same remainder form one class.
Step 3
Exam Tip
Although integers are infinite, there are only (5) classes. चरण 1: (5) से भाग देने पर केवल (0,1,2,3,4) शेष मिल सकते हैं। चरण 2: समान शेष वाले पूर्णांक एक वर्ग बनाते हैं। चरण 3: पूर्णांक अनंत हैं, पर शेषों की संख्या (5) है, इसलिए वर्ग भी (5) हैं।
C. छोटा या बराबर संबंध \(\leq\)/Less than or equal to relation \(\leq\)
Step 1
Concept
Symmetry is necessary for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\leq 3\) is true, but \(3\leq 2\) is false.
Step 3
Exam Tip
Order relations often fail symmetry. चरण 1: तुल्यता संबंध में सममितता जरूरी है। चरण 2: \(2\leq 3\) सही है, पर \(3\leq 2\) सही नहीं है। चरण 3: क्रम वाले संबंधों में सममितता अक्सर टूटती है।
For (|1-b|) to be even, (b) must have the same parity as (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1,3,5) are odd, so they are related to (1).
Step 3
Exam Tip
An even difference relation groups numbers by parity. चरण 1: (|1-b|) सम होने के लिए (b) की सम-विषम प्रकृति (1) जैसी होनी चाहिए। चरण 2: (1,3,5) सभी विषम हैं, इसलिए (1) से संबंधित हैं। चरण 3: सम अंतर वाला संबंध समान सम-विषम प्रकृति के वर्ग बनाता है।
B. इसमें कम से कम (a) होता है/It contains at least (a)
Step 1
Concept
An equivalence relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (aRa), so \(a\in [a]\).
Step 3
Exam Tip
Equivalence classes are never empty. चरण 1: तुल्यता संबंध स्वतुल्य होता है। चरण 2: इसलिए (aRa) हमेशा सही है, जिससे \(a\in [a]\) होगा। चरण 3: तुल्यता वर्ग कभी रिक्त नहीं होता।
Every student is in the same class as himself or herself.
Step 2
Why this answer is correct
If one student is in the same class as another, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
The same-class relation is transitive, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर छात्र अपनी ही कक्षा में पढ़ता है, इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि पहला छात्र दूसरे की कक्षा में है, तो दूसरा भी पहले की कक्षा में है। चरण 3: एक ही कक्षा का संबंध तीसरे छात्र तक भी समान रूप से चलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) तुल्यता संबंध नहीं है। कौन सा युग्म संक्रमणता के लिए कमी दिखाता है?
In transitivity checks, identify the middle element and demand the connecting pair. चरण 1: ((2,1)) और ((1,3)) संबंध में मौजूद हैं। चरण 2: संक्रमणता के लिए ((2,3)) भी होना चाहिए। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में बीच वाले तत्व को पहचानकर जरूरी तीसरा युग्म खोजें।
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so it is transitive. चरण 1: \(a^2=a^2\), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: \(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। चरण 3: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए संक्रमणता है।
The integers whose square is (9) are (-3) and (3).
Step 3
Exam Tip
Equal-square classes usually contain both a number and its negative. चरण 1: (-3) का वर्ग (9) है। चरण 2: जिन पूर्णांकों का वर्ग (9) है, वे (-3) और (3) हैं। चरण 3: वर्ग समानता में धन और ऋण दोनों मान साथ आ सकते हैं।
(2) is even and (5) is odd, so their remainders are different.
Step 3
Exam Tip
In such options, compare remainders first. चरण 1: (2) से भाग देने पर समान शेष का अर्थ समान सम-विषम प्रकृति है। चरण 2: (2) सम है और (5) विषम है, इसलिए उनके शेष अलग हैं। चरण 3: विकल्पों में पहले शेष मिलाकर जल्दी जांच करें।
B. वे या तो समान होते हैं या अलग-अलग होते हैं/They are either equal or disjoint
Step 1
Concept
An equivalence relation divides a set into classes.
Step 2
Why this answer is correct
If two classes share an element, they become equal; otherwise they are disjoint.
Step 3
Exam Tip
This idea is central in partition-based questions. चरण 1: तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग वर्गों में बाँटता है। चरण 2: दो वर्गों में कोई समान तत्व हो तो दोनों वर्ग समान हो जाते हैं; वरना वे अलग रहते हैं। चरण 3: यह गुण विभाजन वाले प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
A. हाँ, वर्ग ({1,4},{2,3}) हैं/Yes, classes are ({1,4},{2,3})
Step 1
Concept
The condition (a=b) ensures reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
The condition (a+b=5) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The pairs form the classes ({1,4}) and ({2,3}), so the relation is an equivalence relation. चरण 1: (a=b) होने से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। चरण 2: (a+b=5) शर्त उल्टे क्रम में भी सही रहती है। चरण 3: जोड़े (1,4) और (2,3) अलग वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है।
\(\frac{a}{a}=1>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\frac{a}{b}>0\), then (a) and (b) have the same sign, so \(\frac{b}{a}>0\).
Step 3
Exam Tip
Having the same sign is transitive, so the relation is an equivalence relation. चरण 1: \(\frac{a}{a}=1>0\), इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: \(\frac{a}{b}>0\) होने पर (a) और (b) का चिन्ह समान है, इसलिए \(\frac{b}{a}>0\) भी होगा। चरण 3: समान चिन्ह का संबंध संक्रमण भी होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
A. सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ/All negative real numbers
Step 1
Concept
\(\frac{-5}{b}>0\) only when (b) is also negative.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the class of (-5) is the set of all negative real numbers.
Step 3
Exam Tip
Same-sign relations split numbers into positive and negative classes. चरण 1: \(\frac{-5}{b}>0\) तभी होगा जब (b) भी ऋणात्मक हो। चरण 2: इसलिए (-5) का वर्ग सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समूह है। चरण 3: चिन्ह आधारित संबंध में वर्ग धनात्मक और ऋणात्मक समूहों में बँटते हैं।
Inside one equivalence class, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
The class ({a,b,c}) gives \(3^2=9\) pairs and ({d,e}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (9+4=13). चरण 1: एक तुल्यता वर्ग के भीतर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। चरण 2: ({a,b,c}) से \(3^2=9\) युग्म और ({d,e}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (9+4=13) होंगे।
Each block contributes all ordered pairs within itself.
Step 2
Why this answer is correct
The count is \(2^2+1^2+2^2=4+1+4\).
Step 3
Exam Tip
Therefore there are (9) pairs, with no pairs between different blocks. चरण 1: हर वर्ग अपने भीतर पूर्ण संबंध देता है। चरण 2: युग्मों की संख्या \(2^2+1^2+2^2=4+1+4\) है। चरण 3: इसलिए कुल (9) युग्म होंगे; वर्गों के बीच कोई युग्म नहीं जोड़ा जाता।
In a partition, different blocks must not share elements.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) and ({2,3}) both contain (2), so they overlap.
Step 3
Exam Tip
Equivalence classes cannot overlap unless they are equal. चरण 1: विभाजन में दो अलग समूहों में कोई समान तत्व नहीं होना चाहिए। चरण 2: ({1,2}) और ({2,3}) दोनों में (2) है, इसलिए वे कट रहे हैं। चरण 3: तुल्यता संबंध के वर्ग आपस में कट नहीं सकते।
(a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is rational, then (b-a=-(a-b)) is rational.
Step 3
Exam Tip
The sum of two rational differences is rational, so transitivity holds. चरण 1: (a-a=0) परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि (a-b) परिमेय है, तो (b-a=-(a-b)) भी परिमेय है। चरण 3: दो परिमेय अंतरों का योग भी परिमेय होता है, इसलिए संक्रमणता पूरी होती है।
The difference between \(\sqrt{2}+3\) and \(\sqrt{2}\) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is rational, they are in the same class.
Step 3
Exam Tip
In such questions, subtract from the given representative. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}+3\) का अंतर (3) है। चरण 2: (3) परिमेय संख्या है, इसलिए दोनों एक ही वर्ग में हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में चुने हुए तत्व से अंतर निकालकर देखें।
\(a\leq a\) is always true, so \(\leq\) is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
But \(2\leq 3\) does not imply \(3\leq 2\).
Step 3
Exam Tip
Since symmetry is missing, it is not an equivalence relation. चरण 1: \(a\leq a\) हमेशा सही है, इसलिए \(\leq\) स्वतुल्य है। चरण 2: पर \(2\leq 3\) सही होने पर \(3\leq 2\) सही नहीं है। चरण 3: तुल्यता संबंध के लिए सममितता भी जरूरी है, इसलिए \(\leq\) तुल्यता संबंध नहीं है।
A sum is even when both numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (3) are both odd, so (1+3=4) is even.
Step 3
Exam Tip
Check parity quickly in such pair-selection questions. चरण 1: योग सम होने के लिए दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की होनी चाहिए। चरण 2: (1) और (3) दोनों विषम हैं, इसलिए (1+3=4) सम है। चरण 3: विकल्पों में जोड़े की सम-विषम प्रकृति देखकर जल्दी उत्तर मिल सकता है।
Equivalence classes are either disjoint or identical.
Step 2
Why this answer is correct
A non-empty intersection means they share an element.
Step 3
Exam Tip
Therefore the two classes must be equal. चरण 1: तुल्यता वर्ग या तो बिल्कुल अलग होते हैं या समान होते हैं। चरण 2: यदि उनका प्रतिच्छेद खाली नहीं है, तो उनमें कोई समान तत्व है। चरण 3: समान तत्व होने पर दोनों वर्ग बराबर माने जाते हैं।
In modulo relations, classes are formed by equal remainders. चरण 1: (2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (2) और (6) ही ऐसे तत्व हैं जिनका शेष (2) है। चरण 3: मापांक संबंध में वर्ग हमेशा समान शेष से बनता है।
In the identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Hence every element forms its own equivalence class.
Step 3
Exam Tip
For (n) elements, there are (n) singleton classes. चरण 1: पहचान संबंध में हर तत्व केवल स्वयं से संबंधित होता है। चरण 2: इसलिए प्रत्येक तत्व अपना अलग तुल्यता वर्ग बनाता है। चरण 3: (n) तत्वों के लिए (n) एकल वर्ग मिलते हैं।
In the universal relation, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
Thus all elements lie in one large class.
Step 3
Exam Tip
For a non-empty set (A), there is exactly (1) equivalence class. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। चरण 2: इसलिए सभी तत्व एक ही बड़े वर्ग में आ जाते हैं। चरण 3: (A) गैर-रिक्त हो तो सार्वत्रिक संबंध में केवल (1) तुल्यता वर्ग होता है।
A relation from a partition contains only pairs from within the same block.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are in different blocks.
Step 3
Exam Tip
Pairs between different blocks are not included. चरण 1: विभाजन से बने संबंध में केवल एक ही वर्ग के भीतर के युग्म आते हैं। चरण 2: (2) और (3) अलग-अलग वर्गों में हैं। चरण 3: अलग वर्गों के बीच युग्म तुल्यता संबंध में शामिल नहीं किए जाते।
A. (1) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं/(1) and (4) are in the same equivalence class
Step 1
Concept
Both (1) and (4) give remainder (1) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence they belong to the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
In same-remainder questions, compare remainders directly. चरण 1: (1) और (4) दोनों को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। चरण 2: इसलिए वे एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्नों में पहले भाग देकर शेष की तुलना करें।
