पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (7) से विभाज्य हो। (15) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (7). Which is the equivalence class of (15)?
#equivalence relation
#modulo 7
#equivalence class
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? Hint Small clue
A ({...,1,8,15,22,29,...})
B ({...,0,7,14,21,28,...})
C ({...,2,9,16,23,30,...})
D ({15})
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Correct Answer
A. ({...,1,8,15,22,29,...})
Step 1
Concept
(15) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (15) से अंतर (7) का गुणज हो। / Integers related to (15) must differ from (15) by a multiple of (7).
Step 2
Why this answer is correct
(15) को (7) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है, इसलिए समान शेष (1) वाले पूर्णांक उसी वर्ग में होंगे। / (15) gives remainder (1) on division by (7), so all integers with remainder (1) are in the same class.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग निकालते समय पहले शेष पहचानना सबसे तेज तरीका है। / First identify the remainder to find the equivalence class quickly.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (3). Which is the equivalence class of (4)?
#same remainder
#finite set
#equivalence class
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? Hint Small clue
A ({1,4,7})
B ({2,5})
C ({3,6})
D ({4})
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Correct Answer
A. ({1,4,7})
Step 1
Concept
(4) को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / (4) gives remainder (1) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(1,4,7) सभी का शेष (1) है, इसलिए वे एक ही वर्ग में हैं। / (1,4,7) all have remainder (1), so they form the same class.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही वर्ग में रखें। / In a finite set, include only elements that belong to the given set.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) दिया है। इसके तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) is given. What are its equivalence classes?
#finite relation
#equivalence classes
#singleton class
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? Hint Small clue
A ({1,4},{2},{3})
B ({1,2},{3,4})
C ({1,3},{2,4})
D ({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. ({1,4},{2},{3})
Step 1
Concept
(1) और (4) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक ही वर्ग बनाते हैं। / (1) and (4) are related to each other, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) केवल स्वयं से संबंधित हैं, इसलिए वे अलग एकल वर्ग हैं। / (2) and (3) are related only to themselves, so they form singleton classes.
Step 3
Exam Tip
संबंध से वर्ग बनाते समय परस्पर जुड़े तत्वों को एक समूह में रखें। / Group mutually related elements together.
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यदि किसी तुल्यता संबंध के वर्ग ({p,q,r}) और ({s}) हैं, तो संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
If an equivalence relation has classes ({p,q,r}) and ({s}), how many ordered pairs are in the relation?
#counting pairs
#equivalence classes
#partition
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? Hint Small clue
A (4)
B (9)
C (10)
D (16)
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Step 1
Concept
प्रत्येक तुल्यता वर्ग के अंदर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / Within each equivalence class, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
({p,q,r}) से \(3^2=9\) और ({s}) से \(1^2=1\) युग्म मिलते हैं। / ({p,q,r}) contributes \(3^2=9\) pairs and ({s}) contributes \(1^2=1\) pair.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (9+1=10) होंगे। / The total number of pairs is (9+1=10).
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{8}\)। इस संबंध में कुल कितने अलग तुल्यता वर्ग होंगे?
On integers, (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{8}\). How many distinct equivalence classes are there?
#modulo 8
#number of classes
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (4)
B (7)
C (8)
D अनंत / Infinitely many
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Step 1
Concept
(8) से भाग देने पर संभावित शेष (0,1,2,3,4,5,6,7) हैं। / Division by (8) gives remainders (0,1,2,3,4,5,6,7).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष वाले पूर्णांक एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Integers with the same remainder lie in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक अनंत हैं, लेकिन अलग वर्गों की संख्या शेषों की संख्या यानी (8) है। / Although there are infinitely many integers, there are (8) distinct classes.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(a^3=b^3\)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) holds when \(a^3=b^3\). What type of relation is it?
#cube equality
#real numbers
#equivalence relation
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल स्वतुल्य / Only reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(a^3=a^3\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(a^3=a^3\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3=b^3\) होने पर \(b^3=a^3\), इसलिए सममितता है। / If \(a^3=b^3\), then \(b^3=a^3\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संक्रमणता भी है। / If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (aRb) तब है जब \(a^2=b^2\)। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), (aRb) holds when \(a^2=b^2\). Which is the equivalence class of (1)?
#square equality
#equivalence class
#finite set
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A ({-1,1})
B ({1,2})
C ({0,1})
D ({1})
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Correct Answer
A. ({-1,1})
Step 1
Concept
(1) का वर्ग (1) है। / The square of (1) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (-1) और (1) दोनों का वर्ग (1) है। / In the given set, both (-1) and (1) have square (1).
Step 3
Exam Tip
वर्ग समानता वाले संबंध में धन और ऋण मान साथ आ सकते हैं। / In square-equality relations, a number and its negative often belong to the same class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (|a-b|) संख्या (3) से विभाज्य हो। कौन सा युग्म (R) में है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (|a-b|) is divisible by (3). Which pair belongs to (R)?
#divisibility
#ordered pair
#equivalence relation
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A ((1,4))
B ((2,4))
C ((3,5))
D ((1,5))
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Correct Answer
A. ((1,4))
Step 1
Concept
(|1-4|=3), जो (3) से विभाज्य है। / (|1-4|=3), which is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((1,4)) संबंध में आता है। / Therefore ((1,4)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में अंतर का निरपेक्ष मान निकालकर विभाज्यता जांचें। / Find the absolute difference and then test divisibility.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb) गलत है, तो ([a]) और ([b]) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb) is false, which statement about ([a]) and ([b]) is correct?
#equivalence classes
#disjoint classes
#not related
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A वे अलग-अलग हैं / They are disjoint
B वे समान हैं / They are equal
C दोनों रिक्त हैं / Both are empty
D दोनों पूरा समुच्चय हैं / Both are the whole set
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Correct Answer
A. वे अलग-अलग हैं / They are disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में दो वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग होते हैं। / Equivalence classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) संबंधित नहीं हैं, तो वे एक ही वर्ग में नहीं हो सकते। / If (a) and (b) are not related, they cannot be in the same class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उनके वर्ग अलग-अलग होंगे और उनका प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Hence their classes are disjoint.
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किस विकल्प में दिए समूह \(A=\{1,2,3,4,5\}\) का सही विभाजन बनाते हैं?
Which option gives a valid partition of \(A=\{1,2,3,4,5\}\)?
#partition
#disjoint sets
#equivalence classes
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A ({1,2},{2,3},{4,5})
B ({1,3,5},{2,4})
C ({1,2,3},{5})
D \({1,2,3,4,5},\varnothing\)
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Correct Answer
B. ({1,3,5},{2,4})
Step 1
Concept
विभाजन में समूह खाली नहीं होते और आपस में नहीं कटते। / A partition has non-empty blocks that do not overlap.
Step 2
Why this answer is correct
({1,3,5}) और ({2,4}) अलग हैं और मिलकर पूरा समुच्चय देते हैं। / ({1,3,5}) and ({2,4}) are disjoint and cover the whole set.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के वर्ग हमेशा सही विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes always form a valid partition.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) not an equivalence relation?
#transitivity failure
#finite relation
#equivalence test
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? Hint Small clue
A क्योंकि ((2,3)) नहीं है / Because ((2,3)) is missing
B क्योंकि ((1,1)) नहीं है / Because ((1,1)) is missing
C क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
D क्योंकि यह रिक्त है / Because it is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि ((2,3)) नहीं है / Because ((2,3)) is missing
Step 1
Concept
((2,1)) और ((1,3)) दोनों संबंध में हैं। / The pairs ((2,1)) and ((1,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणता के लिए ((2,3)) भी होना चाहिए, लेकिन वह नहीं है। / Transitivity requires ((2,3)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध जांचते समय दो जुड़े युग्मों से जरूरी तीसरा युग्म खोजें। / While checking equivalence, use two connected pairs to identify the required third pair.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) पूर्णांक हो। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is an integer. What type of relation is it?
#integer difference
#real numbers
#equivalence relation
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a=-(a-b)) भी पूर्णांक है। / If (a-b) is an integer, then (b-a=-(a-b)) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
दो पूर्णांकीय अंतरों का योग भी पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रमणता पूरी होती है। / The sum of two integer differences is also an integer, so transitivity holds.
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वास्तविक संख्याओं पर (a-b) पूर्णांक होने वाले संबंध में \(\frac{1}{2}\) के साथ कौन सा तत्व उसी वर्ग में है?
For the relation on real numbers where (a-b) is an integer, which element is in the same class as \(\frac{1}{2}\)?
#integer difference
#equivalence class
#real numbers
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? Hint Small clue
A \(\frac{5}{2}\)
B \(\frac{1}{3}\)
C \(\sqrt{2}\)
D (0)
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Correct Answer
A. \(\frac{5}{2}\)
Step 1
Concept
\(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\) है। / \(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) पूर्णांक है, इसलिए \(\frac{5}{2}\) और \(\frac{1}{2}\) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। / Since (2) is an integer, \(\frac{5}{2}\) and \(\frac{1}{2}\) are in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में दोनों संख्याओं का अंतर निकालें। / In such questions, subtract the two numbers.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) संख्या (2) से विभाज्य हो। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a+b) is divisible by (2). Which is the equivalence class of (2)?
#even sum
#parity
#equivalence class
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? Hint Small clue
A ({2,4,6})
B ({1,3,5})
C ({1,2,3})
D ({2})
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Correct Answer
A. ({2,4,6})
Step 1
Concept
(a+b) सम होने के लिए दोनों संख्याओं की सम-विषम प्रकृति समान होनी चाहिए। / For (a+b) to be even, the two numbers must have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(2) सम है, इसलिए (2) से संबंधित तत्व (2,4,6) हैं। / Since (2) is even, the elements related to (2) are (2,4,6).
Step 3
Exam Tip
योग सम वाले संबंध में सम और विषम के दो अलग वर्ग बनते हैं। / An even-sum relation creates even and odd classes.
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यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है, तो \({[a]:a\in A}\) किसे दर्शाता है?
If (R) is an equivalence relation on a set (A), what does \({[a]:a\in A}\) represent?
#partition
#equivalence classes
#set quotient
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? Hint Small clue
A समुच्चय (A) का विभाजन / A partition of set (A)
B रिक्त समुच्चय / Empty set
C केवल एक क्रमित युग्म / Only one ordered pair
D हमेशा \(A\times A\) / Always \(A\times A\)
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Correct Answer
A. समुच्चय (A) का विभाजन / A partition of set (A)
Step 1
Concept
प्रत्येक तत्व किसी न किसी तुल्यता वर्ग में आता है। / Every element belongs to some equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तुल्यता वर्ग आपस में नहीं कटते और मिलकर पूरा (A) बनाते हैं। / Distinct equivalence classes are disjoint and together cover (A).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी तुल्यता वर्गों का संग्रह (A) का विभाजन कहलाता है। / Hence the collection of all equivalence classes is a partition of (A).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर विभाजन ({1,2,4},{3}) से बने तुल्यता संबंध में कौन सा युग्म नहीं होगा?
For the partition ({1,2,4},{3}) of \(A=\{1,2,3,4\}\), which pair will not be in the corresponding equivalence relation?
#partition to relation
#ordered pairs
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,4))
B ((2,4))
C ((3,3))
D ((2,3))
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Correct Answer
D. ((2,3))
Step 1
Concept
विभाजन से बने संबंध में केवल एक ही समूह के अंदर के युग्म आते हैं। / The relation from a partition contains pairs only within the same block.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) अलग-अलग समूहों में हैं। / (2) and (3) are in different blocks.
Step 3
Exam Tip
अलग समूहों के बीच युग्म नहीं बनता, इसलिए ((2,3)) संबंध में नहीं होगा। / Cross-block pairs are not included, so ((2,3)) is not in the relation.
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किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4\}\) पर तुल्यता संबंध के वर्ग संभव हैं?
Which option can be the classes of an equivalence relation on \(A=\{1,2,3,4\}\)?
#valid partition
#equivalence classes
#finite set
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? Hint Small clue
A ({1,2},{2,4},{3})
B ({1},{2,3,4})
C ({1,2},{4})
D ({1,2,3,4},{2})
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Correct Answer
B. ({1},{2,3,4})
Step 1
Concept
तुल्यता वर्गों को पूरा समुच्चय ढकना चाहिए। / Equivalence classes must cover the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
({1}) और ({2,3,4}) अलग-अलग हैं और मिलकर पूरा (A) देते हैं। / ({1}) and ({2,3,4}) are disjoint and cover all of (A).
Step 3
Exam Tip
जिन वर्गों में दोहराव या छूटे हुए तत्व हों, वे सही विभाजन नहीं बनाते। / Blocks that overlap or miss elements cannot be equivalence classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both multiples of (3) or both not multiples of (3). What type of relation is it?
#multiples of 3
#classification
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर तत्व अपने जैसे ही समूह में है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every element is in the same group as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान समूह में होने का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Being in the same group is symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो समूह ({3,6}) और ({1,2,4,5}) बनते हैं, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The two classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}), so the relation is an equivalence relation.
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ऊपर दिए गए संबंध में, जहाँ \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और समूह (3) के गुणज तथा (3) के गुणज न होने पर बनते हैं, (5) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In the relation on \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) based on being multiples of (3) or not multiples of (3), what is the equivalence class of (5)?
#equivalence class
#multiples
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,2,4,5})
B ({3,6})
C ({5})
D ({2,5})
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Correct Answer
A. ({1,2,4,5})
Step 1
Concept
(5), (3) का गुणज नहीं है। / (5) is not a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (5) का वर्ग उन सभी तत्वों का है जो (3) के गुणज नहीं हैं। / Therefore its class contains all elements that are not multiples of (3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय पहले देखें कि दिया गया तत्व किस समूह में आता है। / To find a class, first identify the group of the given element.
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यदि किसी संबंध में \((a,b)\in R\) होने पर हमेशा \((b,a)\in R\) भी हो, तो यह कौन सा गुण है?
If a relation always has \((b,a)\in R\) whenever \((a,b)\in R\), which property is this?
#symmetry
#relation property
#equivalence relation
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A स्वतुल्यता / Reflexivity
B सममितता / Symmetry
C संक्रमणता / Transitivity
D प्रतिच्छेद / Intersection
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Correct Answer
B. सममितता / Symmetry
Step 1
Concept
दिए गए कथन में युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में होने की बात है। / The statement says that the reverse of every related pair is also related.
Step 2
Why this answer is correct
यही सममितता की परिभाषा है। / This is the definition of symmetry.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में सममितता के साथ स्वतुल्यता और संक्रमणता भी जरूरी हैं। / An equivalence relation also needs reflexivity and transitivity.
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किस विकल्प में संबंध तुल्यता संबंध है?
Which option gives an equivalence relation?
#even difference
#integers
#equivalence relation
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? Hint Small clue
A पूर्णांकों पर (aRb) जब (a-b) सम हो / On integers, (aRb) when (a-b) is even
B वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (a<b) / On real numbers, (aRb) when (a<b)
C प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) जब (a) (b) को विभाजित करे / On natural numbers, (aRb) when (a) divides (b)
D वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (a+b=1) / On real numbers, (aRb) when (a+b=1)
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Correct Answer
A. पूर्णांकों पर (aRb) जब (a-b) सम हो / On integers, (aRb) when (a-b) is even
Step 1
Concept
(a-b) सम होने का अर्थ है कि दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की हैं। / (a-b) being even means the two integers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यह संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रमण है। / This relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
छोटे या विभाज्यता जैसे क्रम आधारित संबंधों में सममितता अक्सर नहीं होती। / Order-type relations often fail symmetry.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{5}\)। (9) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{5}\). Which is the equivalence class of (9)?
#modulo 5
#equivalence class
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({4,9})
B ({5})
C ({1,6})
D ({2,7})
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Correct Answer
A. ({4,9})
Step 1
Concept
(9) को (5) से भाग देने पर शेष (4) है। / (9) gives remainder (4) on division by (5).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (4) और (9) दोनों का शेष (4) है। / In the given set, (4) and (9) both have remainder (4).
Step 3
Exam Tip
मापांक संबंध में प्रतिनिधि कोई भी हो, वर्ग समान शेष से तय होता है। / In a modulo relation, the class is decided by the common remainder.
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यदि ([a]={2,5,8}) और संबंध तुल्यता संबंध है, तो निम्न में से कौन सा युग्म निश्चित रूप से संबंध में होगा?
If ([a]={2,5,8}) and the relation is an equivalence relation, which pair must surely belong to the relation?
#same class
#ordered pair
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((2,8))
B ((2,3))
C ((5,7))
D ((8,1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((2,8))
Step 1
Concept
एक ही तुल्यता वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements in the same equivalence class are related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (8) दोनों ({2,5,8}) में हैं। / (2) and (8) both belong to ({2,5,8}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((2,8)) संबंध में अवश्य होगा। / Therefore ((2,8)) must be in the relation.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((x,y)\in R\), तो निम्न में से कौन सा कथन अवश्य सही है?
If (R) is an equivalence relation and \((x,y)\in R\), which statement must be true?
#class equality
#related elements
#equivalence classes
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([x]=[y])
B \([x]\cap[y]=\varnothing\)
C \(x\notin[x]\)
D \(y\notin[y]\)
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Correct Answer
A. ([x]=[y])
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में संबंधित तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, related elements belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
\((x,y)\in R\) होने से (x) और (y) का वर्ग समान होगा। / Since \((x,y)\in R\), the classes of (x) and (y) are equal.
Step 3
Exam Tip
संबंधित तत्वों के तुल्यता वर्गों को अलग-अलग न मानें। / Do not treat equivalence classes of related elements as different.
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किस संबंध में संक्रमणता है, पर सममितता सामान्यतः नहीं है?
Which relation is transitive but generally not symmetric?
#transitive relation
#not symmetric
#order relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(a\leq b\)
B (a-b) सम है / (a-b) is even
C (|a|=|b|)
D (a) और (b) का अंतिम अंक समान है / (a) and (b) have the same last digit
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Correct Answer
A. \(a\leq b\)
Step 1
Concept
\(a\leq b\) और \(b\leq c\) से \(a\leq c\) मिलता है, इसलिए संक्रमणता है। / From \(a\leq b\) and \(b\leq c\), we get \(a\leq c\), so the relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(2\leq 3\) सही है और \(3\leq 2\) गलत है, इसलिए सममितता नहीं है। / But \(2\leq 3\) does not imply \(3\leq 2\), so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के लिए संक्रमणता अकेली पर्याप्त नहीं है। / Transitivity alone is not enough for equivalence.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a) और (b) में अंकों की संख्या समान हो। यह संबंध कैसा है?
On natural numbers, (aRb) holds when (a) and (b) have the same number of digits. What type of relation is it?
#number of digits
#natural numbers
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या में अंकों की संख्या स्वयं के समान होती है। / Every number has the same number of digits as itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो संख्याओं में अंकों की संख्या समान है, तो उल्टे क्रम में भी समान रहेगी। / If two numbers have the same number of digits, the reverse statement is also true.
Step 3
Exam Tip
समान अंकों की संख्या तीसरी संख्या तक भी बनी रहती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / This equality of digit count is transitive, so the relation is an equivalence relation.
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प्राकृतिक संख्याओं पर अंकों की संख्या समान होने वाले संबंध में (145) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
For the relation on natural numbers based on having the same number of digits, which is the equivalence class of (145)?
#same number of digits
#equivalence class
#natural numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ / All three-digit natural numbers
B सभी दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ / All two-digit natural numbers
C सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ / All odd natural numbers
D केवल ({145}) / Only ({145})
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Correct Answer
A. सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ / All three-digit natural numbers
Step 1
Concept
(145) में तीन अंक हैं। / (145) has three digits.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (145) का वर्ग सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का समूह है। / Therefore its class is the set of all three-digit natural numbers.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा में दिए गए गुण को सीधे चुने हुए तत्व पर लागू करें। / Apply the defining property directly to the chosen element.
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समतल में सरल रेखाओं पर संबंध (lRm) तब है जब (l) और (m) समांतर हों या समान हों। यह संबंध कैसा है?
For lines in a plane, (lRm) holds when (l) and (m) are parallel or identical. What type of relation is it?
#parallel lines
#geometry
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर रेखा स्वयं के समान है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every line is identical to itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (l) रेखा (m) के समांतर है, तो (m) भी (l) के समांतर है। / If (l) is parallel to (m), then (m) is parallel to (l).
Step 3
Exam Tip
एक ही दिशा वाली रेखाएँ तीसरी रेखा के साथ भी वही दिशा रखती हैं, इसलिए संक्रमणता है। / Lines with the same direction preserve transitivity, so the relation is an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (4) से छोटे हों या दोनों (4) से छोटे न हों। (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both less than (4) or both not less than (4). What is the equivalence class of (2)?
#classification
#equivalence class
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,2,3})
B ({4,5,6})
C ({2,4})
D ({2})
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Correct Answer
A. ({1,2,3})
Step 1
Concept
(2), (4) से छोटा है। / (2) is less than (4).
Step 2
Why this answer is correct
(4) से छोटे तत्व (1,2,3) हैं, इसलिए (2) का वर्ग ({1,2,3}) है। / The elements less than (4) are (1,2,3), so the class of (2) is ({1,2,3}).
Step 3
Exam Tip
समूह-आधारित संबंधों में पहले तय करें कि दिया तत्व किस समूह में है। / In grouping relations, first identify the group of the given element.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what are the equivalence classes of \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)\}\)?
#finite relation
#equivalence classes
#grouping
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,5},{2,4},{3})
B ({1,2,3},{4,5})
C ({1,4},{2,5},{3})
D ({1,2,3,4,5})
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Correct Answer
A. ({1,5},{2,4},{3})
Step 1
Concept
(1) और (5) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक वर्ग बनाते हैं। / (1) and (5) are mutually related, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) आपस में संबंधित हैं, और (3) केवल स्वयं से संबंधित है। / (2) and (4) form another class, while (3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
संबंध के युग्मों से जुड़े समूहों को पहचानना वर्ग निकालने की अच्छी विधि है। / Identify connected groups from the given ordered pairs.
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किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर स्वतुल्य है?
Which option gives a reflexive relation on \(A=\{1,2,3\}\)?
#reflexive relation
#diagonal pairs
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)})
B ({(1,1),(2,2),(1,3)})
C ({(1,2),(2,3),(3,1)})
D ({(1,1),(3,3)})
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Correct Answer
A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)})
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों युग्म चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
केवल पहले विकल्प में ये तीनों युग्म मौजूद हैं। / Only the first option contains all three diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्यता जांचते समय सबसे पहले सभी विकर्ण युग्म देखें। / Check all diagonal pairs first when testing reflexivity.
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किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर सममित है?
Which option gives a symmetric relation on \(A=\{1,2,3\}\)?
#symmetric relation
#reverse pair
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,2),(2,1),(3,3)})
B ({(1,2),(2,3)})
C ({(1,3),(2,1)})
D ({(1,2),(2,2),(3,1)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,1),(3,3)})
Step 1
Concept
सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी चाहिए। / Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) स्वयं उल्टा है। / The first option has both ((1,2)) and ((2,1)), and ((3,3)) reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
किसी भी असमान युग्म का उल्टा न मिले तो सममितता टूट जाती है। / If the reverse of a non-diagonal pair is missing, symmetry fails.
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किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर संक्रमण है?
Which option gives a transitive relation on \(A=\{1,2,3\}\)?
#transitive relation
#finite set
#relation properties
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,2),(2,3),(1,3)})
B ({(1,2),(2,3)})
C ({(2,1),(1,3)})
D ({(1,3),(3,2)})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({(1,2),(2,3),(1,3)})
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) होने पर संक्रमणता के लिए ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में यह जरूरी युग्म मौजूद है। / The first option contains this required pair.
Step 3
Exam Tip
संक्रमणता में बीच वाले तत्व को पकड़कर आरंभ और अंत का युग्म जांचें। / In transitivity, use the middle element to identify the needed start-to-end pair.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a=b) या ({a,b}={1,2})। इस संबंध के वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a=b) or ({a,b}={1,2}). What are the classes of this relation?
#defined relation
#equivalence classes
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,2},{3},{4})
B ({1,3},{2,4})
C ({1,2,3},{4})
D ({1},{2},{3},{4})
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Correct Answer
A. ({1,2},{3},{4})
Step 1
Concept
(a=b) से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / The condition (a=b) relates every element to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) अलग से आपस में संबंधित किए गए हैं। / The extra condition relates (1) and (2) to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1,2) एक वर्ग बनाते हैं और (3,4) अलग एकल वर्ग रहते हैं। / Hence (1,2) form one class, while (3) and (4) remain singleton classes.
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यदि (A) के (5) तत्व हैं और तुल्यता संबंध के वर्गों के आकार (2,2,1) हैं, तो संबंध में युग्मों की संख्या कितनी होगी?
If (A) has (5) elements and the sizes of the equivalence classes are (2,2,1), how many pairs are in the relation?
#class sizes
#counting pairs
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (8)
C (9)
D (25)
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Step 1
Concept
आकार (m) वाले वर्ग से \(m^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class of size (m) contributes \(m^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल युग्म \(2^2+2^2+1^2=4+4+1\) होंगे। / The total is \(2^2+2^2+1^2=4+4+1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध में (9) युग्म होंगे। / Therefore the relation has (9) pairs.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और ([a]=A), तो (a) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is an equivalence relation and ([a]=A), which statement about (a) is correct?
#equivalence class
#whole set
#related elements
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a) समुच्चय (A) के हर तत्व से संबंधित है / (a) is related to every element of (A)
B (a) किसी तत्व से संबंधित नहीं है / (a) is related to no element
C (a) केवल स्वयं से संबंधित है / (a) is related only to itself
D (A) रिक्त होना चाहिए / (A) must be empty
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Correct Answer
A. (a) समुच्चय (A) के हर तत्व से संबंधित है / (a) is related to every element of (A)
Step 1
Concept
([a]) उन सभी तत्वों का समूह है जो (a) से संबंधित हैं। / ([a]) is the set of all elements related to (a).
Step 2
Why this answer is correct
([a]=A) का अर्थ है कि (A) का हर तत्व (a) से संबंधित है। / ([a]=A) means every element of (A) is related to (a).
Step 3
Exam Tip
वर्ग की परिभाषा को समझना ऐसे निष्कर्षों में मदद करता है। / Use the definition of an equivalence class for such conclusions.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो ([a]) रिक्त क्यों नहीं हो सकता?
If (R) is an equivalence relation, why can ([a]) not be empty?
#non empty class
#reflexivity
#equivalence class
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (aRa) हमेशा सही है / Because (aRa) is always true
B क्योंकि हर संबंध सार्वत्रिक होता है / Because every relation is universal
C क्योंकि सममितता रिक्त वर्ग बनाती है / Because symmetry creates empty classes
D क्योंकि संक्रमणता सभी तत्व हटाती है / Because transitivity removes all elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (aRa) हमेशा सही है / Because (aRa) is always true
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में स्वतुल्यता अनिवार्य है। / Reflexivity is required in an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतुल्यता से (aRa) मिलता है, इसलिए \(a\in[a]\)। / Reflexivity gives (aRa), so \(a\in[a]\).
Step 3
Exam Tip
इस कारण कोई भी तुल्यता वर्ग रिक्त नहीं होता। / Therefore no equivalence class is empty.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{2}\)। इस संबंध से बना विभाजन कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{2}\). Which partition is formed by this relation?
#modulo 2
#partition
#parity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,3,5},{2,4,6})
B ({1,2,3},{4,5,6})
C ({1,4},{2,5},{3,6})
D ({1},{2},{3},{4},{5},{6})
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Correct Answer
A. ({1,3,5},{2,4,6})
Step 1
Concept
(2) से समान शेष का अर्थ समान सम-विषम प्रकृति है। / Having the same remainder modulo (2) means having the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
विषम तत्व (1,3,5) और सम तत्व (2,4,6) अलग वर्ग बनाते हैं। / Odd elements (1,3,5) and even elements (2,4,6) form two separate classes.
Step 3
Exam Tip
मापांक (2) वाले संबंध में हमेशा सम और विषम वर्ग मिलते हैं। / A modulo (2) relation splits a set into odd and even classes.
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किस विकल्प में तुल्यता संबंध से बने वर्गों का सामान्य गुण सही है?
Which option states a general property of classes formed by an equivalence relation?
#equivalence classes
#disjointness
#partition property
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है / The intersection of two distinct classes is empty
B दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद हमेशा पूरा समुच्चय होता है / The intersection of two distinct classes is always the whole set
C हर वर्ग रिक्त होता है / Every class is empty
D हर वर्ग में केवल एक ही तत्व होता है / Every class has exactly one element
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है / The intersection of two distinct classes is empty
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग समुच्चय का विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes form a partition of the set.
Step 2
Why this answer is correct
विभाजन में अलग-अलग वर्ग आपस में नहीं कटते। / In a partition, distinct classes do not overlap.
Step 3
Exam Tip
यदि दो वर्ग कटते दिखें, तो वे अलग नहीं बल्कि समान वर्ग होंगे। / If two classes overlap, they are not distinct; they are equal.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A\) है। इस संबंध में तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?
For \(A=\{1,2,3,4\}\), let \(R=A\times A\). How many equivalence classes does this relation have?
#universal relation
#number of classes
#equivalence class
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (4)
D (16)
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Step 1
Concept
\(A\times A\) में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In \(A\times A\), every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी तत्व एक ही बड़े तुल्यता वर्ग में आ जाते हैं। / Hence all elements fall into one large equivalence class.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में गैर-रिक्त समुच्चय के लिए केवल एक वर्ग होता है। / A universal relation on a non-empty set has only one class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर पहचान संबंध \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), what are the equivalence classes of the identity relation \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\)?
#identity relation
#singleton classes
#equivalence classes
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1},{2},{3},{4})
B ({1,2,3,4})
C ({1,2},{3,4})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({1},{2},{3},{4})
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व केवल स्वयं से संबंधित होता है। / In the identity relation, every element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रत्येक तत्व अपना अलग एकल तुल्यता वर्ग बनाता है। / Hence each element forms a separate singleton class.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध के वर्गों की संख्या तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The number of classes in an identity relation equals the number of elements.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों धनात्मक हों या दोनों धनात्मक न हों। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) holds when (a) and (b) are both positive or both not positive. What type of relation is it?
#integer classification
#equivalence relation
#two classes
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर पूर्णांक या तो धनात्मक है या धनात्मक नहीं है, इसलिए वह अपने समूह में स्वयं से संबंधित है। / Every integer is either positive or not positive, so it is related to itself within its group.
Step 2
Why this answer is correct
समान समूह में होने का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Being in the same group is symmetric.
Step 3
Exam Tip
इससे दो वर्ग बनते हैं: धनात्मक और धनात्मक न होने वाले पूर्णांक। / It creates two classes: positive integers and non-positive integers.
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पूर्णांकों पर पिछले संबंध में, जहाँ दोनों धनात्मक या दोनों धनात्मक न होने पर संबंध है, (0) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
In the previous relation on integers where two integers are related if both are positive or both are not positive, which is the equivalence class of (0)?
#non positive integers
#equivalence class
#classification
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? Hint Small clue
A सभी धनात्मक न होने वाले पूर्णांक / All non-positive integers
B सभी धनात्मक पूर्णांक / All positive integers
C केवल ({0}) / Only ({0})
D सभी पूर्णांक / All integers
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Correct Answer
A. सभी धनात्मक न होने वाले पूर्णांक / All non-positive integers
Step 1
Concept
(0) धनात्मक नहीं है। / (0) is not positive.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (0) उन सभी पूर्णांकों से संबंधित है जो धनात्मक नहीं हैं। / Therefore (0) is related to all non-positive integers.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पहचानते समय भाषा में छिपे समूह को ध्यान से पढ़ें। / Read the grouping condition carefully to identify the class.
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किस विकल्प में संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रमण तीनों है?
Which option has all three properties: reflexive, symmetric, and transitive?
#real life equivalence
#same colour
#relation properties
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? Hint Small clue
A समान रंग वाली वस्तुओं का संबंध / Relation of having the same colour
B बड़ा होने का संबंध (a>b) / Greater than relation (a>b)
C भिन्न होने का संबंध \(a\neq b\) / Unequal relation \(a\neq b\)
D पास बैठने का संबंध / Relation of sitting near
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Correct Answer
A. समान रंग वाली वस्तुओं का संबंध / Relation of having the same colour
Step 1
Concept
हर वस्तु का रंग स्वयं के रंग के समान है। / Every object has the same colour as itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहली वस्तु का रंग दूसरी के समान है, तो दूसरी का रंग पहली के समान है। / If one object has the same colour as another, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समान रंग का संबंध तीसरी वस्तु तक भी चलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Having the same colour is transitive, so it is an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) holds when \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\). What type of relation is it?
#floor function
#equivalence relation
#real numbers
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान पूर्णांक भाग की समानता उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / Equality of the greatest integer value is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याओं का पूर्णांक भाग समान मध्य संख्या से समान है, तो वे आपस में भी समान पूर्णांक भाग रखेंगी। / If two values are equal to the same middle value, they are equal to each other, so transitivity holds.
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वास्तविक संख्याओं पर \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\) वाले संबंध में (2.7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
For the relation \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\) on real numbers, which is the equivalence class of (2.7)?
#floor function
#equivalence class
#interval
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A ([2,3))
B ((2,3])
C ([3,4))
D ((1,2))
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Correct Answer
A. ([2,3))
Step 1
Concept
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\) है। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\).
Step 2
Why this answer is correct
जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे ([2,3)) में आती हैं। / Real numbers with greatest integer value (2) lie in ([2,3)).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक भाग वाले प्रश्नों में बायाँ सिरा शामिल और दायाँ सिरा शामिल नहीं होता। / For floor-based classes, the left endpoint is included and the right endpoint is excluded.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों अभाज्य हों या दोनों अभाज्य न हों। (4) का तुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both prime or both not prime. What is the equivalence class of (4)?
#prime numbers
#equivalence class
#classification
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A ({1,4,6})
B ({2,3,5})
C ({4})
D ({1,2,4,6})
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Correct Answer
A. ({1,4,6})
Step 1
Concept
दिए गए समुच्चय में (2,3,5) अभाज्य हैं। / In the given set, (2,3,5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अभाज्य नहीं है, इसलिए उसका वर्ग (1,4,6) है। / (4) is not prime, so its class is ({1,4,6}).
Step 3
Exam Tip
ऐसी वर्गीकरण शर्तों में पहले समूहों को साफ-साफ अलग करें। / For classification relations, first separate the groups clearly.
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यदि किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,2}), ({3,4,5}) और ({6}) हैं, तो ((2,5)) के बारे में क्या सही है?
If the classes of an equivalence relation on a set are ({1,2}), ({3,4,5}), and ({6}), what is true about ((2,5))?
#different classes
#ordered pair
#equivalence relation
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A \((2,5)\notin R\)
B \((2,5)\in R\)
C \((5,2)\in R\) ही होगा / \((5,2)\in R\) must hold
D (2) और (5) एक ही वर्ग में हैं / (2) and (5) are in the same class
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Correct Answer
A. \((2,5)\notin R\)
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के भीतर के तत्व संबंधित होते हैं। / In an equivalence relation, only elements within the same class are related.
Step 2
Why this answer is correct
(2) वर्ग ({1,2}) में है और (5) वर्ग ({3,4,5}) में है। / (2) is in ({1,2}), while (5) is in ({3,4,5}).
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के तत्वों का क्रमित युग्म संबंध में नहीं होता। / Elements from different classes do not form related ordered pairs.
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अशून्य बहुपदों के समुच्चय पर (pRq) तब है जब (p) और (q) की घात समान हो। \(x^2+1\) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On the set of non-zero polynomials, (pRq) holds when (p) and (q) have the same degree. Which is the equivalence class of \(x^2+1\)?
#polynomial degree
#equivalence class
#equivalence relation
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A सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपद / All non-zero polynomials of degree (2)
B सभी घात (1) वाले अशून्य बहुपद / All non-zero polynomials of degree (1)
C केवल \({x^2+1}\) / Only \({x^2+1}\)
D सभी अशून्य बहुपद / All non-zero polynomials
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Correct Answer
A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपद / All non-zero polynomials of degree (2)
Step 1
Concept
\(x^2+1\) की घात (2) है। / The degree of \(x^2+1\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
समान घात वाले सभी अशून्य बहुपद इससे संबंधित होंगे। / All non-zero polynomials of degree (2) are related to it.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग निकालते समय चुने हुए तत्व की मुख्य विशेषता पहचानकर उसी विशेषता वाले तत्व लें। / To find an equivalence class, identify the key property of the chosen element.
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समुच्चय \(A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\) पर (aRb) तब है जब दोनों क्रमित युग्मों का प्रथम घटक समान हो। ((1,2)) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\), (aRb) holds when the two ordered pairs have the same first component. Which is the equivalence class of ((1,2))?
#ordered pairs
#first component
#equivalence class
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A ({(1,1),(1,2)})
B ({(2,1),(2,2)})
C ({(1,2),(2,2)})
D ({(1,2)})
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Correct Answer
A. ({(1,1),(1,2)})
Step 1
Concept
((1,2)) का प्रथम घटक (1) है। / The first component of ((1,2)) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में प्रथम घटक (1) वाले युग्म ((1,1)) और ((1,2)) हैं। / In the given set, the ordered pairs with first component (1) are ((1,1)) and ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
घटक आधारित संबंधों में संबंधित वर्ग बनाने के लिए उसी घटक को समान रखें। / In component-based relations, keep the specified component the same to form the class.
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